Матрица версии 1с и 1а чем отличаются

Модель дихотомической матрицы результатов тестирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Текст научной работы на тему «Модель дихотомической матрицы результатов тестирования»

нет соответствующего экспериментального уровня энергии. Следовательно, вычисленная часть спектра задачи (33), (36), (37) перекрывает экспериментальный спектр, то есть пакет БЫРИ4М может успешно применяться в задачах, аналогичных рассмотренной.

Для у=14 точность решения 0(ИР) (р=4) подтверждена вычислениями на последовательности трех сгущающихся сеток с шагами Ь=0,005 (N=2001), И/2, И/4 и получением значения отношения Рунге для zh=(Xh, уь): 2 — 2

ст = ——^ м 27,5 — 45,0, (41)

гУг — ^ то есть порядок р=^2ст>4.

Расчеты выполнялись на PC (Intel(R) Pen-tium(R) Mprocessor 1.8GHz) в системе Maple версии 13. Переменное окружение Digits управляет числом цифр, которые Maple использует при вычислениях с числами с плавающей запятой. При Digits=10 алгоритм в пакете SLIPH4M по умолчанию не сходится, поэтому в пакете SLIPH4M Di-gits=20. Начальное приближение дает невязку по формуле (14) 8к«10+2-10-2. Итерации осуществлялись с выбором параметра тк согласно формуле (29) (т0=0,1), причем в процессе уточнения невязка достигала величины «10-8-10-11 в среднем за 11 итераций.

Авторы благодарят профессора И.В. Пузыни-на (ОИЯИ, г. Дубна) за постоянный интерес, помощь и поддержку.

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. С. 258-276.

2. Пузынин И.В. [и др.]. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых квантово-полевых моделей; Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). 1999. Т. 30. Вып. 1. С. 210-265.

3. Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Во Чонг Тхак. SLIPM -программа на языке MAPLE для численного решения частичной проблемы Штурма-Лиувилля на основе непрерывного аналога метода Ньютона // Вестн. РУДН: сер. Математика. Информатика. Физика. 2010. № 2. Вып. 2. С. 90-98.

4. Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. SLIPH4 -программа для численного решения задачи Штурма-Лиувилля // Сообщения ОИЯИ, P11-87-332, Дубна, 1987.

5. Sharp T.E. Potential-energy curves for molecular hydrogen and its ions // Atomic Data and Nuclear Data Tables, 1971. Vol. 2, pp. 119-169.

МОДЕЛЬ ДИХОТОМИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТИРОВАНИЯ

И.Н. Елисеев, к.т.н. (Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты,

Рассматриваются теоретические предпосылки и основные этапы формирования модели дихотомической матрицы результатов тестирования. На основе вычислительного эксперимента сформирована и исследована модель дихотомической матрицы ответов размером 1009×49, применение которой позволит успешно решать проблемы, связанные с моделированием и параметризацией педагогических тестов.

Ключевые слова: модель дихотомической матрицы, тест, индикатор теста, латентный параметр, модель Раша.

При исследовании широкого круга проблем, связанных с моделированием и параметризацией диагностических тестов [1], необходимо иметь модель дихотомической матрицы результатов тестирования, используя которую, можно было бы оценить генеральные значения Pj и 01 латентных параметров однопараметрической дихотомической модели Раша [2, 3]. Элементы такой матрицы

должны соответствовать модели Раша, используемой в качестве модели измерения латентных параметров р и 0, а статистические параметры удовлетворять критериям качества виртуального теста-модели, результаты выполнения которого эти элементы матрицы представляют. Строки модели-матрицы — это совокупности нулей и единиц, оценивающие выполнение виртуального набора

индикаторов каждым из виртуальных участников тестирования, а ее столбцы — результаты выполнения каждого из индикаторов каждым из участников. Суммирование элементов модели-матрицы по строкам позволяет получить значения индивидуальных баллов х1 участников тестирования, а сложение значений элементов столбцов модели-матрицы — значения индивидуальных баллов у1 индикаторов. В соответствии с рекуррентными формулами, используемыми для расчета значений латентных параметров модели Раша, именно на основе этих индивидуальных баллов участников тестирования и заданий оцениваются генеральные значения 01 и Pj латентных параметров [1, 3].

В общем случае генеральная дихотомическая матрица результатов тестирования должна иметь достаточно много строк и столбцов. Количество строк определяет объем необходимой виртуальной выборки студентов, что проблемой не является (по крайней мере в общем случае). Количество столбцов — это число виртуальных индикаторов диагностического теста-модели, на практике ограниченное разумными пределами. Например, рекомендуется включать в педагогический тест 50 заданий. Увеличение количества заданий сверх этой цифры приводит к утомляемости участников тестирования, поэтому полученные значения 01 и Pj в этом случае нельзя считать объективными [3]. С учетом данного обстоятельства формируемая матрица ответов может содержать достаточно большое количество строк и ограниченное число индикаторов Ь (Ъ~50). В связи с этим под термином «генеральная модель» будем понимать модель дихотомической матрицы с достаточно большим количеством строк и ограниченным количеством столбцов, по которым рассчитываются генеральные значения 01 и Pj латентных параметров, из нее формируются подматрицы для решения задач, связанных с моделированием и параметризацией педагогических тестов.

Ограничение числа индикаторов привносит определенные трудности в процесс создания генеральной дихотомической матрицы. Поскольку значения индивидуальных баллов х1 могут быть только целочисленными, ограничение числа индикаторов, с одной стороны, усложняет обеспечение нормативности матрицы ответов, с другой -снижает точность расчетной оценки латентного параметра 01 .

Понятие нормативности для экспериментальной дихотомической матрицы результатов означает, что в ней участники тестирования с разным уровнем подготовленности 0 представлены в тех же пропорциях, что и в генеральной матрице ответов. Если же говорить о дихотомической матрице ответов, используемой для расчета генеральных значений 01 и Pj, то для нее выполнение требования нормативности означает одновременное соблюдение двух условий.

1. Все индикаторы теста-модели должны быть разной трудности. Расположение их на оси латентной переменной р должно соответствовать статистической плотности распределения вероятности рр значений Pj. Если это нормальное распределение, то в его центральной части значения Pj должны располагаться гуще, при удалении от центра — реже.

2. Плотность расположения всех N участников тестирования на оси латентной переменной 0 должна соответствовать распределению, определяемому законом распределения плотности вероятности р0 значений 0Ь Среди них обязательно наличие участников с одинаковыми значениями 0Ь причем их число п должно соответствовать распределению плотности вероятности р0. В выборке должны присутствовать только те участники тестирования, уровень подготовленности которых соответствует целочисленным значениям хь изменяющимся в диапазоне от 1 до Ь-1.

Формирование модели дихотомической матрицы результатов тестирования

На первом этапе формирования модели матрицы выбираются законы распределения значений латентных переменных 01 и Pj. Как показывает опыт массовой обработки результатов централизованного тестирования, ЕГЭ, а также обработки результатов тестирования уровня подготовленности студентов многоуровневого университетского комплекса «ЮРГУЭС» (г. Шахты), статистики 01 и Pj распределены по нормальному закону [3]. Поэтому при формировании модели дихотомической матрицы ответов предполагалось, что значения 01 и Pj подчинены нормальному закону распределения с плотностями р0 и рр соответственно:

На втором этапе оцениваются интервалы изменения переменных 01 и Pj. Чтобы обеспечить ва-лидность теста-модели по отношению к виртуальной генеральной выборке студентов, интервалы изменения 01 и р1 желательно выбирать одинаковыми, равными [-а; а].

Задавая числа интервалов разбиения выбранного диапазона изменения переменных 01 и Р1 равными л»е и л»р, находим длину частичных интервалов А0 и Ар:

где числа и \р должны быть нечетными.

Задаем значения параметров те, ое и тр, законов распределения плотности вероятности 01 и Р). Используя значения ше и шр в качестве центров распределений, определяем границы интервалов разбиения диапазонов изменения для 0 и р.

Находим число участников тестирования п в каждом интервале разбиения. Для к-го интервала формула для вычисления пк будет иметь вид

где 0нк — нижняя граница к-го интервала; р0(0) -плотность распределения вероятности латентной переменной 0. Рассчитываем значения уровня подготовленности участников тестирования по интервалам. Для к-го интервала разбиения расчетное выражение имеет вид

акт «(е„к +вк) + (т-1)-дек. (т = мк. к = а).

ек — малая величина, наличие

которой исключает попадание значений 0кш на границу интервала. Полученные значения 0к111 объединяем в одну общую выборку 0° (1 = 1, N :

N = ^ пк), элементы которой будут упорядочены

по возрастанию уровня подготовленности участников тестирования от 1-го к ^му (в модели-матрице они расположены сверху вниз).

Рассчитываем число 4 индикаторов в каждом интервале разбиения. Для «-го интервала оно определится выражением

где Р„, — нижняя граница «-го интервала; Рр(Р) -функция плотности распределения вероятности латентной переменной р.

Определяем значения р«ш уровня трудности индикаторов для «-го интервала разбиения:

где др =-1. рн, — нижняя граница интер-

вала; е« — малая величина, использование которой исключает попадание значений р«ш на границы интервала. Объединяя полученные значения р«ш,

получим выборку Р^ (] = 1,Ь , Ь = ), элемен-

ты которой упорядочены по возрастанию значений трудности от 1-го к Ь-му (в модели-матрице они будут расположены слева направо).

Используя найденные выборки 0° и р! и выражение для модели Раша, находим индивидуальные баллы х’ и у’ :

Округляем полученные значения х[° и у’° до

целочисленных х1 и yj. Проверяем выполнение равенства

Если равенство не выполняется, корректируем значения х1 и yj за счет изменения числа участников тестирования N.

По найденным значениям х1 и у) формируется первоначальная модель дихотомической матрицы результатов тестирования М0. Поскольку элементы выборки упорядочены по возрастанию значений слева направо, а выборки 0° — сверху вниз, результаты выполнения наиболее трудных индикаторов будут располагаться в крайних правых столбцах матрицы, а результаты ответов на индикаторы наиболее подготовленных студентов — в самых нижних строках матрицы. Заполнение матрицы элементами «1» целесообразно начинать с ее правой нижней части. Единицы должны быть распределены по ячейкам матрицы М0 таким образом, чтобы сумма их по каждой строке была равна соответствующему индивидуальному баллу х1 участника тестирования с номером 1, а сумма единиц по каждому столбцу — индивидуальному баллу у) задания под номером Заполнение матрицы единицами осуществлялось справа налево, снизу вверх. После расстановки единиц пустые ячейки матрицы заполняются нулями, и получается первичная (предварительная) модель матрицы М0. На этом заканчивается первый этап формирования модели генеральной дихотомической матрицы результатов тестирования.

На втором этапе обеспечиваются адекватность элементов матрицы М0 модели Раша, а также соответствие системообразующих свойств индикаторов и их критериальной валидности научно обоснованным критериям качества. При заданных значениях индивидуальных баллов х1 и у) элементы матрицы М0 необходимо расположить таким образом, чтобы они были адекватны модели Раша, обладали требуемыми системообразующими свойствами и критериальной валидностью.

В современных программных средствах адекватность проверяется, как правило, на основе критерия согласия %2. Адекватность считается обеспеченной, если вероятности р(р) и р^ соответствия модели Раша индивидуальных баллов всей совокупности индикаторов и всех участников тестирования в целом равны 1 или близки к 1. Это условие должно выполняться также для каждого

индикатора и для каждого тестируемого в отдельности.

Второй этап начинают с проверки адекватности полученной матрицы М0, для чего она обрабатывается с помощью программных средств, реализующих дихотомическую модель Раша, например, с помощью программного комплекса МЬР-1 [4], и анализируются полученные значения вероятностей согласия р(р) и р(в2:. Как правило, их

первоначальные значения близки к нулю. Для повышения р(р) и р((2) случайным образом осущест-

вляются перестановки нулей и единиц в парах столбцов или строк, и каждый раз проверяется,

как меняются значения р(р) и р(2′. При их возрас-

тании изменения в матрице сохраняются. Процесс перестановки повторяется до тех пор, пока каждое из значений р(р) и р((2) не приблизится к едини-

це. Как показал эксперимент, при достижении адекватности автоматически обеспечиваются необходимые значения ^^>0,3) точечного бисери-ального коэффициента корреляции Rbj, характеризующего критериальную валидность индикаторов, а также их коэффициентов интеркорреляции Гу, определяющих системообразующие свойства всей совокупности индикаторов.

Таким образом, после обеспечения адекватности индикаторов и участников тестирования модели измерения Раша получается модель генеральной дихотомической матрицы ответов M в окончательном виде.

Рассчитанные по матрице M значения латентных переменных 6* и р* могут отличаться от

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

значений 0° и Р^ которые изначально выбирались как оценки генеральных. Это обусловлено тем, что 6* и рассчитывались по округленным значениям индивидуальных баллов х1 и у^ а не по х’ и у’ ‘, определяемым по значениям 9? и Р^.

Поэтому генеральными значениями 6i и р) латентных переменных окончательно выбираем значения 6* и : 6i= 6*, Pj= . В качестве параметров

законов распределения статистик 6i и Pj принимаем значения, рассчитанные по сформированной матрице Шр = р ; ст2 = (стр )2; шв=ё ; ст* = (ст* )2,

где р, 6 и (ст* )2, (ст* )2 — выборочные средние и

выборочные дисперсии значений и 6*.

На заключительном этапе проверяем соответствие законов распределения полученных значений 6i и Pj нормальному закону. С этой целью строим гистограммы распределения этих значений, считая центрами распределения m6 и mр, с длиной интервалов разбиения, определяемых выражениями (3), (4). Проверяем выполнение крите-

рия согласия х для полученных гистограмм, используя выражения (1), (2) для законов распределения плотностей вероятностей. Равенство или близость к 1 вероятностей согласия р для статистики 6i и р 2 для статистики Pj свидетельствует о

том, что полученную модель дихотомической матрицы можно считать генеральной. Если хотя бы одна из величин р или р 2 заметно отличается от 1, обрабатывают полученную матрицу и анализируют расположение характеристических кривых индикаторов и персональных кривых участников тестирования на осях латентных переменных. Снижение величины р возникает, как

правило, из-за отклонений плотности распределения указанных кривых на этих осях от нормального закона. То есть из-за нарушения условия нормативности сформированной матрицы. Для ее восстановления корректируют расположение кривых на осях латентных переменных, изменяя значения xi или у).

Проведение вычислительного эксперимента

Первоначальным планом вычислительного эксперимента предусматривалось формирование модели дихотомической матрицы с числом индикаторов Ь=51 и числом участников тестирования N=1020. Значение индивидуального балла xi при заданном числе индикаторов может изменяться в пределах от 1 до 50. В первом приближении это соответствует изменению уровня подготовленности 6 участников тестирования в интервале от минус 3,912 до 3,912 логит. Конкретные первоначальные значения латентного параметра 6 рассчитывались по значениям xi в предположении, что они изменяются в диапазоне от 1 до 50 с шагом Ах=1. Для расчета использовалась формула х.

Полученные значения 6(Н) представлены в

столбце 4 таблицы 1. Значения |(Н) рассчитыва-

лись по формуле р™ = 1п-

Диапазон их изменения выбирался таким же, как и для значений 6(щ .

Рассчитанные значения р(щ приведены в столбце 2 таблицы 1. Исходные значения оценок математических ожиданий т6 и тр выбирались равными 0. Первоначальные оценки стандартных отклонений ае=сУр =1,423 рассчитывались исходя из правила трех сигм, характерного для нормального закона распределения.

Данные для формирования первичной модели матрицы

у(Н) Р(Н) х(Н) е(Н) у? у? е(У) х|° х°

20 3,9120 1 -3,9120 -3,912 2,21 2

40 3,1987 2 -3,1987 929,53 930 -3,1987 3,97 4

60 2,7726 3 -2,7726 899,41 899 -2,7726 5,48 5

80 2,4639 4 -2,4639 872,40 872 -2,4639 6,82 7

100 2,2192 5 -2,2192 847,65 848 -2,2192 8,03 8

125 2,0149 6 -2,0149 824,66 825 -2,0149 9,15 9

140 1,8383 7 -1,8383 803,07 803 -1,8383 10,20 10

160 1,6818 8 -1,6818 782,62 783 -1,6818 11,19 11

180 1,5404 9 -1,5404 763,13 763 -1,5404 12,13 12

200 1,4110 10 -1,4110 744,45 744 -1,4110 13,02 13

220 1,2910 11 -1,2910 726,46 726 -1,2910 13,89 14

240 1,1787 12 -1,1787 709,06 709 -1,1787 14,72 15

260 1,0726 13 -1,0726 692,17 692 -1,0726 15,53 16

280 0,9719 14 -0,9719 675,72 676 -0,9719 16,31 16

300 0,8755 15 -0,8755 659,66 660 -0,8755 17,08 17

320 0,7828 16 -0,7828 643,94 644 -0,7828 17,83 18

340 0,6931 17 -0,6931 628,50 629 -0,6931 18,57 19

360 0,6061 18 -0,6061 613,31 613 -0,6061 19,29 19

380 0,5213 19 -0,5213 598,33 598 -0,5213 20,01 20

400 0,4383 20 -0,4383 583,53 584 -0,4383 20,71 21

420 0,3567 21 -0,3567 568,88 569 -0,3567 21,41 21

440 0,2763 22 -0,2763 554,34 554 -0,2763 22,10 22

460 0,1967 23 -0,1967 539,90 540 -0,1967 22,79 23

480 0,1178 24 -0,1178 525,51 526 -0,1178 23,48 23

500 0,0392 25 -0,0392 511,17 511 -0,0392 24,16 24

520 -0,0392 26 0,0392 504,00 504 0,0000 24,85 25

540 -0,1178 27 0,1178 496,83 497 0,0392 25,00 25

560 -0,1967 28 0,1967 482,49 482 0,1178 25,53 26

580 -0,2763 29 0,2763 468,10 468 0,1967 26,22 26

600 -0,3567 30 0,3567 453,66 454 0,2763 26,91 27

620 -0,4383 31 0,4383 439,12 439 0,3567 27,60 28

640 -0,5213 32 0,5213 424,47 424 0,4383 28,30 28

660 -0,6061 33 0,6061 409,67 410 0,5213 29,00 29

680 -0,6931 34 0,6931 394,69 395 0,6061 29,72 30

700 -0,7828 35 0,7828 379,50 379 0,6931 30,44 30

720 -0,8755 36 0,8755 364,06 364 0,7828 31,18 31

740 -0,9719 37 0,9719 348,33 348 0,8755 31,93 32

760 -1,0726 38 1,0726 332,28 332 0,9719 32,70 33

780 -1,1787 39 1,1787 315,83 316 1,0726 33,48 33

800 -1,2910 40 1,2910 298,94 299 1,1787 34,29 34

820 -1,4110 41 1,4110 281,54 282 1,2910 35,12 35

840 -1,5404 42 1,5404 263,55 264 1,4110 35,99 36

860 -1,6818 43 1,6818 244,87 245 1,5404 36,89 37

880 -1,8383 44 1,8383 225,38 225 1,6818 37,82 38

900 -2,0149 45 2,0149 204,93 205 1,8383 38,81 39

920 -2,2192 46 2,2192 188,86 189 1,9685 39,86 40

940 -2,4639 47 2,4639 160,35 160 2,2192 40,98 41

960 -2,7726 48 2,7726 135,60 136 2,4639 42,19 42

980 -3,1987 49 3,1987 108,59 109 2,7726 43,53 44

1000 -3,9120 50 3,9120 78,47 78 3,1987 45,03 45

Для нахождения числа тестируемых по интервалам разбиения п(уе) и тестируемых с одинаковым уровнем знаний п строилась гистограмма распределения значений е(Н). Для этого выбранный диапазон варьирования латентных переменных разбивался на несколько интервалов. С учетом рассчитанных значений е(Н) ширина интервала разбиения АО выбиралась равной 0,8 логит. Поскольку число интервалов ve должно быть нечетным, диапазон изменения латентных переменных

был расширен до [-4,4; 4,4] логит. После этого значение ve оказалось равным 11. Первый интервал разбиения располагался симметрично относительно центра распределения те = 0. Для расчета числа участников п(,е) в каждом интервале разбиения использовалась формула (5). Значения п(,е) для интервалов слева направо составили: 5, 18, 58, 126, 194, 218, 194, 126, 58, 18, 5. По ним построена

гистограмма распределения, и с помощью крите-2

рия согласия / проверено ее соответствие нормальному закону распределения. Значение вероятности согласия п<е) оказалось близким к 1.

По найденным значениям е(Н) и Р(Н) с помощью формул (7) рассчитаны значения индивидуальных баллов х!° и у» (столбцы 5, 8 табл. 1), которые были округлены до целочисленных значений х0 и у° (столбцы 6, 9 табл. 1). Проверялось

выполнение равенства ^х0 у° . Для его дос-

тижения пришлось снизить число участников тестирования до 1008.

Далее по значениям х0 и у° сформирована

модель дихотомической матрицы М0, как было описано выше. Обработка полученной матрицы программным комплексом ШЬР-1Ы позволила уточнить значение оценки стандартного отклонения о(Н) для латентного параметра е. Она оказалась равной ст(у) =1,407 логит. С использованием

этого значения ст(у) пересчитывались ранее полученные е(Н) и находились новые е(у). По значе-

0:У) рассчитывались новые значения х/ и у’/ округляемые до целочисленных величин xi и у)

которые оставлялись неизменными, и

Для обеспечения выполнения условия (8) число участников тестирования пришлось увеличить до 1009. По значениям xi и у) была сформирована новая модель дихотомической матрицы М1. Изменением расположения ее элементов при неизменных значениях xi и у) обеспечивались их адекватность модели Раша, необходимые системообразующие свойства индикаторов и их критериальная валид-ность. В результате была получена окончательная модель генеральной дихотомической матрицы М.

Параметры латентных переменных 0 и в, а также величины, характеризующие показатели качества теста-модели, рассчитанные с помощью программного комплекса ШЬР-1Ы по сформированной модели матрицы, приведены в таблицах 2 и 3.

Статистические параметры теста-модели

те, ло-гит т р, ло-гит Ое, ло-гит Ор, ло-гит Г

0,004 0,000 1,414 1,453 0,926 0,929 0,926 0,933 1,0 0,999

Из таблицы 2 видно, что статистические показатели, характеризующие качество теста-модели, являются высокими. Коэффициент дифференциации участников тестирования составил 0,926. Значения коэффициента надежности, рассчитанные разными методами, оказались больше 0,9 и составили:

— 0,929 для метода Кронбаха (а Кронбаха);

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— 0,926 для метода Спирмана-Брауна (он же характеризует гомогенность теста-модели);

— 0,934 для метода, основанного на использовании среднего значения коэффициента интеркорреляции индикаторов.

Адекватность совокупности индикаторов и всех тестируемых в целом модели Раша является высокой: вероятности соответствия результатов выполнения индикаторов их теоретическим характеристическим кривым и теоретическим персональным кривым участников составляют соответственно р(р) = 0,999 и р(12) = 1,0 (последние *х2 Хе

столбцы табл. 2). Анализ значений коэффициентов интеркорреляции индикаторов т^ показал, что все они положительные и не превышают 0,3, а это является свидетельством соответствия их системообразующих свойств принятым критериям [5].

В столбце 3 таблицы 3 приведены значения (р о

вероятности р 2 ‘ для каждого индикатора в отдельности. Видно, что они составляют не менее 0,4, что говорит о допустимости гипотезы об адекватности модели Раша каждого индикатора в отдельности. Аналогичный вывод справедлив и для участников тестирования. Из анализа значений бисериального коэффициента корреляции Rb (последний столбец таблицы 3) видно, что они составляют не менее 0,3, что говорит о соответствии

критериальной валидности индикаторов теста-модели принятым критериям [5].

1 -3,173 0,499 0,31

2 -2,751 0,597 0,318

3 -2,444 0,614 0,352

5 -1,994 0,64 0,402

6 -1,823 0,648 0,436

7 -1,663 0,602 0,44

8 -1,526 0,68 0,458

9 -1,396 0,629 0,474

10 -1,276 0,654 0,479

11 -1,167 0,599 0,483

12 -1,061 0,575 0,499

13 -0,964 0,539 0,508

14 -0,869 0,6 0,504

15 -0,775 0,492 0,51

16 -0,689 0,558 0,506

17 -0,598 0,509 0,527

18 -0,514 0,5 0,526

19 -0,436 0,41 0,513

20 -0,353 0,447 0,52

21 -0,271 0,448 0,535

22 -0,195 0,483 0,515

23 -0,114 0,47 0,529

24 -0,038 0,487 0,501

26 0,038 0,465 0,524

27 0,119 0,402 0,535

28 0,195 0,42 0,511

29 0,277 0,459 0,524

30 0,354 0,462 0,522

31 0,436 0,491 0,521

32 0,52 0,482 0,514

33 0,604 0,497 0,518

34 0,689 0,475 0,523

35 0,775 0,608 0,509

36 0,869 0,585 0,504

37 0,964 0,519 0,511

38 1,061 0,556 0,505

39 1,167 0,577 0,491

40 1,282 0,651 0,478

41 1,402 0,553 0,467

42 1,526 0,637 0,479

43 1,67 0,596 0,454

44 1,823 0,671 0,428

45 1,952 0,663 0,429

46 2,206 0,693 0,4

47 2,442 0,603 0,363

48 2,749 0,603 0,36

49 3,169 0,495 0,306

На рисунках 1 и 2 изображены гистограммы распределения значений 6i и а также кривые плотности вероятности нормального закона распределения, полученные с использованием статистических параметров, которые указаны в первых четырех столбцах таблицы 2. О соответствии статистик 6i и нормальному закону распределения свидетельствуют высокие значения вероятности согласия (р 2 ~1), полученные на основе критерия

Рис. 1. Гистограмма значений латентного параметра в

Рис. 2. Гистограмма значений латентного параметра в

Рис. 3. Характеристические кривые индикаторов модели матрицы

На рисунке 3 показано расположение характеристических кривых индикаторов Р)(0) на оси латентной переменной 0. Визуальный анализ расположения кривых позволяет заключить, что плотность их распределения удовлетворяет нормальному закону распределения.

Таким образом, полученные данные свидетельствуют о том, что сформированная модель

дихотомической матрицы ответов представляет собой результаты выполнения модели теста с высокими показателями качества и может считаться генеральной.

Большие размеры полученной модели генеральной дихотомической матрицы ответов не позволяют привести ее в тексте статьи.

1. Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Введение в теорию моделирования и параметризации педагогических тестов. М.: Прометей, 2000. 169 с.

2. Rasch G. Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests. Copenhagen, Denmark : Danish Institute for Educational Research, 1960.

3. Елисеев И.Н. Методы, алгоритмы и программные комплексы для расчета характеристик диагностических средств независимой оценки качества образования: монография. Новочеркасск: Лик, 2010. 316 с.

4. Елисеев И.Н., Елисеев И.И., Фисунов А.В. Программный комплекс RILP-1 // Программные продукты и системы. 2009. № 2. С. 178-181.

5. Аванесов В.С. Основы научной организации педагогического контроля в высшей школе. М.: Исслед. центр по пробл. управл. кач-вом подгот. спец-тов при МИСиС, 1989. 68 с.

ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ТРЕНАЖЕРНО-ОБУЧАЮЩИХ СИСТЕМ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ

(Работа выполняется при поддержке РФФИ, грант № 11-07-00158-а)

В.Н. Решетников, д.ф.-м.н..; К.А. Мамросенко, к.т.н.

(Научно-исследовательский институт системньж исследований РАН, г. Москва, kirillam@ya.ru)

В статье сформулированы основные требования к разработке и функционированию тренажерно-обучающих систем сложных технических комплексов. Приведены классификация этих систем и данные об оценке эффективности подготовки с использованием тренажерно-обучающих систем.

Ключевые слова: тренажерно-обучающая система, распределенные вычисления, математическое моделирование, мультимедийные технологии.

Тренажерно-обучающие системы (далее тренажеры) — разновидность технических систем, по-

зволяющих решать задачи подготовки персонала с целью обучения управлению сложными техниче-

О значении матриц начального приближения в алгоритме поиска обобщенных взвешенных матриц глобального и локального максимума детерминанта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ / ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ / ВЗВЕШЕННЫЕ МАТРИЦЫ / АДАМАРОВЫ МАТРИЦЫ / ЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ / НЕГАЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ / БИЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ / NUMERICAL METHODS / ORTHOGONAL MATRICES / WEIGHTED MATRICES / HADAMARD MATRICES / CYCLIC MATRICES / NEGACYCLIC MATRICES / BICIRCULANT MATRICES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балонин Николай Алексеевич, Сергеев Михаил Борисович

Цель: показать значение матриц начального приближения, задающих структуру в задачах поиска ортогональных многоуровневых матриц глобального и локального максимумов детерминанта. Методы: поиск матриц глобального и локального максимумов детерминанта ведется итерационной вычислительной процедурой, ориентированной на минимизацию максимального абсолютного значения элементов ортогональной матрицы с предвычислением ее начального приближения в заданной априори структурированной форме. Результаты: предложенный подход, учитывающий на начальном этапе вычислений структуру и симметрию, существенно повышает эффективность поиска ортогональных по строкам (столбцам) обобщенных взвешенных матриц . Показана целесообразность учета как явной, так и неявных симметрий матриц. Приведены примеры скрытых симметрий матриц и указаны связанные с ними преобразования, эквивалентные по отношению к значению детерминанта матрицы. Практическая значимость: обобщенные взвешенные матрицы глобального и локального максимумов детерминанта ортогональны и имеют практическое значение в решении задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Initial Approximation Matrices in Search for Generalized Weighted Matrices of Global or Local Maximum Determinant

Purpose: The goal is to demonstrate the importance of initial approximation matrices which describe the structure in the problems of search for orthogonal multilevel matrices of global or local maximum determinant. Methods: The search for matrices of global or local maximum determinant is performed by an iterative computational procedure focused on the minimization of the maximum absolute value of the elements of an orthogonal matrix, precomputing its initial approximation in a structured form given a priori. Results: The proposed approach which, at the first computational stage, takes into account the matrix structure and symmetry, significantly improves the efficiency of the search for rowor column-orthogonal generalized weighted matrices . It is expedient to consider both explicit and implicit symmetries of the matrices. Examples are given of hidden matrix symmetries, and the respective mappings are shown equivalent in respect to the determinant value. Practical relevance: Generalized weighted matrices of global or local maximum determinant are orthogonal and have a direct practical value for the problems of error-correcting coding, video compression and masking.

Текст научной работы на тему «О значении матриц начального приближения в алгоритме поиска обобщенных взвешенных матриц глобального и локального максимума детерминанта»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА /

О ЗНАЧЕНИИ МАТРИЦ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В АЛГОРИТМЕ ПОИСКА ОБОБЩЕННЫХ ВЗВЕШЕННЫХ МАТРИЦ ГЛОБАЛЬНОГО И ЛОКАЛЬНОГО МАКСИМУМА ДЕТЕРМИНАНТА

Н. А. Балонина, доктор техн. наук, профессор М. Б. Сергеева, доктор техн. наук, профессор

аСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, РФ

Цель: показать значение матриц начального приближения, задающих структуру в задачах поиска ортогональных многоуровневых матриц глобального и локального максимумов детерминанта. Методы: поиск матриц глобального и локального максимумов детерминанта ведется итерационной вычислительной процедурой, ориентированной на минимизацию максимального абсолютного значения элементов ортогональной матрицы с предвычислением ее начального приближения в заданной априори структурированной форме. Результаты: предложенный подход, учитывающий на начальном этапе вычислений структуру и симметрию, существенно повышает эффективность поиска ортогональных по строкам (столбцам) обобщенных взвешенных матриц. Показана целесообразность учета как явной, так и неявных симметрий матриц. Приведены примеры скрытых симметрий матриц и указаны связанные с ними преобразования, эквивалентные по отношению к значению детерминанта матрицы. Практическая значимость: обобщенные взвешенные матрицы глобального и локального максимумов детерминанта ортогональны и имеют практическое значение в решении задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.

Ключевые слова — вычислительные методы, ортогональные матрицы, взвешенные матрицы, адамаровы матрицы, циклические матрицы, негациклические матрицы, бициклические матрицы.

Численные методы линейной алгебры обобщают обширный опыт вычислений с применением компьютеров, освещенный в научной литературе и справочниках. Среди книг можно отметить выдержавшую не одно издание книгу Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой [1], а также систематизированный обзор вычислительных методов В. В. Воеводина и Ю. А. Кузнецова [2]. Классическими также стали труды Ф. Р. Гантмахера, Р. Беллмана, П. Ланкастера, Р. Хорна и Ч. Джонсона, Дж. Галу-ба и Ч. Ван Луана, А. А. Самарского, И. С. Березина и Н. П. Жидкова, Дж. Райса и многих других авторов. Из новых опубликованы, например, работы Е. Е. Тарышникова [3] и С. П. Шарого [4].

В вычислительной математике можно выделить два сложившихся крупных направления. Во-первых, это решение систем линейных алгебраических уравнений и всего, что с ними связано: использование симметрий, вычисление показателей обусловленности, методы регуляризации плохо обусловленных задач, вопросы разложения матриц коэффициентов, распараллеливания вычислений и др. Во-вторых — решение общей алгебраической проблемы поиска собственных значений, также вмещающее в себя немало разветвлений.

Вычисление детерминанта реализуется в рамках обоих этих направлений [1-5], и открыть для

него еще один численный метод кажется затруднительным. Вместе с тем оптимизация детерминанта матрицы варьированием значений ее элементов — задача иная и заведомо более сложная. Особенно, если матрица должна удовлетворять некоторым дополнительным уравнениям связи. Классические подходы к оптимизации функций нескольких аргументов здесь практически бесполезны, поскольку число аргументов — элементов матрицы — находится в квадратичной зависимости от ее порядка.

Цель настоящей статьи — осветить новый опыт авторов, работающих над решением задачи вычисления матриц глобального или локального максимумов детерминанта [5-7].

Постановка задачи и возможные решения

Рассматриваемая задача имеет простую постановку: требуется найти квадратную матрицу A порядка п, определенную над полем вещественных чисел, обладающую глобальным или локальным максимумом модуля детерминанта det(A) при ограничениях на абсолютные значения величин ее элементов в виде < 1 и наличии квадратичного уравнения связи ATA = юПД, где ю(п) — некоторая весовая функция, определяющая тип матрицы, а I — единичная матрица.

В указанном виде задача была сформулирована в работе [5], в которой систематизированы

весовые функции наиболее значимых, с нашей точки зрения, вариантов решений, приведенных в таблице и рассмотренных подробно в работах [6, 7]. Для весовой функции ю(п) = п задача впервые была поставлена в работе [8], породив поиск и исследование матриц Адамара и матриц абсолютного максимума детерминанта ф-матриц) при отсутствии указанного квадратичного ограничения. В таблице г и к — целые числа, определяющие порядки соответствующих матриц и их весовые функции, а в и й — элементы каймы и диагонали соответственно.

В постановке Адамара наиболее существенно то, что ввиду целочисленного значения весовой функции решение — матрица оптимума — также целочисленная с элементами 1 и -1. Адамар установил [8], что экстремальные матрицы существуют для порядков п = 1, п = 2 и всех четных значений п = 4г. Следует заметить, что требование целочисленности решения вполне искусственное, оно не следует из существа задачи, а отражает интерес Адамара к квадратным матрицам Сильвестра с ортогональными столбцами и элементами 1 и -1.

Объяснение сложившейся позднее практики поиска целочисленных решений состоит в том, что вычислительные машины прошлого были относительно маломощны. Ортогональные последовательности (функции Уолша), порождаемые матрицами Адамара и состоящие из элементов 1

и -1, рассматривались как предпочтительные при программной реализации вычислений с ними. Для вычислений на современных процессорах такие ограничения не являются существенными.

Близкая к постановке Адамара задача впервые рассматривалась в работе [17], где, вопреки сложившимся традициям, было введено понятие матриц Адамара нечетных порядков, а элементы искомой оптимальной по детерминанту матрицы заданы диапазоном их значений \а\ < 1.

В работе [17] нет еще понятия весовой функции ю(п). Множитель единичной матрицы не задан жестко и служит объектом определения, как и у Адамара, обнаружившего, что для интересующих его вариантов решений ю(п) = п. Для нечетных значений порядков эта функция иная и задана в работе [17] таблично для пяти стартовых нечетных порядков 3, 5, 7, 9, 11. При этом и веса, и элементы искомых матриц могут быть рациональными и иррациональными и иметь два или более значений — уровней [5, 18].

В работе [19] было обнаружено критичное значение нечетного порядка п = 13, после которого задача в принципе не разрешима на классах матриц с малым количеством отличных между собой элементов. В случаях, отмеченных Адамаром, значений элементов матрицы всего два. При нечетных значениях порядка число различных модулей элементов (модульных уровней)

■ Весовые функции наиболее значимых вариантов решений

Порядок матрицы п Матрица Возможные значения элементов матрицы Функция веса ю(я) Литература

4г Адамара 1, -1 п [8]

2г, 4г Белевича 1, -1, 0 п — 1 [9]

г, 2г, зг, 4г Взвешенная (Тоски — Себерри) 1, -1, 0 п — к [10, 11]

4г — 1 Мерсенна г 1, -Ъ, где Ь =—= г + >/ г ((п + 1) + (п — 1)Ъ2)/2 = = 2г + (2г — 1)Ъ2 [12, 13]

4г — 2 Эйлера* г 1, -Ъ, где Ь =—¡= г + \12г ((п + 2) + (п — 2)Ъ2)/2 = = 2г + (2г — 2)Ъ2 [14]

4г — з Зейделя 1, -Ъ, й, где Ъ = 1 — 2й, й = —1—= 1 +4 п (п — 1)(1 + Ъ2)/2 + й2 = = 2(г — 1)(1 + Ъ2) + й2 [5, 15]

4г — з Ферма 1, -Ъ, в, где q = п — 1 = 4и2, р = д + , 2п — р 2и -1 1 Ь = = 1 х , р 2и+1 и Лпд — 2^[д Vпи -1 1 в = —-=-х—т= р 2и+1 ^и 1 + 4и2в2 = к + ^ — к)Ъ2 + в2, , д-4я. „ 2 где к =-1— = 2и — и 2 [16]

* Для матрицы Эйлера четного порядка указаны значения двух ее блоков [6], в данном случае возможна инверсия знаков элементов сменой знака каждого из блоков.

матриц растет незначительно, почти линейно, но только до порядка 11 [18, 19]. Сходный проблемный порядок п = 15 исследован для D-матриц с бинарными элементами 1, -1 в работе [20], а уже при п = 22 точное решение неизвестно.

Мощность современных компьютеров недостаточна для нахождения оптимальной матрицы прямым перебором даже при столь узком ограничении, как бинарные значения элементов. Выделение весовых функций матриц локальных максимумов детерминанта позволяет сформулировать и реализовать алгоритм их поиска [5, 8, 19]. В настоящее время накоплен значительный опыт применения базового алгоритма [21], существенно изменивший точку зрения на его построение.

Базовый алгоритм и его недостатки

При разработке вычислительной схемы базового алгоритма в работах [5, 19] авторами недооценивалось значение матрицы начального приближения. Результаты вычислительных экспериментов показали [21], что для эффективности поиска матрица начального приближения должна нести некоторую существенную информацию о структуре искомой матрицы. Базовый алгоритм — это алгоритм второй стадии, корректирующий ошибки матрицы, вычисленной на первой стадии вычислительного процесса. Такая возможность игнорировалась в работе [19] в пользу матрицы оператора гильбертова преобразования, служившей источником первых полученных нами решений. Для матриц больших порядков и матриц локального максимума детерминанта [5] такая стратегия (выбор пусть хорошей, но одной стартовой матрицы) оказалась малоэффективной. Кроме выбора стартовой матрицы, необходимо организовать последующие вычисления так, чтобы они не разрушали предложенную структуру.

Такой подход противоречит введенной в работах [5, 19] перестановке столбцов искомой матрицы для повышения чувствительности процесса ортогонализации по методу Грамма — Шмидта [1, 2]. В программном комплексе [21] это противоречие было снято сохранением информации о перестановках и последующим реверсным восстановлением структуры матрицы по завершении вычислений. Произведенная вычислениями коррекция может быть как успешной, так и неуспешной. В последнем случае для эффективности поиска немаловажно распределение вычислительных затрат (максимального количества разрешенных итераций) между двумя стадиями выполнения алгоритма: выбором начального приближения и коррекцией ошибок начального приближения.

Неоправданная затянутость либо первой, либо второй стадии вычислений негативно влияет на результативность поиска, что определяет важность рассмотрения этого вопроса.

Изменение вычислительной схемы алгоритма

В соответствии с вышеизложенными обстоятельствами опишем вычислительную схему обновленной версии алгоритма поиска матриц глобального и локального максимума детерминанта.

Стадия 1. Матричный генератор, целью работы которого является формирование матрицы начального приближения одной из следующих форм:

— массива Вильямсона из четырех циклических или негациклических клеток;

— ^-циклических или й-негациклических матриц с одинарной или двойной каймой.

Перечисленные формы привычны при поиске ортогональных матриц Адамара на порядках п = 4й, обладающих глобальным максимумом детерминанта. Кроме того, это могут быть квазиортогональные матрицы порядков, отличных от адамаровых [5-7], структуры которых закладываются на стадии 1.

Матричный генератор формирует не одну матрицу начального приближения, как ранее в работах [5, 17], а множество матриц, обозначаемых как А. Матрицы сравниваемы между собой по квадратичной невязке Е = ||АТА — ю(п)1||, где I — единичная матрица; ю(п) — функция веса, зависящая от порядка п матрицы (см. функции веса в таблице и работах [6, 7]). Оценка качества матриц, связанных условием ортогональности их столбцов (строк), вполне естественна. Однако такие матрицы могут быть сколь угодно далеки от искомых оптимальных. Результат работы матричного генератора — множество матриц начального приближения заданной формы, из которых выбирается одна лучшая по квадратичной невязке, обозначаемая далее как стартовое приближение А0.

На генерацию матриц и выбор матрицы начального приближения отводится время, измеряемое, например, количеством циклов рандомизированного поиска. Безотносительно к алгоритму подготовки, в итерациях стадии 2 используются матрицы с нормированными столбцами (квадратичная норма каждого столбца матрицы А0 равна 1).

Стадия 2. Ее основа — базовый алгоритм, описанный в работах [5, 17] и дополненный описываемыми далее процедурами. Реализация дан-

ной стадии начинается с этапа инициализации вектора X0 = [0, 1, 2. п — 1] номеров реверсной перестановки столбцов. Для удобства программной реализации полагаем, что индексы столбцов нумеруются, начиная с нуля.

В общем вектор перестановок Xk, например, может быть реализован как нижняя строка искомой матрицы Ak, к — номер итерации, состоящей в выполнении указанных ниже процедур.

Процедура 1. Перестановка столбцов итерируемой матрицы Ak и элементов вектора реверсной перестановки Xk в порядке убывания абсолютных значений максимальных элементов в столбцах. Благодаря сохраненной в векторе Xk информации о всех перестановках при повторении процедуры на заключительном этапе итераций сохраняется возможность осуществить реверс-ный ход.

Процедура 2. Сжатие матрицы, т. е. ограничение норм элементов матрицы насыщением.

Пусть т — значение максимального по абсолютной величине элемента матрицы после предыдущей итерации. Абсолютные значения всех элементов матрицы понижаются (с сохранением их знаков) до величины ркт, где рк < 1.

Заметим, что ограничивать норму элементов матрицы можно как сверху, так и снизу, в зависимости от основной стратегии конкретной реализации.

Процедура 3. Стартовое значение р0 масштабного множителя функции насыщения назовем коэффициентом начального сжатия.

Процедура 4. Ортогонализация сжатой матрицы по методу Грамма — Шмидта. Перестановка столбцов создает эффективное «зацепление» за максимально измененный в желаемом смысле вектор. Ортогонализация не меняет его направление и не восстанавливает, как это может быть в противном случае (без перестановки).

В результате выполнения текущей процедуры столбцы матрицы нормализуются, образуя единичные по норме орты.

Процедура 5. Принятие решения о переходе к процедуре 1 или завершении стадии 2 переходом к процедуре 6 по признакам достижения приемлемого качества решения, оцениваемого по многопараметрическому показателю.

Как правило, качественное решение отличается нулевым (или близким к нулю) значением

квадратичной невязки В качестве контролируемого параметра может использоваться адама-рова норма матрицы к = т4п, которая для искомых матриц принимает вполне конкретные значения [5].

Процедура 6. Завершение стадии 2 реверсной перестановкой столбцов с использованием вектора Хк для восстановления их исходной нумерации. После этого производится оценка качества решения, включающая проверку формы матрицы. Например, при поиске матриц Белевича [2] важна не только ортогональность матрицы, но и наличие на диагонали нулевых элементов. Для циклических, бициклических и других видов матриц оценивается сохранение их структуры, при несохранении стадия 2 завершается возвратом к стадии 1.

Стадия 2 завершается также принудительно после исчерпания отведенного на нее количества итераций поиска Ы2.

Симметрии кодов матричного генератора

Матричный генератор придает формируемым им матрицам теплицеву или блочно-теплицеву структуру с возможными одинарной или двойной каймами. Такие «пространственные» структуры, симметричные относительно побочных диагоналей размещения элементов матрицы, разрешимы на семействах кодов (строках), обладающих явной или скрытой симметрией.

Определение 1. Симметричная последовательность элементов [а Ь] состоит из фрагментов исходного а = [а0, а1, а2, . аи-1] и реверсивного Ь = Шр(а) = [аь-1, а и-2, а и-3, . а0] кодов длины V.

Определение 2. Кососимметричная последовательность элементов [а -Ь] состоит из фрагментов исходного а = [а0, а1, а2, . а^] и реверс-ного со сменой знака -Ь = Шр(-а) = [-а^, -а -а . -а0] кодов длины V.

Для формирования кодов нечетной длины фрагменты могут содержать стартовый, финальный или промежуточный элемент или блоки элементов. Иными словами, о симметрии последовательности можно говорить и в том случае, когда исходный и реверсный коды дополнены разделяющими их или расширяющими кодовую последовательность элементами, размещенными в различных сочетаниях. Стоит отметить, что и реверсивный вид (флип), и смена знака могут заменяться на другие операции, поскольку идея симметрии связана не столько с операциями, сколько с идеей дополнения.

Рассмотрим обратимую операцию разделения некоторой последовательности d на два внутренних блока четных а и нечетных Ь по индексу элементов: [а Ь] = S(d). Реверсивная операция

d = R([a b]) — действие, обратное к разделению индексов.

После операции R([a b]) симметричного кода симметрия его фрагментов может быть не видна, однако это не означает, что ее нет. Другим примером обратимой операции является операция циклического сдвига элементов последовательности влево или вправо. Таким образом, помимо явной формы, существуют скрытые симметрии, порожденные обратимыми операциями над симметричными кодами.

Симметричные коды широко встречаются при построении бициклических матриц, кон-ференц-матриц или четырехблочных массивов Вильямсона [22]. Блочные конструкции имеет смысл рассматривать, если они стандартизованы и найдены посредством вычислений с привлечением значительных вычислительных ресурсов. Переход к более простым циклическим или не-гациклическим матрицам связан с выполнением R([a b]) образующих блоки кодов. Таким образом, при поиске матриц появляется необходимость в кодах, причем, возможно, с несколькими уровнями скрытой симметрии.

Если матрица с заданным типом «пространственной» структуры не разрешима для одной симметрии кодов, можно менять эту симметрию. Рассматриваемый подход — удобный источник классификаций решений по типам их симметрий.

Примеры матриц с элементами симметрии

Приведем несколько наглядных примеров, когда поиск матриц облегчается использованием перестановок, выявляющих скрытые виды симметрии.

Пример 1. На рис. 1, a показана негацикличе-ская матрица Пэли [23] порядка 18, т. е. матрица с нулевой диагональю и остальными элементами 1 и -1, с ортогональными столбцами (строками). Эта матрица, на первый взгляд, не имеет симме-трий, позволяющих облегчить поиск ее элементов, если они неизвестны.

Взглянем на ту же матрицу после применения к ней процедуры разделения четных и нечетных строк и столбцов (рис. 1, б).

Такую матрицу можно записать в виде двух возможных блочных форм — симметричной или кососимметричной:

второй вариант получается инвертированием знаков двух нижних блоков.

Анализ выявляет скрытую симметрию, которая находит свое выражение в том, что блок А построен на кососимметричной последовательности элементов вида [0 а -Ь]. Второй блок В построен, напротив, на симметричной последовательности элементов вида [а -1 Ь], разделительный элемент (это может быть 1 и -1) расположен посередине. Такого сорта симметрия — инвариант искомой матрицы, значительно облегчающий ее поиск для остальных разрешенных (четных) матрицам Пэли порядков.

После нахождения новой матрицы в форме С2 реверсной перестановкой строк и столбцов она сводится к одноблочному негациклическому виду.

Пример 2. Преобразование вида А = ZAZ, В = ZBZ, где Z = diag(1, -1, 1, -1, . ), переводит негациклические блоки нечетного порядка в циклические (рис. 2, а и б): негациклическая матрица Пэли (см. рис. 1, б) преобразуется в циклическую ее форму [24] (см. рис. 2, а).

Двублочные циклические матрицы Пэли отличаются от негациклических тем, что ортогональность их строк и столбцов — инвариант циклического сдвига, поэтому несимметричную матрицу В можно симметрировать сдвигом, выводя средний разделительный элемент в начало матрицы. В данном случае мы видим, что, помимо матрицы со скрытой симметрией, существует еще один тип симметричных по обоим блокам матриц, выявляемый дополнительным преобразованием.

■ Рис. 1. Портреты матрицы Пэли до (a) и после (б) разделения

■ Рис. 2. Портреты циклической матрицы Пэли до (а) и после (б) симметрирования ее блоков

Результативность рассмотренного в работе алгоритма сама по себе не зависит от того, заложены свойства симметрии в матричный генератор или нет, меняется только его производительность, оцениваемая числом итераций Ы2.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если симметрии кодов не известны заранее, они выявляются на низких порядках для всего семейства матриц, что позволяет ускорить впоследствии нахождение матриц более высоких порядков.

Изучение результатов вычислительных экспериментов показало, что функция насыщения максимумов элементов, имеющая непрерывный или гистерезисный характер, приближает алгоритм к классическим образцам замкнутых нелинейных динамических систем с возможностью привлечения для анализа получаемых решений математического аппарата странных аттракторов. При таком подходе искомая итерациями матрица — аттрактор нелинейного динамического процесса, порожденный ква-дратическими уравнениями связи (квадратичная задача). Аналогия поясняет расщепление количества уровней матрицы [5], наблюдаемое при прохождении точек бифуркации с изменением параметров нелинейной системы. В данном случае существенным параметром, опреде-

1. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2009. — 736 с.

2. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 320 с.

3. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. — М.: Изд-во МГУ, 2005. — 372 с.

4. Шарый С. П. Курс вычислительных методов: учеб. пособие. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2011. — 316 с.

5. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1(68). С. 2-15.

6. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Нормы обобщенных матриц Адамара // Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2. С. 5-11.

7. Balonin N. A., Sergeev M. B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matrices. Applied Mathematical Sciences. 2015. Vol. 9. N 6. P. 285-293. doi 10.12988/ams.2015.4111000

8. Hadamard J. Résolution d’une Question Relative aux Déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. Vol. 17. P. 240-246.

ляющим качество решения, выступает порядок матрицы п.

Для критического нечетного значения порядка п = 13 (константа, близкая по смыслу к пороговому критерию Фейгенбаума [19]) наблюдается распад уровневой структуры матриц глобального максимума детерминанта. Решения становятся «фрактальными», что предопределяет переход к матрицам с локальным максимумом детерминанта.

Выделение (при поиске) как глобальных, так и локальных максимумов детерминанта матриц четных и нечетных порядков вводит в рассмотрение математический гиперобъект, порождающий все возможные ортогональные матрицы как его «срезы» на последовательно возрастающих порядках, начиная с тривиального первого.

Матрицы с небольшим числом отличающихся между собой по абсолютным величинам элементов существуют, в отличие от матриц Адамара (с элементами 1, -1), на всех значениях порядков [25, 26]. Более того, эксперимент показал, что матрицы со «слабыми оптимумами» (по детерминанту) несут, тем не менее, полную информацию о матрицах Адамара на сопредельных порядках. Располагая структурой таких матриц, как матрицы Мерсенна, Эйлера, Зейделя и Ферма [5-7, 12-19, 23, 24], можно строить и изучать свойства и конструкции матриц Адамара.

9. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal Networks with Application to Conference Telephony//Electrical Communication. 1950. N 26. P. 231-244.

10. Olga Taussky. (1, 2, 4, 8)-sums of Squares and Hadamard Matrices// Proc. Symp. Pure Math. Combinatorias, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1971. Vol. 19. P. 229-233.

11. Jennifer (Seberry) Wallis. Orthogonal (0,1,-1)-matri-ces // Proc. First Austral. Conf. Combinatorial Math., Newcastle, 1972. P. 61-84.

12. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара — Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5(60). С.92-94.

13. Sergeev A. M. Generalized Mersenne Matrices and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. Vol. 48. N 4. P. 214-220. doi: 10.3103/S0146411614040063

14. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О двух способах построения матриц Адамара — Эйлера // Информационно-управляющие системы. 2013. № 1(62). С. 7-10.

15. Balonin N. A., Vostrikov A. A., Sergeev M. B. On Two

Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices // Automatic Control and Computer Sciences. 2015. Vol. 49. N 3. P. 153-158. doi: 10.3103/ S0146411615030025

16. Балонин Н. А., Сергеев М Б., Мироновский Л. А.

Вычисление матриц Адамара — Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6(61). С.90-93.

17. Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управляющие системы. 2006. № 3(22). C. 46-50.

18. Balonin N. A., Seberry J. Remarks on Extremal and Maximum Determinant Matrices with Moduli of Real Entries < 1 // Информационно-управляющие системы. 2014. № 5(71). С. 2-4.

19. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1(50). С. 14-21.

20. Orrick W. P. The Maximal -determinant of Order 15 (accepted for publication in Metrika). 2004. http://arxiv.org/abs/math.C0/0401179 (дата обращения: 05.01.2014).

21. Балонин Ю. Н. Программный комплекс MMatrix-2 и найденные им М-матрицы // Вестник компью-

терных и информационных технологий. 2013. № 10(112). С. 58-64.

22. Williamson J. Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares// Duke Math. J. 1944. N 11. P. 65-81.

23. Balonin N. A., Djokovich D. Symmetry of Two Circulant Hadamard Matrices and Periodic Golay Pairs // Информационно-управляющие системы. 2015. № 3(76). С. 2-16. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.2

24. Balonin N. A., Djokovich D. Negaperiodic Golay Pairs and Hadamard Matrices// Информационно-управляющие системы. 2015. № 5(78). С. 2-17. doi: 10.15217/issn1684-8853.2015.5.2

25. Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2(63). С. 89-90.

26. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Мерсенна и Адамара // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5(66). С. 2-8.

Initial Approximation Matrices in Search for Generalized Weighted Matrices of Global or Local Maximum Determinant

Balonin N. A.a, Dr. Sc., Tech., Professor, korbendfs@mail.ru Sergeev M. B.a, Dr. Sc., Tech., Professor, mbse@mail.ru

aSaint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia St., 190000, Saint-Petersburg, Russian Federation

Purpose: The goal is to demonstrate the importance of initial approximation matrices which describe the structure in the problems of search for orthogonal multilevel matrices of global or local maximum determinant. Methods: The search for matrices of global or local maximum determinant is performed by an iterative computational procedure focused on the minimization of the maximum absolute value of the elements of an orthogonal matrix, precomputing its initial approximation in a structured form given a priori. Results: The proposed approach which, at the first computational stage, takes into account the matrix structure and symmetry, significantly improves the efficiency of the search for row- or column-orthogonal generalized weighted matrices. It is expedient to consider both explicit and implicit symmetries of the matrices. Examples are given of hidden matrix symmetries, and the respective mappings are shown equivalent in respect to the determinant value. Practical relevance: Generalized weighted matrices of global or local maximum determinant are orthogonal and have a direct practical value for the problems of error-correcting coding, video compression and masking.

Keywords — Numerical Methods, Orthogonal Matrices, Weighted Matrices, Hadamard Matrices, Cyclic Matrices, Negacyclic Matrices, Bicirculant Matrices.

1. Faddeev D. K., Faddeeva V. N. Vychislitel’nye metody lin-einoi algebry [Computational Methods of Linear Algebra]. Saint-Petersburg, Lan’ Publ., 2009. 736 p. (In Russian).

2. Voevodin V. V., Kuznetsov Iu. A. Matritsy i vychisleniia. [Matrices and Calculations]. Moscow, Nauka Publ., Glavnaia redaktsiia fiziko-matematicheskoi literatury, 1984. 320 p. (In Russian).

3. Tyrtyshnikov E. E. Matrichnyi analiz i lineinaia algebra [Matrix Analysis and Linear Algebra]. Moscow, Moskovskii gosudarstvennyi universitet Publ., 2005. 372 p. (In Russian).

4. Sharyi S. P. Kurs vychislitel’nykh metodov [The Course of Computational Methods]. Novosibirsk, Novosibirskii gosu-darstvennyi universitet Publ., 2011. 315 p. (In Russian).

5. Balonin N. A., Sergeev M. B. Local Maximum Determinant Matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2014, no. 1(68), pp. 2-15 (In Russian).

6. Balonin N. A., Sergeev M. B. The Generalized Hadamard Matrix Norms. Vestnik SPbGU. Ser. 10, 2014, iss. 2, pp. 5-10 (In Russian).

7. Balonin N. A., Sergeev M. B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matrices. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9, no. 6, pp. 285-293. doi 10.12988/ ams.2015.4111000

8. Hadamard J. Résolution d’une Question Relative aux Déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1893, vol. 17, pp. 240-246 (In French).

9. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal Networks with Application to Conference Telephony. Electrical Communication, 1950, no. 26, pp. 231-244.

10. Olga Taussky. (1, 2, 4, 8)-sums of Squares and Hadamard Matrices. Proc. Symp. Pure Math. Combinatorias, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1971, vol. 19, pp. 229-233.

11. Jennifer (Seberry) Wallis. Orthogonal (0,1,-1)-matrices. Proc. First Austral. Conf. Combinatorial Math., Newcastle, 1972, pp. 61-84.

12. Balonin N. A., Sergeev M. B., Mironovsky L. A. Calculation of Hadamard-Mersenne Matrices. Informatsionno-upravli-aiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2012, no. 5(60), pp. 92-94 (In Russian).

8 У ИHФOPMАЦИOHHO-УПPАВЛЯЮЩИE ™CTEMbl

ТEOPEТИЧEСКДЯ И ПPИКAАAHДЯ MДТEMДТИКА

13. Sergeev A. M. Generalized Mersenne Matrices and Balo-nin’s Conjecture. Automatic Control and Computer Sciences, 2014, vol. 48, no. 4, pp. 214-220. doi: 10.3103/ S0146411614040063

14. Balonin N. A., Sergeev M. B. Two Ways to Construct Ha-damard-Euler Matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2013, no. 1(62), pp. 7-10 (In Russian).

15. Balonin N. A., Vostrikov A. A., Sergeev M. B. On Two Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices. Automatic Control and Computer Sciences, 2015, vol. 49, no. 3, pp. 153-158. doi: 10.3103/S0146411615030025

16. Balonin N. A., Sergeev M. B., Mironovsky L. A. Calculation of Hadamard-Fermat Matrices. Informatsionno-upravliai-ushchie sistemy [Information and Control Systems], 2012, no. 6(61), pp. 90-93 (In Russian).

17. Balonin N. A., Mironovsky L. A. Hadamard Matrices of Odd Order. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2006, no. 3(22), pp. 46-50 (In Russian).

18. Balonin N. A., Seberry J. Remarks on Extremal and Maximum Determinant Matrices with Moduli of Real Entries < 1. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2014, no. 5(71), pp. 2-4.

19. Balonin N. A., Sergeev M. B. M-matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2011, no. 1(50), pp. 14-21 (In Russian).

20. Orrick W. P. The Maximal -determinant of Order 15 (accepted for publication in Metrika). 2004. Available at: http://arxiv.org/abs/math.C0/0401179 (accessed 05 January 2014).

21. Balonin Yu. N. The Software Complex MMatrix-2 and Searched Minimax Matrices. Vestnik komp’iuternykh i infor-matsionnykh tekhnologii [Herald of Computer and Information Technologies], 2013, no. 10(112), pp. 58-64 (In Russian).

22. Williamson J. Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares. Duke Math. J., 1944, no. 11, pp. 65-81.

23. Balonin N. A., Djokovic D. Z. Symmetry of Two Circulant Hadamard Matrices and Periodic Golay Pairs. Informatsi-onno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2015, no. 3(76), pp. 2-16. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.2 (In Russian).

24. Balonin N. A., Djokovic D. Z. Negaperiodic Golay Pairs and Hadamard Matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2015, no. 5(78), pp. 2-17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2

25. Balonin N. A. Existence of Mersenne Matrices of 11th and 19th Orders. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2013, no. 2(63), pp. 89-90 (In Russian).

26. Balonin N. A., Sergeev M. B. On the Issue of Existence of Hadamard and Mersenne Matrices. Informatsionno-upravli-aiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2013, no. 5(66), pp. 2-8 (In Russian).

Научные базы данных, включая SCOPUS и Web of Science, обрабатывают данные автоматически. С одной стороны, это ускоряет процесс обработки данных, с другой — различия в транслитерации ФИО, неточные данные о месте работы, области научного знания и т. д. приводят к тому, что в базах оказывается несколько авторских страниц для одного и того же человека. В результате для всех по отдельности считаются индексы цитирования, снижая рейтинг ученого.

Для идентификации авторов в сетях Thomson Reuters проводит регистрацию с присвоением уникального индекса (ID) для каждого из авторов научных публикаций.

Мониторы Philips

Монитор Philips 24

Монитор Philips 24

11300 р. В корзину

Монитор Philips 24

11300 р. В корзину

Монитор Philips 22

11300 р. В корзину

Монитор Philips 24

11300 р. В корзину

Монитор Philips 24

11350 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 24

11450 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 24

11500 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 24

11500 р. В корзину

Монитор Philips 24

11800 р. В корзину

Монитор Philips 24

11950 р. В корзину

Монитор Philips 24

12250 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 27

12400 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 27

13200 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 27

13200 р. В корзину

Монитор Philips 27

13850 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 27

13850 р. В корзину

Лидер продаж!

Монитор Philips 27

13900 р. В корзину

Монитор Philips 24

13900 р. В корзину

Монитор Philips 27

14950 р. В корзину

Монитор Philips 24

15000 р. В корзину

Показано с 1 по 21 из 80 (всего 4 страниц)
Выбор монитора — на что стоит обратить внимание

В любом компьютере важной составляющей системы является Монитор. Выбор монитора очень важен, ведь от этого будет зависеть качество изображения, а следовательно и комфорт выполняемых задач. Будь то игровой монитор, или монитор для работы в офисе.
Ещё совсем недавно выбор мониторов был небольшим. Мониторы мало отличались внешним видом и имели практически одинаковые характеристики не давая возможности выбора. Сейчас, в связи с постоянным развитием технологий, все изменилось. Мониторы стали не только обычными средствами передачи информации, а удобными гаджетами, с помощью которых выполнение рабочих задач и игровой процесс стали более комфортными.

Богатый выбор технических характеристик позволяет подобрать необходимый монитор для решения любых задач. Множество производителей предлагают мониторы, отличающиеся внешним видом и набором функций, о которых немного подробней мы напишем ниже.

1. Диагональ монитора.

Первое на что стоит обратить внимание при выборе монитора — диагональ. Для работы в офисе или в магазине, где нет необходимости иметь большой монитор и работа не связана со сложными таблицами или графическими редакторами, подходят мониторы диагональю от 19″ до 24″. Это стандартные размеры мониторов, за которыми удобно работать на протяжение долгого времени. Если же Ваши задачи связаны с работой в графических редакторах, работой с большими таблицами и прочими задачами, подразумевающими большой охват изображения, то для этого подойдут мониторы с диагональю от 24″ и выше, в зависимости от Ваших потребностей. Для любителей игр подходят мониторы от 24″ и больше.
Мониторы диагональю от 27 дюймов часто выбирают веб-дизайнеры, фото и видео монтажеры, мультипликаторы и другие специалисты, работающие с графикой.

2. Тип матрицы экрана.

Существует несколько популярных типов матриц экрана: TN, PLS, IPS (SFT), VA (MVA, PVA). Матрица TN — Twisted Nematic. Преимущество матрицы в том, что она имеет быстрое время отклика и цена на мониторы с такой матрицей не велика. Недостатки матрицы в небольших углах обзора, слабой цветопередачи и низкой контрастности. Матрица PLS — это доработаная матрица версии IPS. Данная матрица была сделана для того, чтобы оптимизировать время отклика монитора. Также, мониторы с данной матрицей стоят дешевле, чем с её предшественницей — матрицей IPS. Матрица IPS (SFT) — создана на базе матрицы TN, но кардинально имеет лучшие характеристики. Имеет достаточно большие углы обзора, а цветопередача практически равна естественным цветам. Из недостатков можем отметить время отклика, которое значительно выросло по отношению к TN матрице. Матрица VA (MVA, PVA) — данные матрицы имеют низкое энергопотребление, большие углы обзора и очень быстрое время отклика. Матрицы данного типа имеют лучшую контрастность.

3. Время отклика монитора.

Важной характеристикой хочется выделить время отклика монитора. Единица измерения данного параметра — миллисекунды (мс). Чем меньше время отклика монитора — тем быстрее будет меняться изображение на мониторе. Если быть более точными, то это время, за которое 1 пиксель монитора может измениться.

4. Частота обновления кадров.

У каждого монитора есть своя частота обновления кадров. Единицей измерения частоты являются герцы (Гц). Этот показатель позволяет понять, какое число кадров монитор может показывать за 1 секунду времени. Чем выше этот показатель, тем чётче будет изображение монитора. Для обычных офисных повседневных задач подойдут мониторы с частотой обновления от 60 до 100 Гц. Если же Вы планируете заниматься графическими обработками и прочим, то лучше выбрать монитор с частотой обновления от 100 Гц. Выбирая игровой монитор — стоит обратить внимание именно на частоту обновления кадров. Как показывает практика, мониторы для игр — это мониторы с частотой обновления от 144 Гц.

5. Видеовыходы.

Помимо основных параметров мониторы отличаются видеовыходами. Основные это VGA, DVI, HDMI и DisplayPort. Если Ваш компьютер имеет дискретную видеокарту Nvidia GTX и RTX, то монитор с аналоговым разъёмом VGA Вам не подойдет. Все современные видеокарты имеют цифровые видеовыходы — HDMI, DVI и DisplayPort. Обязательно обратите внимание на этот важный параметр.
Закончим, пожалуй, тем, что внешний вид монитора тоже имеет большое значение. Множество дизайнерских решений, наличие подсветок, различных форм подставок и изогнутых экранов — это все то, что может радовать Вас ежедневно. При выборе монитора нужно учесть много параметров, чтобы выбрать именно то, что Вам нужно. Более подробную консультацию по выбору мониторов Вы всегда можете получить у сотрудников нашего магазина позвонив нам по телефону или написав на почту.

Если у вас не получается оформить заказ, нужна помощь в выборе или есть иные вопросы.
Звоните — всегда поможем — 8 (495) 235-88-35.
Также вы можете Заказать обратный звонок — это совершенно бесплатно, мы сами вам перезвоним!

Отличие товарной матрицы от матрицы Системы управления запасами для 1С

Товарная (ассортиментная) матрица – это список номенклатуры, которая должна присутствовать на складе (если вы занимаетесь оптовыми продажами) или на торговой точке (если речь идет о розничной торговле). Если простым языком – это те товары, которые вы продаете.

Приведем пример товарной матрицы:

В литературе товары в матрицах делят на группы, чаще всего их описывают так:

1. Товары — локомотивы
Это те товары, которые притягивают покупателей. Например, для продуктового магазина, это будут молоко, сыр, яйца и т.д. Для магазина офисной мебели – столы, стулья и т.д.

2. Сопутствующие товары
Они формируют дополнительные продажи, там самым увеличивая средний чек. В продуктовом магазине – это специи, соусы и т.д., в магазине мебели – вазы, постельное белье и т.д.

3. Статусные товары
Это товары, обладающие значимостью, они часто эксклюзивные, их цена намного выше, чем у товаров – локомотивов. В продуктовом магазине – черная икра, стейки из мраморной говядины и т.д., в магазинах мебели, например, комод с золотыми ручками из элитного дерева.

4. Товары – субституты
Это товары – аналоги, взаимозаменяемые позиции, которые направлены на удовлетворение одних и тех же потребностей. Например, в продуктовом магазине субститутами будут являться яблоки и груши, варенье и джем.

5. Товары – партнеры
Это получение прибыли за счет сотрудничества с другими компаниями через партнерские программы.

6. Дополняющие товары
Это товары, которые дополняют друг друга или основной товар. Например, наборы «Шампунь + Кондиционер».

Для эффективного управления запасами Товарная матрица необходима. Чаще всего при ее формировании применяют АВС анализ, XYZ – анализ и другие способы анализа ассортимента, чтобы выявить ТОПовые позиции. Также товарная матрица обязательно ограничивается площадью склада или торговой точки и количеством места для размещения товара.

Теперь расскажем про Матрицу системы управления запасами для 1С.

Матрица версии 1с и 1а чем отличаются

Модель дихотомической матрицы результатов тестирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Текст научной работы на тему «Модель дихотомической матрицы результатов тестирования»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балонин Николай Алексеевич, Сергеев Михаил Борисович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Балонин Николай Алексеевич, Сергеев Михаил Борисович

Initial Approximation Matrices in Search for Generalized Weighted Matrices of Global or Local Maximum Determinant

Мониторы Philips

1. Диагональ монитора.

2. Тип матрицы экрана.

3. Время отклика монитора.

4. Частота обновления кадров.

5. Видеовыходы.

Отличие товарной матрицы от матрицы Системы управления запасами для 1С

Добавить комментарий Отменить ответ