Помогите решить задачу: Сравнить «Пи» в степени «e» и «е» в степени «ПИ»
Сравним ln pi^e и ln e^pi, то есть сравним e * ln pi и pi.
f(x) = e * ln x — x
f'(x) = e/x — 1
f'(x) = 0 => e/x — 1 = 0 => x = e
При x (0;e) f'(x) > 0 => f(x) возрастает
При x (e;+00) f'(x) < 0 =>f(x) убывает
Значит f(pi) < f(e) =>e * ln pi — pi < e * ln e - e = e - e = 0
Значит e * ln pi — pi < 0 =>e * ln pi < pi
ln pi^e < ln e^pi
pi^e < e^pi
Остальные ответы
e=2.73 п=3.14
e^п=23.41 п^e=22.73
e^п>п^e
пи в степени е=3,14 в степени 2,72
а е в степени пи=2,72 в степени 3,14
е в степени пи больше
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Что больше е в степени п или п в степени е
Ребята, помогите!
Толян 11.02.2009 11:21
Препод — стервятник, хочет выгнать меня из политеха. Но говорит, что все зачтет, если я решу задачу:
Доказать, что пи в степени е равно е в степени пи.
Я не могу нигде найти решение. На вас одна надежда. Помогите!
Толян, он тебя валит однозначно.
Спасет тебя только эффектное доказательство того, что пи — алгебраическое число.
Прикинь, корень из двух (1.41) плюс корень из трех (1.73) равно акурат 3.14 — число пи как сумма двух алгебраических чисел, таковым тоже является.
Звери у вас в политехе, просто звери. Ведь чего проще — попросил бы он тебя сравнить е в степени ипи с пи в степени ие. А ты бы ему сразу в лобешник. Хотя, ща пойду за калькулем.
И калькулем — в лобешник! В лобешник.
Число е также представимо в алгебраическом виде как 8,5 * ((корень из 3) — (корень из 2)).
Остается решить систему относительно (корень из 2) и (корень из 3).
Толян, слушай сюда.
Решать систему относительно корней — это можно, но слишком сложно.
Вот тебе простое и строгое доказательство:
Теорема: Доказать, что π e = e π
Известно, что число e немного меньше числа π. Выразим π через e как:
π = e(1+x), где x — такая ма-а-ахонькая добавка.
Тогда ln(π) = ln(e(1+x)) = ln(e) + ln(1+x) = 1 + ln(1+x)
Разлагаем ln(1+x) в ряд Тейлора, где для малых x имеем:
ln(1+x) = x
Для политеха это абсолютно железно. Все остальные супермаленькие блошки типа: -х 2 /2, x 3 /3. рассматриваются только на мехмате.
Тогда получаем: ln(π) = 1+ x
Но 1+ x — это же π/e, как было определено вначале.
То есть ln(π) = π/e или e ln(π) = π
Возводим e в эти степени: e (e ln(π)) = e π ,
переписываем левую часть в виде: e (e ln(π)) = (e ln(π) ) e ,
подставляем e ln(π) = π
и получаем: π e = e π ,
что и требовалось доказать.
Толян, с тебя ящик пива!
Про лифт
Физтеховский Задачник по общей физике
| Если вы потерялись на нашем сайте, встречайтесь в центре ГУМа у фонтана |
алгебра — Как доказать, что больше $%e^\pi$% или $%\pi^e$%?
Рассмотрим две функции $%f(x)=a^x$% и $%g(x)=x^a$% при некотором фиксированном $%a$%. При $%x=a$% значения функций совпадают $%f(a)=g(a)$%. Докажем, что при $%x>a$% выполняется неравенство $%f(x)>g(x)$%. Ограничимся случаем $% a \ge e$%. Тогда при $%x=a$% все производные функции $%f$% не меньше $%f(a)$%, а у функции $%g$% в точке $%x=a$% первая производная совпадает с $%g(a)$%, а все остальные — строго меньше $%g(a)$%. Разложим функции $%f(x)$% и $%g(x)$% в ряд Тейлора в окрестности точки $%x=a$%. Из приведенных рассуждений следует, что при $%x>a$% каждый член ряда Тейлора ф-ии $%f$% не меньше соответствующего члена ф-ии $%g$%, а начиная со второго — строго больше, откуда $%f(x)>g(x)$%, при $%x>a \ge e$%. Решение задачи следует из доказанной теоремы при $%a=e$%: $%f(\pi)>g(\pi)$%, т.к. $%\pi>e$%.
отвечен 17 Мар ’12 19:14
x>a a^x > x^a как доказать
(17 Мар ’12 19:55) Karen
А как быть, например, с y=tgX и y=X?
(17 Мар ’12 20:06) Anatoliy
Функция tg(x) — не является непрерывной (непрерывность я сначала упустил, но потом добавил в пояснении).
(17 Мар ’12 20:19) Андрей Юрьевич
f и g дифференцируемые функции на $%[a;b)$%, где $%b$% меньше либо равно + бесконечности, $%f(a)=g(a)$% и для любого $%x$% из $%[a;b)$% справедливо $%f'(x)>g'(x)$% тогда $%f(x)>g(x)$% для $%x$% из $%(a;b)$%? так точнее докозать а не подборкой чисел
(17 Мар ’12 20:46) Karen
так что хорошенько подумайте прежде чем отвечать
(17 Мар ’12 20:54) Азат
А вот грубить не надо! Жаль, что нет значка «не нравится комментарий».
Числа π и e
Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром:
А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590. (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.
Число e по определению — предел функции y = (1 + 1 / x) x при x → ∞:
| x | y | |
| 1 | (1 + 1 / 1) 1 | = 2 |
| 2 | (1 + 1 / 2) 2 | = 2,25 |
| 3 | (1 + 1 / 3) 3 | = 2,3703703702. |
| 10 | (1 + 1 / 10) 10 | = 2,5937424601. |
| 100 | (1 + 1 / 100) 100 | = 2,7048138294. |
| 1000 | (1 + 1 / 1000) 1000 | = 2,7169239322. |
| ∞ | lim× → ∞ | = 2,7182818284590. |
Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.
Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.
Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k x . Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:
В точке 0 функция принимает значение e 0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e 1 = e . Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке 2 значение e 2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.
Среди всех функций y = k x (например, 2 x , 10 x , π x и т. д.), функция e x — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e x )´ = e x . Почему-то именно число e = 2,7182818284590. нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.
Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.
Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
e iπ + 1 = 0
Почему число 2,7182818284590. в комплексной степени 3,1415926535. i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.