Квадратурные формулы для сингулярных интегралов, имеющих почти гауссовскую степень точности Текст научной статьи по специальности «Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хубежты Шалва Соломонович, Цуцаев Арсен Олегович
Построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром типа Коши, близкие по точности к гауссовским. Алгебраическая степень точности равна 2 n. Но она характерна тем, что в процессе увеличения n при переходе от данного n=n 1 к последующему n=n 1 + 1 требуется перевычисление значений функции , но не во всех узлах квадратуры, а только в их части. Кроме этого, если обычные квадратурные формулы для сингулярных интегралов имели наивысшую степень точности только тогда, когда параметр сингулярности являлся корнем присоединенной функции Лежандра второго рода, то для построенных квадратурных формул существует более широкое множество значений параметра сингулярности. Такими множествами являются корни многочленов Чебышева первого и второго рода.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Хубежты Шалва Соломонович, Цуцаев Арсен Олегович
О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями
Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения, не ограниченное на концах интегрирования, с применением рядов Чебышева
Об аппроксимации интегралов типа Коши с весовыми функциями на отрезках интегрирования
К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода на отрезках
О численном решении одной задачи рассеяния. Анализ численных результатов
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Quadrature Formulas for Singular Integrals with Nearly Gaussian Degree of Accuracy
Quadrature formulas for singular integrals with the Cauchy kernel, similar in accuracy to the Gaussian ones, were constructed. The algebraic degree of accuracy is 2 n. But it is characterized by the fact that in the process of n increase in the transition from the present n=n 1 to the next n=n 1 + 1 it is necessary to re-calculate the value of function , however, not in all nodes of the quadrature but only in part of them. In addition, if the usual quadrature formulas for singular integrals have the highest degree of accuracy, it is only when the singularity parameter was the root of the associated Legendre function of the second kind, the wider range of singularity parameter values exists for the constructed quadrature formulas. These sets are the roots of the Chebyshev polynomials of the first and second kinds.
Текст научной работы на тему «Квадратурные формулы для сингулярных интегралов, имеющих почти гауссовскую степень точности»
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ИМЕЮЩИХ ПОЧТИ ГАУССОВСКУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
© 2015 г. Ш.С. Хубежты, А.О. Цуцаев
Хубежты Шалва Соломонович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Северо-Осетинский государственный университет, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362025; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства Республики Северная Осетия — Алания, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: shalva57@rambler.ru
Цуцаев Арсен Олегович — аспирант, Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: tsutsaev@yandex.ru
Khubezhty Shalva Solomonovich — Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Mathematical Analysis, North Ossetian State University, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362025, Russia; Leading Researcher, Southern Mathematics Institute of VSC RAS and the Government of the Republic of North Ossetia-Alania, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: shalva57@rambler.ru
Tsutsaev Arsen Olegovich — Post-Graduate Student, Southern Mathematics Institute of VSC RAS and the Government of the Republic of North Ossetia-Alania, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: tsutsaev@yandex.ru
Построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром типа Коши, близкие по точности к га-уссовским. Алгебраическая степень точности равна 2п. Но она характерна тем, что в процессе увеличения п при переходе от данного п=п\ к последующему п=п\ + ! требуется перевычисление значений функции ф(7), но не во всех узлах квадратуры, а только в их части. Кроме этого, если обычные квадратурные формулы для сингулярных интегралов имели наивысшую степень точности только тогда, когда параметр сингулярности являлся корнем присоединенной функции Лежандра второго рода, то для построенных квадратурных формул существует более широкое множество значений параметра сингулярности. Такими множествами являются корни многочленов Чебышева первого и второго рода.
Ключевые слова: сингулярный интеграл с ядром Коши, квадратурная формула, чебышевский вес, гауссовская точность.
Quadrature formulas for singular integrals with the Cauchy kernel, similar in accuracy to the Gaussian ones, were constructed. The algebraic degree of accuracy is 2n. But it is characterized by the fact that in the process of n increase in the transition from the present n=n1 to the next n=n1 +1 it is necessary to re-calculate the value offunction ), however, not in all nodes of the quadrature but only in part of them. In addition, if the usual quadrature formulas for singular integrals have the highest degree of accuracy, it is only when the singularity parameter was the root of the associated Legendre function of the second kind, the wider range of singularity parameter values exists for the constructed quadrature formulas. These sets are the roots of the Chebyshev polynomials of the first and second kinds.
Keywords: singular integral with Cauchy kernel, quadrature formula, Chebyshev weight, Gauss accuracy.
Общая постановка задачи и её актуальность
В существующей ныне литературе, относящейся к вопросу теории квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши, значительный интерес представляют квадратурные формулы Гаусса для таких интегралов (см., напр., [1, 2]). В соответствующих работах этого направления показывается, что достижение гауссовской степени точности в случае сингулярных интегралов вида
где pit) — заданная на [-1,+1] конкретная суммируемая (обычно знакопостоянная) функция; ф(<) -
произвольная функция из некоторого класса гладких функций, возможно при определенном выборе значений параметра сингулярности x. А именно в
общем случае предполагается, что значениями х являются нули так называемых присоединенных функций, или функций второго рода (см., напр., [3]). К часто встречающимся в приложениях сингулярным интегралам вида (1) обычно относятся интегралы с весовыми функциями (1 — /)р (1 + /) (р,д >-1) (см., напр., [2, 4 — 6]). Как подтверждается упомянутыми и рядом других работ, сингулярные интегралы с такими весовыми функциями имеют применение в контактных задачах теории упругости, в том числе в теории трещин.
К наиболее приемлемому подходу к вычислению (приближенно) интегралов
при произвольных значениях х из рассматривае-
мого интервала следует отнести применение к (2) квадратурных формул для сингулярных интегралов, основанных на аппроксимации функции ф(/) ее интерполяционными полиномами, построенных по корням ортогональных на отрезке [-1, +1] по весу (1 — /)р (1 + /) полиномов. К основным вопросам в направлении исследования и приложения построенных на такой основе квадратурных формул относятся такие вопросы, как оценка их погрешности на различных классах функций ф(?), сходимость на возможно широких классах плотностей ф(?), влияние ряда локальных свойств последних на поведение их остаточных членов, а также влияние вычислительных погрешностей (округления, наследственных) и т.п. Отметим также, что при конструировании на такой основе квадратурных формул определенного внимания требует вычисление независящих от ф стандартных интегралов
dt (p, q >-1), точное вычисление
двух ортогональных по данному весу (1 — /)р (1 + /) полиномов последовательных степеней (п и п +1). Очевидно, что такие квадратурные формулы могут быть построены теми же способами, что и упомянутые выше, и имеют алгебраическую степень точности 2п.
В [9] изучен случай р = q = — и построены квадратурные формулы
iVl -12 (t — x) n +1 k=i
(x)Un (x) —L-Ф(xkn+1) , ГДе
sin(n +1) arccos x Un (x) =- -, T (x) = cos n arccos x —
ортогональные многочлены Чебышева.
В настоящей заметке мы будем рассматривать 1
случаи p = q = —, т.е. интеграл вида
которых для ряда значений р, q возможно методами теории функций комплексного переменного (см. также [7]). В общем случае эти интегралы могут быть вычислены приближенно с любой заданной степенью точности. Тем самым в случае заданных точно (или с большой точностью) исходных данных (плотностей сингулярных интегралов) можно, по-видимому, утверждать определенную вычислительную эффективность известных ныне многих квадратурных формул. Тем не менее следует упомянуть о связанных с практическими приложениями задачах с приближенными исходными данными (например, когда эти данные определяются на основе эксперимента). Так, к примеру, может обстоять дело при численном решении определенных классов сингулярных интегральных уравнений, относящихся к некоторым задачам физики (см., напр., [8]), когда значения ядра рассматриваемого интегрального уравнения определяются путем эксперимента с последующим сравнением результатов вычислений на различных шагах. При возникновении такого рода ситуаций наиболее эффективным представляется применение к аппроксимации сингулярных интегралов квадратурных формул такой структуры, чтобы в возможно нужном процессе последовательного увеличения числа узлов квадратуры найденное на данном шаге значение ядра уравнения могло быть использовано вторично при последующем значении числа узлов. С этой целью представляется полезным рассмотрение квадратурных формул для сингулярных интегралов, построение которых будет основано на применении в качестве интерполяционных узлов совокупности нулей
Согласно сказанному выше, построение интересующей нас в данном случае квадратурной формулы для интеграла (3) основывается на аппроксимации функции ф(?) интерполяционным многочленом, построенным по значениям ф(?) в узлах, представляющих нули многочлена ип (?)Цп+1(?), где Ц (?) и — чебышевские многочлены вто-
рого рода степени п, п +1.
Построение квадратурной формулы по узлам нулей полинома ип (0Ц
С целью построения оговоренного выше интерполяционного полинома обозначим через пк=х
и 1+=1 нули полиномов ип (?), Ц+^О соответственно. В первую очередь нам нужно найти детальное выражение значений
ц (иж=хы, и (цлт=хы+1.
[ип (Ц ,(/)];=^ = Ц (Хп )ип+1(Хп ), ц (Г )ип+,(/)];=^ = ип (X
Используя далее представления
sin(n +1) arccos t
основе (4) убедиться в справедливости равенств
г п +1 равняется нулю, а первое вычисляется по известной
и (Т)ип+1(0]/=хы кп ‘ в теории ортогональных многочленов [3] формуле
п +1 1 f^-tün±i(t) ^ т , л T , л
-I- n+1 dt = -ТП+2(X), где Tn±2(x) — много-
*n1 sin2 член Чебышева первого рода степени п ± 2 .
Аналогично поступаем с интегралами, содер-
Применяя указанные соотношения, для искомо- ч—1 ,
г у жащими множители вида (Т — хы+(вторые ин-
го интерполяционного многочлена L2n (ф; t) получим представление
L2;t) = ü(t)ü+1(t)x (5) 1 jVI-t2 ün(tün+1(t)dt
2k ^ (t — X)(t — Xkn+1)
i n sin — 1 n + 1 sin _
n + U = 1 t — Xkn n + 2k = 1 t — Xkn + 1
1 I 1 ГЛ-^Г ün (t )ün+,(t )dt
Подставляя (5) в (3) вместо ф($), получаем при- — Í V1-1
1 1 ATT ün (t )ün+,(t )dt
2 ^ nV^n+l^-П 1 t — Xkn+1
, 1 _ ,ч Согласно замеченному выше, рассмотрению
1 . Г-2 Ф(Т) , « » ТГ Г
— IV1 -t dt и подлежит второй интеграл в правой части. Преоб-
И-£sm2-^ф^)! Г^Т» И(t)ип+1(t) ^ + 1 Г^МИ^:
п +1 к=1 п +1 п (Т-х)^^) п[. Т-х^.
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
п + 2 к-. п + 2 п -1 (Т —х)(Т —х^.) п -. Т-х^п+1
Следовательно, построение указанной квадра- Используя квадратурную формулу Гаусса (см. [5,
турной формулы сводится к вычислению интегра- 1 1 •-и (Т)И (Т)ЛТ
лов вида 6]), поучаем — [ V1 — Т 2 п -=
1 ип(и1(,) й , 1 [УГТ ^^ ет. (6) 1 п+т ,пп-1 Г и (ть+Т (х )
п[; (Т — х)(Т — хь) ‘ п[; (Т — х)(Т — хп+т) () =-Ц2>2 И„(х^.)Г^0 ^^
Это может быть осуществлено с учетом ортогональности системы полиномов по весу 1 . 2 кп тт „ чтт, „
— =-Г sln -Г ип (хкп+. )Ип+. (хкп+. ) =
л/1 -12 применением ряда формул, относящихся к
взаимосвязи этих полиномов с полиномами Чебы- =—i—sin2 kn (—1)k —1(—)—(n + = 1. шева первого рода . В частности, очевидно, n + 2 n + 2 sin2 kn
что определение первого из этих интегралов может _
г В результате окончательно приходим к квадра-быть основано на вычислении двух интегралов
— Г турной формуле вида 1 [ >/■ -Т2 Ф(Т)е, и
1 Г ЛТТ» Ип (Т)Ип+.(Т) Л (7) 1 п+Г Sin2 п+ЬФ(хкп+■)
причем второй интеграл в (7) заведомо равен нулю ^
в си^ ортогональности на [-1,1] системы полино- 1 п sin -~ф(хкп)
мов по весу VI — Т . Преобразуем первый п +1 к=■ х — хкп
интеграл в (7) к виду ^ + U»(x)r».,(x)+■. «П’п + ■)S;nC°;^» + +1 —
1/2(sin(2n + 3); — sin;) + sin;
1/2(sin(2n + 3)5 + sin 3)
и воспользуемся упомянутым выше свойством ор- sin $
тогональности. Получим, что второе слагаемое
sin(n + 2)3cos(n +1)5
sin 3 где х = cos 3.
Поэтому итоговая формула
Квадратурные формулы
где [math]f(x)[/math] — интегрируемая функция, определенная на отрезке [math][a,b][/math] .
Численное интегрирование оcуществляется с помощью квадратурных формул — приближенных равенств вида
[math]I\approx\sum\limits_^n C_i f(x_i).[/math]
Сумма в правой части называется квадратурной суммой; различные точки [math]x_i[/math] отрезка [math][a,b][/math] называются узлами, а числа [math]C_i[/math] — коэффициентами квадратурной формулы.
Значение квадратурной суммы, принимаемое за приближенное значение интеграла, зависит от выбора узлов [math]x_i[/math] и коэффициентов [math]C_i[/math] . При вычислении значения квадратурной суммы основные временные затраты приходятся на вычисление значений подынтегральной функции в узлах.
Погрешностью квадратурной формулы называется разность
Если функция [math]f(x)[/math] такова, что [math]R_n(f)=0[/math] , то говорят,что квадратурная формула точна для функции [math]f(x)[/math] .
Целое число [math]k\ge0[/math] называется алгебраической степенью точности квадратурной формулы, если квадратурная формула точна для любого многочлена степени не выше [math]k[/math] и не точна для многочлена степени [math]k+1[/math] .
Если квадратурная формула с [math]n[/math] узлами имеет алгебраическую степень точности [math]k[/math] , то [math]k\le 2n-1[/math] .
Широко известны квадратурные формулы, полученные посредством замены подынтегральной функции [math]f(x)[/math] алгебраическим интерполяционным многочленом, значения которого совпадают со значениями функции в [math]n[/math] узлах [math]x_i[/math] ; такие квадратурные формулы называются интерполяционными. Для погрешности интерполяционной квадратурной формулы справедлива оценка
где [math]M_n=\max\limits_
Если интерполяционная квадратурная формула с [math]n[/math] узлами имеет алгебраическую степень точности [math]k[/math] , то [math]k\ge n-1[/math] .
1.1.1 Формулы Ньютона-Котеса
Формулами Ньютона-Котеса называются интерполяционные квадратурные формулы, [math]n[/math] узлов которых заданы равноотстоящими: [math]x_1=\frac2[/math] при [math]n=1[/math] и [math]x_i=a+(i-1)\frac, 1\le i \le n[/math] при [math]n\gt 1[/math] .
Свое название эти формулы получили в память того, что они в достаточно общей форме были рассмотрены Исааком Ньютоном, а их коэффициенты при [math]1\le n\le 10[/math] были найдены Роджером Котесом.
Наиболее известными формулами Ньютона-Котеса являются формула средних прямоугольников ( [math]n=1[/math] )
и формула трапеций ( [math]n=2[/math] )
алгебраическая степень точности каждой из них равна 1, а для их погрешностей справедливы оценки
Формулами Ньютона-Котеса при [math]n=3[/math] и [math]n=4[/math] являются формула Симпсона
которую называют также формулой парабол, и формула трех восьмых
название которой происходит от коэффициента 3/8; алгебраическая степень точности каждой из них равна 3, а для их погрешностей справедливы оценки
Алгебраическая степень точности формулы Ньютона-Котеса с [math]n[/math] узлами равна [math]n-1[/math] при четном [math]n[/math] и равна [math]n[/math] при нечетном [math]n[/math] .
Коэффициенты формул Ньютона-Котеса положительны при [math]1\le n\le8[/math] и [math]n=10[/math] , а при [math]n=9[/math] и [math]n\ge11[/math] среди коэффициентов имеются как положительные так и отрицательные.
Положительность коэффициентов квадратурной формулы важна для ее практического применения. Дело в том, что при вычислении интегральной суммы влияние погрешностей округления на точность результата тем сильнее, чем больше [math]\sum\limits_^n |C_i|[/math] . Для формул Ньютона-Котеса эта сумма неограниченно возрастает при [math]n\to\infty[/math] . Поэтому при больших [math]n[/math] формулы Ньютона-Котеса оказываются практически непригодными.
Таким образом, для того чтобы использовать квадратурные формулы с большим числом узлов, нужно отказаться или от того, чтобы квадратурная формула была интерполяционной, или от того, чтобы узлы задавались равноотстоящими.
1.1.2 Составные квадратурные формулы
Составными называются квадратурные формулы, построение которых осуществляется следующим образом. Отрезок интегрирования [math][a,b][/math] разбивается на [math]m[/math] отрезков равной длины [math]h=\dfracm[/math] . Тогда по свойству аддитивности интеграл может быть вычислен как сумма интегралов по отрезкам разбиения. Для приближенного вычисления каждого из слагаемых этой суммы применяется одна и та же квадратурная формула, называемая исходной.
Алгебраическая степень точности составной квадратурной формулы совпадает с алгебраической степенью точности исходной.
Если в качестве исходной квадратурной формулы выбрать формулу средних прямоугольников, формулу трапеций или формулу Симпсона, то будут получены следующие составные квадратурные формулы:
составная формула средних прямоугольников
[math]I\approx h\,(\sum\limits_^m f(a+ih-\frac))[/math]
с числом узлов [math]m[/math] и оценкой погрешности
составная формула трапеций
с числом узлов [math]m+1[/math] и оценкой погрешности
составная формула Симпсона
с числом узлов [math]2m+1[/math] и оценкой погрешности
1.1.3 Квадратурные Формулы Гаусса
Как отмечалось выше, если квадратурная формула с [math]n[/math] узлами является интерполяционной, то ее алгебраическая степень точности не меньше [math]n-1[/math] ; при любых заданных узлах построение интерполяционной квадратурной формулы осуществляется за счет выбора ее [math]n[/math] коэффициентов. За счет же выбора [math]n[/math] узлов интерполяционной квадратурной формулы можно добиться того, чтобы она имела возможно более высокую алгебраическую степень точности, а именно [math]2n-1[/math] .
Задача построения такой квадратурной формулы рассматривалась Карлом Фридрихом Гауссом; им была доказана ее разрешимость.
Квадратурная формула с [math]n[/math] узлами, алгебраическая степень точности которой равна [math]2n-1[/math] , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.
В случае отрезка [math][-1,1][/math] квадратурная формула
[math]\int\limits_^1 f(t)\,dt\approx\sum\limits_^n c_i f(t_i)[/math]
является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы [math]t_i[/math] являются корнями многочлена Лежандра
В частности, при [math]n=2[/math] и [math]n=3[/math] квадратурные формулы Гаусса для отрезка [math][-1,1][/math] таковы:
[math]\int\limits_^1 f(t)\,dt\approx f\left(-\frac1\right)+f\left(\frac1\right),[/math] [math]\int\limits_^1 f(t)\,dt\approx\frac59\;f\left(-\sqrt\right)+\frac89\;f(0)+ \frac59\;f\left(\sqrt\right).[/math]
Чтобы получить квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка [math][a,b][/math] , следует сделать замену переменной
в результате которой
Воспользовавшись квадратурной формулой Гаусса для отрезка [math][-1,1][/math] , получим квадратурную формулу Гаусса для отрезка [math][a,b][/math] :
[math]I\approx\frac2\sum\limits_^n c_i f(x_i),[/math]
где [math]x_i=0.5(a+b+(b-a)t_i)[/math] , [math]t_i[/math] — корни многочлена Лежандра [math]P_n(t)[/math] .
Для погрешности квадратурной формулы Гаусса c [math]n[/math] узлами справедлива оценка
Коэффициенты квадратурных формул Гаусса положительны. Поэтому использование квадратурных формул Гаусса с большим числом узлов не приводит к тем осложнениям, которые возникают при использовании формул Ньютона-Котеса.
1.2 Математическое описание алгоритма
Если квадратурная формула выбрана, то алгоритм приближенного вычисления интеграла состоит в вычислении квадратурной суммы, т.е. в вычислении значений функции в [math]n[/math] узлах, умножении их на соответствующие коэффициенты и суммировании полученных чисел.
Исходные данные: функция [math]f(x)[/math] и два одномерных массива [math]n[/math] чисел — массив узлов и массив коэффициентов.
Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.
- Уровень алгоритма
- Численные методы интегрирования
- Статьи в работе
Что такое степень точности интеграл
В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла от некоторой функции:
(2.1)
где 
– подынтегральная функция, непрерывная на отрезке 
.
Геометрический смысл интеграла заключается в том, что если 
на отрезке , то интеграл 
численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции 
, отрезком оси абсцисс, прямой 
и прямой 
(рис.2.1). Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
Рис.2.1. Геометрический смысл интеграла
Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).
Численное интегрирование применяется, когда:
- сама подынтегральная функция не задана аналитически, а например, представлена в виде таблицы значений;
- аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
Способы численного вычисления определенных интегралов основаны на замене интеграла конечной суммой:
(2.2)
где 
– числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования, 
– узлы интегрирования
(
). Выражение (2.2) называют квадратурной формулой.
Разделим отрезок на N равных частей, то есть на N элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка:
(2.3)
Тогда значение интеграла можно представить в виде:
(2.4)
Из этого выражения видно, что для численного интегрирования на отрезке 
, достаточно построить квадратурную формулу на каждом частичном отрезке 
.
Погрешность квадратурной формулы определяется выражением:
(2.5)
и зависит от выбора коэффициентов и от расположения узлов 
.
Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Однако увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится ограничиваться заданным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов.
Формулы Ньютона-Котеса получаются путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением каждого частичного отрезка интегрирования на n равных частей. Получившиеся формулы используют значения подынтегральной функции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов степени х зависящей от числа узлов. Точность решения растет с увеличением степени интерполяционного многочлена.
Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся таким образом, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из условий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени.
Приближенное вычисление определенного интеграла
с помощью разложения подынтегральной функции в ряд
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с помощью ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
Ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням , с точностью до 0,001
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как-то незаслуженно я обошел стороной арктангенс, ни разу не разложив его в ряд. Исправим оплошность.
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд.
Решение: Есть сильное подозрение, что данный интеграл является берущимся, правда, решение не самое простое.
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем разложение:
В данном случае
Здесь повезло, что в итоге степени таки остались целыми, дробные степени было бы труднее интегрировать.
Бывает и так. Члены с возу – студенту легче.
Ответ: с точностью до 0,01.
И снова обратите внимание, что точность 0,01 здесь гарантирована лишь потому, что сходящийся ряд знакочередуется. Для ряда с положительными членами, например, ряда такую оценку проводить нельзя, поскольку сумма отброшенного «хвоста» может запросто превысить 0,00089. Что делать в таких случаях? Расскажу в конце урока. А пока открою секрет, что во всех сегодняшних примерах ряды знакочередуются.
И, конечно, следует контролировать область сходимости ряда. В рассмотренном примере она, кстати, «урезана»: (из-за квадратного корня), однако наш отрезок интегрирования полностью лежит в данной области.
Что произойдёт в «нелегальном» случае, например, с интегралом ? Функция так же прекрасно разложится в ряд, члены ряда так же замечательно проинтегрируются. Но, когда мы начнем подставлять значение верхнего предела по формуле Ньютона-Лейбница, то увидим, что числа будут неограниченно расти, то есть каждое следующее число будет больше, чем предыдущее. Ряд-то сходится лишь на отрезке . Это не паранойя, на практике так время от времени бывает.
Что делать, если вам встретился подобный интеграл? Во-первых, имеет смысл проконсультировать с преподавателем – скорее всего, это опечатка в задачнике или методичке, где авторы недосмотрели, что промежуток интегрирования «вылез» за область сходимости ряда. А может и досмотрели (особенно, если вы учитесь углублённо). Дело в том, что на самом деле этот интеграл разрешим! Разбиваем его на две части:
Первый интеграл вычисляется штатно, а вот во втором – раскладываем функцию в ряд Тейлора по степеням с помощью производных (см. последний параграф), тогда область сходимости полученного ряда будет такова:
– прибавляем ко всем частям неравенства единицу:
– и далее преспокойно интегрируем ряд в его области сходимости!
Вот такая вот совсем не очевидная задача, выражаю благодарность одному из читателей, который указал на этот вариант развития событий.
Интеграл с арксинусом я рассматривать не буду, поскольку он занесен в красную книгу. Лучше дополнительно рассмотреть что-нибудь «бюджетное»:
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Это пример для самостоятельного решения. Что касаемо нуля, то он здесь не помеха – подынтегральная функция терпит лишь устранимый разрыв в точке , и поэтому несобственный интеграл здесь и рядом не валялся, т.е. речь идёт по-прежнему об определённом интеграле. В ходе решения вы увидите, что полученный ряд прекрасно сходится к нулю.
В заключение рассмотрим еще пару примеров, которые несколько сложнее.
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение: Анализирую подынтегральную функцию, приходим к выводу, что нужно использовать биномиальное разложение. Но сначала функцию надо представить в соответствующем виде:
К сожалению, ни один частный случай биномиального разложения не подходит, и нам придется использовать громоздкую общую формулу:
В данном случае: ,
Разложение уже на этом этапе лучше максимально упростить. Замечаем также, что четвертый член ряда нам, очевидно, не потребуется, так как в нём еще до интегрирования появилась дробь , которая заведомо меньше требуемой точности 0,001.
Не забываем, что есть еще один множитель:
Наиболее кропотливый этап пройден, вычислим интеграл:
Ответ: с точностью до 0,001.
Нечто подобное для самостоятельного решения:
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
И напоследок обещанный секрет – что делать, если все члены ряда положительны? Скорее всего, в этом случае от вас не потребует вычислить интеграл «с точностью до», а попросят, например, найти сумму первых трёх членов ряда и опционально округлить её до скольких-то знаков после запятой. Но это будет вовсе не «с точностью до», т.к. для положительных рядов довольно трудно оценить сумму остатка. Однако, если «тяжёлый случай» таки имеет место, то обратитесь за консультацией к преподавателю; в рамках данной статьи я не буду освещать специальные методы, которые не находят широкого практического применения.
Рассмотренная типовая задача на самом деле довольно неприятна, так как не существует простых способов проверки результата. По невнимательности легко пропустить какое-нибудь число, степень, неточно разложить функцию в ряд, неверно проинтегрировать, допустить банальную ошибку в вычислениях. Поэтому очень важно подходить к решению таких задач с ясной головой.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем частный случай биномиального разложения:
В данном случае:
Таким образом:
Ответ: с точностью до 0,001.
Пример 4: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем разложение:
Таким образом:
Ответ: с точностью до 0,001.
Пример 6: Решение:
Используем биномиальное разложение:
В данном случае: , :
Таким образом:
Ответ: с точностью до 0,001.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено