Площадь трапеции можно вычислить по формуле s a b 2 h где а и b основания 5 7 24
Перейти к содержимому

Площадь трапеции можно вычислить по формуле s a b 2 h где а и b основания 5 7 24

Площадь трапеции S можно вычислить по формуле S = (a + b) ⋅ h / 2

Формулировка задачи: Площадь трапеции S (в кв. м.) можно вычислить по формуле S = (a + b) ⋅ h / 2, где a, b — основания трапеции, h — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту h, если даны основания трапеции и её площадь.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 4 (Преобразование выражений).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Площадь трапеции S (в кв. м.) можно вычислить по формуле S = (a + b) * h / 2, где a, b — основания трапеции, h — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту h, если основания трапеции равны 5 м и 7 м, а её площадь 24 кв. м.

Выразим h из равенства. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить произведение на известный множитель:

h = S / ((a + b) / 2) = 2S / (a + b)

Подставим известные данные в формулу и получим результат:

m = 2 ⋅ 24 / (5 + 7) = 48 / 12 = 4

В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:

Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ.

Поделитесь статьей с одноклассниками «Площадь трапеции S можно вычислить по формуле S = (a + b) ⋅ h / 2 – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.

Геометрия (первый курс)

Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

Обозначения: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В , B С , CD, …

Геометрические тела: Куб Параллелепипед Тетраэдр

Геометрические понятия . Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

Аксиома ( от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

Аксиомы стереометрии А1 А 2 А 3

Аксиомы стереометрии описывают: А1 Способ задания плоскости А2 Взаимное расположение прямой и плоскости А3 Взаимное расположение плоскостей

Следствия из аксиом стереометрии Следствие Чертеж Формулировка № 1 № 2 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Способы задания плоскости g 1. Плоскость можно провести через три точки. g 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Аксиома 1 Теорема 1 g Теорема 2 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А 1

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая не пересекает плоскость. Сколько общих точек в каждом случае? g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g Прямая пересекает плоскость .

Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Параллельность трех прямых Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема (признак параллельности прямых в пространстве) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Определение Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. g а Ë g Параллельность прямой и плоскости

Теорема Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Верны утверждения 1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB . К А В М S N C

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC . А С В S D F E

Пользуясь данным рисунком, назовите: три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 В 1 С ?

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 В 1 С ?

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Дом архитектора Мельникова

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Получение цилиндра: Вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, где Н- высота R- радиус цилиндра

Сечения цилиндра Любое сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси – круг , равный основанию.

Касательная плоскость цилиндра

Площадь поверхности цилиндра

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

«konos» означает «сосновая шишка». Историческая справка о конусе

Понятие конуса Определение : тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом . L

боковая (коническая) поверхность высота конуса ( РО ) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса ( r ) Элементы конуса B r образующие P

Конус – тело вращения Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета

Работаем в тетради: ОСНОВАНИЕ ВЕРШИНА ВЫСОТА h R РАДИУС ОБРАЗУЮЩАЯ L L h

Боковая поверхность конуса Если разрезать конус по образующей, то получим развертку конуса. L A B C S бок = π RL

Полная поверхность конуса Зная формулу боковой поверхности конуса выведите формулу нахождения полной поверхности конуса R S полн =S бок +S осн S бок = π RL S осн = π R 2 S полн = π RL+ π R 2 S полн = π R(L+R)

Объем конуса А С О

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг с центром на оси конуса.

L=13, R=5 Найти H . О А С В Н 13 5

Найти R , H . АВС=90 0 , L =3 А В С О

Найти R, H. АВС= 120 0 , L=6. А В С О

А О К С Найти ОК, Н. ABC – равносторонний, L =12, R =10. В

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Окружность и круг d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус d – диаметр r Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью .

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). D О R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром. D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. т. О – центр сферы R

Шар Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара . Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Как изобразить сферу? 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу R О Изобразить видимую горизонтальную дугу 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7 . Провести радиус сферы R

Уравнение окружности О С(х 0 ;у 0 ) М(х;у) Зададим прямоугольную систему координат О xy Построим окружность c центром в т. С и радиусом r Расстояние от произвольной т.М ( х;у ) до т.С вычисляется по формуле: МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 МС = r , или МС 2 = r 2 Следовательно, уравнение окружности имеет вид : (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

Уравнение сферы Зададим прямоугольную систему координат О xyz z х у М( х;у ;z ) R C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Построим сферу c центром в т. С и радиусом R МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 МС = R , или МС 2 = R 2 Следовательно, уравнение сферы имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0 ) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Взаимное расположение окружности и прямой Возможны 3 случая: d d r Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости α C (0 ;0; d) х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α , совпадающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С , лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d — расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α . В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0 ;0; d) х у z O r М Рассмотрим 1 случай: d R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Задача 2. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. М К О R d Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α — секущая плоскость d = 9 дм Найти: r сеч = ? Решение: Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм ; ОК = 9 дм ; МК = r , r = R 2 — d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 — 9 2 = 16 81 — 81=1600 , отсюда r сеч = 4 0 дм Ответ: r сеч = 4 0 дм

Площадь сферы и шара Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2 S шара =4 S круга т.е.: площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

Задача 3. Найти площадь поверхности сферы, радиус которой равен 6 см . Дано: сфера R = 6 см Найти: S сф = ? Решение: S сф = 4 π R 2 S сф = 4 π 6 2 = 144 π см 2 Ответ: S сф = 144 π см 2

Объем шара радиуса R равен

Контрольные вопросы: 1. Что такое шар? 2. Что такое шаровая поверхность или сфера? 3. Что такое радиус, диаметр, хорда шара? 4. Какие точки называются диаметрально противоположными? 5. Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара? 6. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? 7. Что такое большой круг, большая окружность?

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Практическое занятие № 27 «Призма. Правильная призма»

Цели: формирование навыков вычисления элементов призмы, применения формул боковой и

Варианты практической работы

№1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AB=5, ребро ребро AA 1 =4. Точка К- середина ребра СС 1 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки А 1 , D 1 , K.

№2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

№3. В правильной треугольной призме сторона основания равна 10 см и высота равна 15 см. Вычислите площади боковой и полной поверхности, объем призмы.

№1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AB=2, ребро ребро AA 1 =2. Точка К- середина ребра СС 1 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки А 1 , D 1 , K.

№2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

№3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 12 дм и высота равна 8 дм. Вычислите площади боковой и полной поверхности, объем призмы.

№1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AB=3, ребро , ребро AA 1 =2. Точка К- середина ребра СС 1 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки А 1 , D 1 , K.

№2. Ребро куба равно Найдите диагональ грани куба

№3. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 23 см и высота равна 5 дм. Вычислите площади боковой и полной поверхности, объем призмы.

№1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AB=3, ребро ребро AA 1 =2. Точка К- середина ребра СС 1 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки А 1 , B 1 , K.

№2. Ребро куба равно Найдите диагональ грани куба

№3. В прямой треугольной призме диагональ боковой грани равна а высота равна 1. Найдите площадь боковой и полной поверхности, объем призмы, если в ее основании лежит равносторонний треугольник.

Предварительный просмотр:

Практическая работа «Пирамида»

№1. Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 и боковым ребром 4. Найти боковую и полную поверхности, объем пирамиды.

№2. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 3 и углом между боковым ребром и основанием 30 градусов. Найти боковую и полную поверхности, объем пирамиды.

№3. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 3 и углом между боковой гранью и основанием 30 градусов. Найти объем пирамиды.

№1. Дана правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 3 и боковым ребром 4. Найти боковую и полную поверхности, объем пирамиды.

№2. Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 и углом между боковым ребром и основанием 45 градусов. Найти боковую и полную поверхности, объем пирамиды.

№3. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 3 и углом между боковой гранью и основанием 60 градусов. Найти объем пирамиды.

Предварительный просмотр:

Практическое занятие № 24 «Пирамида. Усеченная пирамида»

№1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны большего и меньшего оснований равны a и b , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол α. Найти высоту пирамиды и ее объем.

№2. Вычислить высоту и апофему правильной усеченной пирамиды

  1. треугольной, 2) четырехугольной, если стороны нижнего и верхнего оснований соответственно равны a и b , а боковое ребро с. Найти поверхность и объем пирамиды.

№1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см; каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см. Найдите высоту пирамиды.

№2. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 10 и 2 дм, а высота ее 2 дм. Найти боковое ребро пирамиды.

№3. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 24 и 8 см, а высота равна 15 см. найдите площадь полной поверхности.

№4. Основание пирамиды – ромб со стороной 15 см, каждая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45 0 . Вычислите объем пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 300 см 2 .

Практическое занятие № 24 «Пирамида. Усеченная пирамида»

№1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны большего и меньшего оснований равны a и b , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол α. Найти высоту пирамиды и ее объем.

№2. Вычислить высоту и апофему правильной усеченной пирамиды

  1. треугольной, 2) четырехугольной, если стороны нижнего и верхнего оснований соответственно равны a и b , а боковое ребро с. Найти поверхность и объем пирамиды.

№1. Основание пирамиды – треугольник со сторонами 20, 21 и 29 см. Боковые грани образуют с плоскостью основания углы в 45 градусов. Найдите высоту пирамиды.

№2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 36 см, апофема равна 45 см, а стороны оснований относятся как 1:4. Найдите эти стороны.

№3. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде площади оснований равны 25 и 9 кв.см, а боковое ребро образует с плоскостью нижнего основания угол 45 0 . Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

№4. Основание пирамиды- равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны равны 3 и 5 см, а боковая сторона равна 7см. высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а большее боковое ребро равно 10 см. вычислите объем пирамиды.

Предварительный просмотр:

Практическое занятие № 31 «Скалярное произведение векторов»

Цели: формирование навыков применения скалярного произведения векторов при решении задач.

Определение и свойства скалярного произведения векторов. Формула скалярного произведения в координатах, длины вектора. Условие перпендикулярности векторов. Определение угла между векторами, проекции вектора на оси.

  1. Является ли скалярное произведение двух векторов числом или вектором?
  2. Если заданы координаты векторов, и угол между ними, то по какой формуле можно найти их произведение?
  3. В каком случае скалярное произведение будет положительным числом?
  4. В каком случае скалярное произведение будет отрицательным числом?
  5. В каком случае скалярное произведение векторов равно нулю?

Варианты практической работы

Предварительный просмотр:

Уравнение (1) называется уравнением плоскости в векторной форме.

Если его записать в координатной форме, то получится уравнение

Которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Уравнение (2) можно переписать в виде Ax+By+Cz+D=0 , (3)

Где

уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.

Замечание: так как нормальный вектор – ненулевой, то коэффициенты A, B, C общего уравнения плоскости одновременно не равны нулю.

Уравнения прямой в пространстве

и называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

направляющим вектором прямой , а его координаты ( — направляющими коэффициентами прямой.

Если в уравнении (4) перейти к координатам векторов, то получаются параметрические уравнения прямой:

Если исключить из уравнений (5) параметр t, то получаются канонические уравнения прямой: (6)

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, т.е. прямая определяется совместным заданием системы двух линейных уравнений:

Уравнения (8) называют общими уравнениями прямой.

Задача 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку А(2; -3; -2)

Задача 5. Составить уравнения прямой, проходящей через точки А(1; -2; -1) и В (3; 0; 4).

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

Пусть заданы две прямые

Тогда условие параллельности этих прямых записывается в виде

Условие перпендикулярности — в виде

А угол между прямыми вычисляется по формуле

Задача 7. Вычислить острый угол между двумя прямыми

Угол между прямой и плоскостью

вычисляется по формуле

Условие параллельности прямой (*) и плоскости (**)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

(***)

Задача 8. Вычислите угол между прямой и плоскостью x+2y-3z+4=0

Пройти тест Скалярное произведение векторов

http://qrcoder.ru/code/?https%3A%2F%2Fforms.gle%2FYV13QZmS1CxjSoDfA&4&0

Домашнее задание: конспект, решить задачи

№1. Даны точки А(3; -2; -1), В(0; 0; 2), С(-3; 1; 0), В (-4; -2; 2,5). Укажите, какие из них принадлежат плоскости 2x-3y+4z-8=0.

Предварительный просмотр:

Практическое занятие № 27 «Простейшие задачи в координатах»

Цели: формирование навыков решения задач в координатах

Формула расстояния между двумя точками. Координаты вектора. Действия с векторами, заданными координатами. Разложение вектора по координатным векторам. Координаты середины отрезка.

Варианты практической работы

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Вопрос №1: Какая фигура является основанием цилиндра? а) Овал б) Круг в) Квадрат

Вопрос №2 : Чему равна площадь основания цилиндра с радиусом 2см? а) 4 π б) 8 π в) 4

Вопрос №3: Как называется отрезок отмеченный красным цветом? а) диагональ цилиндра б) апофема цилиндра в)образующая цилиндра

Вопрос №4: По какой формуле можно вычислить боковую поверхность цилиндра? а ) 2 π Rh б) 2 π R(h+R) в) π R 2 h

Вопрос № 5 : По какой формуле можно вычислить полную поверхность цилиндра? а) π R 2 h б) 2 π Rh в) 2 π R(h+R)

Вопрос №6: Вычислите боковую поверхность данного цилиндра. а) 15 π см 2 б) 30 π см 2 в) 48 π см 2 3см 5см 3см

Вопрос №7: Вычислите полную поверхность данного цилиндра. а) 32 π см 2 б) 24 π см 2 в) 16 π см 2 2см 6см

Вопрос № 8 : Чему равна площадь осевого сечения цилиндра радиуса 1см и образующей 3см? а) 6 см 2 б) 3 см 2 в) 6 π см 2 1см 3см

Правильные ответы: № вопроса ответ 1 б 2 а 3 в 4 а 5 в 6 б 7 а 8 а На оценку «5»- 8 правильных ответов. На оценку «4»- 6 — 7 правильных ответов. На оценку «3»- 5 правильных ответов. На оценку «2»- 4 и менее правильных ответов.

«konos» означает «сосновая шишка». Историческая справка о конусе

боковая (коническая) поверхность высота конуса ( РО ) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса ( r ) Элементы конуса B r образующие P

Конус – тело вращения Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета

Работаем в тетради: ОСНОВАНИЕ ВЕРШИНА ВЫСОТА h R РАДИУС ОБРАЗУЮЩАЯ L L h

Боковая поверхность конуса Если разрезать конус по образующей, то получим развертку конуса. L A B C S бок = π RL

Полная поверхность конуса R S полн =S бок +S осн S бок = π RL S осн = π R 2 S полн = π RL+ π R 2 S полн = π R(L+R)

Объем конуса А С О

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Найти R , H . А В С О

Найти R, H. А В С О

А О К С Найти ОК, Н. В

Работа с учебником №563

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым . Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца. Замечание:

Полная поверхность и объем усеченного конуса

Задачи 1. Прямоугольная трапеция с высотой 6 и основаниями 3 и 4 вращается вокруг высоты. Найти площадь поверхности тела вращения и объем.

Задачи 2. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 2 и углом при основании 60 градусов вращается вокруг своей оси. Найти поверхность и объем тела вращения.

Домашнее задание П.55, 56, 57, 70 № 548, 553, 571

Предварительный просмотр:

Практическая работа №30 «Цилиндр. Конус»

Выполнить по вариантам по списку: нечетные – 1 вариант, четные – 2. Задачи экзаменационные. Оформляем как положено. Не забывать чертеж, и так далее. Многие забывают писать ответ. Не лепите, пожалуйста строчки друг на друга, очень трудно проверять. И поярче цвет ручки используйте.

№1. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, объем.

№2. Прямоугольник со сторонами 3см и 8см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь боковой поверхности полученного тела вращения.

№3. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

№4. Равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 и углом при основании 30 градусов вращается вокруг медианы. Найти площадь поверхности и объем тела вращения.

№5. Равнобедренная трапеция с боковой стороной 5 и основаниями 1 и 7 вращается вокруг своей оси. Найти площадь поверхности и объем тела вращения.

№1. Осевое сечение цилиндра –квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания и объем.

№2. Прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь боковой и полной поверхности, объем полученного тела вращения.

№3. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом

= 30°. Найдите площадь основания и объем конуса.

№4. Равносторонний треугольник со стороной 4 вращается вокруг медианы. Найти площадь поверхности и объем тела вращения.

№5. Прямоугольная трапеция с высотой 4 и основаниями 3 и 6 вращается вокруг высоты. Найти площадь поверхности и объем тела вращения.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Окружность и круг d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус d – диаметр r Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью .

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). D О R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром. D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. т. О – центр сферы R

Шар Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара . Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Как изобразить сферу? 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу R О Изобразить видимую горизонтальную дугу 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7. Провести радиус сферы R

Уравнение сферы Зададим прямоугольную систему координат О xyz z х у М( х;у ;z ) R C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Построим сферу c центром в т. С и радиусом R МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 МС = R , или МС 2 = R 2 Следовательно, уравнение сферы имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Задача 2. Зная уравнение сферы ( x- 3 ) 2 + (y+ 2 ) 2 + z 2 =2 записать координаты центра и радиус сферы Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , то координаты центра данной сферы С(3;-2;0) и радиус R= Ответ: С(3;-2;0); R=

Взаимное расположение сферы и плоскости α C (0 ;0; d) х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α , совпадающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С , лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d — расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α . В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0 ;0; d) х у z O r М Рассмотрим 1 случай: d R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Задача 3. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. М К О R d Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α — секущая плоскость d = 9 дм Найти: r сеч ,

Решение: Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм ; ОК = 9 дм ; МК = r , r = R 2 — d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 — 9 2 = 16 81 — 81=1600 , отсюда r сеч = 4 0 дм =1600 Ответ. r сеч = 4 0 дм ; =1600

Площадь сферы и шара Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2

Объем шара радиуса R равен

Задача 4. Найти площадь поверхности и объем шара, радиуса 6 см . Дано: сфера R = 6 см Найти: S , V

Решение: S = 4 π R 2 S = 4 π 6 2 = 144 π см 2 V= V= Ответ: S = 144 π см 2 V

Задача 5 . Объем шара равен объему цилиндра, диаметры шара и цилиндра также равны. Выразить высоту цилиндра через радиус шара Дано: шар и цилиндр Выразить: высоту цилиндра через радиус шара

Задания для практической работы №29 «Шар и сфера» на сайте

ЕГЭ Профиль №14. Площадь сечения

При нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу \(\cos \phi = \frac>>>\) , где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, \(>\) — площадь его ортогональной проекции на плоскость β. Следовательно, площадь многоугольника, лежащего в плоскости α равна \(S = \frac>>>>.\)

а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 2.

2В. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD = 2 : 1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

5В. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом \(\) при вершине M. Образующая конуса равна \(2\sqrt 3 \) . Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.

б) Найдите площадь сечения.

6В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, который является сечением пирамиды SABC плоскостью α.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K — середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

10В. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M.

б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA1 = 6.

11В. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.

а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

12В. В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

13В. Через вершину S и диагональ BD основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF проведена плоскость α.

а) Докажите, что расстояние от центра основания до этой плоскости в три раза меньше расстояния до этой плоскости от точки F.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если сторона основания равна \(\sqrt 3 \) , а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \(\) .

14В. Плоскость α проходит через сторону AB основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и середину ребра B1C1.

а) Пусть M — точка пересечения плоскости α с прямой CC1. Докажите, что C1 — середина отрезка CM.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если все рёбра призмы равны 4.

15В. Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S и делит стороны AB и BC основания пополам.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.

16В. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD с вершиной в точке P. Через точку C и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость ? делит ребро BP в отношении 2 : 1, считая от точки B.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если известно, что PA = 10, AC = 16.

17В. В правильной шестиугольной пирамиде с вершиной S стороны основания ABCDEF равны 6, а боковые рёбра равны 12. Точки K и M — середины рёбер и SF и SE соответственно.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью BKM.

б) Найдите площадь полученного сечения.

а) Докажите, что эта плоскость проходит через середину ребра AB.

б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки M, N и K, делит ребро CC1 в отношении 2 : 7, считая от точки C.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью, если параллелепипед ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания ABCD равна \(4\sqrt 2 \) , а боковое ребро равно 12.

20В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение плоскостью, проходящей через середину M ребра AB, точку B1 и точку K, лежащую на ребре AC и делящую его в отношении AK : KC = 1 : 3.

а) Докажите, что эта плоскость проходит через середину ребра A1C1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна \(4\sqrt 2 \) , а высота призмы равна \(8\sqrt 2 \) .

21В. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости SAD.

б) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани SAD равна 16.

22В. Основанием пирамиды SABCD с равными боковыми рёбрами является прямоугольник ABCD. Плоскость α проходит через сторону AB основания и середину высоты пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если AB = 6, AD = 8, а высота пирамиды равна 6.

а) Докажите, что эта плоскость делит диагональ DB1 в отношении 3 : 5, считая от вершины D.

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 4.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 1 : 2, считая от вершины A.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 10 и BD = 8, а боковое ребро параллелепипеда равно 12.

25В. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Плоскость α проходит через прямую BC1 параллельно прямой AB1.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра AC.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если призма правильная, сторона её основания равна \(2\sqrt 3 \) , а боковое ребро равно 1.

26В. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь этой трапеции.

27В. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 10 на ребрах AD, BD и AC выбраны точки K, L и M так, что \(KD = 4,\;MC = 6,\;\;LD = 8.\) Плоскость, проходящая через точки K, L и M, пересекает ребро BC в точке P.

а) Докажите, что \(CP:PB = 9:1\) .

б) Найдите площадь четырехугольника MKLP.

28В. В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер МА и МВ проведена плоскость α, параллельная ребру МС.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения пирамиды МАВС плоскостью α.

29В. В правильной треугольной усеченной пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро СС1 в отношении 5 : 13, считая от вершины С1.

б) Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью α, если высота этой пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

30В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно \(\sqrt \) . На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 8, SK : KB = 7 : 3. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость α содержит точку C.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α.

а) BP – медиана треугольника ABC. SO – высота пирамиды.

Пусть \(CM \cap BP = H.\)

Выясним в каком отношении СМ делит ВО. По теореме Менелая:

Пусть \(BH = 3a,\) тогда \(HP = 12a\) и \(BP = 15a.\) Точка О является точкой пересечения медиан треугольника ABC, поэтому \(\frac>> = \frac\) . Следовательно, \(BO = \fracBP = \frac \cdot 15a = 10a\) и \(HO = BO — BH = 10a — 3a = 7a.\) Тогда: \(\frac>> = \frac>> = \frac.\) Так как \(\frac>> = \frac>> = \frac,\) то \(HK\parallel SO\) и \(HK \bot ABC.\) Следовательно, плоскость \(\alpha \) , проходящая через точки М и К перпендикулярно плоскости АВС, проходит через точку С, что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов из треугольника СВМ:

\(C = C + B — 2 \cdot CB \cdot BM \cdot \cos \)

\(CM = \sqrt + — 2 \cdot 9 \cdot 1 \cdot \frac\,> \,\,\,\,\, = \sqrt .\)

Тогда: \(> = \frac \cdot KH \cdot CM = \frac \cdot \frac \cdot \sqrt = \frac <<3\sqrt >>.\)

31В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 12, а сторона основания AB равна 6. В боковых гранях SAB и SAD провели биссектрисы AL и AM соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM делит ребро SC пополам.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *