Найти такие четыре натуральных числа что произведение любых трех из них сложенное с единицей делится
Перейти к содержимому

Найти такие четыре натуральных числа что произведение любых трех из них сложенное с единицей делится

Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6

Каждое второе число делится на 2, значит в каждой тройке есть число, которое делится на 2. Каждое третье число делится на 3, значит в каждой тройке есть число, которое делится на 3. Так как в произведение есть числа, которые делятся на 2 и на 3, значит произведение делится на 2*3=6.

Рекомендации Учи.Ответов

Разобраться с этим и другими вопросами поможет курс Учи.ру по математике для 9 класса

Людмила 6 лет назад

Обозначим через х наименьшее из данных трех последовательных натуральных чисел. Тогда остальные два числа будут равны х +1 и х + 2. Докажем, что одно из этих чисел обязательно делится на два. Если число х не делится на 2, то оно дает при делении на 2 остаток 1 и число х можно записать в виде 2k + 1, где k -некоторое целое число. В таком случае число х +1 будет равно 2k + 1 + 1 = 2k + 2 и, следовательно, число х +1 будет делиться на 2. Итак, мы показали, что одно из чисел х и х +1 будет обязательно делится на 2. Докажем, что одно из данных трех последовательных натуральных чисел обязательно делится на три. Если число х не делится на 3, то оно дает при делении на 3 остаток 1 или остаток 2. Если число х при делении на 3 дает остаток 1, то число х можно представить в виде 3k + 1, где k -некоторое целое число. В таком случае число х + 2 будет равно 3k + 1 + 2 = 3k + 3 и, следовательно, число х + 2 будет делиться на 3. Если число х при делении на 3 дает остаток 2, то число х можно представить в виде 3k + 2, где k -некоторое целое число. В таком случае число х + 1 будет равно 3k + 2 + 1 = 3k + 3 и, следовательно, число х + 1 будет делиться на 3. Итак, мы показали, что одно из чисел х, х +1 и х +2 будет обязательно делится на 3. Кроме того, одно из чисел х и х +1 будет обязательно делится на 2. Следовательно, произведение х*(х +1)*(х +2) будет обязательно делится на 2*3 = 6.

Найти такие четыре натуральных числа, что произведение любых трёх из них, сложенное с единицей, делится на четвёртое.

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

  • Все категории
  • экономические 43,679
  • гуманитарные 33,657
  • юридические 17,917
  • школьный раздел 612,555
  • разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

  • Обратная связь
  • Правила сайта

Найти такие четыре натуральных числа что произведение любых трех из них сложенное с единицей делится

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

Решение

Набор натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи, условимся называть хорошим. Ясно, что если (a, b, c, d) – хороший набор, то и
( a /k, b /k, c /k, d /k) – тоже хороший набор, где k = НОД(a, b, c, d). Поэтому в дальнейшем считаем, что НОД(a, b, c, d) = 1. (1)
Пусть одно из данных чисел, например a, имеет нечётный простой делитель p. Тогда суммы b + c, c + d, b + d и, следовательно, сами числа b, c и d делятся на p (ибо, например, 2d = (b + d) + (c + d) – (b + c)), что противоречит условию (1). Значит, числа a, b, c, d – степени двойки. Упорядочив данные числа в порядке возрастания, получим a = 2 m , b = 2 n , c = 2 r , d = 2 s , где 0 = m ≤ n ≤ r ≤ s, r ≥ 1 (иначе m = n = r = 0, значит, a = b = c). Но тогда число (a + c)² = (1 + 2 r )² нечётно и не может делиться на чётное число bd. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 99.5.11.5

Проект осуществляется при поддержке и .

Найди такие четыре натуральных числа, что произведение любых трёх из них, сложённое с единицей, делится на четвёртое

1) Не викокуючи побудови графікα φί y=2x-7 знайти точку цього графіка, у якої ордината у 3 рази більша за абсцису 32) 3н. значения в, якщо відомо, що … графік 2 ф-т у=-7X+в проходить через точку M(18;1)3) Побудувати графікy=4x²+12x+9_x75x3 2x+3 X, якщо X≤-2 4) y= 1-2, якщо -2<< 2 4= , якщо 132

У меня какие-то траблы с вылетом фалаута 3 уже и совместимость пробывал и что только не пробовал, помогите а у меня 11 винда

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *