Что такое дифференциал в математике простыми словами
Перейти к содержимому

Что такое дифференциал в математике простыми словами

Что такое дифференциал в математике простыми словами

Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок например
растояния, которое относится к куску например времени?). Мне бы почетче эти
вещи понять, т.к. все задачи только на них сейчас у меня построены.
Поподробнее, пожалуйста и попроще.

Miguel Mitrofanov
2006-09-12 05:00:38 UTC

Hello, Andrey! You wrote:

AT> Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок
AT> например растояния, которое относится к куску например времени?).
AT> Мне бы почетче эти вещи понять, т.к. все задачи только на них
AT> сейчас у меня построены.

Ты б ещё «Капитал» попросил в двух словах пересказать. ТАК информация
сжимается оччень редко — пожалуй, только в мексиканских сериалах.


Miguel ***@yandex.ru
LJ migmit http://miguel-0.narod.ru
Ivan Koznacheev
2006-09-13 06:36:37 UTC

Post by Andrey Tuliev
Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок например
растояния, которое относится к куску например времени?). Мне бы почетче эти
вещи понять, т.к. все задачи только на них сейчас у меня построены.
Поподробнее, пожалуйста и попроще.

Почитай у Толстого в «Войне и Мире», Том Третий, Часть Третья (я не шучу).


Иван Козначеев.

Кто знает, тот поймёт.

Отправлено через сервер Форумы@mail.ru — http://talk.mail.ru

Andrey Tuliev
2006-09-13 18:34:28 UTC

Post by Andrey Tuliev
Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок например
растояния, которое относится к куску например времени?). Мне бы почетче эти
вещи понять, т.к. все задачи только на них сейчас у меня построены.
Поподробнее, пожалуйста и попроще.

Почитай у Толстого в «Войне и Мире», Том Третий, Часть Третья (я не шучу).

— хватит издеваться. Если лень пояснять, дали бы линк в Инете, где можно
прочитать. «Войну и Мир» лет 10 — 15 назад читал, про интегралы ничего не
помню. Не думаю, что могу изучать математику по Толстому. Вопрос для меня
серьезный, если не можете помочь — лучше мимо пройдите.

Miguel Mitrofanov
2006-09-14 06:31:17 UTC
Post by Ivan Koznacheev
Почитай у Толстого в «Войне и Мире», Том Третий, Часть Третья (я
не шучу).

AT> — хватит издеваться. Если лень пояснять, дали бы линк в Инете,
AT> где можно прочитать. «Войну и Мир» лет 10 — 15 назад читал, про
AT> интегралы ничего не помню. Не думаю, что могу изучать математику
AT> по Толстому.

Не можешь. Более того — по ЛЮБОМУ изложению «парой слов» ТОЖЕ не
можешь. Бери учебник и читай. Царских путей в геометрии до сих пор не
протоптали.


Miguel ***@yandex.ru
LJ migmit http://miguel-0.narod.ru
Ivan Koznacheev
2006-09-14 06:50:59 UTC
— хватит издеваться. . Не думаю, что могу изучать математику по Толстому.

Эх зря вы так про классика. Я, когда 10-15 лет назад читал, был поражён
как тонко Толстой описал основы классического дифференциального
исчисления, цитату на страницу даже в отдельный цитатник себе выписал.
Только не могу этот цитатник найти, а бумажной «Войны и мира» под рукой нет.

Конечно, формулы писать Толстой Вас не научил бы, но общее представление
о понятиях, что видимо Вы и хотели, дал бы. Ну раз Вы не хотите
по-хорошему, будет по-плохому. Лучше Толстого я ведь не смогу написать.

Дифференциал — бесконечно малое изменение (приращение). То что раньше
обозначалось символом «дельта» перед символом переменной начинает
стремиться к нулю и переходит в дифференциал. Переменная под знаком
дифференциала может быть как независимой, так и зависимой от
независимой. Соответственно в первом случае говорят о дифференциале
независимой переменной (аргумента), во втором случае о дифференциале
зависимой переменной (функции).

Пример: для функции y(x) дифференциал аргумента dx, дифференциал функции dy.

Для дифференцируемой функции одной переменной дифференциал функции равен
произведению производной и дифференциала аргумента.

Пример: для y(x)=x^2, dy=2x*dx.

Если есть несколько независимых переменных, то под полным дифференциалом
подразумевают выражение имеющее вид суммы произведений частных
производных некоторой функции и дифференциалов соответствующих
независимых переменных.

Пример: для z(x,y)=x^2*y, dz=2x*y*dx+x^2*dy.

Соответственно, выражения представляющие собой сумму произведений
некоторых функций на дифференциалы независимых переменных не
удовлетворяющие этому условию называются неполными дифференциалами.

Неопределённым интегралом функции одной переменной (есть конечно куча
определений интеграла по Лебегу, . но я напишу как проще и как я
лучше знаю и понимаю) называется выражение, дифференциалом которого
является подынтегральное выражение (первообразная).

Пример: Int(2x*dx)=x^2+C, ведь d(x^2+C)=2x*dx.

Для функций нескольких переменных это понятие обобщается в интеграл по
контуру, в поверхностный и объёмный интегралы.

Если есть вопросы и есть возможность писать e-mail, можете писать мне
прямо на ivkozn at narod.ru Могу пересказать хоть всё, что в моей голове
имеется, было бы время и желание. А сюда всё это постить будет лишним.


Иван Козначеев.

Кто знает, тот поймёт.

Дифференциал

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

О разных формах записи дифференциала

Дифференциал функции в точке x и обозначают

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а — наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулу (4), находим:

Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти дифференциал функции

1) выделив линейную часть;

Пример 3. Найти дифференциал функции

Пример 4. Найти дифференциал функции

в точках x = 0 и x = 1 .

В основном же задачи на дифференциалы — это более сложные, чем рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.

Свойства дифференциала

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина) (5)

Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное во втором параграфе приближенное равенство

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (11) в данном случае примет вид

что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 6. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Решение. Число
является одним из значений функции

Так как производная этой функции

то формула (11) примет вид

Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Вычислить приближенно:

Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

Если точное число неизвестно, то

Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.

Пример 8. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию

Её производная равна

а формула (11) примет вид

В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:

так как значение

не является малым по сравнению со значением производной в точке

Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда

Умножая на 4/3, находим

Принимая табличное значение корня

за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

Что такое дифференциал функции?

Понятие дифференциала функции связано с такими важными математическими разделами как дифференциальное и интегральное исчисление и тесно связано с понятием производной функции. Наиболее часто дифференциал применяется для приближенных вычислений, а также для оценки погрешностей формул и измерений.

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Говоря о значении дифференциала функции, рассматривают конкретную точку функции и бесконечно малое изменение аргумента.

Пусть xo есть некоторая точка из области определения функции f(x), а Δx — есть бесконечно малая величина. Тогда дифференциал функции находится как произведение значения производной функции и приращения её аргумента. Дифференциал функции f(x) обозначается как df(x).

История открытия дифференциала

Чаще всего открытие дифференциально-интегрального исчисления принято связывать с именем Исаака Ньютона, однако, этот факт активно оспаривают учёные со всего света.

Действительно, открытие целого нового направления в науке, столь значимого для её развития, было бы ошибочно считать заслугой только одного учёного. Изначально интегрирование связывали с вычислением площадей и объёмов криволинейных фигур. Такие задачи, как известно, решались ещё во времена Архимеда, поэтому его имя также имеет отношение к открытию дифференциального исчисления.

Также дифференцирование имеет отношение к решению задач на проведение касательных к различным кривым. Данное направление активно развивали греческие математики. В те времена математики столкнулись с трудностью, которую не смогли решить в дальнейшем и представители Нового времени.

Дело в том, что для определения направления прямой требовалось знать координаты как минимум двух точек, а касательная имеет лишь одну точку соприкосновения с кривой. Этот факт натолкнул учёных на мысль о том, что в одной точке кривая может иметь несколько касательных. В то время ученые пришли к выводу, что прямая состоит не из точек, а из отрезков минимальной длины. Таким образом, они считали направление касательной в некоторой точке совпадающим с направлением атомарного отрезка в данной точке.

В дальнейшем учёные Нового времени опровергли данную теорию. В этот период огромный вклад в развитие науки внёс Исаак Ньютон. Ученый сформулировал определения и принципы решения производных, а также основы дифференциального исчисления, которых придерживаются учёные и в наши дни.

Дифференциальное исчисление широко применяется в математике и других науках для решения различных задач.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала заключается в следующем: дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к графику функции, которая проведена через некоторую точку с координатами (x,y) при изменении координаты x на величину Δх=dx.

Дифференциал является главной линейной частью функции относительно приращения аргумента. Чем меньше приращение функции, тем большая доля приращения приходится на эту линейную часть.

Таким образом, при бесконечно малом Δх, приращение функции можно считать равным ее дифференциалу. Это свойство дифференциала позволяет использовать его для приблизительных вычислений и оценки погрешностей измерений.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Поскольку дифференциал функции является частью ее приращения, то при бесконечно малом приращении аргумента он приблизительно равен приращению функции. При этом чем меньше приращение аргумента, тем точнее значение функции. Этот факт даёт возможность использования дифференциалов для приближённых вычислений.

С помощью таких вычислений можно решать различные виды задач. Приближённые вычисления практически всегда связаны с наличием погрешности.

Использование дифференциала для оценки погрешностей

Результаты измерений в большинстве случаев содержат ошибку, обусловленную неточностью измерительных приборов.

Число, несколько превышающее или равное этой неточности, называется «предельной абсолютной погрешностью».

Отношение предельной погрешности к значению измеряемой величины называют «предельной относительной погрешностью».

Для оценки величины погрешностей измерений используют дифференциальное исчисление.

Изучаем производные

Что такое дифференциал? Объясните простыми словами, пожалуйста, а то вообще не понятно.

Дифференциал функции f(x) в точке х0 равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x0 в точку x0 + Δx.

Короче, на графике зеленая черта — это дифференциал, то есть скорость с которой изменяется значение переменной y.

Остальные ответы

Короче, херня, которая создает разное вращение валов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *