Знак деления
- Знак деления — математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷) или косой черты (∕), используемый для обозначения оператора деления.
Связанные понятия
О́белюс, обел (÷) (лат. obelus — от греч. ὀβελός, тот же корень, что и обелиск) — небуквенный символ, внешне напоминающий объединение знаков минуса и двоеточия.
Надстрочный знак, ве́рхний и́ндекс, суперскри́пт (англ. super script) (типографика) — знак, записанный выше основной строки. Применяется, например, при записи математических и химических формул.
Знаки «плюс» и «минус» (+ и −) — математические символы, используемые для обозначения операций сложения и вычитания, а также положительных и отрицательных величин. Кроме того, они используются и для обозначения других понятий. Латинские термины plus и minus означают «более» и «менее» соответственно.
Машинопи́сный апостро́ф (apostrophe, apostrophe-quote) — условное название знака, встречающегося на клавиатуре большинства пишущих машин с латинским шрифтом и компьютерных дисплеев. По историческим причинам лишь машинописный апостроф имеется на компьютерных клавиатурах и в 7-битовой кодировке ASCII. В качестве типографского символа он является суррогатом апострофа, кавычек, знака ударения, штриха (знака производной в математике, знака угловых минут и т. п.) и др. Часто смешивается с машинописным.
Веду́щие нули́ в записи числа при помощи позиционной системы счисления — последовательность из одного или более нулей, занимающая старшие разряды. Понятие ведущих нулей возникает при использовании представлений чисел, имеющих фиксированное количество разрядов. В остальных случаях, как правило, ведущие нули не пишутся.
Неразры́вный пробе́л (англ. non-breaking space) — элемент компьютерной кодировки текстов, отображающийся внутри строки подобно обычному пробелу, но не позволяющий программам отображения и печати разорвать в этом месте строку. Используется для автоматизации вёрстки, правила которой предписывают избегать разрыва строк в известных случаях (большей частью для удобочитаемости).
Перенос и заём в арифметике — приёмы, применяемые в арифметических алгоритмах позиционных систем счисления при выполнении операций сложения и вычитания соответственно, а также (в составе тех же сложения и вычитания) и иных арифметичких операций. Перенос можно понимать как выделение умножения на основание системы счисления в отдельное слагаемое, с последующей перегруппировкой слагаемых.
Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.
Рекурсивное определение или индуктивное определение определяет сущность в терминах её самой (то есть рекурсивно), хотя и полезным способом. Для того, чтобы это было возможно, определение в любом данном случае должно быть хорошо-основанным, избегая бесконечной регрессии.
Знак равенства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя идентичными по своему значению выражениями.
Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям.
В математике, норма́льная фо́рма — простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями.
Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой.
Математические обозначения («язык математики») — сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем, применяемых человечеством. В данной статье описывается общепринятая международная система обозначений, хотя различные культуры прошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеют ограниченное применение до сих пор.
Греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая — непозиционная система счисления. Алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи). Одно из начертаний дигаммы внешне похоже на распространившуюся в византийскую эпоху лигатуру ϛ (ϲτ), поэтому распространилось заблуждение, что для записи числа 6 использовалась стигма.Эта.
Календарная дата — порядковый номер календарного дня, порядковый номер или наименование календарного месяца и порядковый номер календарного года (Федеральный закон Российской Федерации от 3 июня 2011 г. № 107-ФЗ «Об исчислении времени»).
Минускульные цифры (старостильные цифры, «строчные» цифры) — символы арабских цифр, по высоте близкие к строчным буквам и обладающие (кроме цифр 0, 1 и 2) верхними или нижними выносными элементами. Предназначены для использования вместе со строчными буквами в тексте для сплошного чтения.
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения.
Армянская система счисления — историческая система счисления, созданная с использованием маюскулов (заглавных букв) армянского алфавита.
Тео́рия поле́й — раздел математики, занимающийся изучением свойств полей, то есть структур, обобщающих свойства сложения, вычитания, умножения и деления чисел.
Перебор делителей (пробное деление) — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путём полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
При́знак Паска́ля — математический метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».
Геометрическая алгебра — историческое построение алгебры во второй книге «Начал» Евкида, где операции определялись непосредственно для геометрических величин, а теоремы доказывались геометрическими построениями.
Признаковое описание объекта (англ. feature vector) — это вектор, который составлен из значений, соответствующих некоторому набору признаков для данного объекта. Значения признаков могут быть различного, не обязательно числового, типа. Является одним из самых распространённых в машинном обучении способов ввода данных.
Языком Дика (англ. Dyck language) над 2n буквами называется контекстно-свободный язык над алфавитом.
Синглетон — множество с единственным элементом. Например, множество является синглетоном.
Деление на ноль в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано а⁄0, где а — это делимое.
В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным.
Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей.
В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.
В теории представлений групп Ли и алгебр Ли, фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой группы Ли или алгебры Ли, старший вес которого является фундаментальным весом. Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли полностью определяется своим старшим весом (теорема Картана) и может быть построено из фундаментальных представлений.
Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.
Десятичный разделитель — знак, используемый для разделения целой и дробной частей вещественного числа в форме десятичной дроби в системе десятичного счисления. Для дробей в иных системах счисления может использоваться термин разделитель целой и дробной частей числа. Иногда также могут употребляться термины десятичная точка и десятичная запятая.
Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.
Направленное множество в математике — непустое множество A с заданным на нем рефлексивным транзитивным отношением ≤ (то есть предпорядком), обладающее дополнительным свойством: у любой пары элементов из A есть верхняя грань в A.
Группа Григорчука — первый пример конечнопорождённой группы промежуточного роста (то есть её рост быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального).
Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.
Ма́ркер списка, бу́ллит, бу́ллет, бу́лит (•) (англ. bullet) — типографский знак, используемый для выделения элементов списка, как показано на примере ниже.
Преобразование в математике — отображение (функция) множества в себя. Иногда (в особенности в математическом анализе и геометрии) преобразованиями называют отображения, переводящие некоторое множество в другое множество.
Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью.
Единичный отрезок — величина, принимаемая за единицу при геометрических построениях. При изображении декартовой системы координат, единичный отрезок обычно отмечается на каждой из осей.
Звёздочка, или астери́ск (греч. ἀστέρισκος) — типографский знак в виде небольшой, обычно пяти- или шестиконечной звёздочки (*), расположенной в строке или поднятой над строкой.
Полурешётка (англ. semilattice, до 1960-х годов также использовался термин полуструктура) в общей алгебре — полугруппа, бинарная операция в которой коммутативна и идемпотентна.
Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии.
Φ, φ (название: фи, греч. φι) — 21-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 500. От буквы «фи» произошла кириллическая буква Ф.
Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M1 и M2 пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P.
Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.
Список обозначений в физике включает обозначения понятий в физике из школьного и университетского курсов. Также включены и общие математические понятия и операции для того, чтобы сделать возможным полное прочтение физических формул.
Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором.
Квазиньютоновские методы — методы оптимизации, основанные на накоплении информации о кривизне целевой функции по наблюдениям за изменением градиента, чем принципиально отличаются от ньютоновских методов. Класс квазиньютоновских методов исключает явное формирование матрицы Гессе, заменяя её некоторым приближением.
Связное двоеточие
Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.
Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.
Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.
Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.
Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы».
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность.
Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на.
Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств.
Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности.
Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.
Псевдотопологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером . Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы. Топологические пространства можно рассматривать.
То́чка — абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.
Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих.
В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.
Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления.
Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T1 и T3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).
Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.
Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.
Плоскость Фано — конечная проективная плоскость порядка 2, имеющая наименьшее возможное число точек и прямых (7 точек и 7 прямых), с тремя точками на каждой прямой и с тремя прямыми, проходящими через каждую точку. Названа по имени итальянского математика Джино Фано.
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.
Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.
Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии, в котором изучаются понятия «непрерывности» и «предела» в наиболее общем смысле.
Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.
Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.
Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.
Функциональная отделимость — свойство пары подмножеств топологического пространства.
Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.
Конфигурация — это разбиение d-мерного линейного, аффинного или проективного пространства на связные открытые ячейки, порождённые конечным набором геометрических объектов. Иногда эти объекты имеют один и тот же тип, такой как гиперплоскости или сферы. Интерес к изучению конфигураций вызван успехами в вычислительной геометрии, где конфигурации были объединяющими структурами для многих задач. Успехи в изучении более сложных объектов, таких как алгебраические поверхности, отвечали нуждам приложений.
Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.
Вложение Сегре используется в проективной геометрии для того, чтобы рассматривать прямое произведение двух проективных пространств как проективное многообразие. Названо в честь итальянского математика Беньямино Сегре.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.
Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием.
Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.
Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.
Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов.
n-Мерная целочисленная решётка (или кубическая решётка), обозначается Zn, — это решётка в евклидовом пространстве Rn, точки которой являются n-кортежами целых чисел. Двумерная целочисленная решётка называется также квадратной решёткой. Zn является наиболее простым примером решётки корней. Целочисленная решётка является нечётной унимодулярной решёткой.
Симплициальный компле́кс, или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.
Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью.
Общая точка — точка топологического пространства, замыкание которой совпадает со всем пространством.
В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество.
Введение в логику
В математике при помощи аксиом мы определяем объекты и их свойства. Затем, используя логические рассуждения, доказываем новые утверждения и называем их теоремами. Впервые подобная схема проявилась в книгах Евклида, в частности, при описании геометрии. Со временем возникла потребность так формализовать построение теории и доказательства теорем, чтобы ни какие незаметно привнесённые «очевидности» не портили её логическую стройность. В частности, по-возможности необходимо отказаться от естественного языка с присущей ему неоднозначностью. Блестящим примером подобного подхода явились «Основания геометрии» и последующие работы Давида Гильберта.
Появление компьютеров и начала исследований по искусственному интеллекту, привели к активному применению методов математический логики для описания «обыденных знаний». Во многих предметных областях (пространственные и временные отношения, родственные связи между людьми и т.п.) свойства различных объектов можно компактно описать пользуясь математическими обозначениями. А при помощи методов логического вывода, компьютер может проявлять определённую «разумность» извлекая из базы «аксиом» знания, которые там явным образом не содержатся.
Предметы и теории
Объектом исследования математических теорий или теорий формализации «обыденных знаний» являются чётко определённые сущности (предметы) и отношения между ними. Предметы могут объединяться в различные групы. Например, в геометрии рассматриваются предметы трёх видов: точки, прямые и плоскости. В арифметике все предметы одного типа — это числа. При формализации родственных отношений (дети, отцы, матери, братья и т.п.) предметами являются люди.
В некоторых теориях число предметов конечно (например, множество людей). В других теориях предметов бесконечно много (арифметика) или даже несчётное количество (геометрия). Простое их перечисление ещё не является теорией и основной интерес представляет установление различных взаимосвязей между предметами. Для их формулировки используются предикаты и предметные функции.
Предметная функция — это правило которое ставит в соответствие одной предметной величине другую. Например, в арифметике функция сложения add(x,y) любым двум числам x и y ставит в соответствие третье число (их сумму). Для человеческих отношений вместо предиката Parent можно ввести функцию y=parent(x), которая для каждого человека x указывает его родителя y. При этом, хотя предикат Son(x,y) norm»>x является сыном y-ка» хорошо определён, введение функции x=son(y) затруднительно y-к может иметь несколько сыновей).
Для предикатов и функций с двумя аргументами часто используется операторная запись. Например, утверждение (предикат): «точка x принадлежит прямой y» можно записать как On(x,y) или как x ∈ y. Аналогично функция сложения add(x,y) обычно обозначается как x+y.
Предикат похож на функцию, однако принимает всегда только два значения — истина или ложь (в бинарной логике). Эти значения не являются предметными константами, а отражают наше отношение к справедливости утверждения, формулируемого при помощи предиката. В отличии от этого, в предметной функции и аргументы и значение являются некоторыми предметами с которыми имеет дело конкретная теория.
Предикаты и функции
Рассмотрим теорию с конечной предметной областью в которой есть 3 предмета вида A и 6 предметов вида B. Пронумеруем их целыми числами: A= и B= и составим 18=3*6 различных упорядоченных пар aibj (такое множество называется прямым произведением A×B множеств A и B). Определим предикат P(a,b), отобрав 8 из 18 пар которым он удовлетворяет (при которых он истинен):
| P: |  |
Слева от таблицы по вертикали расположены элементы множества A, а сверху по горизонтали — множества B. Каждая ячейка таблицы является элементом множества A×B всех пар. Звёздочками помечены элементы, отобранные в подмножество P(a,b). В арифметике подобный предикат может обозначать «число a — собственный делитель b, не равный ему». Например P(2,4) истинно, а P(3,4) — ложно.
Предикат F(x,y), обозначаемый также y=f(x), называется функциональным, если для каждого x утверждение F(x,y) истинно для не более одного y. Ниже первая таблица определяет функциональный предикат, тогда как вторая функциональным не является: Действительно, в первой строке второй таблицы стоят две звёздочки, поэтому нельзя определить функцию, которая первому элементу x1 множества X ставит в соответствие один элемент y1 = f(x1) множества Y. Если мы переставим местами элементы в отношении (перевернём таблицу на 90 градусов) то получится обратная к f(x) функция. Не у каждой функции есть обратная (например, её нет выше у первой таблицы).
Бинарные функции двух аргументов z=f(x,y) любой паре прямого произведения двух множеств X и Y ставят в соответствие элемент из третьего множества Z (часто бинарные функции задаются на элементах одного множества f: X×X → X). Бинарные функции эквивалентны предикату с тремя аргументами F(x,y,z), который для каждого x,y истинен только для одного z.
Таким образом, предикаты являются более общими конструкциями, чем функции. Однако, когда они обладают функциональным свойством (и соответственно имеют мало «звёздочек») удобнее использовать предметную функцию. Для определения последней при помощи таблицы достаточно двух строчек: перечисления области определения (всех x) и области значений (соответствующие каждому x значения y).
Если предметов много или тем более бесконечно много, расставлять звёздочки в таблицах проблематично. Поэтому при задании предиката формулируют те или иные свойства (аксиомы), которым удовлетворяет данный предикат. Например, для предиката P(x,y) между элементами одного множества можно задать свойство симметрии: P(x,y) = P(y,x). Равенство означает, что если P(x,y) — истинно, то и P(y,x) будет истинным. Это соответствует квадратной таблице, симметричной относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Величины x,y — это предметные переменные, означающие любой предмет теории.
Логические операции
При помощи одних предикатов (отношений между объектами = логических функций = высказываний об объектах) можно определять другие. Для этого вводится формальное замещение слов »и», »или», »не»:
A & B : ''и'' (и A и B = оба) A ∨ B : ''или'' (или A или B, или оба = хотя бы одно) ¬A : ''не'' (не A = утверждение A ложно).
Например, пусть в геометрии введен предикат x ∈ g принадлежности точки x прямой g. Тогда можно определить предикат от трёх сущностей: «прямая g проходит через точки x и y» следующим образом:
L(g, x, y) : (x ∈ g) & (y ∈ g).
Двоеточие означает, что везде, где встречается предикат L(g,x,y), его необходимо заменить на строку (x ∈ g) & (y ∈ g).
Логические связки (операции) определяются при помощи таблиц истинности, в которых перечисляются значения истина (И) и ложь (Л) каждого аргумента операции и указывается какое значение принимает операция:
Кроме логических «и», «или», «не» определена операция следования (импликация): A → B и следования в обе стороны: A ↔ B. Импликация ложна только если первый аргумент истинен, а второй ложен: И → Л это Л («из истины нельзя вывести ложь»). Если ли же из истины выводится истина, то это истинное «следование» (И → И это И). Из лжи можно вывести что угодно, поэтому Л → Л и Л → И будут истинными. Стоит проанализировать утверждение «очевидно верное» в арифметиике при произвольном числе x: »(x<2) → (x<4)», положив x=1,3,5.
Выражение ¬A ∨ B имеет такую же таблицу истинности, как и A → B, а A ↔ B эквивалентно (A → B) & (B → A). Поэтому это производные логические связки, однако они играют важную роль при записи аксиом.
При помощи таблиц истинности можно получать логичекие значения сотавных формул. В качестве приимера докажем, что выражение (A → B) ↔ (¬A ∨ B) является тавтологией, т.е. истинно при всех значениях входящих в неё высказываний. Для этого логические значения И,Л сначала подписываются под каждым логическим высказыванием, затем послеедовательно под знаками всех логических операций:
Любое выражение алгебры логики можно представить в виде дерева задающего последовательность вычислений значения этого выражения: В вершине дерева стоит последняя выполняющаяся функция, а внизу, на «листьях» — высказывания. Вычисление выражения идёт по дереву снизу — вверх. Считается, что отрицание имеет самый высокий приоритет, поэтому в выражении A ∨ ¬A сначала проводится отрицание утверждения A, а затем объединение логическим «или».
Булева алгебра
Из таблиц истинности следует, что логические «и», «или» являются симметричными операциями. С помощью этих же таблиц несложно проверить, что эти операции ассоциативны:
A & B ≡ B & A, A & (B & C) ≡ (A & B) & C, A ∨ B ≡ B ∨ A, A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C.
Символ эквивалентности «≡» означает совпадение таблиц истинности логических выражений слева и справа от него. Ещё одно алгебраическое свойство — это взаимная дистрибутивность логических операций:
A & (B ∨ C) ≡ (A & B) ∨ (A & C), A ∨ (B & C) ≡ (A ∨ B) & (A ∨ C).
Более специфичными являются правила поглощения:
A & A ≡ A, (A ∨ B) & A ≡ A, A ∨ A ≡ A, (A & B) ∨ A ≡ A.
В обыденном понимании, например, логического «и» эти правила вполне естественны: A и A — это A.
Следующая группа правил связана с отрицанием (правила де-Моргана и двойное отрицание):
¬(A & B) ≡ ¬A ∨ ¬B, ¬(¬A) ≡ A, ¬(A ∨ B) ≡ ¬A & ¬B.
Последний набор правил называется законом исключения третьего:
A ∨ ¬A, A & (¬A ∨ B) ≡ A & B, A ∨ (¬A & B) ≡ A ∨ B.
В бинарной логике и в конечной предметной области первое утверждение (или A или не A) всегда истинно. В многозначных логиках это уже не так. Определённые трудности этого закона появляются и в теориях с бесконечным числом предметов. Стоит обратить внимание, что все правила алгебры, кроме A ∨ ¬A инвариантны относительно перестановки операций & и ∨.
КНФ и ДНФ
Коньюктивная нормальная форма (КНФ) — это преобразование исходного выражения при помощи алгебры логики в следующий вид:
(A1 ∨ A2 ∨ A3 ∨ . ) & (B1 ∨ B2 ∨ B3 ∨ . ) & (C1 + C2 + C3 + . ) & .
где в скобках стоят «суммы» логических «или» (дизьюнкций) простых высказываний A,B. или их отрицаний ¬A, ¬B, . . Для такого преобразования, сначала необходимо рекурсивно подставить определения для следований в обе стороны и в одну, затем при помощи правил де-Моргана и двойного отрицания прижать знак отрицания к высказываниям и, наконец, применить закон дистрибутивности по отношению к дизьюнкции:
1) A ↔ B ≡ (A → B) & (B → A); A → B ≡ ¬A ∨ B; 2) ¬¬A ≡ A; ¬(A&B) ≡ ¬A ∨ ¬B; ¬(A∨B) ≡ ¬A & !B; 3) A∨(B&C) ≡ (A∨B)*(A∨C); (B&C)∨A ≡ (B∨A)&(C∨A)
В результате получится «произведение» логических «и» (конъюнкции) «сумм» логических «или» (дизьюнкций).
Аналогично определяется и получается дизьюнктивная нормальная форма, в которой символы ∨, & переставлены местами.
Иногда необходимо проверить совпадение таблиц истинности двух выражений. Каждое из них можно привести к конъюнктивной нормальной форме (КНФ). Однако в таком виде их ещё сравнивать рано. Дело в том, что одна и та же формула может иметь различные КНФ. Например, в силу справедливости закона поглощения, выражение (A ∨ B) & A это тоже самое, что и просто A. Поэтому для подобных задач формулу записанную в КНФ необходимо представить в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ). Под этим подразумевается следующее. Если формула зависит, например, от трёх высказываний A, B и C, то каждая из этих букв должна встречаться хотя бы один раз в каждой из скобок соединённых логическим «и». В случае когда в конъюнкте нет, скажем буквы B, мы можем при помощи »или» в него добавить всегда ложную формулу B & ¬B которая истинность КНФ не изменит. Например (двойная стрелка означает преобразование выражения):
(A ∨ B) & A ⇒ (A ∨ B) & [A ∨ (B & ¬B)] ⇒ (A ∨ B) & (A ∨ B) & (A ∨ ¬B).
Если две формулы имеют одинаковые СКНФ, то они имеют и одинаковые таблицы истинности.
КНФ играет важную роль в логических рассуждениях. Любое утверждение (аксиома) представленное в КНФ разбивается на более элементарные, так как логическое «и» истинно только, если истинны каждые «сомножители» коньюнкции.
Кванторы ∀ и ∃
При формулировке утверждений в теории необходимы также следующие заменители слов:
∀ : ''любой'' = ''каждый'' = ''для всех'' = квантор всеобщности ∃ : ''существует по крайней мере один'' = квантор существования
С их помощью можно, например, записать фразу «для любых точек x и y существует по крайней мере одна прямая g, которая через них проходит»:
∀x ∀y ∃g L(g,x,y),
где предикат L(g,x,y): (x ∈ g) & (y ∈ g) был определён ранее.
Предметные переменные, стоящие с квантором являются связанными. Например, рассмотрим конечную предметную область, состоящую только из трех предметных констант x = . Тогда запись ∃x, ∀x на самом деле означает:
∃x A(x) ≡ A(1) ∨ A(2) ∨ A(3), ∀x A(x) ≡ A(1) & A(2) & A(3).
В первой строке утверждается, что «существует такой x, что некий предикат A(x) истинен». Это значит, что истинно или A(1), или A(2), или A(3) (хотя бы что-то одно из , которое и »существует»). Аналогично во второй строке, для квантора »каждый» истинными должны быть и A(1), и A(2), и A(3), т.е., все. Таким образом, наличие в формуле переменной, связанной с квантором, аналогично индексу суммирования, и выражение (после явной записи «суммы») от нее не зависит. Как и суммационный индекс, связанная переменная может быть переобозначена в любую букву, которая еще не используется в выражении.
Пользуясь алгеброй логики из записью ∃x, ∀x при помощи «∨«, «&«, несложно получить тождества:
∃x ∃y A(x,y) ≡ ∃y ∃x A(x,y), ¬( ∃x A(x) ) ≡ ∀x ¬A(x), ∀x ∀y A(x,y) ≡ ∀y ∀x A(x,y), ¬( ∀x A(x) ) ≡ ∃x ¬A(x).
Постулируется их справедливость и для бесконечной предметной области. В вербальном варианте они вполне естественны. Например, последнее соотношение: «не для каждого x справедливо A(x)» эквивалентно «существует такой x, что A(x) ложно».
Кванторы ∃x и ∀y не перестановочны и их последовательность важна. Так ∃x∀y A(x,y) означает, что «существует такой x, что для любого y справедливо утверждение A(x,y)«. Запись же ∀y∃x A(x,y) звучит: «для каждого y существует некоторый x» (один или несколько).
Вывод для высказываний
После того как теория сформулирована при помощи некоторых аксиом (формально записанных утверждений относительно предикатов и предметных функций) из неё можно делать логические выводы. Рассмотрим сначала константные предикаты (не зависящие от предметных переменных). Такие предикаты называются высказываниями. Например A: «сейчас светит солнце» или B: «все блондинки умны».
Правило вывода modus ponens (лат.) соответствует вербальному: «если из A следует B и справедливо A, то справедливо и B«:
A, A → B ⇒ B.
Двойная стрелка означает вывод (получение) утверждения B из двух утверждений A и A → B. При помощи правил алгебры логики можно проверить, что: A & (A → B) ≡ A & (¬A ∨ B) ≡ B.
Более общим является правило вывода резолюции:
A ∨ B, ¬B ∨ C ⇒ A ∨ C.
Как и любое правило вывода оно сохраняет истинность исходных посылок. Действительно, пусть B ≡ И. Тогда ¬B ≡ Л, и если вторая посылка истинна, то C ≡ И и понятно, что истинно следствие. Аналогично, если B ≡ Л, вторая посылка будет истинной, а при истинности первой должно выполняться A ≡ И. Поэтому выводимое выражение снова истинно.
Докажем, например, справедливость следующего рассуждения (если из A следует B, и из B следует C, то справедливо, что из A следует C): A → B, B → C ⇒ A → C. Выразим обе посылки через «∨», «¬», и воспользуемся резолюцией:
¬A ∨ B, ¬B ∨ C ⇒ ¬A ∨ C.
Так как в посылках встречается и B и ¬B мы их объединяем, выбрасывая B.
Метод резолюции
Резолюция активно используется в различных компьютерных системах автоматических доказательств. Предположим, что у нас есть множество формул A1, A2, . которые в данной теории считаются истинными (аксиомы). Мы хотим вывести из них формулу F. В хорошей теории (полной и непротиворечивой), если формула выводима (истинна), то её отрицание будет противоречить исходной системе аксиом, т.е. множество формул ¬F, A1, A2. противоречиво. В частности из этого множества будет следовать некоторая формула R и одновременно её отрицание ¬R.
Повторим доказательство рассуждения A → B, B → C ⇒ A → C. проведенного выше, используя метод от противного. Возьмём отрицание доказываемой формулы ¬(A → C) ≡ A & ¬C. Это утверждение будет истинно, если истинна каждая формула соединённая логическим «и» &. В результате имеем следующее множество формул противоречивость которых необходимо доказать: ¬A∨B, ¬B∨C, A, ¬C. Будем попарно к ним применять резолюцию. Первые две породят ¬A∨C. Первая и третья дадут: B, а вторая и четвёртая: ¬B:
¬A∨B, ¬B∨C, A, ¬C ⇒ ¬A∨B, ¬B∨C, A, ¬C, ¬A∨C, B, ¬B.
Ещё одно применение резолюции к формулам B и ¬B даст «пустую формулу». Это и означает, что мы пришли к противоречию.
Может возникнуть вопрос: почему необходимо применять доказательство от противного, если прямым выводом можно получить требуемую формулу A → C? Ответ простой. Прямой вывод оказывается не целенаправленным. Из аксиом теории, при помощи вывода, можно получать быстро увеличивающееся множество «не нужных» теорем прежде чем «случайно» встретится нужная нам формула. В методе от противного, мы сразу помещаем её отрицание в список формул, и за конечное число шагов приходим к противоречию (если формула выводима).
Сколимизация
В исчислении предикатов, мы должны разобраться, что делать с кванторами существования и всеобщности. Желательно от них вообще избавится, так как в выводе резолюции их нет. Для этого все формулы приводятся к стандартной форме при помощи следующих трёх шагов.
1. Формула записывается в терминах операций ¬, ∨, & в предварённой форме, когда все кванторы вынесены влево (предваряют формулу).
2. Если в формуле есть только кванторы всеобщности, мы их опускаем, считая, что свободная переменная обозначает «любую». Так, вместо ∀x ∀y A(x,y) просто пишем A(x,y).
3. Для формулы вида ∃x A(x) мы вводим некоторую константу a, которая отражает тот факт, что x существует, и получаем A(a). Если перед квантором существования (слева) стоят несколько кванторов всеобщности ∀x ∀y ∃z A(x,y,z) вводится новая предметная функция z=f(x,y) которая определяет какое z существует при данных x и y. В результате получаем A(x,y,f(x,y)).
Затем формулв приводится к конъюнктивной нормальной форме и разбивается на элементарные утверждения (которые были связаны логическим «и»).
Формализация математики
В математике аксиомы определяют объекты и их свойства. Новые утверждения (теоремы) доказываются при помощи логических рассуждений. Подобная схема впервые проявилась в книгах Евклида, в частности, при описании геометрии.
Пятая аксиома о параллельных прямых (не имеющих общей точки) выглядела сложнее остальных аксиом: «через всякую точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна, параллельная ей прямая». На протяжении более двух тысячелетий длилась безрезультатная борьба за её доказательство (вывод из остальных аксиом). Пятая аксиома оказалась всё же независимой, однако попытки построить её доказательство привели к неевклидовым геометриям и более глубокому пониманию как структуры математического здания, так и возможных свойств физического пространства.
Впрочем, на самом деле «доказательств» было множество. Внешне они выглядели безупречными, однако при более внимательном рассмотрении выяснялось, что в них неявно используется то или иное очень «естественное» допущение. Например, что может быть «очевиднее» существования треугольников со сколь угодно большой площадью? Однако нет ничего более неочевидного, чем очевидные истины.
Со временем возникла потребность так формализовать теории и методы доказательств, чтобы ни какие незаметно привнесённые «очевидности» не портили её логической стройности. В частности, по-возможности необходимо отказаться от естественного языка с присущей ему неоднозначностью. Блестящим примером подобного подхода явились «Основания геометрии» и последующие работы Давида Гильберта.
Формализация геометрии
Геометрия на плоскости родилась из построений при помощи линейки и циркуля. С формальной точки зрения это теория о точках и прямых. Эти сущности или предметы не наделяются образными свойствами («не имеет ширины» и т.п). Просто рассматриваются объекты двух видов. Первые обозначаются латинскими буквами \(x\), \(y\). и называются точками, а вторые — греческими \(\alpha\), \(\beta\). и называются прямыми.
Предметы вступают в определённые отношения, которые в геометрии соответствуют словам «лежать», «параллельны», «между» и т.д. Чтобы избежать неоднозначности естественного языка, эти отношения записывают при помощи формальных обозначений. Например, фразы «точка \(x\) лежит на прямой \(\alpha\)» или «прямая \(\alpha\) проходит через точку \(x\)» кодируются функцией с именем «\(\in\)». Она имеет два аргумента. Первый — имя точки, а второй — имя прямой: \(\in(x,\alpha)\).
Для данных \(x\) и \(\alpha\) такая функция считается либо истинным утверждением (если \(x\) действительно принадлежит \(\alpha\)), либо ложным (в противном случае). Подобные логические функции, значения которых бинарны (истина/ложь) называются предикатами. Их аргументы — это предметные величины, т.е. сущности с которыми оперирует теория. В случае плоской геометрии это точки и прямые.
Предикаты с двумя аргументами часто записывают в операционном виде, когда имя предиката помещается между его аргументами как операция. Так, \(x \in \alpha\) — это то-же, что и \(\in(x,\alpha)\).
При помощи одних предикатов (отношений между объектами = логических функций = высказываний об объектах) можно определять другие. Для этого вводятся формальные замещения слов «И», «ИЛИ», «НЕ»:
\(A\,\&\, B\) : «И» (и \(A\), и \(B\), т.е. оба);
\(A \vee B\) : «ИЛИ» (или \(A\), или \(B\), или оба, т.е. хотя бы одно);
\(\neg A \) : «НЕ» (не \(A\); если \(A\) истинно, то \(\neg A\) — ложно).
Например, предикат от трёх сущностей: «прямая \(\alpha\) проходит через две точки \(x\) и \(y\)» можно определить следующим образом:
\[ L(x,\, y,\, \alpha)~~:$~(x \in \alpha) \, \& \, (y \in \alpha). \]
Двоеточие означает, что везде, где встречается \(L(x,\, y,\,\alpha)\), его необходимо заменить на строку \((x \in \alpha) \, \& \, (y \in \alpha)\).
Введём ещё два символа — заменители слов:
\(\forall \) : «любой» = «каждый» = «для всех» = квантор всеобщности
\(\exists\) : «существует по крайней мере один» = квантор существования
Теперь можно записывать различные геометрические утверждения. Например, фраза «для любых точек \(x\) и \(y\) существует по крайней мере одна прямая \(\alpha\), которая через них проходит» имеет вид: \[ \forall_x\, \forall_y\, \exists_\alpha\, L( x,\, y,\,\alpha), \] а предикат параллельности прямых \(\alpha\) и \(\beta\) определим как: \[ \alpha||\beta:~~~~\neg\exists_x\,(x\in\alpha~\&~x\in\beta). \]
Подобным образом записываются все аксиомы геометрии. Затем с ними проделываются формальные манипуляции для вывода новых формул. После перечисления аксиом и правил вывода, содержательная составляющая теории отходит на второй план. Построение доказательств и их проверка может быть проведена компьютером или марсианином, ничего не знающим о смысле букв \(x\), \(y\), \(\alpha\), \(\beta\), предиката \(x \in \alpha\), и ему подобных. Довнесение «очевидных» суждений, не заложенных в исходные аксиомы, при таком подходе уже практически невозможно.
Формализация арифметики
В каждой формальной теории фиксируется множество символов, при помощи которых записывают все утверждения. Так, для формулировки большинства фактов из теории натуральных чисел достаточно такого » алфавита«: \[ 0~~1~~x~~+~~\cdot~~=~~(~~)~~\neg~~\&~~\vee~~~\forall~~~\exists \] Символы «\(0\)», «\(1\)» являются предметными константами, обозначающими числа «ноль» и «один», «\(x\)» — переменная (произвольное число). Дополнительные переменные можно ввести при помощи повторений \(xx\), \(xxx\), и т.д., которые для краткости обозначают как \(x, y. \) или \(x_1, x_2. \).
Сложение «+» — это предметная функция двух переменных. Каждым двум числам она ставит в соответствие третье число: \(+(x,y)\) или \((x+y)\). При помощи константы «\(1\)» и функции «\(+\)» определяется множество других констант: \(2:~(1+1),~3:~((1+1)+1)\), и т.д. Аналогично, точка — это ещё одна функция \(x\cdot y\), имеющая смысл умножения чисел.
Символ » \(\neg~ \& ~\vee\)» (НЕ, И, ИЛИ) и кванторы — заменители слов «все» ( \(\forall\) ) и «существует» ( \(\exists\) ) — позволяют записывать произвольные формулы. Таким образом, математическое утверждение представляется строкой символов из данного алфавита.
Существуют простые способы (алгоритмы) отличить правильно построенную формулу: «\(\neg(x=y) \vee (x+1=y)\)» от неправильной: «\(\vee)\neg\&x\)». Правильность понимается в смысле «синтаксически верно», а не в смысле истинно! Так, компилятор распознает синтаксическую ошибку, сделанную при записи программы, хотя синтаксически верная программа может работать и не правильно, например, никогда не останавливаться.
Через предикат \(x=y\) определяются предикаты «не равно» и «меньше»:
\(x \neq y\) : \(\neg (x=y)\) ,
\(x
Аксиомы теории
Предметные функции и предикаты определяются при помощи аксиом — формул, которым они должны удовлетворять (быть истинными).
\(\diamond\) Сложение в арифметике определяют аксиомы: \[ \begin \forall_x\,\bigr[\,x+1\neq 0\,\bigr],&~~~~~&\forall_x\,\forall_y\,\bigr[\,x+1\,\neq\, y+1~~\vee~~x=y\,\bigr],\\[2mm] \forall_x\,\bigr[\,x+0 = x\,\bigr], &~~~~~~&\forall_x\,\forall_y\,\bigr[\,x+(y+1)=(x+y)+1\,\bigr],\\ \end \] а умножение: \[ \begin \forall_x\,\bigr[\,x\cdot 0 = 0\,\bigr], &~~~~~~~~~&\forall_x\,\forall_y\,\bigr[\,x\cdot(y+1)=(x\cdot y)+x\,\bigr].\\ \end \] Предикат, утверждающий что число \(x\) является простым, имеет вид: \[ \mathrm(x):~~~\neg\exists_y\exists_z\,\bigr[\,y\neq 1~\&~z\neq 1~\&~x=y\cdot z\bigr]. \] Это уже определение, использующее функцию умножения. \(\square\)
Кроме аксиом, задаются правила вывода — формальные способы получения одних формул из других. Такие правила сохраняют истинность выражений, так что из истинной формулы может быть выведена только истинная формула.
Свободные и связанные переменные
В формулах необходимо различать свободные и связанные предметные переменные. Связанная переменная стоит под действием квантора «\(\exists_x\) » или «\(\forall_x\)». Если рассматривается конечная предметная область, состоящая только из трех предметных констант \(x = \\), то: \[ \exists_x A(x) = A(1) \vee A(2) \vee A(3),~~~~~~~~~~~~~\forall_x A(x) = A(1) \,\&\, A(2) \,\&\, A(3). \] Первое выражение утверждает, что «существует такой \(x\), что некий предикат \(A(x)\) истинен». Это значит, что истинно или \(A(1)\), или \(A(2)\), или \(A(3)\) (хотя бы что-то одно из \(\\), которое и «существует»). Аналогично для квантора «любой» истинными должны быть и \(A(1)\), и \(A(2)\), и \(A(3)\), т.е. все. Таким образом, наличие в формуле переменной, связанной с квантором, аналогично индексу суммирования и выражение (после явной записи «суммы») от нее не зависит. Как и суммационный индекс, связанную переменную можно обозначить любой буквой, которой еще нет в выражении.
Формулы без свободных переменных считаются либо истинными, либо ложными. Например, утверждение об отсутствии самого большого простого числа: \[ \neg\exists_x\forall_y\,\bigr[\,\mathrm(x)~\&~\mathrm(y)~\&~y\leqslant x\,\bigr] \] истинно, а его отрицание (наибольшее число \(x\) существует) — ложно.
Прежде чем подробнее изучать введенные понятия, напомним основные факты из теории множеств.