Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b
Перейти к содержимому

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

2 семестр ЭКТ / Примеры решений / 2.7Примерырешения

Только сегодня: скидка до 20% в подарок на первый заказ.
Какую работу нужно написать?

Другую работу

Помощник Анна

7. Электроемкость проводников и конденсаторов

(примеры решения задач) Уединенный проводник Пример 7.1. Найдите емкость шарового проводника радиуса R1, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости  и наружного радиуса R2 . Решение. Способ 1. Сообщим проводнику заряд и найдем напряженность электрического поля в окружающем пространстве. Величина поля электрического смещения равна для , поэтому: . Напряжение проводника представим следующим выражением: . Величину емкости получим по определению из выражения: . Способ 2. Проводящий шар, окруженный диэлектриком, рассмотрим как систему последовательно соединенных сферических конденсаторов (см. рисунок). Используя результат упражнения 7.4, для величин емкостей получим: , . Емкость всей системы определится выражением , которое, конечно же, совпадает с результатом, полученным в 1 способе. Плоский конденсатор Пример 7.2. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния x до одной из обкладок по закону , где 1 — постоянная, d — расстояние между обкладками. Площадь каждой обкладки S. Найдите емкость конденсатора. Решение. Представим конденсатор, заполненный неоднородным диэлектриком, как бесконечную систему последовательно соединенных элементарных конденсаторов, емкость которых равна . Емкость всей системы определится выражением: , из которого получим: . Сферический конденсатор Пример 7.3. Найдите емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как , где . Решение. Способ 1. Как и в предыдущем примере, сферический конденсатор с неоднородным, но сферически симметричным распределением диэлектрика можно представить как систему последовательно соединенных элементарных сферических конденсаторов с емкостями и найти емкость системы как . Способ 2. Величина поля электрического смещения при этом будет равна, а напряженность этого поля определится выражением Величина напряжения, при этом, будет равна , а величина емкости . Цилиндрический конденсатор Пример 7.4. Найдите емкость цилиндрического конденсатора длины l, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как , где . Решение. Представим цилиндрический конденсатор, как последовательно соединенные элементарные конденсаторы с емкостью . Величина емкости всей системы элементарных конденсаторов найдется из соотношения . Отсюда окончательно получим ответ: . Пример 7.5. Цилиндрический конденсатор имеет диаметр внешней обкладки .Каким должен быть диаметр внутренней обкладки , чтобы при заданном напряжении на конденсаторе напряженность электрического поля на внутренней обкладке была минимальной? Решение. Величину напряженности электрического поля на внутренней обкладке найдем из следующих соотношений . Подстановка величины емкости цилиндрического конденсатора (см. упражнение 7.5), приводит к выражению: . Для нахождения экстремума найдем производную знаменателя (т.к. величина числителя имеет фиксированное значение) . Приравнивая ее нулю, найдем . В том, что это соответствует минимуму , можно убедиться, взяв вторую производную и определив ее знак при . Соединение конденсаторов Пример 7.6. Четыре конденсатора с емкостями и соединены так, как показано на рисунке. Какому соотношению должны удовлетворять емкости конденсаторов, чтобы разность потенциалов между точками и была равна нулю? Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд одинаков, то выполняется соотношение . Аналогичное соотношение должно выполняться для конденсаторов 3 и 4: . Для того, чтобы между точками и отсутствовала разность потенциалов, необходимо, чтобы осуществлялись равенства и . Разделив почленно соотношения выражающие равенства зарядов и сокращая на равные разности потенциалов, получим . Взаимная емкость Пример 7.7. Очень далеко друг от друга находятся два проводника. Емкость одного из них C1, его заряд Q1. Емкость второго проводника C2, заряд Q2. Первоначально незаряженный конденсатор емкостью С подключают тонкими проводами к этим проводникам. Найдите заряд q конденсатора C. Решение. После подключения конденсатора и установления электростатического равновесия заряды и потенциалы проводников и обкладок конденсатора будут такими как показано на рисунке. Потенциалы удаленных проводников будут связаны с зарядами на них соотношениями: , . Для напряжения на конденсаторе запишем соотношение: , из которого величина заряда конденсатора может получена алгебраически и представлена в виде: . 93

24.01.2017 1.47 Mб 185 2.2Примерырешения.doc

24.01.2017 723.97 Кб 63 2.3Примерырешения.doc

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

Разделы

Дополнительно

МАТЕМАТИКА

  • ВСЕ ЗАДАЧИ
  • МЕХАНИКА
  • – Кинематика
  • – Динамика поступательного движения
  • – Динамика вращательного движения
  • – Статика
  • ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
  • ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
  • ГИДРОСТАТИКА И ГИДРОДИНАМИКА
  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
  • ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
  • КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
  • АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
  • ВСЕ ЗАДАЧИ
  • — Элементарная математика
  • — Элементарная арифметика
  • — Элементарная алгебра
  • — Теория элементарных функций и элементы анализа
  • Высшая математика
  • — Математический анализ
  • — Теория вероятности и мат. статистика
  • Геометрия
  • — Планиметрия
  • — Стереометрия
  • Математическая логика
  • — Комбинаторика
  • — Теория графов
  • ВСЕ ЗАДАЧИ
  • — Неорганическая химия
  • — Органическая химия

Задача по физике — 7397

В однородное электрическое поле напряженности $\vec_$ поместили однородный диэлектрический шар. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Найти напряженность $\vec$ электрического поля внутри шара и поляризованность $\vec$ диэлектрика, проницаемость которого равна $\epsilon$. При решении воспользоваться результатом задачи 3.96.

Задача по физике — 7398

Бесконечно длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован однородно и статически, причем поляризованность $\vec

$ перпендикулярна к оси цилиндра. Найти напряженность $\vec$ электрического поля в диэлектрике.

Задача по физике — 7399

Длинный цилиндр круглого сечения из однородного диэлектрика поместили в однородное электрическое поле с напряженностью $\vec_$. Ось цилиндра перпендикулярна к вектору $\vec_$. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти напряженность $\vec$ электрического поля внутри цилиндра и поляризованность $\vec$ диэлектрика, проницаемость которого равна $\epsilon$.

Задача по физике — 7400

Найти емкость уединенного шарового проводника радиуса $R_<1>$, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью $\epsilon$ и наружным радиусом $R_$.

Задача по физике — 7401

К источнику с э. д. с. $\mathcal$ подключили последовательно два плоских воздушных конденсатора, каждый емкости $C$. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет через источник?

Задача по физике — 7402

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами $d_<1>$ и $d_$ и с проницаемостями $\epsilon_<1>$ и $\epsilon_$. Площадь каждой обкладки равна $S$. Найти:
а) емкость конденсатора;
б) плотность $\sigma^< \prime>$ связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно $U$ и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

Задача по физике — 7403

Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость $\epsilon$ которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от $\epsilon_<1>$ до $\epsilon_$, причем $\epsilon_ > \epsilon_<1>$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними $d$. Найти:
а) емкость конденсатора;
б) объемную плотность связанных зарядов как функцию $\epsilon$, если заряд конденсатора $q$ и поле $\vec$ в нем направлено в сторону возрастания $\epsilon$.

Задача по физике — 7404

Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок $R_<1>$ и $R_ > R_<1>$ который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону $\epsilon = a/r$, где $a$ — постоянная, $r$ — расстояние от центра конденсатора.

Задача по физике — 7405

Цилиндрический конденсатор заполнен двумя цилиндрическими слоями диэлектриков с проницаемостями $\epsilon_<1>$ и $\epsilon_$. Внутренние радиусы слоев равны соответственно $R_<1>$ и $R_ > R_<1>$. Максимально допустимая напряженность электрического поля для этих диэлектриков равна $E_$ и $E_$. При каком соотношении между $\epsilon, R$ и $E_$ напряженность поля при повышении напряжения одновременно достигнет значения, соответствующего пробою того и другого диэлектрика?

Задача по физике — 7406

Имеется двухслойный цилиндрический конденсатор, данные которого приведены на рис. Предельные значения напряженности электрического поля, при которых наступает 558 559 560 561 562

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

В рамках курса «Электричество и магнетизм» диэлектрик – это среда, содержащая большое число электрических диполей (молекул, обладающих нулевым зарядом и ненулевым электрическим дипольным моментом). Эти диполи лишены поступательных степеней свободы, но вращательные у них имеются. В отсутствие внешнего электрического поля диполи ориентированы случайно. При наложении внешнего поля диполи поворачиваются, приобретая преимущественную ориентацию. В результате к внешнему полю добавляется поле диполей. Определение полного поля составляет задачу электростатики в диэлектриках. При этом подразумевается поле в макроскопическом смысле, то есть усредненное по физически бесконечно малым элементам объема и, таким образом, не зависящее от микроскопических колебаний плотности заряда, связанных с молекулярным строением вещества. Другими словами, дополнительное поле рассчитывается в приближении сплошной среды.

В случае однородного диэлектрика даже выстроенные по внешнему полю диполи не приводят к появлению объемного заряда, поскольку в любом объеме число отрицательных и положительных зарядов одинаково. Нескомпенсированный заряд возможен только на границе диэлектрика, где он характеризуется поверхностной плотностью. Поэтому дополнительное поле можно свести к действию только поверхностных зарядов, что технически значительно проще, чем рассчитывать интегральное поле диполей по всему объему диэлектрика.

Заряды в диэлектрике могут формироваться как за счет молекул самого диэлектрика, так и зарядами, привнесенными со стороны (например, путем ионного внедрения). Заряды первого типа называются связанными, второго – сторонними или, что то же, свободными. Во избежание недоразумений подчеркнем, что данная терминология не имеет ничего общего с тем, подвижны заряды или нет.

Первое уравнение Максвелла в форме \begin\label \text \vec=4\pi(\rho+\rho_) \end указывает на связь макроскопического поля с плотностью как сторонних ($\rho$), так и связанных ($\rho_$) зарядов. Поскольку последняя a priori не известна, вводится вспомогательная векторная величина $\vec$, называемая электрической индукцией, для которой выполняется соотношение \begin\label \text \vec=4\pi\rho, \end т. е. $\text \vec$ не зависит от плотности связанных зарядов.

Из уравнения \eqref следует граничное условие на нормальные компоненты $\vec$: \begin\label D_-D_=4\pi\sigma, \end где $\sigma$ – поверхностная плотность сторонних зарядов.

Оказывается, в изотропных диэлектриках векторы $\vec$ и $\vec$ связаны простым соотношением: $$ \vec=\varepsilon \vec, $$ где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды.

Из второго уравнения Максвелла $$ \text\vec=0 $$ следует граничное условие на тангенциальные компоненты $\vec$: \begin\label E_-E_=0. \end

Обычно общий вид поля в среде удается угадать, а граничные условия \eqref и \eqref позволяют найти неопределенные коэффициенты. Если одно из граничных условий оказывается неинформативным, то можно попытаться получить недостающую информацию из теоремы Гаусса, записанной для вектора $\vec$: $$ \oint (\vec\cdot d\vec)=4\pi Q, $$ где $Q$ – полный сторонний заряд внутри области, ограниченной поверхностью $S$. Область $S$ при этом требуется выбрать подходящим образом.

После того, как найдено поле в среде, можно определить удельный дипольный момент на единицу объема (поляризацию) по формуле $$ \vec=\frac<4\pi>\vec. $$

Зная поляризацию, можно непосредственно определить плотность связанных зарядов на границе раздела со стороны данного диэлектрика как $$ \sigma_=P_n=\frac<4\pi>E_n, $$ где $P_n$ – проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к границе раздела.
Если граница разделяет диэлектрики с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$, то полная плотность связанных зарядов равна $$ \sigma_=P_+P_ =\frac<4\pi >E_ -\frac<4\pi >E_. $$ (знак »-» перед вторым слагаемым поставлен с учетом того, что направление внешней нормали с другой стороны от границы раздела меняется на противоположное, в то время как $E_$ и $E_$ здесь и чаще всего на практике определяются как проекции на одно направление).

Ниже приведен ряд практических примеров на решение задач электростатики в диэлектриках.

Определить емкость С сферического конденсатора,радиусы обкладок которого равны R1 и R2 (R1

MashaPutnaj

Камінь масою 4 кг кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 30 м/с. Він досягнув найвищої точки траєкторії за 2,5 с. Знайти середню силу опору п … овітря.

Какую массу валы можно налить от 20 до 80 градусов подводя колич теплоты к 84кдж
Визначте масу тіла, яке під дією сили 100 н рухається за законом х=4-t-4t²

Камінь масою 4 кг кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 30 м/с. Він досягнув найвищої точки траєкторії за 2,5 с. Знайти середню силу опору п … овітря.

В коливальному контурі конденсатор ємністю 50 нФ заряжено до максимальної напруги 100 В. Знайти частоту коливань в контурі, якщо максимальна сила стру … му в контурі рівна 0,2 А. 54.2.1

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *