Какое будет значение i после исполнения инструкций i n 0 625 while n 0 n n 5 i i 1?
Представим, что у нас есть переменные i, n, и M, и мы хотим вычислить значение i после выполнения некоторой последовательности инструкций. Начальное значение i равно 0, а значение переменной M равно 625.
Данная последовательность инструкций будет выполняться до тех пор, пока значение переменной n больше 0. Внутри цикла мы увеличиваем значение i на 1 и уменьшаем значение n на 5.
- Сначала значение переменной n равно 0, так как мы еще не присвоили ей значение.
- Выполняется инструкция while и условие проверяет значение переменной n. Так как оно равно 0, цикл не выполняется.
- После выполнения цикла значение i остается равным 0, так как ни одной итерации цикла не было.
Таким образом, после выполнения последовательности инструкций значение переменной i останется равным 0.
Значение i после исполнения инструкций
Данная инструкция будет выполняться до тех пор, пока переменная n больше нуля. Изначально значение переменной i равно 0, а значение переменной n равно 625.
Условие цикла while будет выполняться, пока переменная n больше нуля. В каждой итерации цикла переменная n уменьшается на 5, а переменная i увеличивается на 1.
Таким образом, после исполнения всех инструкций значение переменной i будет равно количеству итераций цикла, то есть количеству раз, когда переменная n уменьшалась на 5 до достижения значения 0.
Для данной последовательности инструкций значение переменной i будет составлять 125 итераций, так как 625 / 5 = 125.
Исполнение инструкций
После исполнения инструкций i = n = 0; 625 while (n 0» не будет выполняться.
Какое значение должно быть у переменной n, чтобы цикл не выполнится ни разу?
Для того, чтобы цикл не выполнился ни разу, значение переменной n должно быть либо 0, либо отрицательным числом.
Что будет, если значение переменной n равно 0?
Если значение переменной n равно 0, то цикл не будет выполнен ни разу, так как условие цикла «n > 0» не будет выполняться.
Какое будет значение i после исполнения инструкций? i, n = 0, 625
while n > 0:
n = n // 5
i = i +1
На сайті для переходу на деяку веб-сторінку вставили текстове гіперпосилання та малюнок-кнопку. Чи є це порушенням ергономічних вимог?
помогите пожалуйста помогите
Із наведених речень виділи ті, які є висловлюваннями, та встанови їх істинність. • Кошеня схоже на крокодила. • Їй сподобався тигр. • Вона любить інфо … рматику. • Значення 7 не перевищує 10. • Уроки зроблено • Всі кити не є рибами. • У вівторок буде дощова погода. • Палити шкідливо. • Котра година? • Сонце обертається навколо Землі.
Чему будет равно значение переменной n после выполнения следующих инструкций? n:=0;
while n n:=n+1;
1) 1; 2) 3; 3) 0; 4) 6; 5) 5.
Если снизу — варианты ответа, тогда ответ:4) 6
объяснение:
n будет увеличиваться, пока не перестанет выполнятся условие:n
Новые вопросы в Информатика
Який колір символів можна вибрати для сторінки сайту з чорним тлом? Обґрунтуйте свій вибір.
На сайті для переходу на деяку веб-сторінку вставили текстове гіперпосилання та малюнок-кнопку. Чи є це порушенням ергономічних вимог?
помогите пожалуйста помогите
Із наведених речень виділи ті, які є висловлюваннями, та встанови їх істинність. • Кошеня схоже на крокодила. • Їй сподобався тигр. • Вона любить інфо … рматику. • Значення 7 не перевищує 10. • Уроки зроблено • Всі кити не є рибами. • У вівторок буде дощова погода. • Палити шкідливо. • Котра година? • Сонце обертається навколо Землі.
Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»
Финансовая эконометрика» — новый и крайне актуальный в прикладном плане раздел эконометрической науки, практически не представленный еще в русскоязычной специальной литературе. Поэтому мы рады представить в нашем журнале эту статью-консультацию, подготовленную известным в данной области исследований специалистом Дeаном Фантаццини. Предлагаемый материал послужит основой соответствующей главы учебника «Методы эконометрики», готовящегося к изданию в 2009 году авторами С. А. Айвазяном и Д. Фантаццини. В статье рассматриваются вопросы прикладного эконометрического анализа, связанного с задачами управления рисками, их видами, способами измерения; вводится ряд новых для русскоязычного читателя понятий и моделей. Перевод с английского осуществлен под научной редакцией С.А. Айвазяна А.В. Кудровым.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по экономике и бизнесу , автор научной работы — Фантаццини Деан
Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей
Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском
Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском
Управление кредитным риском
Управление кредитным риском (продолжение)
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Текст научной работы на тему «Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском»
Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском
«Финансовая эконометрика» — новый и крайне актуальный в прикладном плане раздел эконометрической науки, практически не представленный еще в русскоязычной специальной литературе. Поэтому мы рады представить в нашем журнале эту статью-консультацию, подготовленную известным в данной области исследований специалистом Деаном Фантаццини1. Предлагаемый материал послужит основой соответствующей главы учебника «Методы эконометрики», готовящегося к изданию в 2009 году авторами С. А. Айвазяном и Д. Фантаццини. В статье рассматриваются вопросы прикладного эконометрического анализа, связанного с задачами управления рисками, их видами, способами измерения; вводится ряд новых для русскоязычного читателя понятий и моделей.
Перевод с английского осуществлен под научной редакцией С. А. Айвазяна А. В. Куд-ровым.
За последние десятилетия объемы торговли на мировых финансовых рынках значительно выросли. В 1970 средний ежедневный объем торговли на Нью-йоркской фондовой бирже составлял 3,5 млн акций. В 2002 он уже составил 1,4 млрд акций. В последние годы мы наблюдаем существенное увеличение объемов торгов и на рынках производных ценных бумаг.
На финансовых рынках имеется огромное число игроков, которые занимают рискованные позиции, и для должной оценки своих позиций им необходимы количественные инструменты.
Джерри Корриган, бывший президент Федерального резервного банка Нью-Йорка, в ходе ежегодной встречи Ассоциации банкиров штата Нью-Йорк, имевшей место в январе 1992 года, сказал: «Вы все можете побиться об заклад, что нужно обратить очень серьезное внимание на забалансовую деятельность. Рост объемов и сложность [этой] деятельности и характер расчетного риска непогашения кредита, который они влекут за собой, должны стать для всех нас поводом для беспокойства.». «Я надеюсь, чтоэтозвучит как предупреждение, потому что так оно и есть. Забалансовая деятельность очень нужна, но она должна тщательно управляться и контролироваться, и она должна быть понятна как высшему исполнительному руководству, так и трейдерам, и аналитикам»». К сожалению, Джерри Корриган стал настоящей современной «Кассандрой».
1 В настоящее время Д. Фантаццини (Dean Fantazzini, Ph.D., Италия) преподает эконометрику в Московской школе экономики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
1. Что такое управление рисками? Исторический обзор
Недавняя история демонстрирует ряд примеров, когда большие потери на финансовом рынке происходят, главным образом, из-за отсутствия надлежащего управления рисками:
• Округ Ориндж (1994). 6 декабря 1994 года Округ Ориндж, преуспевающий район в Калифорнии, объявил о банкротстве после того, как понес потери приблизительно в 1,6 млрд долларов из-за ошибочной сделки с процентными ставками, совершенной одним из крупнейших инвестиционных фондов этого округа. Роберт Сайтрон, казначей округа Ориндж и управляющий фондом, размер которого составлял 7,5 млрд долларов, инвестировал средства в портфель (это были, в основном, процентные ценные бумаги), включавший в себя рискованные активы, приобретенные за счетзаемных средств. Его стратегия зависела от краткосрочных процентных ставок, остававшихся на относительно низком уровне по сравнению со среднесрочными процентными ставками. Но с февраля 1994 года Федеральный резервный банк США начал повышать процентные ставки, что вызвало падение цен многих активов в инвестиционном пуле фонда округа Ориндж. В течение почти всего 1994 года Сайтрон игнорировал изменение процентных ставок и увеличивающиеся номинальные убытки в своем портфеле. Однако к концу 1994 года требования на миллиарды долларов по поручительствам от контрагентов Сайтрона сУолл Стрит, а также угроза массового снятия денег с депозитов напуганными инвесторами местного правительства создали ло-s вушку ликвидности, которую он не смог преодолеть.
§ • Банк Barings (1995). Банк Barings имел долгую историю успешной работы и был весьма
Ü уважаемым коммерческим банком, уже длительное время проработавшим в Великобрита-
| нии. Но в феврале 1995 года этот высоконадежный банк с капиталом в 900 млн долларов по-ï
ч терпел банкротство из-за 1 млрд долларов торговых убытков по несанкционированным опе-
Л. рациям. Как же такое могло произойти? Трейдер Ник Лисон должен был использовать воз-£ можности низко-рисковых арбитражных операций, которые усилили бы различия в ценах ■г сходных производных ценных бумаг на Сингапурской валютной бирже (Simex) и бирже SI в Осаке. Фактически же он занимал намного более рискованные позиции, покупая и продана вая контракты разного типа на различные суммы на двух этих биржах. Из-за халатности со
з стороны высшего руководства, Лисон получил контроль над функциями как торгового под-ï
£ разделения, так и бэк-офиса. Когда потери Лисона увеличивались, он повышал ставки. Одна-
й ко, после того, как произошло землетрясение в Японии и индекс Nikkei резко снизился, его
§ потери быстро выросли и составили более 1 млрд долларов. Это были слишком большие
| убытки для банка, с которыми он не сумел справиться;в марте 1995 года банк Barings был куплен голландским банком ING всего за один английский фунт стерлингов.
g • Банк Daiwa (1995).Трейдер Тосихиде Игучи из банка Daiwa в Нью-Йорке подделывал
§ подтверждения на продажу ценных бумаг, принадлежавших его клиентам. Сокрытие инфор-
« мации этим недобросовестным трейдером о потерях за более чем 11 лет послужило причи-
§ ной убытков в 1,1 млрд долларов, что привело к банкротству банка в 1995 году.
^ • ÁaHKSumimoto (1996). Неучтенные убытки за 3 года, допущенные трейдером ЯсуоХа-
Ц манакой, занимавшимсяторговлей медью, привели кубыткам величиной более чем2,6млрд
I долларов к концу июня 1996 года.
§ • LTCM (1998). В 1994 году был основан хедж-фонд под названием Long-Term Capital
w Management, в нем собралась команда успешных трейдеров и ученых. Инвесторы и инвестиционные банки вложили около 1,3 млрд долларов в этот фонд, и спустя два года ежегод-
ная доходность на капитал составила почти 40%. В начале 1998 года номинальная стоимость |
активов достигла 4 млрд долларов, но в конце года фонд потерял существенную долю акцио- |
нерного капитала и находился на грани дефолта. Федеральная Резервная Система США су- S
мела предпринять пакет спасательных мер, расходовав 3,5 млрд долларов, чтобы избежать § угрозы системного кризиса в мировой финансовой системе. ig
• Allied Irish Bank («Элайд Айриш Бэнк», «Объединенный Банк Ирландии») (2002). Ч
Трейдер Джон Раснак накопил убытки на спотовом и форвардном $/Yen рынках, скрывая их путем регистрации поддельных опционов, возмещающих сумму его обязательств (он выписывал опционы, которые «глубоко в деньгах», не регистрируя их). К февралю 2002 потери составили более чем 750 млн долларов.
• Национальный Банк Австралии (2004). Четыре трейдера маскировали свои убытки с октября 2003 на позициях по австралийскому доллару на рынке Forex с помощью фиктивных сделок. Конечные убытки составили более чем 277 млн долларов.
• Société Generale (банк «Сосьете Женераль») (2008). 24 января 2008 года банк объявил, что один трейдер (Jerome Kerviel, Жером Кервель), торговавший фьючерсами, мошенническим путем нанес банку ущерб в размере 4,9 млрд евро (это эквивалентно 7,2 млрд долларов), что стало наибольшим убытком в истории жульничеств подобного типа. Руководители банка сообщали, что трейдер действовал в одиночку, и что он, возможно, не извлек прямую выгоду из своих мошеннических сделок. Помощник президента Франции Раймон Суби (Raymond Soubie) заявил, что Кервель имел отношение ксделкам по фьючерсам общей стоимостью 73,3 млрд долларов (что больше, чем рыночная капитализация банка, составлявшая 52,6 млрд долларов). Расследование, проводимое органами правопорядка, все еще продолжается, и детали пока неизвестны, но предполагаемые масштабы мошенничества намного больше, чем сделки Ника Лисона, который разорил Банк Barings.
Чтобы быть в состоянии покрыть большую часть финансовыхубытков, многие банки и финансовые учреждения откладывают резервный капитал, также называемый регулирующим капиталом. Величина необходимого резервного капитала, конечно, связана с величиной риска, взятой на себя банком или финансовым учреждением, т.е. с распределением доходов и убытков. Эта величина регламентируется законом, а национальные надзорные органы следят за тем, чтобы банки и финансовые учреждения следовали этим правилам. Одновременно с этим прилагаются усилия по разработке международных стандартов и методик для расчета регулирующего капитала. Это основная задача так называемого Базельского Комитета по Банковскому надзору (Basel Committee on Banking Supervision (BCBS)). Базельский Комитет, основанный в 1974 году, не обладает формальными наднациональными надзорными полномочиям, и его заключения не имеет юридической силы.
BCBS состоит из председателей национальных банков стран G-10 плюс Люксембург, Швейцария и является подкомитетом содействия при Банке международных расчетов (Bank for International Settlements (BIS)). Он формулирует (юридически ни к чему не обязывающие) стандарты банковского надзора для:
• содействия безопасности и прочности глобальной финансовой системы;
• создания равных условий для всех международных финансовых организаций;
1.1. Регулирующий капитал
• установки минимальных резервов для основных финансовых институтов;
• расчета минимального достаточного капитала для банков, действующих на международном уровне.
ВСВБ формулирует стандарты, основополагающие принципы надзора и дает рекомендации, основанные на передовом опыте, по осуществлению деятельности в банках и других финансовых организациях. Таким образом, Базельский Комитет имеет сильное влияние на национальные надзорные органы. Кратко об истории Базельских соглашений.
• Базель I (1988). Первое Базельское соглашение по банковскому надзору стало важным шагом к созданию международных стандартов по расчету достаточности капитала. Основное внимание в соглашении сосредоточено на определении структуры капитальной базы на основе уровня риска для активов с кредитным риском.
• Поправка к 1-му Базельскому соглашению (1996) предписывает так называемую стандартизированную модель для рыночного риска с возможностью выбора для больших банков использовать внутренние модели, так называемых, «границ потерь уровня а»2. Кроме того, предписываемая модель учитывала риски по Рогех и риски торговых портфелей.
• Базель II (2001 и после). В 2001 году были начаты консультации по новому Базельскому соглашению, основными темами которых было обсуждение передового опыта описания
§ кредитного риска, а также обсуждение подходов расчета достаточности капитала для опе-Ц рационного риска. Последние изменения в документации были сделаны в ноябре 2007 года. § Регуляторы большинства юрисдикций мира планируют разработать и внедрить новое соглашение, где будет учтена разница в часовых поясах, и которое составят более формальные методологии. Европейский Союз уже внедрил подобное соглашение, оно называется Директивой ЕС достаточности капитала. Многие европейские банки сообщают о своих коэффициентах достаточности капитала согласно новой директиве. Планируется, что к 2008 году все кредитные учреждения будут работать в соответствии с вышеупомянутой дина рективой.
й Рискдля организации, в общих словах, можно определить как любое событие или дейст-
§ вие, которое может неблагоприятно повлиять на эту организацию в достижении обяза-| тельств и следовании ее стратегии. В финансовом риск-менеджменте мы можем разделить большинство рисков на пять категорий.
отслеживания ошибки». I • Кредитный риск. Кредитный риск — это риск того, что надежность контрагента отра-
• Рыночный риск. Рыночный риск — это риск того, что изменения цен и ставок (курсы акций, обменные курсы, процентные ставки, цены на сырьевыетовары) на финансовом рынке ослабят позиции банка. Рыночный риск капитала часто измеряется относительно эталонного индекса или портфеля ценных бумаг. В этом случае его называют «риском относительно
зится на положении банка (кредитный риск контрагента). Способность контрагента отвечать
В англоязычной версии этот показатель называется «Value at Risk» (VaR).
свои обязательства по контракту. Это экстремальная ситуация.
Кредитный риск возникаеттолькотогда, когда обязательства контрагента являются акти-
по долговым обязательствам определяет надежность контрагента, которая описывается вероятностью невыполнения обязательств и ожидаемой нормой восстановления. Невыполне- Ц ние обязательств происходит тогда, когда контрагент не желает или неспособен выполнить Е
вом, т. е. они имеют положительную восстановительную стоимость. Если контрагент отказы- Ч вается выполнять обязательства, убыток может составить общую рыночную стоимость этих обязательств или некоторый процент от этой величины (называемый убытком из-за невыполнения обязательств). Процент от общей рыночной стоимости, который должен быть возмещен, называется нормой восстановления.
• Риск потери ликвидности. Мы различаем два связанных друг с другом типа риска потери ликвидности: риск финансовой ликвидности и риск торговой ликвидности. Риск финансовой ликвидности связан со способностью финансовых организаций находить необходимые средства в достаточном объеме для рефинансирования долгов, удовлетворения потребности в наличных средствах, вмарже, дополнительных требований контрагентов, атак-же для осуществления выплаты при изъятии капитала. Другими словами, риск потери ликвидности — это риск недостаточности наличных средств для поддержания нормальной хозяйственной деятельности.
Риск торговой ликвидности — риск того, что организация не сможет осуществлять торговые операции на рынке с преобладающей рыночной ценой, поскольку отсутствует интерес к заключению сделок с этой организацией со стороны участников рынка (неликвидный рынок).
• Операционный риск — риск потерь в результате неадекватной работы, ошибочных внутренних процессов, действий персонала и систем, или внешнего воздействия. В него входят человеческие риски такие, как: некомпетентность и мошенничество;процессные риски, в том числе: риск контроля сделок и риск операционного контроля;а также технологический риск сбоя систем, ошибок программирования и т.д. Операционный риск может повлечь за собой рыночный и кредитный риски.
• Юридический риск. Юридический риск — это риск, являющийся результатом неопределенности из-за судебных исков или неопределенности, связанной с применимостью или трактовкой контрактов, законов и инструкций. Источники юридического риска включают в себя: проблемы кредитоспособности и обеспечения исполнения, также как проблемы законности финансовых инструментов и их подверженность непредвиденным изменениям законов и инструкций. Юридический риск связан с кредитным риском, поскольку контрагенты могут найти юридические основания для того, чтобы лишить сделку законной силы.
Как видно из приведенных определений, описанные категории риска не вписываются в четкие, отделенные друг от друга классы. Операционный риск может создать рыночный и кредитный риск, и наоборот. Вот почему важно рассматривать финансовые риски сточки зрения компании в целом. Управление совокупным риском обеспечивает общую и последовательную картину риска в деятельности компании. Для этого требуется измерять риск во всех подразделениях компании и по всем факторам риска, с использованием согласованных методик, систем и данных. Учитывая значимость всего этого для финансовых учреждений, сосредоточим внимание на управлении рыночным, кредитным и операционным рисками. Для
получения более подробной информации о рисках ликвидности, юридических рисках, а также управлении совокупным риском, можно обратиться к работе [Jorion (2007)].
2. Управление рыночным риском
2.1. Меры риска: определения и свойства
Мера риска необходима:
• для определения рискового капитала, т.е. определения капитала, необходимого финансовому учреждению для покрытия неожиданных убытков.
• какинструментуправления — это означает, что мера риска используется менеджментом для того, чтобы оценивать и контролировать уровень риска, взятый тем или иным подразделением компании.
Задача определения подходящей меры риска ¥ всегда была особенно важной как с теоретической точки зрения, так и с практической. Существуют подходы к ее определению, предложенные в статье [Artzner, Delbaen, Eber и Heath (1999)] (далее мы будем ссылаться на эту работу, используя сокращение [ADEH(1999)]), которые в настоящее время приняты ученым сообществом, но еще не всеми специалистами в области финансов. s Для простоты и финансовой целесообразности, будем иметь дело с изменением цены не-§ которого финансового актива за один шаг APt = Pt — Pt_1 (мы предпочитаем использовать APt, Ц а не Pt, поскольку понятие риска ¥ интуитивно ассоциируется с доходами и убытками). Мы § могли бы использовать нетто-доходности (определяемые как APt/Pt-1), но обычно удобнее
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
ч использовать меру риска, которая измеряет убытки в денежных единицах. Впрочем, также
рассмотрим примеры с использованием нетто-доходностей и лог-доходностей. £ Сформулируем и обсудим свойства, которыми должны обладать меры риска ¥ как функ-■т ции от APt.
Определим ¥(АР,) как меру риска АР,. В статье АЭЕН утверждается, что величина ¥(АР,] должна обладать следующими свойствами:
¥( APf +9 rr) = ¥( APf) -9 r. (1)
I • Трансляционная инвариантность. Пусть даны случайная величина АР,, безрисковая ¡5 процентная ставка г и некоторая константа 9г е Я, тогда
• Субаддитивность. Пусть даны изменения цен (или доходностей) двух финансовых ак-« тивов АРГ1, АР,,2, тогда имеет место неравенство
§ • Положительная однородность. Пусть дана случайная величина АР, и неотрицатель-
¡5 • Монотонность. Пусть даны изменения цен (или доходностей) двух финансовых активе вов АР. АР,2 такие, что АР,, < АР,2, тогда о
ная константа тогда
Первое свойство говорит о том, что если мы прибавим детерминированную компоненту | (безрисковый актив) к случайной величине, то мера риска уменьшится на величину, инве- | стируемую в безрисковый актив. S
Второе свойство требует, чтобы мера риска портфеля, состоящего из двух активов, § ¥(ÁPtл + ÁPt,2) была не больше, чем сумма мер риска каждого из составляющих портфель активов. Субаддитивность гарантирует, что объединение позиций уменьшит общий риск. Ч
Третье свойство говорит о том, что если увеличивается сумма, инвестированная в актив Pt, то мера риска также должна увеличиться. В особенности, эта гипотеза требует, чтобы риск увеличивался пропорционально увеличению инвестируемой суммы.
Отметим, что, если выполнены свойства трансляционной инвариантности и положительной однородности, то для любого действительного 9r имеем:
Кроме того, если воспользоваться свойством положительной однородности, взяв X = 2, то получим следующее равенство:
¥( ÁPt +ÁPt) = ¥( ÁPt) + ¥( ÁPt),
которое показывает, что инвестирование равной суммы в другой актив, полностью коррелированный с первым, он удваивает риск портфеля. Из последнего равенства следует, что в данном случае свойство субаддитивности выполнено со знаком равенства.
Наконец, последнее свойство выражается в том, что если актив Л дает всегда более высокий доход, чем актив B, то мера риска должна показать нам, что инвестирование средств в актив Л выгоднее, чем в B. Другими словами, убытки, которым мы можем подвергнуться, инвестируя средства в актив Л, должны быть меньше, чем убытки, которым мы можем подвергнуться, инвестируя средства в B. Конечно, если Л всегда выгоднее, чем B, то мы имеем арбитраж, и хорошая мера риска должна указать на это.
Мера, которая удовлетворяет всем четырем свойствам, перечисленным выше, называется согласованной мерой риска (a coherent risk measure). Любую меру, для которой не выполняется хотя бы одно из этих свойств, нельзя рассматривать как согласованную меру риска.
2.1.1. Ни дисперсия, ни стандартное отклонение не являются согласованными мерами риска
Теперь мы хотим выяснить, является ли дисперсия ¥(ÁPt) = Var(ÁPt), а также стандартное отклонение¥(ÁPt) = д/Var(ÁPt), согласованными мерами риска. Для этого мы должны проверить, удовлетворяют ли эти функции свойствам (1)-(4).
• Трансляционная инвариантность. Следует вычислить
Var( ÁPt +9 r r) и jVar( ÁPt +9 rr).
Поскольку величина 9rr детерминированна, немедленно получаем, что справедливы равенства:
Var(ÁPt +9 r r) = Var(ÁPt) и jVar
из которых следует, что свойство трансляционной инвариантности (1) для дисперсии и стандартного отклонения не выполняется. Хотя на этом мы могли бы завершить наш анализ, но, ради интереса, мы проверим оставшиеся три свойства.
• Субаддитивность. Дисперсия суммы изменений цен (или доходностей) двух активов может быть представлена как
Var( APt ,, + APt,2) = Var( APtJ) + Var( APt,2) + 2Cov( APt ,b APt,2),
а ковариация равна
Cov(APt,1,APt,2) =VVar(APt,1) ^Var(APt,2) -p,
где p — коэффициент корреляции.Так как коэффициент корреляции по модулю меньше или равен единице, то верно неравенство
Cov(APt,ьAPt,2) ^Var(APt,0 ^Var(APt,2), воспользовавшись которым, получаем
* ^jVar(APt,1 +APt,2) Var(APt,1) + VVar(APt,2).
^ Таким образом, стандартное отклонение — это субаддитивная функция. ^ Дисперсия, тем не менее, не является субаддитивной функцией, так как для нее свойство суббаддитивности выполняется тогда и только тогда, когда p< 0, что неверно в общем слу-? чае.
Л • Положительная однородность. Доказательство того, что стандартное отклонение в удовлетворяет этому свойству, тривиально: й Í ¡S
^ Следовательно, стандартное отклонение обладает свойством положительной однороден ности.
| Однако для дисперсии это свойство не выполняется. Докажем это, предположив противное: пусть даны APt и неотрицательная константа X, тогда в соответствии со свойством (3)
-jVar(XAPt) =y/X2Var( APt) = X^Var( APt
>s В силу свойств дисперсии,
u Var( XAPt) = X2Var( APt),
(b Var( XAPt) = XVar( APt) = X2Var( APt).
§ Откуда следует, что, с учетом Var(APt) >0, величина X должна удовлетворять квадратному уравнению
решениями которого являются X= 0, X2 = 1. Но это противоречит предположению о том, |
что X может быть любым неотрицательным числом. Таким образом, видно, что дисперсия не |
обладает свойством положительной однородности. S
• Монотонность. Рассмотрим случайный доход APt и строго положительную константу §
s. Определим случайную величину AP¡ следующим образом: jg
Заметим, что всегда AP¡ > APt. Если дисперсия удовлетворяет свойству монотонности, то дисперсия случайной величины AP¡ должна быть больше, чем дисперсия случайной величины APt. Вместо этого имеем:
а значит свойство монотонности в этом случае не выполняется.
Можно рассмотреть более общий случай, когда sявляется случайной величиной, принимающей только положительные значения. В этом случае, поскольку справедливо следующее равенство:
Var(AP¡) = Var(APt + s) = Var(APt) + Var(s) + 2Co^(APt,s), величина Var(AP¡) меньше, чем Var(AP¡), тогда и только тогда, когда
Однако, так как свойство монотонности должно выполняться для произвольных положительных случайных величин s, заключаем, что дисперсия не удовлетворяет этому свойству. А значит, и стандартное отклонение также не обладает свойством монотонности.
Если дисперсия (и стандартное отклонение) не является согласованной мерой риска, то чем она (оно) является? Ответ прост: это, в соответствии с определением, мера случайного рассеяния относительно среднего. Желание того, чтобы наши доходы от портфельных инвестиций были несильно рассеяны вокруг среднего, оправданно, однако мы не можем утверждать, что инвестор, минимизирующий дисперсию (или стандартное отклонение), в то же самое время минимизирует и риск!
2.1.2. Теорема o представлении
Так как дисперсия не является согласованной мерой риска, мы можем задаться вопросом: имеют ли согласованные меры некоторую специфическую форму? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема (см.[АйЕН (1999)]).
Теорема 1. Мера ¥( APt) является согласованной мерой риска тогда и только тогда, когда существует семейство вероятностных законов P таких, что3
3 Под Ер£ понимается среднее значение случайной величины подчиняющейся закону распределения вероятностей Р.
Доказательство этой теоремы читатель найдет в [ADEH (1999)].
Отметим некоторые важные аспекты:
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
• во-первых, усредняется прибыль (или убыток) рискового актива, поделенная на безрисковую процентную ставку;
• во-вторых, возможность выбирать вероятностный закон из семейства P позволяет создавать бесконечно много согласованных мер риска. Этот результат имеет как положительный аспект, так как можно выбирать наиболее подходящую меру риска, так и отрицательный, поскольку выбор меры риска становится субъективным выбором риск-менеджера;
• в третьих, результат теоремы получен для случая одного периода. В работе [Riedel (2004)] он обобщен на многопериодный случай с учетом всех возможных потоков наличности 8(s), которые могут возникнуть между моментами времени t и T. Рассматривая капитализацию в дискретном времени, автор получает следующий, более общий, результат:
т. е. вычисляем ожидаемое значение всех потоков наличности, дисконтированных в соответствии с безрисковой ставкой процента г.
Отметим очень простое, но весьма любопытное следствие предыдущей теоремы.
Теорема 2. Любая выпуклая линейная комбинация согласованных мер риска — снова согласованная мера риска.
| будет согласованной мерой риска.
2.1.3. «Средние ожидаемые потери уровня а» (СОПа)
как согласованная мера риска
Вводимая в данном разделе характеристика — «средние ожидаемые потери уровня а» (СОПа) — измеряет среднее значение потерь доли а худших результатов, которые можно получить от инвестиций. Очевидно, при ДР = р — Рм эта величина должна принимать отрицательные значения. Однако при определении и интерпретации меры риска как монотонно неубывающей функции потерь удобнее оперировать с потерями как с положительными величинами. Читатель должен принять во внимание это замечание при усвоении последующего материала. Перед тем как будет приведено формальное определение СОПа, рассмотрим следующие характеристики.
Предположим, что случайная величина ДР = ДР/(1 + г) имеет функцию плотности ((ДР), непрерывную на всей действительной оси. Для простоты и без ограничения общности рас-