Выделить полный квадрат онлайн
Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:
где и неизвестные параметры которые требуется определить.
Для определения неизвестных параметров и , преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:
и далее, раскроем скобки:
Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра , поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:
Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра :
Подставляем полученные значения и в самое первое уравнение и получаем формулу для выделения полного квадрата из квадратного многочлена:
Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для решения квадратных уравнений.
Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.
Метод выделения полного квадрата
Этот онлайн-калькулятор применяет метод выделения полного квадрата (или метод дополнения до полного квадрата) к квадратному многочлену (полиному), представленному его коэффициентами a, b и c. Он конвертирует квадратный многочлен из вида в вид .
Теорию и формулы вы найдете ниже под калькулятором.
Метод выделения полного квадрата
Коэффициенты квадратного многочлена
Три коэффициента квадратного многочлена, разделенные пробелом, от большей степени к меньшей
Рассчитать
Преобразованный многочлен
Ссылка Сохранить Виджет
Метод выделения полного квадрата
Как говорилось выше, метод выделения полного квадрата (метод дополнения до полного квадрата) — это метод конвертирования квадратного полинома из представления вида в представление вида .
Метод выделения полного квадрата используется для
- решения квадратных уравнений,
- изображения квадратичной функции,
- вычисления интегралов в матанализе, таких как гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени
- нахождения преобразований Лапласа.
В математике выделение полного квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратные полиномы. Также этот метод можно использовать для выведения формулы корней квадратного уравнения.
Формула для h и k
Давайте выведем формулы для коэффициентов h и k . Начнем с квадратного полинома
Запишем коэффициент a в знаменатель, чтобы получить монический квадратный полином
Мы знаем, что формула квадрата двучлена записывается так
Используя эту формулы, мы можем записать двучлен, первые два коэффициента квадрата которого будут совпадать с первыми двумя коэффициентами монического квадратного полинома выше:
Эта запись отличается от монического квадратного полинома выше только значением константы. Следовательно, добавив и вычтя соответствующие константы, мы сможем записать равенство:
Добавляя константу, мы выделяем квадрат или дополняем квадрат, отсюда и идет название метода.
Теперь мы можем восстановить коэффициент a, умножив обе части равенства на a и окончательно записать равенство так
2. Метод выделения полного квадрата
решить уравнение x 2 + 14 x + 45 = 0 .
Решение:
разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение x 2 + 14 x + 49 = 0 .
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x 2 + 14 x + 45 число \(4\), чтобы выделить полный квадрат
x 2 + 14 x + 45 + 4 − 4 = 0 ; x 2 + 14 x + 45 + 4 − 4 = 0 ; x 2 + 14 x + 49 − 4 = 0 ; x + 7 2 − 4 = 0 .
Применим формулу «разность квадратов» a 2 − b 2 = a − b ⋅ a + b :
x + 7 2 − 2 2 = 0 ; ( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0 ; ( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0 ; x + 5 = 0 ; x + 9 = 0 ; x 1 = – 5 . x 2 = – 9 .
Ответ: \(– 9\); \(– 5\).
решить уравнение x 2 − 6 x − 7 = 0 .
Решение:
выделим в левой части полный квадрат.
Для применения второй формулы необходимо получить выражение x 2 − 6 x + 9 = 0 .
Поэтому запишем выражение x 2 − 6 x в следующем виде: x 2 − 6 x = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 .
В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа \(x\), а второе — удвоенное произведение \(x\) на \(3\).
Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 .
Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 3 2 , чтобы выделить полный квадрат.
x 2 − 6 x − 7 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 − 3 2 − 7 = ( x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 ) − 3 2 − 7 = = ( x − 3 ) 2 − 9 − 7 = ( x − 3 ) 2 − 16 .
Подставим в уравнение и применим формулу a 2 − b 2 = a − b ⋅ a + b .
( x − 3 ) 2 − 4 2 = 0 ; ( x − 3 − 4 ) ⋅ ( x − 3 + 4 ) = 0 ; ( x − 7 ) ⋅ ( x + 1 ) = 0 ; x − 7 = 0 ; x + 1 = 0 ; x 1 = 7 . x 2 = − 1 .
Выделение полного квадрата
Назначение сервиса . Сервис служит для выделения полного квадрата в квадратном трехчлене a•x 2 + b•x + c = 0 .
Инструкция . Для получения решения в онлайн режиме заполните коэффициенты при соответствующих переменных и нажмите кнопку Решение . Например, для уравнения 1 /2x 2 — 2 /3x + 11 = 0, необходимо будет ввести коэффициенты: 1/2, -2/3, 11.
Область применения . Выделение полного квадрата используют при интегрировании, когда необходимо функцию подвести под выражение a(x — b) 2 + c ; при построении графиков функции; других прикладных задачах.
Покажем, как использовать полученный выделенный квадрат функции для построения параболы. Представим выражение в виде:
- a > 0 — ветви параболы направлены вверх.
- a < 0 - ветви параболы направлены вниз.
- c > 0 — вершина параболы смещена по оси 0Y на c .
- c < 0 - вершина параболы смещена по оси 0Y на c .
- c = 0 — вершина параболы находится на оси 0X .
- x — b — смещение по оси 0X на
- x + b — смещение по оси 0X на
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект
Правила ввода данных
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).