Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа целые
Перейти к содержимому

Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа целые

математика — Задача на свойства чисел

б) существует ли 10 различных чисел N таких что их можно представить в виде $%N =a3\cdot 10^3+a2\cdot 10^2+a1\cdot 10+a0$%, где $%0

в) сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде $%N =a3\cdot 10^3+a2\cdot 10^2+a1\cdot 10+a0$%, где $%0

задан 2 Июн ’13 18:17

Проверьте, пожалуйста, условие. Здесь какая-то явная путаница. Как можно число 1292 представить в виде 1091? Тут либо одно, либо другое. Я думаю, тут перемешались данные из разных вариантов одной и той же задачи.

(2 Июн ’13 18:26) falcao
(2 Июн ’13 18:33) all_exist

да, там 1292. Прошу прощения, исправила.

(2 Июн ’13 18:53) Antyana

это неверный ответ. Я написала программу, и она дает в данном случае 130 вариантов. И чисел 10 существует. Другое дело, что доказать это математически пока не получается.

(2 Июн ’13 19:28) Antyana

Тут условие пока исправлено не до конца. В пункте а) стало 1292, но в других двух пунктах о нём речь уже не идёт, а говорится о представлении числа $%N$%.

(2 Июн ’13 19:39) falcao

@Antyana, каюсь . не учёл один вариант суммирования. но идея доказательства всё равно такая как указано по ссылке. пойду там исправлять.

Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа целые

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 19. Задачи на логику.

27. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест — 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: а) да; б) да; в) 35

28. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ: а) да; б) нет; в) 63

29. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Ответ: а) да; б) нет; в) 35

30. На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается их сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9; а вместо 3,3 и 5 записывается 8).
а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.
б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?
в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Ответ: а) пример: 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; б) нет; в) 5

31. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a−1, или a+b и 2b−1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2

32. В последовательности a 1 , a 2 , . a n , состоящей из целых чисел a 1 =1, a n =235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Ответ: а) пример: 1, 2, 3, 0, 5, -2, …,-232, 235; б) нет; в) 35

33. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество хорошим?

б) Является ли множество хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8

34. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a 2 — b 2 + c 2 — d 2 =27 .

б) Может ли быть a+b+c+d=19 и a 2 — b 2 +c 2 — d 2 =19 ?

в) Пусть a+b+c+d=1400 и a 2 — b 2 +c 2 — d 2 =1400. Найдите количество возможных значений числа a.

Ответ: а) пример: 7; 5; 2; 1; б) нет; в) 248

Известно, что S1 = 513.

а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917

36. В ряд выписаны числа 1 2 , 2 2 . N 2 . Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «-» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

а) -4, если N=12?
б) 0, если N=49?
в) 0, если N=80?
г) -3, если N=90?
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да

37. а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 1292= a 3 10 3 +a 2 10 2 +a 1 10 1 +a 0 , где числа a i – целые, 0 ≤ a i ≤ 99 , i = 0, 1, 2, 3.

б) Существует ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N= a310 3 +a210 2 +a110 1 +a0 , где числа ai – целые, 0 ≤ ai ≤ 99 , i = 0, 1, 2, 3 ровно 130 способами.

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в таком виде ровно 130 способами.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20

38. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 374944128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169

39. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11

40. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
Ответ: а) да; б) нет; в) 4

41. Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т.д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных числе, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41

42. На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 6

43. Последовательность a 1 , a 2 , . a 6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M k — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме kго. Известно, что M 1 =1, M 2 =2.

а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 =1,6.

б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 =3.

в) Найдите наименьшее возможное значение M3 .

Ответ: а) пример: 5, 0, 2, 1, 1, 1; б) нет, в) 2,8

44. Две девочки делают фотографии. Наташа P фотографий, Маша K фотографий. И каждый день каждая делает на одну фотографию больше. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Максимальное количество фотографий Наташи, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1430

45. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда Sб) Могло ли значение S быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
Ответ: а) Пример: 14 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов, а остальные только одну и получили по 5 баллов; б) нет; в) 185/4

46. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из красные, а какие-то зеленые. Красные числа кратны 7, а зеленые числа кратны 5. Все зеленые и красные числа отличаются друг от друга. Но между зелеными и красными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма зеленых чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1469, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467
Ответ: а) да; б) нет; в) 10

47. В каждой клетке квадратной таблицы 6 × 6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Ответ: а) да; б) нет; в) 31/6

48. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

Ответ: а) нет; б) 7; в) 49 000

49. На доске написано больше трёх различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 1, а наибольшее равно 1501. Если стереть с доски любое из написанных чисел, то среднее арифметическое оставшихся чисел будет целым числом.

а) Может ли на доске быть написано число 5?

б) Может ли на доске быть написано число 12?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 31.

50. а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

51. Дано квадратное уравнение x 2 +px+q=0, имеющие два различных натуральных корня.

а) При q=55, найдите все различные возможные значения p.

б) При p + q=30, найдите все различные возможные значения q.

в) При q 2 — p 2 =2108, найдите все возможные корни уравнения.

Ответ: а) -56; -16; б) 64; в) 6; 8.

52. Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина ребер которого выражается целыми числами. Этот склад заполняется прямоугольными контейнерами с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.

а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?

б) Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?

в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Ответ: а) нет; б) да; в) 99%.

Задание №19. Задачи на логику

Нажмите, чтобы узнать подробности

1. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да; б) нет; в) 91


2. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке не убывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 8,− 5,− 4,− 3,− 1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Ответ: а) -5, -3, 4; б) 4; в) нет


3. а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в)12


4. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет, в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14


5. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов: а) и б)?
Ответ: а) да; б) 9; в) 9/17


6. В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,625.
а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
б) На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок этого ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4»?
Ответ: а) 8; б) на 5/24


7. Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, − 2,− 3, 4,− 5, 7,− 8, 9, 10,− 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному числу 1, − 2,− 3, 4,− 5, 7,− 8, 9, 10,− 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4


8. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 168 см, но не больше 175 см (назовём такие куски стандартными).
а) Некоторый моток верёвки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток верёвки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
Ответ: а) 24; б) 4032


9. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4


10. Имеется 25 коробок массой 31 кг каждая и 15 коробок массой 51 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S— модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия пункта а.
Ответ: а) 20; б) 2


11. По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой 16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 6 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.
а) Среди таких 40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.
б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.
Ответ: а) 37; б) 10


12. Костя должен был умножить двухзначное число на трехзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Ответ: а) да; б) нет; в) 9


13. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Ответ: а) да; б) 4


14. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) пример: 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693


15. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

16. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

17. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 549

18. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: а) нет; б) нет; в) да


19. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16


20. Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Ответ: а) да; б) нет; в) 30


21. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) 20,5

22. В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик дает порции по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, четвертый – по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.

а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все получили разное количество корма?

в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?

Ответ: а) да; б) нет; в) 9

23. а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что выполняется неравенство

б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что выполняется неравенство

в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом из которых значение

выражения будет наименьшим.

Ответ: а) да; б) нет; в) 14.

24. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по

крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

25. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

Ответ: а) 6; б) 89; в) 19

26. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 14.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 4?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 8?

в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S-B.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 12/11

27. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест — 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: а) да; б) да; в) 35


28. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ: а) да; б) нет; в) 63


29. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Ответ: а) да; б) нет; в) 35


30. На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается их сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9; а вместо 3,3 и 5 записывается 8).
а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.
б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?
в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Ответ: а) пример: 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; б) нет; в) 5


31. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a−1, или a+b и 2b−1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2

32. В последовательности a1, a2, . an, состоящей из целых чисел a1=1, an =235.

Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Ответ: а) пример: 1, 2, 3, 0, 5, -2, …,-232, 235; б) нет; в) 35


33. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество хорошим?

б) Является ли множество хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8


34. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a b c d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a 2 -b 2 +c 2 -d 2 =27 .

б) Может ли быть a+b+c+d=19 и a 2 -b 2 +c 2 -d 2 =19 ?

в) Пусть a+b+c+d=1400 и a 2 -b 2 +c 2 -d 2 =1400. Найдите количество возможных значений числа a.

Ответ: а) пример: 7; 5; 2; 1; б) нет; в) 248


35. Каждое из чисел a1, a2, . a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

Известно, что S1 = 513.

а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917


36. В ряд выписаны числа 1 2 , 2 2 . N 2 . Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «-» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

а) -4, если N=12?
б) 0, если N=49?
в) 0, если N=80?
г) -3, если N=90?
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да


37. а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 1292= a310 3 +a210 2 +a110 1 +a0 , где числа ai – целые, 0 ≤ ai ≤ 99 , i = 0, 1, 2, 3.

б) Существует ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N= a310 3 +a210 2 +a110 1 +a0 , где числа ai – целые, 0 ≤ ai ≤ 99 , i = 0, 1, 2, 3 ровно 130 способами.

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в таком виде ровно 130 способами.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20


38. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 374944128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169


39. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11


40. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
Ответ: а) да; б) нет; в) 4


41. Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т.д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных числе, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41


42. На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 6


43. Последовательность a1, a2, . a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме kго. Известно, что M1 =1, M2 =2.

а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 =1,6.

б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 =3.

в) Найдите наименьшее возможное значение M3 .

Ответ: а) пример: 5, 0, 2, 1, 1, 1; б) нет, в) 2,8


44. Две девочки делают фотографии. Наташа P фотографий, Маша K фотографий. И каждый день каждая делает на одну фотографию больше. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Максимальное количество фотографий Наташи, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1430


45. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S б) Могло ли значение S быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
Ответ: а) Пример: 14 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов, а остальные только одну и получили по 5 баллов; б) нет; в) 185/4


46. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из красные, а какие-то зеленые. Красные числа кратны 7, а зеленые числа кратны 5. Все зеленые и красные числа отличаются друг от друга. Но между зелеными и красными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма зеленых чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1469, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467
Ответ: а) да; б) нет; в) 10


47. В каждой клетке квадратной таблицы 6 × 6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Ответ: а) да; б) нет; в) 31/6

48. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

Ответ: а) нет; б) 7; в) 49 000

49. На доске написано больше трёх различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 1, а наибольшее равно 1501. Если стереть с доски любое из написанных чисел, то среднее арифметическое оставшихся чисел будет целым числом.

а) Может ли на доске быть написано число 5?

б) Может ли на доске быть написано число 12?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 31.

50. а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

51. Дано квадратное уравнение x 2 +px+q=0, имеющие два различных натуральных корня.

а) При q=55, найдите все различные возможные значения p.

б) При p + q=30, найдите все различные возможные значения q.

в) При q 2 — p 2 =2108, найдите все возможные корни уравнения.

Ответ: а) -56; -16; б) 64; в) 6; 8.

52. Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина ребер которого выражается целыми числами. Этот склад заполняется прямоугольными контейнерами с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.

а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?

б) Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?

в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Ответ: а) нет; б) да; в) 99%.

53. На доске написаны числа 1, 2, 3, . 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Ответ: а) (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б) нет; в) 6


54. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100.
Ответ: а) да; б) нет; в) да


55. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) пример: 2529; б) нет; в) 8655 и все его перестановки


56. В последовательности a1, a2, . an, n ≥ 3, состоящей из натуральных чисел, причем каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырех членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из 6 членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n=10?
Ответ: а) пример: 1, 12, 17, 20; б) да; в) 70


57. В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть в ничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округленный до целого, «ничьи» — процент ничьих, округленных до целого и «поражение» — процент поражений, равный разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих».
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
Ответ: а) да; б) да; в) 51


58. Рассмотрим частное трехзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27.
б) Может ли это частное равняться 125/27?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
Ответ: а) пример: 339; б) нет; в) 931/27


59. На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на 2 группы, в каждой их которых есть хотя-бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое во второй группе равно В.
а) Приведите пример разбиения исходный чисел на 2 группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше (А+В)/2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на 2 группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно (А+В)/2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения (А+В)/2.
Ответ: а) пример: в первой группе все пятерки, во второй все четверки и тройки; в)


60. На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Ответ: а) да; б) да; в) 4


61. В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Ответ: а) да; б) нет; в) 25


62. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кино­фильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/25?
б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/35?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6/7


63. На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отдан­ных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшится не менее, чем на 27?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Ответ: а) 39; б) да; в) 167


64. а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Ответ: а) да; б) нет; в) 110


65. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляют электронные письма девушкам. Каждый юноша отправляет или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Ответ: а) да; б) 17; в) 41


66. Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, . 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10


67. На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Ответ: а) нет; б) да; в) 6


68. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Ответ: а) да; б) нет; в) любое целое число, кроме 1 и -1


69. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111?
Ответ: а) да; б) 39; в) 3 или 6


70. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Ответ: а) да; б) нет; в) 39


71. Последовательность цифр устроена следующим образом. Две первые цифры a и b заданы заранее и не равны нулю. Справа к ним приписываются цифры произведения ab. Затем справа приписываются цифры числа, полученного произведением последних двух цифр, и так далее. Например, если первые две цифры были a=6 и b=7, то получается последовательность
6, 7, 4, 2, 8, 1, 6,…
а) Приведите пример такой последовательности, в которой шесть первых членов отличны от нуля, а все члены начиная с седьмого равны нулю.
б) Докажите, что любая последовательность, построенная таким образом, с какого-то момента становится периодической (цифры начинают повторяться в одном и том же порядке).
Ответ: а) 1, 5, 5, 2, 5, 1, 0, 0,


72. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли одиннадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых ровно два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2017?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Ответ: а) да, например, 5023, 5024, …, 5033; б) нет; в) 11.

73. Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий день. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

74. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть.
Ответ: а) да, б) нет, в) 35.

75. Последовательность натуральных чисел (an) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.
а) Может ли последовательность (an) содержать ровно 5 различных чисел?
б) Чему может равняться a1, если a100 =75?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (an)?

Ответ: а) да, б) 9777, в) 112.

76. Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, больше 1.

а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 18.

77. В ящике лежат 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 857

78. В течении n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n=6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Ответ: а) нет; б) да; в) 33

ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m11_6_теория_чисел

Министерство образования и науки Росс ийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей « Заочная физико-те хническая школа Московского физико-техническог о института (государственного университ ета)» МАТЕМАТИК А Элементы теории чисел (факультат ивное) Задан ие №6 для 11-х классов (201 3 – 2014 учебный год) г. Долгопрудный, 2014

2 Составитель : Е.Г. Молчанов, ассистент кафедры высшей математики МФТИ. Математика: задание №6 для 11-х классов (2013 – 2014) учебный год), 2014, 28 с. Дата отправления заданий по физике и математике – 12 апреля 2014 г. Внимание! Данное з адание является факультативным, т. е. присылать его в ЗФТШ на проверку не обязательно, но мы настоятельно рекомендуем Вам внимательно проработать его, т. к. задачи по темам «Теория чисел» и «Комбинаторика» были включены в 2012 году в олимпиаду «Физтех-2012». Составитель: Молчанов Евгений Геннадьевич Подписано 18.02.14. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,55. Тираж 600. Заказ №49-з. Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета) ООО «Печатный салон ШАНС» Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение, тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение. e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Наш сайт: www.school.mipt.ru © ЗФТШ, 2014

3 Введение Действия с натуральными и целыми числами знакомы вам с младших классов, когда математика сводится по существу к арифметике. Полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости и уравнения в целых числах служат излюбленным материалом для математических олимпиад и факультативов. Всё большую популярность такие задачи приобретают на олимпиадах, проводимых МФТИ, МГУ и другими вузами, а также присутствуют в ЕГЭ по математике (задание C6). Рекомендованные пособия помогут вам в их решении и более глубоком изучении темы. §1. Делимость целых чисел 1.1. Основные понятия и факты Напомним основные понятия и факты. Множество натуральных чисел обозначается символом . Множество целых чисел обозначается символом . Множество рациональных чисел обозначается символом . Множество действительных чисел обозначается символом

В дальнейшем, если не будет сказано иного, мы будем рассматри-
вать только множества целых и натуральных чисел. .
Натуральное число называется делителем целого числа , если
для подходящего целого числа верно равенство: . В этом слу-
чае говорят, что делится на и обозначают как « ». Число
называют кратным числу . 7 91 13·7
на единицу. 117 9 117 13·9 ; 91 .
Например,
Число называют простым , если оно делится только на себя и
Множество простых чисел обозначают символом . Со-
ставными числами называют целые числа, имеющие больше двух раз-
2 153 17·9
личных делителей.
и . 17 – простое число, а – составное.
Например,
Натуральное число называют общим делителем чисел если
Наибольшее такое число называют наибольшим общим
делителем m и n и обозначают как НОД (иногда просто , ).
Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, эти числа
называют взаимно простыми . , ,

Например, 2 – общий делитель чисел 12 и 8, 4 – наибольший общий

делитель чисел 12 и 8, т. е. НОД 12,8 4 .
4
Целое число называют общим кратным чисел и , если и
. Наименьшее натуральное число, кратное и называют наи-

меньшим общим кратным m и n и обозначают как НОК( m,n ) . Например, 120 – общее кратное чисел 12 и 8, 24 – наименьшее об-

щее кратное чисел 12 и 8, т. е. НОК .
Напомним основные свойства делимости. , а число де-
Свойство 1 . Если целое число делится на число
12,8 24
лится на число , то число делится на число .
Свойство 2 . Если – общий делитель целых чисел и , то:
1. , делятся на ;
2. делится на (точнее – на ).
Следствие свойства 2 . Если одно из чисел или делится на а
второе не делится на , то , не делятся на . делится , на
Действительно, если делится на и, например,
(от противного), то также бы делилось на согласно
свойству 2.
Свойство 3 . Если целое число делится на взаимно простые дели-
тели и , то делится на .
Свойство 4. Если ( a , b – целые) делится на простое число , то
или делится на число .
Свойство 5. Если делится на число и взаимно просто с чис-
лом , то делится на число .

1.2. Разложение на простые множители. Основная теорема арифметики Сформулируем основную теорему арифметики : Любое натуральные число n , большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел. Это разложение единственно, с точностью до порядка следования сомножителей. Приведём набросок доказательства первой части этой теоремы. За-

метим, что если число не простое, оно должно иметь более двух
различных делителей. С учётом того, что и , , должен сущест-
вовать ещё хотя бы один делитель числа – число . Таким
1 разложение получе-
образом, или само является простым числом (и 1
но), или оно раскладывается в произведение 1 , ,
1 . Каждое из чисел a и b также или является простым, или рас-
кладываются далее в произведение ещё более меньших чисел, не рав-
1

ных единице. Данный процесс разложения не может продолжаться бесконечно, и в итоге число n будет представлено в виде произведения простых чисел.

5 Строгое доказательство того, что такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей, первым дал немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777 – 1855), внесший крупный вклад в развитие многих областей математики. Пример 1. Найти все простые числа, не превосходящие 100. Решение. Для нахождения таких чисел удобно воспользоваться ме- тодом, известным как «решето Эратосфена». Этот метод назван в честь греческого математика Эратосфена, жившего в III в. до н. э., и заключается в следующем. Выпишем все числа от 1 до 100 в таблицу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Далее, число 1 вычеркнем (оно не простое), числа 2 и 3 оставим как простые и вычеркнем все числа, кратные 2 и 3.

2 3 5 7 11 13 17 19
23 25 29 31 35 37
41 43 47 49 53 55 59
61 65 67 71 73 77 79
83 85 89 91 95 97

Далее, оставим число 5 как простое и вычеркнем все числа, кратные 5. Затем то же самое сделаем с числом 7.

2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
41 43 47 53 59
61 67 71 73 79
83 89 97

Все оставшиеся числа будут простые. Это связано со следующим

свойством:
Если ч исло , то хотя бы один из сомножителей не превос-
ходит е сли предположи ть противное, т. е. предположить,
Действ и тельно
В √ и
что √ . , , то и возникает противоречие.

примере мы проверили все простые делители, не превосходящие √100 10. Таким образом, любое составное число, меньшее 100, делится на 2, 3, 5 или 7. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычёркивать, дощечку прокалывали, так что в итоге она становилась похожей на решето. Отсюда и произошло название метода.

6 Ответ: простые числа, меньшие 100, представлены в третьей табли- це. Итак, для нахождения делителей числа можно воспользоваться следующим способом . Проверим в порядке возрастания делимость числа на простые чис-

ла, не превосходящие . Если ни на какое из таких чисел не делит-
ся, то – простое. Иначе, запишем и будем далее искать дели-

тели числа по тому же правилу. Пример 2. Разложите на простые множители число 76557. Решение. Начнём проверять делимость числа 76557 на простые числа, расположенные в порядке возрастания. На 2 число 76557 не делится, зато делится на 3: 76557 = 3×25519. Теперь, будем искать делители числа 25519. Это число не делится на 2, 3, 5, 7, 11, зато делится на 13: 25519=1963×13. Число 1963 также делится на 13, т. е. 25519=151×13 2 . Посмотрим на число 151. Заметим, что 151

Ответ: 76557=3×13 2 ×151. 2 11 6
Пример 3. Докажите, что число является составным
при всех целых .
Решение. Разложим этот многочлен на множители, решив для этого
2 11 6 0. и, 6
уравнение 6 . 6 2 1 Его корни: и . Отсюда
2 11 следовательно, 2 11 6
Таким 6 2 1
11 6 образом, мы получили разложение целого числа
на два целых числа: 6 и 2 1 . Если ни одно из
2
этих чисел по модулю не равно единице, то исходное число является
составным. Равенства 6 1; 6 1; 2 1 1 невоз-
можны, равенство 2 6 1 1 возможно при 0 , но при 0 чис-
ло 2 11 6 является составным. 2 2 1.
в
Пример 4. Разложите на два сомножителя число
Решение. Заметим, что если слагаемое исходном числе домно-
жить на 2, получится формула суммы квадратов: 2 2 2 1
2

2 1 . Тогда добавим и вычтем число 2 в исходную формулу, получив: 2 2 1 2 2 2 1 2 . Последнее выраже-

7 квадратов: 2 1 2
ние можно разложить как разность
2 1 2 2 1 = 2 . 2 1 2 2 1 .
Ответ: 2 2 1 2

1.3. Каноническое разложение числа. Нахождение количества делителей Вернёмся к основной теореме арифметики (см. п. 1.2.) Если в разложении натурального числа , большего единицы, встречаются одинаковые простые числа, их удобно группировать в степени. В результате получается:

где различные простые числа. Если потребовать, чтобы
, то такое разложение … будет , абсолютно однознач-
разложение называется каноническим.
ным. Это , ,…, 31752 2 ·3 ·7 .
Зная
Например,
каноническое разложение, можно найти все делители числа .
Они имеют вид , где каждый показатель степени мо-
принимать значение от 0 до .
жет Пример 5. Найти все делители … числа 28.
Решение. Разложим число 28 в канонический вид: . Та-
сутствовать только двойка в степени не более двух, а 28 2 7
степени не более единицы. Выпишем все делители в таблицу:
2 7 1 2 7 2 2 7 4
2 7 7 2 7 14 2 7 28

ким образом, в разложении каждого из делителей числа 28 может притакже семёрка в Ответ: делители числа 28 суть 1, 2, 4, 7, 14 , 28. Заметим, что если сложить все делители числа 28, кроме него самого, мы получим 1 2 4 7 14 28 , т. е. исходное число. Числа, равные сумме своих меньших самого числа делителей, называются совершенными . Таким образом, 28 – совершенное число. Зная каноническое разложение, можно найти количество всех дели-

телей числа. Действительно, пусть Делители такого
числа имеют вид , где каждый … показатель . степени
можно выбрать независимо способом (от 0 до . Все эти чис-
ла надо перемножить. Таким образом, количество делителей числа
1
равняется 1 1 .
1

8 Следствие: число имеет нечётное количество делителей, только если это число является квадратом. Действительно, нечётное количество делителей, равносильно тому,

что каждый сомножитель в формуле для нечётен, значит все числа
числа 1, в 1,…, 1 – нечётны, и вхождение каждого простого
чётно. Это означает, что является полным квадратом. … ,
1.4. Нахождение НОД и НОК
Запишем каноническое разложение чисел и :

… . Вообще-то говоря, входящие в состав разложения

и простые числа могут быть разными, например
« 10 2 5 . В таком случае дополним разложение каждого числа
15 3 5 ,

недостающими» простыми числами в нулевой степени. В этом же

Итак, 15 2 3 5 , 10 2 3 , 5 где . и
примере, ,
для всех от 1 до . В таком случае можно записать явные
формулы НОД( и НОК( :
, 0 = ,
1. НОД( , , где – меньший из показателей , .
2. НОК( , = , где – больший из показателей
Также стоит , следующее свойство НОК и НОД: , .
отметить …
3. НОД( × НОК( = .
Это свойство , следует , из того, что сумма меньшего и большего из

двух показателей равна сумме обоих этих показателей, взятых в произ- вольном порядке. Пример 6. Найдите НОД (30, 25). Решение. Запишем канонические разложения чисел 30 и 25 и до-

полним их «недостающими» простыми числами. 2 ·3 ·5 5.
30 2 ·3 ·5 ; 25 2 ·3 ·5 . 30,25

По формуле 1 (выше) получим: НОД Ответ: 5. §2 Десятичная запись числа Всякое натуральное число единственным образом представимо в

десятичной записи, которая имеет вид ·10 ·10 ,
. ·10 ·10 , ,
0 . , , – цифры от 0
где – натуральное число или 0, а ,
до 9, Для краткости это число также записывают в виде

9 Крышка сверху ставится, чтобы отличить десятичную запись числа

от произведения цифр · .
Число называется значным в том и только в том случае, если
верно неравенство · …· . · ·

Пример 7. Незнайка перемножил все цифры какого-то натурального

числа, и получил 2013. Докажите, что Незнайка ошибся.
10 10
Решение. Разложим 2013 на простые множители. .

2013 3·11·61 Число 61 является простым, и, согласно свойству 4 делимости, если произведение чисел делится на 61, какое-то число должно также делиться на 61. Однако, цифры 1,…,9 нацело на 61 не делятся, а если среди цифр этого натурального присутствует 0, то и произведение всех цифр также равно 0. Противоречие. Пример 8. («Физтех-2012») Последнюю цифру шестизначного числа переставили на первое место и полученное число вычли из исходно-

Решение. Пусть шестизначное число 618222;618252 могли полу-
го числа. Какие числа из промежутка
читься в результате вычитания? имеет десятичную запись
10
Для удобства обозначим тогда
поставим последнюю цифру на первое место,
получим число . . Теперь Заметим, что 10 · ,
00000 .
После вычитания полученного . числа из исходного, получим
таким 10 10 · 9 99999· .
Данная запись показывает, что полученная разность делится на 9,
Осталось объяснить, почему каждое 618222;618252 могут подойти
образом, из чисел промежутка
только числа, делящиеся на 9: 618228, 618237, 618246.
из этих чисел подходит.
цифра. Поделив обе части на 9, получим: 9 99999·
Найдем хотя бы одно решение уравнения
618228 , где – произвольное пятизначное число, а – ненулевая
1 . 11111· 68692.
Взяв 79803 и исходное шестизначное число
, получим
сти 10 798031 Следовательно, 618228 – подходит.
Ответ: 618228, 618237, 618246. 798041,798051 в качестве разно-
Аналогичным образом, при

мы получим два других числа: 618237, 618246, ч.т.д. * Пример 9 (ЕГЭ-2013, Уральский регион a) Чему равно количество способов записать число 1292 в виде

·10 ? ·10 ·10 , где числа – целые, 0 99 ,
0,1,2,3
10
б) Существуют ли 10 различных чисел , которые можно предста-
вить в виде ·10 ·10 ·10 , где числа – целые,

0 99 , 0,1,2,3 ровно 130 способами.

в) Сколько существует таких чисел , которые можно представить в
, ·10 ·10 ·10 , где числа – целые, 0
виде 0,1,2,3
99 ровно 130 способами.

Замечание. Насколько известно автору, в Уральском регионе эту задачу полностью не решил никто (даже призеры финала всероссийской олимпиады школьников). И это даже с учетом того, что автор видел условия ЕГЭ по математике 2013 года, включая прототип этой задачи, в свободном доступе в сети интернет за 3 дня до написания ЕГЭ. В других зонах (Центр, Сибирь, Дальний Восток) был значительно более легкий прототип задачи C6, с которым не возникло особых сложностей, а вот Уралу «повезло». Возможно, прорешивающим ЕГЭ прошло-

го года все же интересно, как все же должна решаться эта задача, по-
этому удовлетворим их любопытство.
Решение. мы можем ·10 ·10 ·10 делится на 10, по-
этому число
Заметим, что число
выбрать десятью способами – это будет лю-
99, оканчивающееся на 2. Поэтому, число
бое из чисел от 0 до будет равняться числам, делящимся на 10, от ·
1200 до 1290. Написав для числа 1200, например, уравнение ·
10 ·10 ·10 . 1200 и, разделив на 10, получим, ·10
·10 ·10 ·10
10 120 Фактически, мы пришли к задаче такого же типа, но на

«уровень меньше» — уравнение теперь зависит от трёх переменных, а не четырёх. Такой способ задает начало перебора, который можно довести до конца и получить ответ 130. Однако пункт в) с помощью такого перебора решить уже проблематично. Поэтому, приведем более простое решение этой задачи, основанное

на следующем факте Разложение образом, если бы ·10 за-
давало бы число 1292 единственным ·10 ·10 99
, поэтому 0 9 0,1,2,3 . Здесь же , 0 ,
ли бы цифрами, то есть , , ,
А 0,1,2,3 разложение может быть неоднозначным.
но задает любое ·10 , 0 , 99 , наоборот, уже однознач-
вот число

число от 0 до 9999. Фактически, это равносильно заданию числа не в десятичной системе, а в системе с основанием 100, то-

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *