Тела и поверхности вращения. Шар. Цилиндр. Конус
Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.
Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.
Читай эту статью, здесь все это есть.
Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!
Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
Вот самый простой пример: цилиндр.
Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.
А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.
Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.
Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.
Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.
Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.
Шар
Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.
Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)
Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.
Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:
«ну …там есть центр и радиус…», подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.
Ну, в общем, шар он и есть шар.
Названия, которые ты должен знать:
Незнакомое тебе, наверное, только одно.
Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.
Площадь поверхности сферы
Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.
Объем шара
Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.
Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:
И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!
Цилиндр
Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.
Вообще-то, полное имя этого тела – «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:
Основания у цилиндра – это круги
Еще у цилиндра есть так называемая развертка.
Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.
Что получится? Представь себе, прямоугольник.
Развертка цилиндра – прямоугольник.
Площадь боковой поверхности цилиндра
\( H\) – высота, она же образующая.
Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник \( 2\pi R\cdot H\).
Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому
Площадь полной поверхности цилиндра
Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем:
Можно вынести (хотя и не обязательно) \( 2\pi R\):
Но эту формулу неудобно запоминать!
Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда \( _>\) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что
Объем цилиндра
\( R\) – радиус основания \( H\) – высота
\( V=_>\cdot H\), только у призмы и параллелепипеда \( _>\) — это площадь многоугольника, а у цилиндра \( _>\) — это площадь круга.
Конус
Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».
Названия, относящиеся к конусу:
Что тут нужно твердо помнить?
Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.
У конуса тоже есть развертка.
Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?
Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна \( l\).
Развертка конуса – сектор круга радиуса \( l\)
Площадь поверхности конуса
Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.
По формуле площади сектора \( _>=^>\cdot \frac\) Где \( \alpha \) – угол при вершине в радианах.
И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса.
Но если все же даны только образующая и радиус основания, как быть?
Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна \( 2\pi R\).
С другой стороны, длина этой же дуги равна \( \alpha \cdot l\), так как это дуга окружности радиуса \( l\). Поэтому
\( \alpha \cdot l=2\pi R\)
\( R\) — радиус окружности основания,
\( l\) — длина образующей
Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем:
Можно вынести \( \pi R\):
Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.
Объём конуса
\( R\) – радиус основания \(
Это так же, как у пирамиды
\( _>\) — это не площадь многоугольника, а площадь круга.
А вот откуда взялась \( \frac\)?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта \( \frac\) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков.
А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта \( \frac\) и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!
Бонус: Вебинары по стереометрии из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой
В этом видео мы научимся «видеть» 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).
Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.
На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.
Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.
ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Добавить комментарий Отменить ответ
Один комментарий
Александр Кель :
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье: Мария
07 февраля 2018
Очень понятно, доступно Александр (админ)
07 февраля 2018
Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями! Евгений
05 марта 2018
Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная. Александр (админ)
05 марта 2018
Спасибо, Евгений! Заходи… ) Левон
09 мая 2018
Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе! Александр (админ)
09 мая 2018
Спасибо большое, Левон! Дилдора
18 мая 2018
Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться. Александр (админ)
18 мая 2018
Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать. Таня
18 июня 2018
Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам. Максим
23 мая 2019
Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема( Александр (админ)
23 мая 2019
Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо! Геннадий
31 июля 2019
А если образующая колонны — дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны? Алексей Шевчук
01 августа 2019
Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса). Геннадий
09 августа 2019
Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны — 256 модулей, верхний радиус — 14 модулей, а нижний — 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями — 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса. Алексей Шевчук
13 августа 2019
Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) — в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha. Геннадий
22 августа 2019
Здравствуйте, Алексей! Спасибо за ответ. Колонна, скажем так, выпуклая. Ее нижний радиус — наибольший, а верхний — наименьший. Локальных перепадов типа «+» — «-» — «+» нет. Мой вопрос (к сожалению) был не очень корректно сформулирован. Интересует не столь площадь боковой поверхности, сколько название этой поверхности (нечто вроде «шарового пояса»). Например «пояс эллиптического тора»?… Алексей Шевчук
25 августа 2019
Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур Геннадий
28 августа 2019
Спасибо. Это был вопрос корректной формулировки. Интересно, что когда полуоси исходного эллипса 65 и 1040, то его «тело» разбивается на 36 простых (последовательных) дуг с целочисленными координатами. KIZARU
24 октября 2019
Не лезьте в хип-хоп Александр (админ)
24 октября 2019
Хорошо. Не будем.
Не получается вращение сферы по оси Z
но столкнулся с ее поворотом по оси Z в зависимости от angle — угла поворота кастующего юнита. Собственно сабж — как это можно сделать, а то уже в который раз пытаюсь, а сфера либо остается в том же положении, либо ее форма искажается.
Скопировать в буфер
float x = GetUnitX(GetTriggerUnit()) float y = GetUnitY(GetTriggerUnit()) float angle = GetUnitFacing(GetTriggerUnit()) float j = 0 float i = 0 loop exitwhen j>=180 j+=15 loop exitwhen i>=360 i+=10 ES_Sphere sphere = ES_Sphere.create(0,0,0) sphere.x = x+ 150*Sin(j*bj_DEGTORAD)*Cos((i+angle)*bj_DEGTORAD) sphere.y = y+ 150*Cos(j*bj_DEGTORAD) sphere.z = 150+ 150*Sin(j*bj_DEGTORAD)*Sin((i+angle)*bj_DEGTORAD) endloop i=0 endloop Msey
67234 / 100000
Ответ
Doc:
Спасибо. Сделал через двухмерную матрицу поворота (тк поворачиваем только Х и У), и в итоге получили обычный поворот вектора и решение таково:
Скопировать в буфер
float newx = 150*Sin(j*bj_DEGTORAD)*Cos(i*bj_DEGTORAD) float newy = 150*Cos(j*bj_DEGTORAD) sphere.z = 150+ 150*Sin(j*bj_DEGTORAD)*Sin(i*bj_DEGTORAD) sphere.x = newx*Cos(angle*bj_DEGTORAD) - newy*Sin(angle*bj_DEGTORAD) + x sphere.y = newx*Sin(angle*bj_DEGTORAD) + newy*Cos(angle*bj_DEGTORAD) + y 
Если у кого-то получится упростить, то буду очень признателен.
Загруженные файлы
Просмотров: 2 699
- Все типы комментариев
- Обычный комментарий
- Рецензия на публикацию
- Заказ на работу
- Выполнение заказа
- Новости проекта!
- Вышла новая версия!
- Заявка на участие
Голосов: 3
Не в сети 188 дней
63163 / 65000
Doc — 6 лет назад
Голосов: 3
Ну самое простое это берем матрицу поворота 4х4 и запихиваем туда нужные углы. Затем каждую «точку» сферы умножаем на эту матрицу типа M * v(x, y, z, 1), получаем четырехмерный вектор, координату w выкидываем. Я не очень силен в 3д линейной алгебре.
Загруженные файлы
Голосов: 5
Не в сети 86 дней
67234 / 100000
Блог
Проекты :
Msey — 6 лет назад
Отредактирован Msey
Голосов: 5
Doc:
Спасибо. Сделал через двухмерную матрицу поворота (тк поворачиваем только Х и У), и в итоге получили обычный поворот вектора и решение таково:
Скопировать в буфер
float newx = 150*Sin(j*bj_DEGTORAD)*Cos(i*bj_DEGTORAD) float newy = 150*Cos(j*bj_DEGTORAD) sphere.z = 150+ 150*Sin(j*bj_DEGTORAD)*Sin(i*bj_DEGTORAD) sphere.x = newx*Cos(angle*bj_DEGTORAD) - newy*Sin(angle*bj_DEGTORAD) + x sphere.y = newx*Sin(angle*bj_DEGTORAD) + newy*Cos(angle*bj_DEGTORAD) + y Если у кого-то получится упростить, то буду очень признателен.
Загруженные файлы
Голосов: 0
Не в сети 188 дней
63163 / 65000
Doc — 6 лет назад
Голосов: 0
Нечего упрощать, это стандартная формула поворта двумерного вектора.
Загруженные файлы
Голосов: 0
Не в сети 86 дней
67234 / 100000
Блог
Проекты :
Msey — 6 лет назад
Голосов: 0
Загруженные файлы
Голосов: 2
48667 / 65000
Блог
Проекты :
МрачныйВорон — 6 лет назад
Голосов: 2
Msey, красота получилась
Загруженные файлы
Голосов: 1
129974 / 150000
Блог
Проекты :
Берги — 3 года назад
Отредактирован N7 Molot
Голосов: 1
Так и как сферу вращать то в итоге?
Вот сделал на луа и эффектах, но чёт итог не ясен
Скопировать в буфер
local x = GetUnitX(GetTriggerUnit()) local y = GetUnitY(GetTriggerUnit()) local angle = GetUnitFacing(GetTriggerUnit()) local k = 0 for j = 0, 180, 15 do for i = 0, 360, 10 do k = k + 1 local eff = AddSpecialEffect("Units\\Creeps\\MurgulReaver\\MurgulReaver", 0, 0) BlzSetSpecialEffectYaw(eff, math.rad(angle)) --local nx = x + 150 * Sin(j * bj_DEGTORAD) * Cos((i + angle) * bj_DEGTORAD) --local ny = y + 150 * Cos(j * bj_DEGTORAD) --local nz = 600 + 150 * Sin(j * bj_DEGTORAD) * Sin((i + angle) * bj_DEGTORAD) local newx = 150 * Sin(j * bj_DEGTORAD) * Cos(i * bj_DEGTORAD) local newy = 150 * Cos(j * bj_DEGTORAD) local nz = 600 + 150 * Sin(j * bj_DEGTORAD) * Sin(i * bj_DEGTORAD) local nx = newx * Cos(angle * bj_DEGTORAD) - newy * Sin(angle * bj_DEGTORAD) + x local ny = newx * Sin(angle * bj_DEGTORAD) + newy * Cos(angle * bj_DEGTORAD) + y BlzSetSpecialEffectPosition(eff, nx, ny, nz) end end print(k .. " всего Эффектов") --481 Положительные и отрицательные магнитные силы, положительные и отрицательные электрические силы. Гравитация. Колесо сансары Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»
Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Алиев Андрей Сабирович
В каждом виде небесных сфер существуют свои «кирпичики», или «малые сферы», из которых эти сферы и построены. Эти «кирпичики» могут быть заряжены «положительным» или «отрицательным» электрическим зарядом, а также намагничены «положительной» или «отрицательной» магнитной силой. Электромагнитные силы любой сферы создают в ней гравитацию .
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по философии, этике, религиоведению , автор научной работы — Алиев Андрей Сабирович
Электрическая полярность, магнитная полярность. Явление гравитации. Колесо сансары
Солнцестояние, суточное движение Земли, сферы созвездий
Причина годовых движений планет
Материя и энергия
Интеграция наук или конвергенция
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Текст научной работы на тему «Положительные и отрицательные магнитные силы, положительные и отрицательные электрические силы. Гравитация. Колесо сансары»
6. Учение махатм. Сборник. Издательство Духовной литературы Сфера. Москва, 2000. 301 с.
7. Свифт Джонатан. Путешествия Гулливера. РИЦ Литература Мир книги. МОСКВА, 2006. 448 с.
8. Холл Мэнли Палмер. Энциклопедическое изложение масонской, герметической, каббалистической и розенкрейцеровской символической философии. ЭКСМО. Москва. МИДГАРД Санкт-Петербург, 2007. 864 с.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАГНИТНЫЕ СИЛЫ, ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ. ГРАВИТАЦИЯ. КОЛЕСО САНСАРЫ
Алиев Андрей Сабирович — менеджер, ООО «Руичи», г.Москва
Аннотация: в каждом виде небесных сфер существуют свои «кирпичики», или «малые сферы», из которых эти сферы и построены. Эти «кирпичики» могут быть заряжены «положительным» или «отрицательным» электрическим зарядом, а также намагничены «положительной» или «отрицательной» магнитной силой. Электромагнитные силы любой сферы создают в ней гравитацию. Ключевые слова: электрическая эклиптика, магнитная эклиптика, положительные и отрицательные магнитные и электрические силы, гравитация, колесо сансары.
Почему у магнитов существует только два полюса? Почему магниты притягиваются друг к другу разноимёнными сторонами и отталкиваются одноимёнными сторонами? Почему существует «положительное» и «отрицательное» электричество? Дело в том, что любой вид сферы, а точнее её центральный объект, вращением вырабатывает энергию (сфера атома; сфера электрона; планетная сфера; звёздная сфера; сфера созвездия; сфера галактики; сфера вселенной и т.д.). Эта энергия состоит из двух своих составляющих: электрической и магнитной сил. Электрическая сила разделяет сферу на две половины: левую и правую, причём разделителем является электрическая эклиптика. По левой стороне сферы сквозь материю проходят сверху вниз «положительные» потоки электрической силы. По правой стороне сферы сквозь материю проходят снизу вверх «отрицательные» потоки электрической силы. Магнитная сила разделяет сферу на свои две половины: верхнюю и нижнюю, разделителем является магнитная эклиптика. По нижней стороне сферы сквозь материю слева направо проходят «положительные» потоки магнитной силы. По верхней стороне сферы сквозь материю проходят справа налево «отрицательные» потоки магнитной силы. Электромагнитные силы создают и задают гравитацию со всеми своими отличительными особенностями в каждой отдельно взятой сфере.
«Дух (или Сознание) и Материя, тем не менее, должны быть рассматриваемы не как независимые реальности, но как два символа, или аспекта Абсолюта, Парабрамана, составляющего основу обусловленного Бытия, субъективного или объективного.
Рассматривая эту метафизическую триаду как Корень, из которого исходит всё проявление, Великое Дыхание принимает характер Пре-Космической Мысле-основы. Это есть /от origo Силы, так же как и всего индивидуального Сознания, и снабжает руководящим разумом в обширной задаче космической Эволюции. С другой стороны, Пре-Космическая Корень-Субстанция (Мулапракрити) является тем аспектом Абсолюта, который лежит в основании всех объективных планов бытия.
Как Пре-Космическая Мысле-основа есть корень каждого индивидуального Сознания, так Пре-Космическая Субстанция является субстратом Материи в различных стадиях дифференциации.
Отсюда очевидно, что противоположение этих двух аспектов Абсолюта необходимо для существования Проявленной Вселенной. Независимо от Космической Субстанции Космическая Мысле-основа не могла бы проявиться как индивидуальное Сознание, ибо сознание развивается, как «Я есмь Я», только через проводника (упадхи) материи, физическое основание, будучи необходимым для средоточия Луча Космического Разума при достижении известной сложности. В свою очередь, отделённая от Космической Мысле-основы, Космическая Субстанция осталась бы пустой отвлечённостью, и никакое возникновение Сознания не могло бы произойти.
Потому Проявленная Вселенная исполнена двойственности, которая является как бы самой сутью её Проявленного Существования. Но именно, как противоположные полюсы Субъекта и Объекта, Духа и Материи являются только аспектами Единства, в котором они синтезированы, так и в Проявленной Вселенной имеется «то», что связывает Дух с Материей, Субъекта с Объектом.
Это нечто, неизвестное пока умозрению Запада, называется оккультистами Фохатом. Это есть «мост», посредством которого Идеи, существующие в Божественной Мысли, запечатлеваются на Космической Субстанции как Законы Природы. Фохат, таким образом, является динамической энергией Космической Мысле-основы. Рассматривая же его с другой стороны, он — разумный посредник, руководящая сила всех проявлений, Божественная Мысль, переданная и проявленнаяДхиан-Коганами, Строителями видимого Мира. Так от Духа, или Космической Мысле-основы, происходит наше Сознание, от Космической Субстанции те несколько проводников, в которых сознание это индивидуализируется и достигает до самосознания — или размышляющего -сознания. Между тем, как Фохат, в его различных проявлениях, является таинственным звеном между Разумом и Материей, животворящим принципом, электризующим каждый атом к жизни» [1, с. 71].
Положительные и отрицательные магнитные силы, положительные и отрицательные электрические силы.
Почему у магнита две стороны, одна из которых притягивает другой магнит, а другая отталкивает. Почему их не три, не четыре, а именно две. Что такое положительное и отрицательное электричество и причины появления разноимённых зарядов? Для того чтобы разобраться в этих вопросах мы снова будем рассматривать две силы энергии Земли: магнитную и электрическую.
Рис. 1. Отрицательные и положительные силы
Посмотрите на рисунок 1. «С того времени, как Фохат пересёк Круг, подобно двум линиям пламени (горизонтально и вертикально), Воинства Благословенных никогда не переставали посылать своих представителей на Планеты, которые от начала они должны охранять» [2, с. 681].
Дело в том, что, хотя электрическая сила и проходит по электрической эклиптике, она всеми силами стремится к экватору, прикладывая к этому все свои силы. Но мешает этому объединению электрической эклиптики с электрическим экватором магнитная сила. Поэтому всегда существует не только взаимодействие электрической и магнитной сил, но одновременно и противодействие этих сил друг другу.
Как магнитная сила изо всех сил отталкивает электрическую эклиптику от электрического экватора, так и электрическая сила как можно сильнее отталкивает магнитную эклиптику от магнитного экватора.
«Огдоад, или Восемь, символизирует вечное и спиральное движение циклов
«Это именно то, что утверждает оккультизм и на основании того же принципа, по которому: «Где сила противопоставляется силе и производит статическое равновесие, существовавшее раньше равновесие нарушается, и начинается новое движение, эквивалентное тому количеству его, которое перешло в стадию потенциальности». Этот процесс имеет промежутки во время Пралайи, но вечен и непрерывен, как «Дыхание», даже когда проявленный Космос отдыхает» [1, с. 639].
Обе эти силы мешают друг другу проходить по своим экваторам. В результате этого электрическая эклиптика в левом полушарии не только отталкивается магнитной силой от своего экватора, но и отклоняется в сторону от оси электрического экватора. Электрическая эклиптика в правом полушарии также отталкивается магнитной силой от своего экватора, но отклоняется от оси экватора в противоположную сторону относительно электрической эклиптики левого полушария. Именно отклонения электрической эклиптики влево и вправо относительно оси электрического экватора и являются одной из причин появления положительных и отрицательных электрических зарядов. Поток электричества в левом полушарии, движущийся сверху вниз, так и закручивается сверху вниз и слева направо. В правом полушарии электрический поток, движущийся снизу вверх, закручивается снизу вверх и слева направо, что является второй причиной появления разноимённых зарядов. Два разнонаправленных электрических потока как бы разгоняют друг друга. Так же разгоняют друг друга и два разнонаправленных магнитных потока. Разнонаправленное движение электрических потоков и отклонение их в разные стороны относительно оси электрического экватора и создаёт явление отрицательных и положительных зарядов электричества.
Всё в полной мере касается и магнитных потоков. Поэтому два магнита, расположенные друг к другу разноимёнными зарядами, положительным и отрицательным, притягиваются друг к другу, оба стремятся к своему магнитному экватору, помогая друг другу. Два магнита, направленные друг к другу одноимёнными зарядами, которые оба положительные, или отрицательные, отталкиваются друг от друга.
При разделении энергии Земли на свои составляющие (электрическая и магнитная силы) создаётся разнонаправленное непрерывное движение электрических и магнитных потоков вдоль электрической и магнитной эклиптик. При этом наэлектризованные электрической силой атомы левого полушария имеют другую электрическую полярность по отношению к наэлектризованным атомам правого полушария. Это означает, что разноимённо заряженные левое и правое полушария притягиваются друг к другу электрической силой. Намагниченные магнитной силой атомы дневной стороны Земли имеют другую магнитную полярность по отношению к атомам ночной стороны Земли. Это означает, что разноимённо намагниченные атомы дневного и ночного полушарий Земли притягиваются друг к другу в районе магнитной эклиптики магнитной силой. Как бочку скрепляют железные обручи, так и Землю скрепляют «электрический обруч» по электрической эклиптике Земли и
«магнитный обруч» по магнитной эклиптике Земли. Это ещё один вид работы, выполняемый электрической и магнитной силами, ещё один из «законов сфер».
«. — так и Фохат одна вещь в ещё непроявленной Вселенной и другая — в феноменальном и Космическом Мире. В последнем он является той оккультной, электрической, жизненной мощью, которая Волею Творца-Логоса объединяет и собирает все формы, давая им первый импульс, который со временем становится законом. . Троичный Единый дифференцируется во «Множества», и тогда Фохат превращается в ту силу, которая привлекает основные атомы и заставляет их собираться и сочетаться. Итак, Фохат есть олицетворённая электрическая, жизненная сила, трансцедентальное объединяющее единство всех космических энергий как на невидимом, так и на проявленных планах, действие которой уподобляется — в необъятном масштабе — действию живой Силы, созданной Волею, в тех феноменах, где кажущееся субъективным воздействует на кажущееся объективным и устремляет его к действию. Фохат не только живой Символ и Вместитель этой Силы, но рассматривается оккультистами как Сущность, ибо Силы, на которые он воздействует, являются космическими и земными и соответственно оказывают своё влияние на всех этих планах. На земном плане его влияние ощущается в магнитной и активной силе, порождённой сильною волею магнетизёра. На космическом он присущ созидательной силе, которая при формировании вещей — от планетной системы до светляка и полевой маргаритки -выполняет план, хранящийся в Разуме Природы или в Божественной Мысли для развития и роста каждой особой вещи. Метафизически он есть объективированная Мысль Богов, «Слово, ставшее плотью» на низшей ступени, и посланник космического и человеческого Представления; активная, действенная сила в жизни Вселенной. В своём втором аспекте Фохат есть Солнечная Энергия, электрический жизненный флюид и охраняющий Четвёртый Принцип, Животная Душа Природы, так сказать, или — электричество. . Имя Вишну происходит от корня -«Всепроникать», и Фохат также называется «Всепроникающим» и Формовщиком, потому что он формирует атомы из сырого материала» [1, с. 173].
Наступают периоды, когда планета становится настолько эфирной, что практически перестаёт вращаться из-за слабых, а поэтому медленно вращающихся электрических и магнитных потоков. Ведь чем плотнее становится материя, тем большая часть энергии разделяется на свои составляющие: электрическую и магнитную силы и наоборот. При уплотнении среды сила и скорость вращения электрических и магнитных потоков возрастает, при разуплотнении среды сила и скорость вращения электрических и магнитных потоков уменьшается.
Разница между эллиптическими и спиральными галактиками только лишь в возрасте. Все галактики, как и любые другие виды сфер — сферичные, даже немного напоминающие куриное яйцо. Вытянутость Земли, да и всей земной сферы, как и любой другой сферы, в районе электрической эклиптики вызвано вращением Земли. Чем моложе галактика, тем сильнее её сжатие магнитным полем, тем уже она выглядит сбоку, тем больше её скорость вращения электрическим полем. С увеличением возраста галактики, её магнитные и электрические силы слабеют. Магнитная сила уже не так сильно вращается и не так сильно отталкивает всю материю галактики от магнитной эклиптики. И вся материя, которая в молодые годы галактики находилась в районе электрической эклиптики, начинает расширяться по направлению к полюсам. Но и ослабленная электрическая сила медленнее вращается, а значит медленнее вращается вся сфера галактики, или всё тело галактики. Именно возраст является причиной трансформации форм галактик. Великие астрономические умы нашего времени объясняют разницу между спиральными и эллиптическими галактиками следующим образом: когда-то очень давно миллионы и миллионы лет назад рождались эллиптические галактики, рождаясь именно эллиптическими. А сейчас почему-то рождаются спиральные галактики. Это примерно такое же объяснение, как объяснение
того, почему на Земле живут пожилые люди и дети. Когда-то очень давно, семьдесят и восемьдесят лет назад рождались дедушки и бабушки, рождаясь именно дедушками и бабушками. Сейчас почему-то рождаются дети.
А почему наши планеты находятся в одной плоскости внутри солнечной сферы? И на этот вопрос Вам не ответит ни один астроном. Магнитная эклиптика тела Солнца отталкивает от себя всю материю. Ну а вращает наши планеты, а точнее солнечную сферу, или тело Солнца электрическая сила энергии Солнца по электрической эклиптике Солнца — законы сфер одинаковы.
Когда наступает время умирания физических планет, ослабевшие электрические и магнитные силы, или «обручи» уже не могут удержать материю планеты. Материя планеты просто распадается на отдельные фрагменты и опоясывает звезду в виде змеи (отсюда и символ змеи, расположенной по окружности и кусающей свой хвост) на своей же орбите. Да и сами атомы, скреплённые электрической и магнитной силами, при их ослаблении, распадаются на электроны. Физическая планета, или «личность» умерла, но её тонкое тело, или «индивидуальность» продолжает жить. Это время есть Ночь Брамы. Через 4.32 миллиарда лет по окончании Ночи Брамы наступает Утро Брамы, или время рождения новых физических планет нашей Вселенной внутри звёздных сфер на «дневной стороне» Брамы, или на дневной стороне нашей Вселенной (хотя дневная сторона Брамы на самом деле является его ночной стороной). Как и у Земли у нашей Вселенной есть дневная и ночная стороны (над Брамой расположен Парабраман по имени Агни, или тримурти Агни-Вайю-Сурья). Когда на одной стороне Земли наступает ночь, её жители ложатся спать. В это время на другой стороне Земли начинается утро, люди просыпаются и занимаются своими делами. Когда на одной стороне нашей Вселенной наступает Утро, или Утро Брамы, Брама в это время представлен в виде бога Вишну, в сферах звёзд рождаются планеты из ранее растворённого вещества, к которым подключаются их «индивидуальности», или тонкие тела. Затем наступает День Брамы, это время жизни планетных миров. Далее наступает Вечер Брамы, или время разрушения планетных миров. В это время Брама представляет собой бога Шиву, бога разрушителя планетных миров. И когда на одной стороне нашей Вселенной наступает Ночь Брамы, на другой стороне нашей Вселенной наступает Утро Брамы, время рождения планетных миров на второй половине сферы нашей Вселенной.
Каждый небесный объект (планета, звезда, центр созвездия, центр галактики и т.п.) вырабатывает свою энергию вращением. Эта энергия, выходя из центра объекта наружу и проходя сквозь материю, разделяется на свои составляющие: электрические и магнитные поля, или потоки. Электрические потоки Земли, распространяющиеся от электрической эклиптики влево и вправо, заполняют собой как два полушария Земли, левое и правое, так и два полушария всей земной сферы.
Атомы левого полушария земной сферы, заряженные электрическими «положительными» зарядами при прохождении электрических потоков сверху вниз
Атомы правого полушария земной сферы, заряженные электрическими «отрицательными» зарядами при прохождении электрических потоков сннзу вверх
Рис. 2. Электрические потоки в левом и правом полушариях земной сферы
Электрические потоки левого полушария, проходя сквозь материю земной сферы сверху вниз, при трении об атомы, заряжают их электричеством одной полярности. Электрические потоки правого полушария, проходя сквозь материю земной сферы снизу вверх, при трении об атомы, заряжают их электричеством другой полярности.
Атомы, заряженные электрическими потоками левого полушария, назовём «положительно» заряженными. Атомы, заряженные электрическими потоками правого полушария, назовём «отрицательно» заряженными. Тогда электрические потоки левого полушария, пронизывающие как Землю, так и всю земную сферу, доходящие до пределов земной сферы, назовём «положительными электрическими потоками». Электрические потоки правого полушария, пронизывающие как Землю, так и всю земную сферу, доходящие до пределов земной сферы назовём «отрицательными» электрическими потоками. Два вида этих электрических потоков, вместе с атомами обоих полушарий, заряженными разноимёнными электрическими зарядами, притягиваются друг к другу в районе электрической эклиптики, скрепляя и удерживая земную сферу электрической силой. Назовём временно это явление «электрической гравитацией». В то же время разноимённые магнитные потоки не дают двум разноимённым электрическим потокам объединиться в районе электрического экватора, противодействуя всеми своими силами.
«Древние западные космогонические мифы утверждают, что вначале был лишь холодный туман (Отец) и плодоносный ил (Матерь Пив или Ну1е), из которого выполз Мировой Змий (Материя). Таким образом, Предвечная Материя прежде, чем она уявляется из никогда непроявляемого плана и пробуждается к трепету действия под импульсом Фохата, есть лишь «холодное сияние, бесцветное, не имеющее ни формы, ни вкуса и лишённое всякого качества и аспекта». Таковы даже её Первородные «Четыре Сына», которые «Едины и становятся Семью» — Сущности, качествами и именами которых восточные оккультисты обозначили четыре из семи космических первичных «Центров Силы» или Атомов, развившихся впоследствии в великие
Космические «Элементы», ныне разделённые на известные науке семьдесят или около того субэлементов. Четыре «Первичные Природы» первых Дхиан-Коганов, суть так называемые (за недостатком лучших терминов) «Акашная», «Эфирная», «Водная» и «Огненная». Они соответствуют в терминологии практического Оккультизма научным определениям газов, которые, чтобы яснее передать мысль как оккультистам, так и непосвящённым, могут быть определены как параводородный (Пара даёт силу запредельную, извне), паракислородный, кислородно-водородный, озонический или, может быть азотно-озонический; эти силы, или газы (сверхчувственные, но всё же атомистические субстанции в Оккультизме) становятся особо действительными и активными, действуя на плане более грубо-дифференцированной материи. Эти элементы одновременно электроположительны и электро-отрицательны. Эти и многие другие, вероятно, и есть недостающие звенья химии» [1, с. 144].
Два разнонаправленных магнитных потока земной сферы разделены магнитной эклиптикой. Магнитные потоки верхней половины земной сферы (по отношению к Солнцу), проходя сквозь материю земной сферы слева направо, намагничивают атомы магнитной силой одной полярности. Магнитные потоки нижней половины земной сферы, проходя сквозь материю земной сферы справа налево, намагничивают атомы магнитной силой другой полярности.
Атомы верхней половины земной сферы, намагниченные магнитными «отрицательными» потоками при прохождении магнитных потоков слева направо
Атомы нижней половины земной сферы, намагниченные магнитными «положительными» потоками при прохождении магнитных потоков справа налево
Рис. 3. Магнитные потоки верхнего и нижнего полушарий Земной сферы
Атомы, заряженные магнитными потоками, проходящими по нижней половине земной сферы, назовём «положительно» заряженными магнитной силой. Атомы, заряженные магнитными потоками, проходящими по верхней половине земной сферы, назовём «отрицательно» заряженными магнитной силой. Магнитные потоки, проходящие по нижней половине земной сферы, пронизывающие как Землю, так и всю земную сферу и доходящие до пределов земной сферы, назовём «положительными» магнитными потоками. Магнитные потоки, проходящие по верхней половине земной сферы, пронизывающие как Землю, так и всю земную сферу
и доходящие до пределов земной сферы назовём «отрицательными» магнитными потоками. Два вида этих магнитных потоков вместе с намагниченными «положительно и отрицательно» атомами обоих полушарий притягиваются друг к другу в районе магнитной эклиптики, скрепляя и удерживая земную сферу магнитной силой. Назовём временно это явление «магнитной гравитацией». В то же время разноимённые электрические потоки «положительные и отрицательные» не дают двум разноимённым магнитным потокам объединиться в районе магнитного экватора, противодействуя всеми своими силами.
«Имейте ввиду, что Фохат, созидающая Сила Космического Электричества, возник, говоря метафорически, подобно Рудре из головы Брама, из «Мозга Отца и Лона Матери», и затем сам преобразился в два начала, мужское и женское, т.е. в положительное и отрицательное электричество. Он имеет Семь Сыновей, которые являются его Братьями. Фохат принужден рождаться время от времени, каждый раз, как двое из его «Сынов-Братьев» слишком приблизятся друг к другу, будет ли то для объятия или же для сражения; чтобы избежать этого, он соединяет и связывает вместе тех, кто различен по природе, и разъединяет тождественных по темпераменту. Это, как каждому ясно, относится, конечно, к электричеству, порождённому от трения, и к закону притяжения между двумя объектами различной полярности и отталкиванию между принадлежащими к одинаковой полярности. Семь Сыновей-Братьев представляют и олицетворяют семь форм космического магнетизма, именуемые в Практическом Оккультизме «Семью Началами», активным и сотрудничающим потомством которых, среди других энергий, являются электричество, магнетизм, звук, свет, теплота, сцепление и т.д. Оккультная Наука определяет всех их как сверхчувственные следствия в их скрытых воздействиях и как объективные феномены в мире чувств». [1, с. 214].
Наша земная сфера, как и любая другая небесная сфера вплоть до Абсолюта, разделена на четыре части электрической и магнитной эклиптиками. А это значит, что в любой небесной сфере, построенной из своего вида «кирпичиков» (планетные сферы построены из «кирпичиков» — атомов, или из сфер атомов; сферы звёзд построены из сфер электронов) существует четыре вида разнозаряженных электромагнитной силой «кирпичиков». В каждой из четырёх частей Земной сферы, разделённой электрической и магнитной эклиптиками, расположены атомы, имеющие свой электромагнитный заряд, отличный от атомов, расположенных в других частях земной сферы:
1. атомы, «заряженные» положительной электрической силой и намагниченные положительной магнитной силой;
2. атомы, «заряженные» положительной электрической силой и намагниченные отрицательной магнитной силой;
3. атомы, «заряженные» отрицательной электрической силой и намагниченные положительной магнитной силой;
4. атомы, «заряженные» отрицательной электрической силой и намагниченные отрицательной магнитной силой.
Электромагнитная гравитация, воздействие которой мы ощущаем, состоит из двух своих составных половин: электрической и магнитной. Создаётся и поддерживается земная гравитация энергией, которую Земля вырабатывает своим вращением.
Рис. 4. Четыре вида намагниченности и наэлектризованности атомов в четырёх частях
Из Википедии. Большие космические объекты — планеты, звезды и галактики имеют огромную массу и, следовательно, создают значительные гравитационные поля.
Гравитация — слабейшее взаимодействие. Однако, поскольку оно действует на любых расстояниях, и все массы положительны, это, тем не менее, очень важная сила во Вселенной. В частности, электромагнитное взаимодействие между телами в космических масштабах мало, поскольку полный электрический заряд этих тел равен нулю (вещество в целом электрически нейтрально).
Также гравитация, в отличие от других взаимодействий, универсальна в действии на всю материю и энергию. Не обнаружены объекты, у которых вообще отсутствовало бы гравитационное взаимодействие.
Из-за глобального характера гравитация ответственна и за такие крупномасштабные эффекты, как структура галактик, черные дыры и расширение Вселенной, и за элементарные астрономические явления — орбиты планет, и за простое притяжение к поверхности Земли и падения тел.
Раздел механики, изучающий движение тел в пустом пространстве только под действием гравитации, называется небесной механикой.
В этих нескольких фразах собрано достаточное количество глупостей и нелепостей, показывающих уровень современной теоретической науки. Нет никакой неведомой гравитационной энергии, которая собой заполняет весь космос. Гравитация любой сферы возникает при вращении центрального объекта сферы и выработки им электромагнитной энергии. При прохождении двух электрических и двух магнитных потоков сквозь материю сферы, происходит «заряжение» «кирпичиков», из которых построена сфера, электрической силой и их намагничивание магнитной силой. Разноимённо заряженные и намагниченные «кирпичики-сферы» четырёх частей сферы, разделённых электрической и магнитной эклиптиками, притягиваются друг к другу.
У каждой небесной сферы, при вращении её центрального объекта и выработки им энергии, создаётся и поддерживается своя собственная гравитация. Гравитации любой
сферы вне пределов её сферы, или её тела не существует. Гравитация любой сферы находится в пределах данной сферы и является одной из её характеристик.
Чёрных дыр не существует. Нет никакого расширения Вселенной, а есть её попеременное уплотнение и разуплотнение в течение всей её жизни, как и у любой другой сферы. Никакого отношения к орбитам планет гравитация не имеет. Структура галактик зависит от её возраста и от характеристик её электрических и магнитных сил. Никакого глобального характера у гравитации не существует. Раздел механики — небесная механика изучает движение тел в пустом пространстве под действием гравитации — это идиотизм в чистейшем виде. В пустом пространстве не может быть гравитации, да и пустых пространств в космосе не существует. Гравитация не имеет никакого отношения к порядку и расположению сфер в космическом пространстве. У каждой сферы своя гравитация, свой звук, свой свет, своё время. Только у первых двух видов сфер нет времени. А у первой сферы — Абсолюта нет даже света, а есть только звук, ведь над ним нет более верхних объектов, могущих дать ему свет и время.
Электрические и магнитные силы помимо всего прочего создают гравитацию внутри небесных сфер и к тому же удерживают эти тела, или небесные сферы в своих размерах и формах, не давая им сверх меры ни увеличиваться, ни сжиматься. Чем больше отклоняются магнитная и электрическая эклиптики от своих экваторов какой-либо сферы, тем большее взаимодействие происходит между электромагнитными силами данной сферы и материей, тем большее влияние они оказывают на процессы, проходящие в данной сфере, при этом увеличивается сила гравитации в данной сфере.
Практически все якобы научные открытия и теории в астрофизике, за некоторым исключением, за последние четыреста лет никакого отношения к науке не имеют. При этом великие космические знания — «Тайная доктрина», данные человечеству свыше при помощи Елены Петровны Блаватской, махатмы Мория и махатмы Кут Хуми, вот уже более 140 лет поливаются грязью и не допускаются к изучению в школах и институтах материалистами и атеистами, почему-то представляющими собой современную теоретическую науку.
«Вселенная есть периодическое проявление этой неизвестной Абсолютной Сущности. . Вселенная со всем в ней сущем называется Майей, ибо всё в ней временно, от мимолётной жизни светляка до жизни Солнца. . Всё в этой Вселенной, во всех её царствах, обладает сознанием; то есть одарено сознанием, присущим его виду и на его плане познавания. . Весь Космос руководим, контролируем и одушевляем почти бесконечными сериями Иерархий, сознательных Существ, из которых каждая имеет предназначенную миссию и кто — дадим ли мы им то или иное наименование, назовём ли мы их Дхиан-Коганами, или Ангелами -суть «Вестники», лишь в том смысле, что они являются посредниками Кармических и Космических Законов. . Главною трудностью, не допускающих учёных уверовать в божественных духов, так же как и в духов природы, является их материализм. . Во Вселенной есть лишь одно неделимое и абсолютное Всеведение и Разум, и оно трепещет в каждом атоме, малейшей точке Космоса, не имеющего пределов и который люди называют Пространством, рассматривая его независимо от всего содержимого в нём. . В то время как общество в своём невежестве слепо принимает всё, что исходит от «авторитетов», и считает своим долгом рассматривать каждое утверждение, исходящее от человека науки, как доказанный факт, — это общество, говорим мы, приучено издеваться над всем, что исходит из «языческих» источников» [1, с. 361].
«Подобно самой Вселенной, наука есть нечто вечно становящееся и никогда не сможет сказать — «Я есмь то, что я есмь». С другой стороны, Оккультная Наука хранит свои неизменные традиции от доисторических времён. Она может ошибаться в частностях, но она никогда не может стать повинной в ошибке в вопросах Вселенского Закона просто потому, что эта Наука, которую философия справедливо называет божественной, родилась на высших планах и была принесена
на Землю Существами, которые были мудрее, чем человек будет даже в Седьмой Расе своего Седьмого Круга» [1, с. 665].
Сила гравитации, создающаяся на Земле, да и во всей земной сфере электрическими и магнитными силами зависит от многих факторов. Чем больше диаметр планеты, тем сильнее гравитация. Чем плотнее материя физической Земли и всей земной сферы, тем большее количество энергии, вырабатываемой Землёй, разделяется на свои составляющие — электрические и магнитные потоки. При увеличивающейся плотности Земли увеличивается взаимодействие между атомами земной сферы и электромагнитными силами. Скорость вращения земной сферы возрастает. Возрастает и мощность сжатия Земли и земной сферы по терминатору, или по магнитной эклиптике, растёт и сила гравитации. При разуплотнении Земли и всей земной сферы происходит обратное явление, при котором влияние электромагнитных сил на земную сферу уменьшается. Земля, а вместе с ней вся земная сфера, становится более эфирной, или разряжённой, увеличивается в размерах, замедляется скорость вращения Земли вокруг своей оси по электрической эклиптике, уменьшается сила сжатия Земли по магнитной эклиптике, уменьшается сила гравитации. Чем больше диаметр планеты, тем сильнее гравитация.
В чём причина уплотнения и разуплотнения Земли? Это вызвано годовыми движениями как Земли по направлению к своему центральному объекту сферы -Солнцу и обратно, так и годовыми движениями более верхних объектов. Когда Земля удаляется на своё максимальное расстояние от Солнца, на южном полюсе фиксируется максимально низкая температура, более 80 градусов ниже нуля. Когда Земля максимально приближается к Солнцу, на северном полюсе фиксируется отрицательная температура чуть более 60 градусов ниже нуля. Годовая орбита земной сферы в виде восьмёрки направлена к Солнцу. Длина этой восьмёрки, или годовой орбиты Земли по направлению к Солнцу и обратно составляет пять миллионов километров. В течение земного года не только, то уменьшается, то увеличивается средняя температура тела Земли при удалении Земли от Солнца и приближении к нему, но изменяется сила электромагнитных потоков Земли, или их плотность; изменяется скорость вращения электромагнитных потоков Земли; изменяется скорость вращения Земли; изменяется плотность Земли; изменяется гравитация на Земле. Но все эти изменения настолько незначительны, что никакими современными приборами эти изменения в наши дни не обнаружить.
Годовая орбита нашего Солнца по направлению к центру нашего Созвездия и обратно составляет 25868 лет. За это же время происходит суточный оборот нашего Созвездия, в результате чего наша звезда вместе с линией равноденствия совершает один оборот вдоль знаков зодиака. Движение нашего Солнца по своей годовой орбите приводит к тринадцатитысячелетним похолоданиям и потеплениям на Земле и ко всем изменениям, которые я описал при годовом движении Земли.
При удалении нашего Солнца от центра Созвездия, наше Солнце получает меньше высокочастотной энергии от центра Созвездия. Это значит, что и наша Земля получает меньше высокочастотной энергии от Солнца. Это приводит к уплотнению Земли. Происходит большее взаимодействие между электромагнитными силами энергии Земли и её материей. Более плотная Земля, быстрее вращаясь, вырабатывает больше энергии, чем раньше, компенсируя тем самым недостачу энергии, получаемой от Солнца. Но нужно понимать, что недостающая часть более высокочастотной энергии Солнца заменяется менее высокочастотной энергией Земли. При приближении нашего Солнца к центру Созвездия происходит обратное явление.
Годовое движение в виде восьмёрки нашего Созвездия по направлению к центру нашей Галактики и обратно составляет 2 160 земных лет, что приводит к миллионлетним потеплениям и похолоданиям на Земле. Годовое движение в виде восьмёрки нашей Галактики по направлению к своему центральному объекту и обратно приводит к изменению Веков: Золотой Век, Серебряный Век, Бронзовый Век, Железный Век. При
нисходящей ветви от Золотого Века до Века Железного происходит постепенная и неуклонная материализация Земли, а значит постепенное и непрерывное увеличение гравитации. Сейчас Земля обладает максимальной плотностью. Начинается обратный процесс, движение по восходящей ветви нашего четвёртого Земного Круга, движение от Железного Века к Бронзовому Веку, затем к Серебряному Веку, затем к Золотому Веку. При этом наша Земля будет становиться всё менее плотной, будет уменьшаться её гравитация, существа животного и растительного миров будут увеличиваться в размерах. В конце нашего четвёртого Земного Круга по окончании Золотого Века на восходящей ветви наша Земля снова, как и в начале своего нисхождения, станет эфирной. Продолжительность нашего четвёртого Земного Круга Глобуса Б четвёртой большой Манвантары составляет 6,3 миллиона земных лет.
Годовые орбиты нашей Галактики и есть ЗЕМНЫЕ КРУГИ, о которых говорится в «Тайной доктрине», годовые орбиты более верхних сфер в сфере нашей Вселенной приводят к появлению семи Глобусов и семи Манвантар. Причиной изменения силы гравитации на Земле являются годовые орбиты Земной сферы, солнечной сферы, сферы нашего Созвездия и сферы нашей Галактики. Современные учёные теоретики придумали хорошую замену знаниям древних и великих цивилизаций о югах, или циклах. Они просто профанировали великие знания о смене Веков, объяснив всё тем, что в бронзовом Веке первобытные люди выплавляли бронзу, а в Железном Веке выплавляли железо.
Существует максимальная разница между частотой вибрации материи и энергии, при которой возможно максимальное взаимодействие между материей и энергией. Дальнейший рост разницы в частоте вибраций между энергией и материей приводит к уменьшению взаимодействия между ними. Поэтому энергия от центра нашего Созвездия, распространяющаяся до пределов его тела, воспринимается жителями планетных миров нашего Созвездия только в виде времени. Энергия, распространяющаяся от центра нашей Галактики до пределов её тела, планетными мирами просто не воспринимается ввиду большой разницы в частотном диапазоне. Более мощные и высокочастотные виды энергий, идущие к нам от более верхних сфер, тем более не воспринимаются нами, для наших физических тел они как бы просто не существуют.
«Творческая сила проявляется на каждом уровне в бесчисленных возможностях, а это значит, что есть неисчислимое множество длин, форм и частот волн. И пока мы существуем в теле с его ограниченными возможностями восприятия, мы можем воспринимать лишь определённое число всех волновых форм из-за ограниченности наших органов чувств. .
Итак, во всей вселенной действуют бесчисленные разновидности вибраций, колеблясь от самых коротких до самых длинных волн. Каждая форма мироздания, от небесных тел до мельчайших одноклеточных существ, все мириады проявленных творений — это следствия разных форм излучений. Мы живём в этих излучениях, независимо от того, знаем мы об этом или нет; более того, эти формы энергии построили и образовали нас и постоянно работают в нашем теле, уме и всем нашем существе. Вся вселенная состоит из разнообразных вибраций. Источник этих созидающих вибраций мы называем Богом. Но сам Бог стоит выше всех проявлений жизни и покоится в себе в абсолютном равновесии, вне времени и пространства. Но он постоянно излучает себя вовне, в материальные формы, чтобы дать этим формам жизнь. Так как Бог вездесущ и наполняет всю вселенную, то всё в ней проникнуто Богом и наполнено им» [6, с. 167].
«Не существует никакого мира материальных объектов, есть лишь вселенная энергетических полей, которые видящие называют эманациями Орла. Человеческие существа образованы эманациями Орла и являются, по сути, светящимися пузырями энергии. Каждый из нас покрыт энергетической оболочкой, имеющей форму кокона. Внутри кокона заключена небольшая часть эманаций, составляющих вселенную. Осознание возникает вследствие постоянного давления эманаций, находящихся вне кокона и именуемых большими, на эманации, находящиеся внутри кокона.
Восприятие является следствием осознания и возникает, когда внутренние эманации наслаиваются на соответствующие им большие.
— Следующая истина состоит в том, — продолжал дон Хуан, — что восприятие возможно благодаря точке сборки — особому образованию, функция которого заключается в подборе внутренних и внешних эманаций, подлежащих настройке. Конкретный вариант настройки, который мы воспринимаем как мир, является результатом того, в каком месте кокона находится точка сборки в данный момент» [7, с. 115].
«Затем дон Хуан объяснил, что сфокусировать воспринимаемый нами обычный мир первое внимание может, лишь выделив и усилив определённые эманации, выбранные из узкой полосы эманаций, в которой находится человеческое осознание. Незадействованные при этом эманации никуда не исчезают. Они остаются в пределах нашей досягаемости, но как бы дремлют. Поэтому мы так ничего и не узнаём о них до конца жизни.
Выделенные и усиленные эманации видящие называют «правосторонним» или «нормальным» осознанием, «тоналем», «этим миром», «известным», «первым вниманием». Обычный человек называет это «реальностью», «рациональностью», «здравым смыслом».
Выделенные эманации составляют значительную часть полосы человеческого осознания, но лишь малую толику всего спектра эманаций, присутствующих внутри кокона человека. Незадействованные эманации, относящиеся к человеческой полосе, -это что-то вроде преддверия к неизвестному. Собственно же неизвестное составлено множеством эманаций, которые к человеческой полосе не относятся и выделению никогда не подвергаются. Их видящие называют «левосторонним осознанием», «нагвалем», «другим миром», «неизвестным», «вторым вниманием»» [7, с. 116].
Колесо сансары — это круговорот вынужденных рождений и смертей в нашем физическом планетном мире.
«Пребывание в дэвакхане пропорционально незаконченному психическому импульсу, зародившемуся в продолжение земной жизни. Те личности, чьи влечения были преимущественно материальными, будут раньше притянуты обратно в новое рождение силой танхи» [8, с. 67].
Всё дело в том, что чем выше частота вибраций энергетического тела человека, тем выше поднимается часть его души, или его индивидуальное тело, или низший манас по направлению к своей душе. Поэтому и путь, в виде восьмёрки, как годовое движение Земли, по направлению к своей душе и обратно — к новому физическому воплощению будет гораздо дольше и продолжительнее. Именно поэтому при росте нравственности и духовности каждого конкретного человека, его промежутки между физическими воплощениями будут увеличиваться.
Представьте себе такую картину. Вы решили поплавать в пруду, но он достаточно далеко от Вас. Прохладное утро, Вы хорошо одеты и отправились в путь. Но вот Солнце поднимается над горизонтом, становится теплее. Вы сбрасываете верхнюю одежду и идёте дальше. Одиннадцать часов утра, стало ещё теплее, вы сбрасываете брюки и рубашку. Доходите до пруда, наступает полдень, Вы сбрасываете нижнее бельё и прыгаете в пруд. Искупались, вылезли на берег и надели на себя сброшенное бельё. Идёте обратно. День клонится к вечеру, холодает. По пути Вас ждут Ваши рубашка и брюки, которые Вы надеваете на себя. Солнце скрылось за горизонтом, стало ещё холоднее, но Вы пришли к тому месту, где сбросили свою верхнюю одежду. Надеваете и её. Поход к пруду и обратно закончен.
Находясь в «колесе сансары» мы многократно проделываем точно такой же путь между смертью и рождением. Какова причина нашего нахождения в планетном мире? Мы сами, небесные люди, в определённое время решили пройти этот путь -вхождение духа в материю для получения необходимого опыта в планетных мирах.
Ведь энергетическому телу в планетном физическом мире это сделать невозможно. Причиной тому огромная разница в частоте вибраций тела энергетического небесного человека и в частоте вибраций физической Земли. Небесному человеку необходим помощник, существо, живущее на Земле. Земля при помощи сил свыше создаёт в течение миллионов лет минеральное царство, затем минеральное и растительное, затем минеральное, растительное и животное царства. И когда земное животное достигает определённой стадии развития, к нему подключается небесный человек, это и есть вхождение духа в материю. Наши физические тела являются инструментами для наших душ при познавании планетного материального мира. Но войдя в тело животного, небесный человек, или индивидуальность, получает и все животные характеристики существа, с которым произошло соединение. И наша индивидуальность, наше настоящее тело, в момент воссоединения с животным существом получает страшный удар в виде отупения и озверения. Не только нарушается нормальная взаимосвязь между частью нашей души индивидуальностью, или низшим манасом с основной частью нашей души, но наша индивидуальность отбрасывается от своей основной части души в связи с понижением частоты вибраций собственного тела по отношению к частоте вибраций нашей души.
«Запомните учение: человеческая душа (низший манас) суть единственный прямой посредник между личностью и божественным Эго» [5, с. 349].
Всё дело в том, что высокая частота вибраций низшего манаса, равная по своей частоте вибраций основной части души — божественного эго, в момент вхождения в материальное тело мгновенно и сильно понижает частоту своих вибраций. Происходит нивелирование между частотой вибраций небесного человека и частотой вибраций животного в момент вхождения духа в материю. И с этого момента, пока наша индивидуальность не избавится от всех пороков и страстей животного тела, пока не поднимет частоту вибраций до прежнего уровня, она не сможет объединиться с основной частью своей души. Но сделав это, наша индивидуальность, при воссоединении со своей основной частью души, принесёт с собой так необходимые бесценный опыт и знания о планетном мире.
«Метафизика — это чертог чистого Манаса, тогда как физическая наука есть царство материального, или кама-манаса, который, как и каждый принцип, семеричен. Математик, не обладающий духовностью, каким бы великим он ни был, не постигнет метафизики, но метафизик овладеет высшими концепциями математики и применит их без изучения. Для прирождённого метафизика психический план не будет иметь большого значения, так как он увидит его погрешности — поскольку это не то, что он ищет, — сразу же, как только вступит на психический план.
После каждого воплощения, когда манасический луч возвращается к своему отцу -Эго, некоторые из его атомов остаются и рассеиваются. Эти манасические атомы, танхические и иные «причины», будучи того же естества, что и манас, привлекаются к нему крепкими узами сродства и при перевоплощении Эго безошибочно притягиваются к нему, составляя его карму. И до тех пор, пока все они не будут собраны воедино, индивидуальность не освобождается от нового рождения» [5, с. 39].
Личность — это наше физическое тело, и она действительно умирает, передавая в течение своей жизни свой накопленный опыт своему тонкому телу, или индивидуальности, или низшему манасу, который и есть настоящий человек.
«С самых давних времен религиозные философы учили, что вся вселенная была наполнена божественными и духовными существами различных рас. Из одной из них с течением времени развился Adam — первобытный человек. В легендах калмыков и некоторых сибирских племен описываются более ранние творения, чем наша нынешняя раса. В них говорится, что эти существа обладали почти беспредельными знаниями, и их отвага даже угрожала восстанием против Великого Главного Духа. Чтобы наказать их самонадеянность и смирить их, он заключил их в тела и
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
ограничил телесными чувствами. Убежать из плена они могут лишь путем долгого раскаяния, самоочищения и развития» [4, с. 69].
Когда умирает наше физическое тело, или личность, наша индивидуальность движется по направлению к своей основной части души, приближаясь на максимально возможное расстояние, постепенно сбрасывая все свои кармические «одежды». Затем наступает обратный процесс, удаляясь от своего основного «Я», наша индивидуальность снова одевается в свои кармические «одежды», которые ждут на обратном пути. Затем новое рождение — получение нового тела, или новой личности. Это и есть Колесо Сансары. Никто никогда не будет за Вас исправлять Ваши ошибки и вместо Вас набираться опыта.
«Тонкие тела располагают особыми энергетическими центрами — чакрами, являющимися главными силовыми узлами энергоинформационной структуры человека, своеобразными генераторами тонких видов энергии в его организме. Низшие чакры обеспечивают организм человека более плотной, низковибрационной энергетикой, необходимой для осуществления физиологических функций, высшие центры связаны с творческой, интеллектуальной и духовной деятельностью индивида. Уровень активности высших центров определяет и степень духовного развития человека.
Чакры не случайно были названы в Живой Этике «центрами сознания»: содержание сознания конкретного человека, уровень его духовного развития определяется активностью или пассивностью его высших центров.
Невидимым тонкоматериальным центрам человека предстоит сыграть кардинальную роль в тех природных изменениях, которые, как говорится в эзотерических учениях мира, в скором времени произойдут на нашей планете. Космопланетарные перемены, предсказанные древними пророками и ясновидящими, будут способствовать появлению новой расы — людей более совершенного эволюционного типа, отличающегося большей духовностью и связанными с ней творческими, в том числе и паранормальными, способностями: ясновидением, яснослышанием, творческой интуицией и т.д.
Природно-космические условия будущего будут способствовать духовному преображению человечества и нарождению новой расы. Высшие энергии, которые придут из Космоса на Землю, в значительной мере активизируют энергетику высших центров сознания у людей, нравственно эволюционирующих, а не деградирующих» [9, с. 43].
«Как правило, человек, умирающий естественной смертью, остаётся «от нескольких часов до ряда кратких лет» в пределах земного притяжения, то есть в кама-локе. Но исключением являются случаи самоубийств и гибели от насильственной смерти вообще» [8, с. 92].
«Бардо» есть период между смертью и новым рождением и может продолжаться от нескольких лет до целой кальпы. Он подразделяется на три субпериода: 1) когда эго, освобождаясь от своих ужасных смертных уз, попадает в кама-локу, обиталище элементариев; 2) когда оно вступает в «состояние созревания»; 3) когда оно вновь возрождается в рупа-локе дэвакхана. Первый субпериод может длиться от нескольких минут до ряда лет. Второй субпериод очень длительный, как Вы сказали, иногда даже длительнее, чем Вы можете себе представить, но всё же пропорционален духовной силе эго. Третий субпериод продолжается пропорционально хорошей карме, исчерпав которую монада снова воплощается. Агама-сутра гласит: «Во всех этих рупа-локах дэвы [духи] одинаково подвержены рождению, увяданию, старости и смерти»; это означает только то, что эго рождается там, затем начинает постепенно увядать и наконец умирает, то есть впадает в бессознательное состояние, которое предшествует новому рождению. А заканчивается шлока следующими словами: «Когда дэвы выходят из этих небес, они вновь вовлекаются в более низкий мир», то есть они покидают мир блаженства, чтобы возродиться в мире причин» [8, с. 79].
Энергия, которую Земля вырабатывает вращением, состоит из двух своих составляющих, или из двух сил: магнитной и электрической.
Электрическая эклиптика разделяет как Землю, так и всю земную сферу на две половины сверху вниз. В левом полушарии потоки электрической силы движутся сверху вниз, это «положительные» электрические потоки. Они заряжают атомы земной материи положительным электрическим зарядом при помощи трения, проходя, или «протискиваясь» сквозь них. В правом полушарии потоки электрической силы движутся снизу вверх, это «отрицательные» электрические потоки. Они заряжают атомы земной материи отрицательным электрическим зарядом при помощи трения, проходя сквозь них.
Магнитная эклиптика разделяет как Землю, так и всю земную сферу на две половины слева направо, деля её на ночную и дневную стороны. На ночной стороне потоки магнитной силы движутся слева направо, это «положительные» магнитные потоки. Они намагничивают атомы земной материи положительным магнитным зарядом, проходя сквозь них, в то же время отталкивая их от себя. На дневной стороне потоки магнитной силы движутся справа налево, это «отрицательные» магнитные потоки. Они намагничивают атомы земной материи отрицательным магнитным зарядом, проходя сквозь них, в то же время отталкивая их от себя.
Движение электрических потоков в левом полушарии сверху вниз, а в правом полушарии снизу вверх и их отклонение под давлением магнитной силы от оси электрического экватора в противоположные стороны приводит к появлению отрицательного и положительного электричества. Движение магнитных потоков на дневной и ночной сторонах Земли в разные стороны и их отклонение под давлением электрической силы от оси магнитного экватора в противоположные стороны приводит к появлению отрицательного и положительного магнетизма.
Четыре части земной сферы, атомы которых отличаются друг от друга электромагнитной полярностью, притягиваются друг к другу, создавая гравитацию земной сферы.
В пустом пространстве не может быть никакой гравитации, да и пустых пространств в космосе не существует. Гравитация никакого отношения к небесной механике не имеет.
«Теперь то, что здесь подразумевается под словом «личный» Бог человека, не есть конечно, один только его седьмой Принцип, так как per se и в сущности это есть лишь луч бесконечного Океана Света. В сочетании с нашей божественной душой, буддхи, его нельзя назвать дуадой, как можно было бы в другом случае, так как, хотя и образовавшаяся от атмы и буддхи (двух высших принципов), первая не есть сущность, но эманация из Абсолюта, в действительности неотделимая от него. Личный Бог не есть монада, но в самом деле, прототип её, который мы за неимением лучшего термина называем проявленной каранатмой (душой причинности), одним из «семи» и главных резервуаров человеческих монад или эго. Последние формируются постепенно и усиливаются в течение своего цикла путём постоянных добавлений индивидуальности от личностей, в которых воплощается этот андрогинный, полудуховный, полуземной принцип, принимающий участие как в небесном, так и земном, называемый ведантистами Джива и Виджнанамайа Коша, а оккультистами Манас (ум) — тот, короче говоря, который, частично соединившись с Монадой, воплощается в каждом новом рождении. В полном единении со своим (седьмым) Принципом, чистым Духом, он есть божественное Высшее Я, что знает каждый изучающий теософию. После каждого нового воплощения Буддхи-Манас вбирает в себя, так сказать, аромат цветка, называемого личностью, чисто земные остатки которой, её отбросы, предоставляются постепенному исчезновению, как тени. . Таким образом каждый смертный имеет своего бессмертного двойника или, вернее, своего Прототипа в небесах. Это значит, что первый неразрывно соединён с
последним в каждом своём воплощении и на время цикла рождений; но соединён только посредством своего духовного и интеллектуального Принципа, совсем отличного от низшего я, и никак через земную личность» [3, с. 83].
1. Блаватская Е.П. Тайная доктрина. Том 1. ЭКСМО. Москва, 2003. 878 с.
2. Блаватская Е.П. Тайная доктрина. Том 2. ЭКСМО. Москва, 2003. 944 с.
3. Блаватская Е.П. Тайная доктрина. Том 3. ЭКСМО. Москва, 2003. 750 с.
4. Блаватская Е.П. Разоблачённая Изида. Том 1. ЭКСМО. Москва, 2003. 830 с.
5. Блаватская Е.П. Инструкции для учеников вутренней группы. Издательство Духовной литературы Сфера. Москва, 2004. 588 с.
6. Хейч Элизабет. Посвящение. СФЕРА. Москва, 2002. 368 с.
7. Кастанеда Карлос. Огонь изнутри. Сила безмолвия. ИД София, 2006. 524 с.
8. Учение махатм. Сборник Издательство Духовной литературы Сфера. Москва, 2000. 301 с.
9. Рерих Е.И. Сокровенное знание теория и практика агни-йоги. РИПОЛ КЛАССИК. Москва, 2005. 797 с.
Основные поверхности пространства и их построение
Данная статья носит справочный характер и по своей структуре очень напоминает материалы о графиках и свойствах элементарных функций. С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.
Чем отличается этот справочный материал от аналогов?
Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.
Что нужно уметь на данный момент?
Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций).
Во-вторых, необходимо уметь откладывать точки в этой системе координат; об этом я достаточно подробно рассказал на уроках Уравнениях прямой в пространстве и Треугольная пирамида.
Далее считаем, что все события происходят в прямоугольной системе координат.
Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?
Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.
Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.
На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице). Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии. Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c первого урока по теме ФНП:
– функция плоскости в явном виде .
Давайте с неё и начнём:
Распространенные уравнения плоскостей
Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости. Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.
Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:
Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.
Тем, кто ещё не успел, настоятельно рекомендую ознакомиться с указанной выше статьёй и понять неформальный смысл этих уравнений. Повторим заодно и соответствующие неравенства:
– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;
– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;
– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.
Для самостоятельной разминки:
Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.
Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед. Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.
Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)
Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:
1) уравнение вида (здесь и далее ) задаёт плоскость, проходящую через ось ;
2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .
Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость), всегда полезно понимать суть происходящих событий:
Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:
Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую, лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.
Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:
Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.
Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:
Получено верное неравенство, значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.
Построить плоскости
а) ;
б) .
Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.
На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:
Решение: в уравнении в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.
Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .
Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:
Готово.
Уравнение плоскости в отрезках
Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля, то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках. Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:
Решение: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:
Делаем дроби трёхэтажными:
Именно так! – ведь знаменатели могут оказаться и дробными. Но в данном случае всё разделилось нацело:
Таким образом, плоскость проходит через точки . В целях самоконтроля координаты каждой точки устно подставим в исходное уравнение . После чего выполним чертёж:
В отличие от предыдущих примеров здесь фрагмент плоскости изображается в виде треугольника, который в общем случае может «прорисоваться» в любом из восьми октантов.
Задание для тренировки:
Краткое решение и чертёж в конце урока.
Переходим к другой обширной группе обитателей 3D-мира:
Цилиндрические поверхности
Или, если короче – цилиндры.
! Примечание: в ряде источников информации под цилиндром понимается исключительно геометрическое тело, а не поверхность!
Следует отметить, что в математике под этими терминами скрывается не совсем то, что обычно подразумевает обыватель, и класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:
Построить поверхность, заданную уравнением
…что за дела? Не опечатка ли здесь? Вроде как дано каноническое уравнение эллипса…
Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна:
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .
Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:
Построить поверхность, заданную уравнением
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.
Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость
Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круглый цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.
Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).
Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости
Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.
Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.
Параболические цилиндры
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .
2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .
Построить параболические цилиндры:
а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) на промежутке
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа 😉
Гиперболические цилиндры
Направляющими таких цилиндров являются гиперболы. Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка, и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:
Эллипсоид. Сфера и шар
Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны. Эллипсоидом называют как поверхность, так и тело, ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае) эллипса. В зависимости от значений эллипсоид может быть вытянут вдоль любой оси, причём вытянут достаточно далеко.
Если две полуоси совпадают, то данную поверхность/тело называют эллипсоидом вращения. Так, например, эллипсоид получен вращением эллипса вокруг оси (представьте мысленно).
Небольшая задачка для самостоятельного решения:
Построить эллипсоид . Записать уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его вращение.
Чертёж и краткий комментарий в конце урока.
В случае равенства всех полуосей , эллипсоид вырождается в сферу:
– данное уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса .
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса . И, соответственно, противоположному условию удовлетворяют координаты любой внешней точки.
Разделаемся с аппетитным Колобком:
Построить поверхность . Найти функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения. Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить, принадлежат ли ему точки
Решение: уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 2. Здесь, как и в примерах с параболическими цилиндрами, выгодно уменьшить масштаб чертежа:
Выразим «зет»:
– функция, задающая верхнюю полусферу;
– функция, задающая нижнюю полусферу.
Областью определения каждой функции является круг с центром в начале координат радиуса 2 (проекция полусфер на плоскость ).
Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса 2. Подставим координаты точек в данное неравенство:
Получено неверное неравенство, следовательно, точка «дэ» лежит вне шара.
Получено верное неравенство, значит, точка «эф» принадлежит шару, а конкретнее – его границе (сфере).
Материал о сферах и шарах достаточно прост, и я предлагаю вам чисто символическое задание для самостоятельного решения:
Найти область определения функции двух переменных и построить соответствующую поверхность.
Краткое решение и чертёж в конце урока.
Кстати, наша планета, кто не знает, чуть-чуть, но таки не шар.
Коническая поверхность
Каноническое уравнение в декартовых координатах задаёт коническую поверхность 2-го порядка или, если короче, конус. Но это опять же не совсем тот конический колпак, который всем знаком со времён далёкого детства.
Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений, который я потихоньку начал использовать ещё в предыдущих параграфах. Суть метода состоит в том, что мы «рассекаем пациентов» плоскостями (прежде всего, координатными), и получившиеся сечения позволяют нам хорошо понять, как выглядит та или иная поверхность.
Перепишем уравнение в виде и исследуем сечения конуса плоскостями , параллельными плоскости . Подставим в уравнение конической поверхности:
Очевидно, что случаю соответствует уравнение , задающее пару мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат. Данная точка называется вершиной конуса.
Если же , то уравнение задаёт эллипсы различных размеров, причём из последнего уравнения хорошо видно, что с увеличением абсолютных значений «цэ большого» полуоси эллипсов неограниченно возрастают. Таким образом, коническая поверхность бесконечна:
Если коническую поверхность «разрезать» произвольной плоскостью (которая проходит через ось ), то в сечении получатся две пересекающиеся в начале координат прямые. Множество таких сечений, собственно, и образует коническую поверхность.
И логично, что каждая из этих прямых называется образующей конуса.
На практике почти всегда приходится иметь дело с конусом вращения, в котором сечения плоскостями представляют собой окружности. И во многих практических задачах типичен следующий «опознавательный» вид уравнения:
– с «зет» в левой части и равными коэффициентами при и .
Как многие догадались, функция задаёт верхнюю часть конуса, а функция – его нижнюю часть.
Распространённая вариация по теме:
Решение: уравнение имеет вид и определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное?
Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:
Далее выберем небольшое положительное значение «зет», например , и найдём линию пересечения этой плоскости с нашей поверхностью:
– окружность радиуса .
Пояснение на всякий случай: подставили в 1-е уравнение
Теперь на высоте изобразим окружность и аккуратно проведём 4 образующие конуса:
Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости .
Не забываем, что уравнение задаёт только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем полупространстве быть не должно.
Пожалуй, простейшая коническая поверхность:
Построить коническую поверхность . Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса.
В образце решения изображён фрагмент конуса, расположенный между плоскостями . Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите самостоятельно. В случае мучительных сомнений всегда можно взять точку (внутри или снаружи конуса) и проверить, удовлетворяют ли её координаты неравенству.
В заключение статьи подробно рассмотрим ещё одну мегапопулярную поверхность:
Эллиптический параболоид
Каноничный эллиптический параболоид в прямоугольной системе задаётся уравнением . Данная поверхность выглядит бесконечной чашей:
Название «эллиптический параболоид» тоже произошло из результатов исследования сечений. В горизонтальных сечениях плоскостями получаются различные эллипсы:
, в частности, при эллипс вырождается в точку (начало координат), которая называется вершиной эллиптического параболоида.
А вертикальные сечения плоскостями, параллельными оси , представляют собой различные параболы. Например, сечение координатной плоскостью :
– парабола, лежащая в плоскости .
Или сечение плоскостью :
– парабола, лежащая в плоскости .
Отсюда и эллиптический параболоид.
На практике обычно встречается упрощенная версия поверхности с горизонтальными сечениями-окружностями. Перепишем каноническое уравнение в прикладном функциональном виде:
– характерным признаком функции, как и в ситуации с конусом, является равенство коэффициентов при .
Построить поверхность . Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть эллиптического параболоида.
Решение: используем ту же методику, что и при построении конической поверхности. Рассмотрим какое-нибудь не очень большое значение «зет», здесь удобно выбрать , и найдём сечение эллиптического параболоида этой плоскостью:
– окружность радиуса 2.
Теперь на высоте изобразим данную окружность и аккуратно соединим её с вершиной (началом координат) двумя параболами. В результате получится такая вот симпатичная чашка:
Рассматриваемый частный случай параболоида с горизонтальными сечениями-окружностями также называют параболоидом вращения, поскольку его можно получить вращением параболы вокруг оси
С неравенствами ничего нового. Нетрудно догадаться, что неравенство или, если развернуть запись в более привычном порядке, определяет множество точек внутри чаши (т.к. неравенство строгое, то сама поверхность не входит в решение). И, соответственно, неравенство задаёт множество внешних точек.
По моим наблюдениям, на практике часто встречается эллиптический параболоид вида , который выглядит точно так же, но мигрировал вершиной в точку . Именно такую поверхность мы исследовали с помощью линий уровня в Примере № 14 первого урока темы.
Ещё одно типичное расположение эллиптического параболоида:
Решение: если коэффициенты при отрицательны (сразу оба), то чаша параболоида «смотрит вниз». Вершина поверхности расположена в точке . Это понятно не только интуитивно, но и подкрепляется простым аналитическим рассуждением: очевидно, что рассмотрев любую другую пару значений мы уменьшим функцию . Таким образом, в точке достигается максимум функции двух переменных.
В целях построения поверхность удобно «отсечь» плоскостью . Сечение представляет собой:
– окружность радиуса 2.
Выполним чертёж:
Готово.
Заключительное задание для самостоятельного решения:
Построить эллиптический параболоид
Чертёж в конце урока, который приблизился к своему завершению.
Среди поверхностей 2-го порядка за кадром остались редко встречающиеся на практике:
( ниже перечислены канонические уравнения, в которых – положительные числа)
Более подробную информацию об этих поверхностях можно почерпнуть в учебнике аналитической геометрии либо другом источнике информации, в частности, в Википедии, на которую проставлены ссылки. Если возникнет необходимость выполнить их построение – используйте метод сечений, он действительно прост и эффективен!
Я бы с радостью всё рассказал, но, во-первых, это нецелесообразно с практической точки зрения, а во-вторых, размер статьи подходит к той опасной грани, после которой посетители сайта будут считать автора не только фанатом, но и начнут всерьёз опасаться за его здоровье. Впрочем, санитары разрешили мне ещё немного посидеть за компьютером =)
А если серьёзно, то этой статьи я опасался чуть ли не с первых дней создания сайта ввиду большого объема работы. Но вот, наконец, клуб любителей функций двух переменных широко распахнул двери, и теперь-то уж мы с вами оттянемся в полный рост =)
Решения и чертежи:
Пример 1: Решение: выполним чертёж:
Данное тело определяется системой
Пример 3: Решение: а) Сначала удобно построить прямую , лежащую в плоскости . Используем начало координат, и, например, точку . б) Сначала удобно построить прямую , лежащую в плоскости . Используем начало координат, и, например, точку .
Пример 6: Решение: запишем уравнение плоскости в отрезках:
Выполним чертёж:
Пример 10: Решение: функция задаёт верхнюю часть цилиндра :
Проекция на плоскость : часть данной плоскости, ограниченная «плоскими» прямыми (включая прямые).
Проекция на плоскость : часть данной плоскости, ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
Проекция на плоскость : полуокружность
Пример 12: Чертежи:
Пример 13: Решение: данный эллипсоид получен вращением эллипса (плоскость ) вокруг оси :
Примечание: также можно считать, что вращается эллипс , лежащий в плоскости .
Пример 15: Решение: областью определения данной функции является круг с центром в начале координат радиуса . Функция задаёт полусферу, лежащую в верхнем полупространстве, с центром в начале координат радиуса :
Пример 17: Решение: сечения конуса плоскостями представляют собой окружности . Выполним чертёж:
Неравенство задаёт множество точек, находящихся внутри конуса; неравенство задаёт множество внешних точек.
Пример 20: Решение: вершина параболоида находится в точке . Выполним чертёж:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено