Введение в математическое моделирование — тест 3
 (1) на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель 
 (2) в создании математической модели исследуемых объектов 
 (3) посредством рассмотрения исследуемых объектов с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, и составляется математическая модель 
 (4) в создании точной копии исследуемых объектов 
Упражнение 5: Номер 1
Какой из экспериментов наиболее выгодно применять для исследования большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации?
 (1) прогнозный 
 (2) вычислительный 
 (3) натурный 
Номер 2
Какое преимущество имеет вычислительный эксперимент по сравнению с натурным экспериментом?
 (1) короткие сроки и минимальные материальные затраты 
 (2) только короткие сроки получения результатов 
 (3) только минимальные материальные затраты 
Номер 3
Что позволяют делать с математическими моделями компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент?
 (1) упрощать 
 (2) усложнять 
 (3) уточнять 
Упражнение 6: Номер 1
Какое направление является наиболее перспективным для проведения вычислительного эксперимента?
 (1) решение небольших научно-технических проблем 
 (2) решение крупных научно-технических проблем 
 (3) решение небольших социально-экономических проблем 
 (4) решение крупных социально-экономических проблем 
Номер 2
В каких процессах вычислительный эксперимент является единственно возможным?
 (1) где натурный эксперимент может привести к очень большим объемам работ 
 (2) где натурный эксперимент может привести к неверным результатам 
 (3) где натурный эксперимент опасен для жизни и здоровья людей 
Номер 3
Что происходит с результатами исследований на ЭВМ при проверке адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы?
 (1) сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце 
 (2) принимаются в качестве итоговых результатов 
 (3) не принимаются во внимание 
Упражнение 7: Номер 1
Для чего могут применяться результаты проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы?
 (1) только для корректировки математической модели 
 (2) только для решения вопроса о применимости построенной математической модели 
 (3) для корректировки математической модели или для решения вопроса о применимости построенной математической модели 
Номер 2
Какие процессы должны отражать математические модели в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем?
 (1) реальные физические нелинейные процессы, протекающие в реальных объектах 
 (2) реальные математические нелинейные процессы, протекающие в реальных объектах 
 (3) реальные физические линейные процессы, протекающие в реальных объектах 
 (4) реальные математические линейные процессы, протекающие в реальных объектах 
Номер 3
Какой тип математических моделей чаще всего используется в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем?
 (1) ДДИ 
 (2) ДНА 
 (3) СНА 
 (4) СДИ 
Упражнение 8: Номер 1
На какое количество групп можно разделить все методы решения математических задач?
 (1) 2 
 (2) 3 
 (3) 4 
 (4) 5 
Номер 2
На какие группы можно разделить все методы решения математических задач?
 (1) универсальные методы решения задач 
 (2) точные методы решения задач 
 (3) качественные методы решения задач 
 (4) численные методы решения задач 
Номер 3
Укажите существующие группы решения математических задач
Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент. Решение математических моделей
Аннотация: В лекции рассмотрена суть компьютерного моделирования. Рассмотрены методы решения математических задач.
Компьютерное моделирование как новый метод научных исследований основывается на:
- построении математических моделей для описания изучаемых процессов;
- использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием (миллионы операций в секунду) и способных вести диалог с человеком.
Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты , начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект . Более того, можно спрогнозировать поведение объекта в различных условиях.
Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство.
Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент как новый метод научного исследования заставляет совершенствовать математический аппарат, используемый при построении математических моделей, позволяет, используя математические методы, уточнять, усложнять математические модели. Наиболее перспективным для проведения вычислительного эксперимента является его использование для решения крупных научно-технических и социально-экономических проблем современности (проектирование реакторов для атомных электростанций, проектирование плотин и гидроэлектростанций, магнитогидродинамических преобразователей энергии, и в области экономики – составление сбалансированного плана для отрасли, региона, для страны и др.).
В некоторых процессах, где натурный эксперимент опасен для жизни и здоровья людей, вычислительный эксперимент является единственно возможным (термоядерный синтез, освоение космического пространства, проектирование и исследование химических и других производств).
Для проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы результаты исследований на ЭВМ сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце. Результаты проверки используются для корректировки математической модели или решается вопрос о применимости построенной математической модели к проектированию либо исследованию заданных объектов, процессов или систем.
В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование «нематематического» объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.
В задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем математические модели, как правило, нелинейны, т.к. они должны отражать реальные физические нелинейные процессы, протекающие в них. При этом параметры (переменные) этих процессов связаны между собой физическими нелинейными законами. Поэтому в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем чаще всего используются математические модели типа ДНА.
Согласно классификации приведенной в «лекции 1» :
Д – модель детерминированная, отсутствует (точнее не учитывается) влияние случайных процессов.
Н – модель непрерывная, информация и параметры непрерывны.
А – модель аналитическая, функционирование модели описывается в виде уравнений (линейных, нелинейных, систем уравнений, дифференциальных и интегральных уравнений).
Итак, мы построили математическую модель рассматриваемого объекта, процесса или системы, т.е. представили прикладную задачу как математическую. После этого наступает второй этап решения прикладной задачи – поиск или разработка метода решения сформулированной математической задачи. Метод должен быть удобным для его реализации на ЭВМ, обеспечивать необходимое качество решения.
Все методы решения математических задач можно разделить на 2 группы:
- точные методы решения задач;
- численные методы решения задач.
В точных методах решения математических задач ответ удается получить в виде формул.
Например, вычисление корней квадратного уравнения:
или вычисление определенного интеграла:
Однако, подставляя числа в формулу в виде конечных десятичных дробей, мы все равно получаем приближенные значения результата.
Для большинства задач, встречающихся на практике, точные методы решения или неизвестны, или дают очень громоздкие формулы. Однако, они не всегда являются необходимыми. Прикладную задачу можно считать практически решенной, если мы сумеем ее решить с нужной степенью точности.
Для решения таких задач разработаны численные методы, в которых решение сложных математических задач сводится к последовательному выполнению большого числа простых арифметических операций. Непосредственная разработка численных методов относится к вычислительной математике.
Примером численного метода является метод прямоугольников для приближенного интегрирования, не требующий вычисления первообразной для подынтегральной функции. Вместо интеграла вычисляется конечная квадратурная сумма:
– длина элементарного отрезка;
f(xi) – значение подынтегральной функции на концах элементарных отрезков интегрирования.
Чем больше число отрезков n, на которые разбит интервал интегрирования, тем ближе приближенное решение к истинному, т.е. тем точнее результат.
Таким образом, в прикладных задачах и при применении точных методов решения, и при применении численных методов решения результаты вычислений носят приближенный характер. Важно только добиться того, чтобы ошибки укладывались в рамки требуемой точности.
Численные методы решения математических задач известны давно, еще до появления ЭВМ, но ими пользовались редко и только в сравнительно простых случаях в силу чрезвычайной трудоемкости вычислений. Широкое применение численных методов стало возможным благодаря ЭВМ.
Тест по дисциплине «Математическое моделирование»
6. Какие виды математических моделей получаются при разделении их по принципам построения?
а) аналитические, имитационные
б) детерминированные, стохастические
в) стохастические, аналитические
г) детерминированные, имитационные
7. На какой язык должна быть «переведена» прикладная задача для ее решения с использованием ЭВМ?
а) неформальный математический язык
б) формальный математический язык
в) формальный физический язык
г) неформальный физический язык
8. Что такое л инейное программирование
а) это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием
б) раздел математического программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации специальной структуры
в) метод оптимизации, приспособленный, к задачам, в которых процесс принятия решения, может быть, разбит на отдельные этапы (шаги)
г) это направление математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением является нелинейная функция
9. Какой метод относится к методам решения задач линейного программирования
а) симплекс-метод
б) метод множителей Лагранжа
г) метод половинного деления
10. Если в критериальной строке симплексной таблицы нет отрицательный коэффициентов, это означает, что
а) задача неразрешима
б) найден оптимальный план на максимум
в) найден оптимальный план на минимум
г) задача имеет бесконечно много решений
11. В каком случае задача математического программирования является линейной?
а) если ее целевая функция линейна
б) если ее ограничения линейны
в) если ее целевая функция и ограничения линейны
г) нет правильного ответа
12. Транспортная задача — это
а) математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение
б) математическая задача нелинейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение
в) математическая задача дробно-линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.
г) нет правильного ответа
13. Т ранспортная задача линейного программирования называется закрытой, если:
а) суммарные запасы равны суммарным потребностям
б) суммарные запасы больше суммарных потребностей
в) суммарные запасы меньше суммарных потребностей
г) целевая функция ограничена
14. В соответствии с основной теоремой теории транспортных задач всегда имеет решение
а) открытая транспортная задача
б) закрытая транспортная задача
в) транспортная задача с ограничениями типа равенств
г) транспортная задача с ограничениями типа неравенств
15. При построении опорного плана транспортной задачи методом северо-западного угла первой подлежит заполнению
а) клетка, расположенная в левом верхнем углу таблицы планирования
б) клетка, расположенная в правом верхнем углу таблицы планирования
в) клетка с минимальным значением тарифа
г) клетка с максимальным значением тарифа
16. При построении опорного плана транспортной задачи на минимум методом минимального элемента первой подлежит заполнению
а) клетка, расположенная в левом верхнем углу таблицы планирования
б) клетка, расположенная в правом верхнем углу таблицы планирования
в) клетка с минимальным значением тарифа
г) клетка с максимальным значением тарифа
17. Первым шагом алгоритма метода потенциалов является:
а) нахождение первого псевдоплана
б) нахождение первого условно-оптимального плана
в) нахождение первого опорного плана
г) нахождение первого базисного решения
18. Теория динамического программирования используется:
а) для решения задач оптимизации без ограничений
б) для решения задач управления многошаговыми процессами
в) для решения задач нелинейного программирования
г) для решения задач линейного программирования
19. Для решения задачи динамического программирования используется:
а) принцип оптимальности Беллмана
б) принцип максимума Понтрягина
в) принцип симметрии
г) принцип максимума правдоподобия
20. К задачам динамического программирования относится:
а) задача планирования замены оборудования
б) задача о рационе
в) транспортная задача линейного программирования
г) задача о назначениях
21. В методе динамического программирования под управлением понимается
а) совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса ;
б) совокупность решений, принимаемых на первом этапе процесса;
в) совокупность решений, принимаемых на последнем этапе процесса
г) совокупность решений, принимаемых на предпоследнем этапе процесса
22. При решении задачи динамического программирования строятся:
а) рекуррентные функциональные уравнения Беллмана
б) функции Лагранжа
в) штрафные функции
г) сечения Гомори
23. Что такое системы массового обслуживания
а) это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания
б) это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь
в) это такие системы, в которые в определенные моменты времени поступают заявки на обслуживание
г) нет правильного ответа
24. По наличию очередей системы массового обслуживания делятся на
а) простые, сложные
б) открытые, замкнутые
в) ограниченные СМО, неограниченные СМО
г) СМО с отказами, СМО с очередью
25. По источнику требований СМО делятся на
а) простые, сложные
б) открытые, замкнутые
в) ограниченные СМО, неограниченные СМО
г) СМО с отказами, СМО с очередью
26. Как называется объект, порождающий заявки в СМО
в) генератор заявок
г) узел обслуживания
27. Из чего состоит узел обслуживания в СМО
а) из диспетчера и генератора заявок
б) из конечного числа каналов
в) из очереди и диспетчера
г) нет правильного ответа
28. Как называется принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания
а) дисциплина очереди
б) механизм обслуживания
в) процедура обслуживания
г) конфигурация очереди
29. Как называется дисциплина очереди , определяемая следующим правилом: «первым пришел – первый обслуживается»
в) FIFO
г) нет правильно ответа
30. Как называется дисциплина очереди, определяемая следующим правилом: «пришел последним – обслуживается первым»
а) LIFO
г) нет правильно ответа
31. Задача о замене оборудования является задачей
а) нелинейного программирования
б) динамического программирования
в) линейного программирования
г) целочисленного программирования
32. В процессе динамического программирования раньше всех планируется
б) последний шаг
в) как сказано в условии задачи
г) предпоследний шаг
33. Задача, которая возникает при необходимости максимизации дохода от реализации продукции, производимой некоторой организацией, при этом производство ограничено имеющимися сырьевыми ресурсами, называется
а) задача коммивояжера
б) задача о составлении плана производства
в) задача о назначении
г) задача о рюкзаке
34. Метод минимального элемента — это
а) один из комбинаторных методов дискретного программирования, при котором гиперплоскость, определяемая целевой функцией задачи, вдавливается внутрь многогранника планов соответствующей задачи линейного программирования до встречи с ближайшей целочисленной точкой этого многогранника
б) один из методов отсечения, с помощью которого решаются задачи целочисленного программирования
в) один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи
г) один из методов, упрощающий определение исходного опорного плана задачи линейного программирования и симплекс-таблицы
35. Метод потенциалов — это
а) один из методов проверки опорного плана транспортной задачи на оптимальность
б) один из комбинаторных методов дискретного программирования, при котором гиперплоскость, определяемая целевой функцией задачи, вдавливается внутрь многогранника планов соответствующей задачи линейного программирования до встречи с ближайшей целочисленной точкой этого многогранника
в) один из методов отсечения, с помощью которого решаются задачи целочисленного программирования
г) один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи
36. Метод северо-западного угла это
а) один из методов проверки опорного плана транспортной задачи на оптимальность
б) один из комбинаторных методов дискретного программирования, при котором гиперплоскость, определяемая целевой функцией задачи, вдавливается внутрь многогранника планов соответствующей задачи линейного программирования до встречи с ближайшей целочисленной точкой этого многогранника
в) один из методов отсечения, с помощью которого решаются задачи целочисленного программирования
г) один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи
37. В задачах динамического программирования шаговое управление должно выбираться
а) с учетом последствий в будущем
б) с учетом предшествующих шагов
в) наилучшим для данного шага
г) лучше, чем предыдущее
38. Метод динамического программирования применяется для решения
а) задач, которые нельзя представить в виде последовательности отдельных шагов
б) многошаговых задач
в) только задач линейного программирования
г) задач макроэкономики
39. Принцип оптимальности Беллмана состоит в том, что
а) каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придёт система в конце данного шага
б) совокупность принимаемых решений обеспечит наибольшую локальную выгоду на каждом шаге процесса
в) совокупность принимаемых решений обеспечит наибольшую локальную выгоду на последнем шаге процесса
г) нет правильного ответа
40. Часть математического программирования, задачами которой является нахождение экстремума линейной целевой функции на допустимом множестве значений аргументов называется
а) линейное программирование
б) динамическое программирование
в) квадратичное программирование
г) дискретное программирование
41. К какому классу моделей можно отнести спичечный коробок, если представить его моделью системного блока ПК при планировании своего рабочего места?
а) это идеальная, математическая модель
б) это вещественная, натурная модель
в) это вещественная, физическая модель
г) это не является моделью
42. Какая из задач не имеет аналитической модели?
а) поиск оптимального раскроя листа фанеры
б) демодуляция аналогового сигнала
в) расчет расхода топлива по заданной формуле
г) распознавание текста
43. Какая математическая модель не относится к стохастическим?
а) идеальный газ
б) квантовый осциллятор
в) материальная точка
г) ни одна из предложенных
44. Материальная точка это не только математическая, но и
а) натурная модель
б) физическая модель
в) наглядная модель
г) знаковая модель
45. Во время поиска лучшего результата были построены две различные математические модели: эксперимент на ЭВМ, моделирующий систему атомов, и дифференциальная система уравнений, решенная численно, от двух полученных результатов взяли среднеквадратичный. Можно ли считать такой метод моделью?
а) да, это вещественная, математическая
б) да, это идеальная, математическая
в) да, это вещественная натурная
46. Какое максимальное количество моделей одного объекта можно составить?
а) любое количество
47. Сколько классов моделей существует?
г) нет правильного ответа
48. Какие модели относятся к классу вещественных моделей?
а) физические, натурные
б) идеальные, физические
в) наглядные, идеальные
г) натурные, идеальные
49. Какие модели нельзя отнести к классу мысленных моделей?
б) натурные
50. Какие модели входят в состав идеальных математических моделей?
а) аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные
б) аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические
в) символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление
г) нет правильного ответа
51. В чем заключается построение математической модели?
а) в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста математическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
б) в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
в) в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста математическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
г) в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
52. В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем, на какие группы могут быть разделены математические модели?
а) непрерывные, имитационные
б) детерминированные, стохастические
в) имитационные, детерминированные
г) стохастические, имитационные
53. Какие группы математических моделей не являются результатом распределения моделей по их поведению во времени?
а) статические, динамические
б) динамические, изоморфные
в) изоморфные, динамические
г) непрерывные, изоморфные
54. На какие группы можно разделить математические модели по виду входной информации?
а) статические, непрерывные
б) дискретные, непрерывные
в) динамические, непрерывные
г) динамические, статические
55. На какие группы можно разделить математические модели по степени их соответствия реальным объектам, процессам или системам?
а) стохастические, изоморфные
б) изоморфные, гомоморфные
в) детерминированные, стохастические
г) нет правильного ответа
56. Как называется модель, если между ней и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие?
б) изоморфная
57. Как называются модели, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий и их элементы (элементы модели) достаточно точно установлены?
в) детерминированные
58. В каком моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов?
б) имитационном
г) нет правильного ответа
59. Какие характеристики объекта, процесса или системы устанавливаются на этапе выбора математической модели?
а) дискретность, изоморфность
б) линейность, стационарность
в) изоморфность, линейность
г) стационарность, дискретность
60. Посредством каких конструкций, математические модели описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи?
а) логико-математических конструкций
б) статистических конструкций
в) вероятностных конструкций
г) нет правильного ответа
61. Что не входит в предмет математического моделирования?
а) построение алгоритма, моделирующего поведение объекта (системы)
б) корректировка построенной модели
в) поиск закономерностей поведения объекта (системы)
г) построение натурной модели
62. Какие изучаются зависимости между величинами, описывающими процессы, при их моделировании?
а) качественные и количественные
б) только качественные
в) только количественные
г) нет правильного ответа
63. В каких процессах вычислительный эксперимент является единственно возможным?
а) где натурный эксперимент может привести к очень большим объемам работ
б) где натурный эксперимент может привести к неверным результатам
в) где натурный эксперимент опасен для жизни и здоровья людей
г) нет правильного ответа
64. С чего обычно начинается построение математической модели?
а) с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы
б) с построения и анализа математической модели, которая наиболее полно соответствует рассматриваемому объекту, процессу или системе
в) с анализа математической модели рассматриваемого объекта
г) нет правильного ответа
65. Какой характер носят выводы, полученные в результате исследования гипотетической модели?
б) условный
г) нет правильного ответа
66. Что необходимо сделать для того, чтобы проверить выводы, полученные в результате исследования гипотетической модели?
а) необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента
б) необходимо провести повторное исследование модели и сопоставить результаты двух исследований
в) необходимо провести исследование модели несколько раз и сопоставить результаты данных исследований
г) нет правильного ответа
67. При исследовании гипотетической модели какого характера получатся выводы?
б) условного
68. Какими знаниями необходимо обладать для построения математической модели в прикладных задачах?
а) только специальными знаниями об объекте
б) только математическими знаниями
в) математическими знаниями и специальными знаниями об объекте
г) нет правильного ответа
69. Укажите метод, неприменяемый для компьютерного моделирования:
а) численное решение
б) точное решение в виде формул
в) экспериментальный анализ
г) нет правильного ответа
70. Численный метод предполагает решение в бесконечном цикле итераций. Когда следует прервать процесс вычисления?
а) в момент, когда решение будет меняться от итерации к итерации менее чем на 1%
б) когда будет достигнута заданная степень точности
в) в случае если число начнет расти
г) нет правильного ответа
71. Какая задача не поддается точному решению на ЭВМ в виде формул?
а) интегральное уравнение 1-го порядка
б) дифференциально-интегральная система уравнений
в) система нелинейных уравнений
г) все указанные поддаются
72. Какой из методов имеет приближенный характер?
а) точное решение в виде формул
б) численное решение
в) оба указанных метода
г) нет правильного ответа
73. В чем состоит суть компьютерного моделирования?
а) на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель
б) в создании математической модели исследуемых объектов
в) посредством рассмотрения исследуемых объектов с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, и составляется математическая модель
г) в создании точной копии исследуемых объектов
74. Какой из экспериментов наиболее выгодно применять для исследования большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации?
б) вычислительный
г) нет правильного ответа
75. Какое преимущество имеет вычислительный эксперимент по сравнению с натурным экспериментом?
а) короткие сроки и минимальные материальные затраты
б) только короткие сроки получения результатов
в) только минимальные материальные затраты
г) нет правильного ответа
76. Какими методами следует решать системы, состоящие из смешанных (линейных и нелинейных) уравнений?
б) приближенными
в) оба предложенных метода годятся
г) никакими из предложенных
77. Укажите существующие группы решения математических задач
а) численные, точные
б) приближенные, точные
в) численные, приближенные
г) алгоритмические, приближенные
78. Какие процессы должны отражать математические модели в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем?
а) реальные физические нелинейные процессы, протекающие в реальных объектах
б) реальные математические нелинейные процессы, протекающие в реальных объектах
в) реальные физические линейные процессы, протекающие в реальных объектах
г) реальные математические линейные процессы, протекающие в реальных объектах
79. Для чего могут применяться результаты проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы?
а) только для корректировки математической модели
б) только для решения вопроса о применимости построенной математической модели
в) для корректировки математической модели или для решения вопроса о применимости построенной математической модели
г) нет правильного ответа
80. Что происходит с результатами исследований на ЭВМ при проверке адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы?
а) сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце
б) принимаются в качестве итоговых результатов
в) не принимаются во внимание
г) нет правильного ответа
Метод взвешенной невязки для уравнений параболического типа с учетом приближенного характера исходных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Наац Виктория Игоревна, Наац Игорь Эдуардович, Рыскаленко Роман Андреевич
Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями
Операторы обобщенного дифференцирования в вычислительном методе оценки поля скорости ветра в атмосфере на основе векторного уравнения Навье-Стокса
Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примесей на основе метода взвешенной невязки и операторов обобщенного дифференцирования функций
Дислокационная концепция моделирования функцией Фойгта рентгеновской дифракции в реальных металлах
Методы приближения суммируемых функций на основе интеграла Стилтьеса применительно к задачам прикладного анализа
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Текст научной работы на тему «Метод взвешенной невязки для уравнений параболического типа с учетом приближенного характера исходных данных»
ния расстояния (2R) между дислокациями приводит к увеличению параметра имитированной функции Коши на 20%.
1. Цит. по: Гинье А. Рентгенография кристаллов. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1961. с. 392; цит. по: Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния рентгеновских лучей. М.: Изд. Московского университета, 1972. с. 129.
2. Warren B.E., Averbach B.L. The effect of cold-work distortion on X-ray patterns // J. Appl. Rhys., 1950. V. 21, N6. P. 595-599.
3. цит. по: Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния . с. 136; Коршунов А.Б. Аналитический метод определения параметров тонкой кристаллической структуры по уширению рентгеновских линий // Заводская лаборатория. Диагностика материалов, 2004. Т. 70, №2. с. 27.
4. Иванов А. Н., Шелехов Е. В., Кузьмина Е. Н. Метод Фойгт-аппрокси-мации для определения параметров наноструктуры по профилю рентгеновских линий // Заводская лаборатория. Диагностика материалов, 2004. Т. 70. №11. С.29-33; Селиванов В.Н., Смыслов Е.Ф. Анализ полидисперсности при аппроксимации рентгеновского дифракционного профиля функцией Фойгта // Там же, 1991. Т. 57, №7. с. 28.
5. Цит. по: Sarkar A., Mukherjee P., Barat P. Effect of heavy ion irradiation on microstructure of zirconium alloy characterized by X-ray diffraction // Journal of nuclear materials, 2008. V. 372, P. 285-292.
6. Иванов А. Н., Шелехов Е. В., Кузьмина Е. Н. Метод Фойгт-аппрокси-мации . с. 30.
7. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. IV изд.;.пер. с англ. А.А. Гусева и А.В. Пахнева; под ред. А.А. Гусева. Учебное руководство, Москва. «Наука», 1978. 792 с.
8. Griffiths M., Winegar J.E., Mecke J.F. et al. Determination of dislocation densities in hexagonal
close-packed metals using X-ray diffraction and transmission electron microscopy // Advances in X-ray analysis, 1992. V. 35, P. 593-599.
9. Wilkens M. The determination of density and distribution of dislocations in deformed single crystals from broadened X-ray diffraction profiles // Phys. Status Solidi (a), 1970. V. 2, P. 359-370.
10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4 изд. М.: «Наука». Гл. ред. ф.-м. лит., 1973. с. 24; Малыхин Д.Г. Рентгеновский метод анализа дислокационной структуры в ГПУ-металлах // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Вакуум, чистые металлы, сверхпроводники, 2014. вып. 1(89), с. 56-59.
11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T.VII. Теория упругости. 4 изд. М.: Изд. «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 248 с.
12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций . с.21.
13. Малыхин Д.Г. Рентгеновский метод анализа . вып. 1(89). с. 58.
14. Малыхин Д.Г., Ковтун Г.П., Корнеева В.В. и др. Память о фазовом переходе и дислокационная структура СВЧ-закалённого сплава Zr-2,5%Nb // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение (98), 2011. №4. с. 48-54; Малыхин Д.Г. Изменения в тонкой кристаллической структуре гафния, циркония и его сплавов при различных механико-термических обработках / Автореф. канд. дисс., Харьков, ННЦ ХФТИ, 2012. 21 с.
15. Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния . с. 138.
16. Черняева Т.П., Грицина В.М. Характеристики ГПУ-металлов, определяющие их поведение при механическом, термическом и радиационном воздействии // Вопросы атомной науки и техники. Серия: «Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение» (92), 2008. вып. 2, с. 15-27.
метод взвешенной невязки для уравнении параболического типа
с учетом приближенного характера исходных данных
Наац Виктория Игоревна
Доктор физ.-мат. наук, доцент, Северо-Кавказский федеральный университет, профессор кафедры математического анализа института математики и естественных наук, г. Ставрополь
Наац Игорь Эдуардович
Доктор физ.-мат. наук, профессор, Северо-Кавказский федеральный университет, ведущий научный сотрудник института повышения квалификации и научно-педагогических кадров, г. Ставрополь
Рыскаленко Роман Андреевич Канд. физ.-мат. наук, Северо-Кавказский федеральный университет, доцент кафедры математического анализа института математики и естественных наук, г. Ставрополь
Статья посвящена разработке численных методов и алгоритмов для дифференциальных уравнений в частных производных в ситуациях, когда исходные данные являются приближенно заданными функциями. Подобным
примером является задача прогноза экологических ситуаций в пограничном слое атмосферы, в пределах которого распространение загрязняющих веществ описывается так называемым уравнением массопереноса [1, с. 36]:
(Vx ( P, t ) ■ q(P, t )) + — (Vy (P, t ) ■ q( P, t )) + Sx Sy
где P — Р(x,у,z) , Р ёПс R3, t е [0, Т], начальные условия ц(Р, t)| — Ц0(Р) для Р еО, граничные условия ц(Р,t) — Ц(Р,t) для Р еО, ц(Р,0) — Ц0(Р) и Ц (Р, I) — заданные функции, О — граница области О . В уравнении (1) ц(Р, ^ — концентрация примесей, имеющихся в точке пространства Р в момент времени t; а(1) — коэффициент, характеризующий степень вывода или привнесения примесей в данный объем за счет химических или других процессов, протекающих в приземном
слое атмосферы; ¥х (Р, t) , Уу (Р, t), У2 (Р, ^ — компоненты вектора скорости ветра; Кх (Р, t), Ку (Р, t),
К2 (Р, t) — турбулентность, характеризуемая коэффициентом турбулентной диффузии; перенос осуществляется
вдоль координатных осей Ох, Оу, Oz; Б(Р, ?) — источник примесей. Уравнение (1) с начальными и граничными условиями решается относительно распределения ц(Р, ¿) , остальные функции являются исходными экспериментальными данными. Уравнение (1) представляет собой параболическое неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных. Ограничения, накладываемые на функции исходных данных, гарантирующие существование и единственность решения поставленной задачи хорошо известны и далее считаем, что они выполняются и решение (1) существует и единственно. В настоящей задаче предполагается, что исходные данные представляются приближенными значениями полей скорости ветра V(Р, t) и коэффициента турбулентного обмена К(Р, t) . Если значения поля V(Р, t) в точке Р в определенные моменты времени t могут быть оценены прямыми измерениями в пределах контролируемого региона, то значения функции К(Р, Г) вводятся в уравнение переноса на основе статистических данных либо с помощью полуэмпирических формул. Постановка задачи, о которой пойдет речь ниже, формулируется с учетом сделанных выше замечаний.
Рассмотрим одномерный вариант задачи (1):
^Ц (х, О — ^ (К (х, ОцХ ) (V(x, № + Б (х, 0, от ох ох
B
дальнейшем полагаем, что указанные выше функции представлены в вычислительных алгоритмах своими о -приближениями, при этом считаем, что о — приближением некоторой функции /(х) е С1 (О) является функция, обозначаемая /о (х) е Ь1 (О х ) и удовлетворяющая условию:
II /(х) — / (х)|| о II /II (3)
где о — достаточно малое число (о > 0). Поскольку функция / (х) обычно неизвестна и подлежит определению, то в оценках типа (3) можно использовать приближение У /(х) У и (О) =1 /о I и (О). Отличие функДий /(х)
и / (х) состоит в том, что для /(х) применим оператор обычного дифференцирования О — й/йх по переменной х, в то время как для «дифференцирования» /а (х) требуется построение специального оператора
в той ли иной мере аналогичного исходному оператору О, определенному на множестве С1 (О ) . В этом
контексте оператор называется оператором обобщенного дифференцирования и областью его определения являются более широкие функциональные классы нежели
С1(О х) . Построение оператора Ост может быть осуществлено различными методами, выбор которых согласуется с особенностями решаемых прикладных задач, но в
любом случае требуется, чтобы при о ^ 0 оператор Оо
в том или ином смысле был близок к оператору О , который определяется через предельное отношение (А/(х) / Ах) при Ах ^ 0. Если /(х) не дифференцируется в некоторой точке х, то применение конечно-разностных аппроксимаций для оператора О мало обосновано и практически ведет к расходимости вычислительных процессов. В данной работе понятие обобщенного дифференцирования связывается с построением решающего алгоритма для модели (2) в рамках вариационного подхода. В основе этого подхода лежит предположение о возможности представления исходного решения ц( х, t) в следующем виде:
Ц(х, t) = Цт (х, t) — £ Ск ^(х) + С&К(х) + СтК+1(х) — £Ск ^^ (х) ,
где — некоторая система базисных функций. Обычно на функции базиса в краевых задачах налагают
Условия: (х) I х—а = Vк (х) | — 0,
Vo(х) |х=а — vm+1 (х) Iх-ь — 1. Тогда в (4) Со(г) — Чх(г), Ст+1(?) — д2(1) и неизвестными остаются коэффициенты С[(г). Ст(г) (тоже вектор-функция С(г)). Остается построить систему функциональных уравнений для определения указанных коэффициентов. С этой целью исходное уравнение (2) перепишем в виде:
q(х, г) — — [V(х, г)д — К(х, г] + £(х, г). (5)
Обозначим g(х, г) — q1 (г^0 (х) + q2 (г(х) и подставим выражение (4) в (5). После соответствующих преобразований придем к следующему дифференциальному уравнению относительно компонент вектора — коэффициентов С :
£с,(г)Vk (х) + g(х,г) —-£Ск(г)-д-[V(х,гХ (х) — К(х,гК(х)] —
-—[V(х, г)g(х, г) — к(х, г)¿х (х, г)] + £(х, г). (6)
Уравнение (6) можно рассматривать как некий приближенный аналог исходного уравнения (2) в предположении, что представление (4) для искомой функции q( х, г) действительно имеет место. Здесь имеется ввиду, что qm (х, г) ^ q(х, г) при т ^ да для каждой пары точек
(х,г) еО . Вместе с тем следует заметить, что подобная эквивалентность (2) и (6) более чем условна, ибо из близости qm (х, г) и q( х, г) ни каким образом не следует близость х (х, г) к qx (х, г), не говоря уже о вторых частных производных. Положение усугубляется, если функции V(х, г) и К(х, г), входящие в выражение (6) заданы приближенно и строго говоря, не дифференцируемы.
Рассмотрим задачу построения системы т уравнений для определения Ск(г) , (к — 1. т), исходя из уравнения (6). Предварительно следует «свернуть» уравнение (6) по переменной х . Подобная операция в рамках вариационного подхода осуществляется интегрированием невязки р(х, г, С) для уравнения (6) по переменной х, требуя при этом выполнения условия:
| щ (х)р(х, г, C)dx — 0, 1 — 1. т, (7)
где — система весовых функций. Вариантом выбора является случай, когда весовые функции щ (х) локализованы в пределах частичных (элементарных) интервалов А1 (х) — х1 — х ¡_г, покрывающих область Ох — [а, Ь]. В этом случае пару (А 1 (х), щ (х))
называют конечным элементом, а подход в целом — методом конечных элементов. Применяя операцию (7) к уравнению (6), приходим к следующей системе линейных дифференцированных уравнений относительно компонент
£ Ск (г)аш — Ск (г )ЬЛ (г) + к (г), (8)
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Ь1к — I щ (х)—(х, г)с1х, к,1 — 1,
Jk (х, г) — J( х, г, V,) — V (х, г^к (х) — к(х, гК (х),
Система (8)-(11) может быть записана в матричном виде
АС — -В(г)С + к (г). Численные методы решения подобных систем описаны в работах авторов [1,2,3]. Одним из простейших методов является построение рекурсивной
схемы вида С(] +1) — Т(])С(]) + ~£(])к(‘) , в которой ~(‘) — (I + ~А-1В(- ~А-1В(‘)) — оператор шага и £ (у’) — (I + тА1В(у’))-1 — оператор источника. В этих выражениях параметр т — г ^ 1 — г у — интервал дискретизации искомой функции q(х, г) по переменной г [1, с. 189].
Обратимся к проблеме дифференцируемости функций, которые задействованы в вычислительной схеме (8)-(11). Если исходные данные V (х, г) и К (х, г) принадлежат множеству Вст , то вычисление J’k х (х, г) в выражении (9) затруднительно. Поэтому к интегралу (9) применим формулу интегрирования по частям и получим следующее выражение: ь ь
| щ (х) J[,x (х, г )Сх — (х, г )Сх + [щ (х) Jk (х, г )]х—ь
При этом необходимо выполнение условия дифференци-руемости весовых функций . Интегральное равенство (12) делает вычисление интеграла (9) вполне определенным для любой пары (V , Ка ) е В, так как требует от соответствующих функций лишь их интегрируемости. При ст ^ 0, когда (Уо, Ка ) ^ (V, К) в каждой точке (х, г) е О, формула интегрирования по частям (12) обратима и значит оператор , стоящий за равенством (12) эквивалентен оператору обычного дифференцирования О, что объясняет смысл термина «обобщенное дифференцирование».
Далее обратимся к проблеме выбора весовых функций в системе (8)-(11). Для этого сформулируем следующие требования: а) щ 1 (х) > 0 для всех х еО х
(1 — 0,1..т +1) ; б) | щ, (х)Сх — 1 для V 1 — 1, т ; в) си-
стема ( 1 — 1. т) может быть ассоциирована с некоторым множеством узловых точек (1 — 0. (т +1)), расположенных на отрезке Ох — [а, Ь] таким образом, что щ 1 (х) — щ(х, х 1); г) функция щ(х, х’) такова, что щ(х, х’) — щ(х — х’),
(х, х’) еО х хО х, и при этом w( х, х’) — 0 при I х — х’ I—> ^ ; д) производная м!х (х, х’) суммируема на
О по переменным х и х’ . Подобные функции известны
в прикладном анализе, например, это ядра так называемых сингулярных интегралов функций. Сингулярный интеграл для суммируемой функции /( х) , определенной на отрезке [а, Ь] записывается следующим образом:
lim fn (x) = f (x), (13)
где Kn (x, x’) — ядро интеграла (13) порядка n (n ^ ы)
. В теории сингулярных интегралов последовательность
ядер удовлетворяет всем перечисленным
выше требованиям на весовые функции в интеграле (7). Определяющее условие (13) для сингулярных интегралов
(Knf)(x) распространяется на производную f'(x), если f (x) является интегрируемой функцией.
Если применить к интегралу (14) формулу интегрирования по частям, то придем к следующему равенству:
При п — да [Кп (х, х’)/(х’)]£ — 0, и учитывая, что К’п х, — —К’п х найдем:
| Кп (х, х’)/( х’)йх’ Кп, х (х, х’)/( х’)йх\
В силу предельного соотношения в (14), можно утвер- Функция E(x, t) удовлетворяет условию нормирования,
ждать, что интеграл
J к:, x (x, x’)f ( x’)dx
u(x, t) = J JE(x — x’, t -1′)s(x’, t’)dx’dt’
ближением к / : (х) для дифференцируемых функций. Именно о таких функциях и идет речь в численных методах для дифференциальных уравнений. Интегральный
оператор с ядром (ОхКп )(х, х’) — КПх (х, х’) определяет отображение /(х) — /’ (х) в каждой точке х, в которой / ( х) дифференцируема. Поскольку такое отображение формально определено для всякой суммируемой функции / ( х) , то этот оператор можно считать оператором обобщенного дифференцирования. Для не дифференцируемых функций / ( х) значения интеграла
(Ох о Кп/)(х) в точке х характеризует меру гладкости
/ ( х) в окрестности этой точки. Поэтому операция, связанная с применением формулы интегрирования по частям к функции Jк (х, t) по переменной х, приобретает больший смысл при условии wl (х) — w( х, х1) — Кп (х, х1) Остановимся кратко на выборе последовательностей <Кп(х, х')>в прикладных задачах. Во всех приложениях, когда решается уравнение типа й — аихх + х, ?), важную роль играет функция:
—да 24Ш 1 [ 4at J
для всех ^ > 0. Это позволяет на основе Е(х, t) в данном классе задач сконструировать так называемое распределение единицы. Действительно, выражение (15) нетрудно привести к виду:
где обозначено й(^ =«/4Ш и п — 1,2.. Нетрудно показать, что функции последовательности Жп (х, х’, й) удовлетворяют ограничениям, налагаемым условиями а) — д) на функции w( х, х’). В дальнейшем удобно ввести параметр т — 1/ п и формулу (17) писать в виде:
lim J WT (x, x’, d)dx> = 1, V(x, d), где x e (a, b).
известная как фундаментальное решение однородного уравнения указанного типа. Функция Е(х, t) позволяет решение неоднородного уравнения представить в виде следующего интеграла:
й > 0. Теперь в методе взвешенной невязки принимается соотношение w¡ (х) :— Жт (х1, х, й), I — 1, т, которое и
решает вопрос о выборе системы весовых функций в рамках изложенного подхода. С учетом этого формулы (8)-(11) решающего алгоритма примут следующий вид:
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
ak'(t) -J W (x,, x, t)vk (x)dx, bk) (t) — J W,x (x,, x, t)Л (x, t)dx + ^ (x, t)
hf\t ) -Jw ( x,, x, t )dx, )(t ) — [W ( x,, x) Jk ( x, t )]]
Итоговая система уравнений теперь имеет вид:
С — — Л1 В С + А-1 А , где операторы А-1 и В являются операторозначимыми функциями параметра т , выбор которого ставится в прямую зависимость от величины с : т (с) ^ 0 при с ^ 0. Решением системы
С — —Л1ВС + А—1Ъ является вектор С( т), определяющий согласно (4) последовательность приближенных решений <и( т)(х, I)>по параметру т .
1. Наац В.И., Наац И.Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография. М.: Физматлит, 2010. — 328 с.
2. Рыскаленко Р.А., Чемеригина М.С. Операторы обобщенного дифференцирования в численных методах решения нелинейного уравнения переноса с приближенными данными // Вестник Северо-Кавказского Федерального Университета (СКФУ). -2013 — №1. — [электронный ресурс] — режим доступа. — URL:[http://www.ncfu.ru]
3. Рыскаленко Р.А., Черкасова И.В. Интегральные представления функций в численных методах решения нестационарных задач переноса // Вестник Северо-Кавказского Федерального Университета (СКФУ) — 2013. — №1. — [электронный ресурс] — режим доступа. — URL:[http://www.ncfu.ru]
гравитационные уравнения без космологической постоянной
и темная энергия
Попов Николай Николаевич
Кандидат физ-мат наук, старший науч. сотр. ВЦ РАН, Москва
На основе постулата о зависимости скалярной кривизны пространства от плотности распределения массы материи и принципа наименьшего действия выводится уравнение гравитационного поля без космологической постоянной, позволяющее описывать динамику неоднородной материальной гравитирующей среды, заполняющей пространство и содержащую темную энергию. В качестве примера рассматривается космологическая модель Фридмана, содержащая темную энергию.
Ключевые слова: гравитационные поля, гравитационные уравнения,закон Хаббла, темная энергия.
The equations of gravitation fields which describe the dynamics of non-homogeneous matter environment are obtained by the principle of lesser action. The cosmologic Fredman, model containing the dark energy are considered.
Key words: gravitation fields, gravitation equations, Babble law, dark energy.
Целесообразность введения космологической постоянной X в основное уравнение общей теории относительности
часто подвергалось критике из за невозможности придать дополнительному слагаемому физическую интерпретацию. Однако ситуация резко изменилась, в связи с открытием в конце девяностых годов прошлого столетия, материальной субстанции, равномерно заполняющей все пространство с неизменной плотностью распределения массы материи, получившей название темной энергии. Космологическую постоянную X удалось интерпретировать как плотность распределения массы темной энергии. Однако возникает вопрос: нельзя ли предсказать существование темной энергии, со столь необычными, с физической точки зрения, свойствами, исходя из основного уравнения, не содержащего космологической постоянной.
В предлагаемой заметке выводится основное уравнение теории гравитации, уточняющее конкретный вид тензора энергии-импульса, и на основе этого уравнения исследуется модель расширяющегося пространства. Одно из решений основного уравнения предсказывает существование темной энергии.
1. Вывод основного уравнения теории гравитационных полей
Пусть задано четырехмерное псевдориманово пространство М13 сигнатуры (н—-), определяемое полем ко-
вариантного метрического тензора (х),
х — (х х ) еМ13, где х х — некоторая система
криволинейных координат, причем х , х , х — собственно пространственные координаты, а х — временная координата. Пусть , 1,у —1. 4, дважды непрерывно