Что означает sqrt

Sqrt

Квадра́тный ко́рень из $\! a$ (корень 2-й степени) — это решение $\! x$ уравнения вида $x \cdot x = a$ . Несмотря на то, что в первую очередь под $\! x$ и $\! a$ подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как матрицы и операторы. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа $\! a$ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $\! a$ , то есть решение уравнения $\! x^2=a$ относительно переменной $\! x$ . [1] [2]

Рациональные числа

Корень из рационального числа $\! p/q$ является рациональным числом, только если $\! p$ и $\! q$ (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $|\sqrt<r>-p/q|&gt;\frac» width=»» height=»» />, где <img decoding=$ зависит от $\! r$ [3] [4] .

Действительные числа

При натуральных $\! a$ уравнение $\! x^2=a$ не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. [5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа $\! a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $\sqrt a$ . [6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа $\! a$ часто обозначают как $\sqrt$ , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространенная ошибка:

$-1=(\sqrt<-1> )^2=\sqrt=\sqrt=1 » width=»» height=»» /> Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если <img decoding=$

» width=»» height=»» />,

$\sqrt=\sqrt<|a|> e^<i(\phi+2\pi k)/2>» width=»» height=»» />, где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата. <h3>Квадратный корень как элементарная функция </h3> <h4>Вещественный анализ</h4> <img decoding=$

$y=\sqrt x$

График функции

Квадратным корнем называют также функцию $\sqrt<x>» width=»» height=»» /> вещественной переменной <img decoding=$ , которая каждому $\! x\geq 0$ ставит в соответствие арифметическое значение корня. [7] Эта функция является частным случаем степенной функции $\! x^\alpha$ с $\! \alpha=1/2$ . Эта функция является гладкой при $\! x&gt;0$ , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Комплексный анализ

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $x \circ x = a$ и для других объектов: матриц [8] , функций [9] , операторов [10] и т. п. В качестве операции $\circ$ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $(G,\cdot)$ — группоид и $a\in G$ . Элемент $x\in G$ называется квадратным корнем из $\ a$ если $\ x \cdot x=a$ .

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырех действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа sqrt, от англ. square root «квадратный корень».

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1 2 1 + 3 = 2 2 1 + 3 + 5 = 3 2

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий. Например, так:

9 − 1 = 8 8 − 3 = 5 5 − 5 = 0

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня

$|BH| = \sqrt<|AH|\cdot|HC|> » width=»» height=»» /> В частности, если <img decoding=$ , а $\! |HC| = x$ , то $|BH|=\sqrt<x>» width=»» height=»» /> [12] <h4>Столбиком</h4> Этот способ позволяет найти приближённоё значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A . В отличие от деления снос производится группами по 2 цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей. <ol> <li>Найти an , квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A , оставаясь меньше последнего.</li> <li>Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an .</li> <li>Удвоить an .</li> <li>Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an — на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение/деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.</li> <li>Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A .</li> <li>Сравнить полученное число с нулём.</li> <li>Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1 , которое, будучи умноженным на <img decoding=$ )» width=»» height=»» />, даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п.3.

Если в п.5 получено равенство, то перейти к п.4, предварительно приписв справа от a_n нуль.

После получения количества цифр, равного $\frac <n>» width=»» height=»» />, прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.</li> </ol> <h3>Примечания</h3> <img decoding=$

↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число (=a» width=»» height=»» />)… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня»«Большой советской энциклопедии» третьего издания.
↑Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
↑Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

См. также

Корень (значения)
Арифметический корень
Квадратное уравнение
Итерационная формула Герона
Корень квадратного уравнения
Теорема Абеля — Руффини

Ссылки

Алгоритмы вычисления квадратного корня
A geometric view of the square root algorithm
Соловьев Ю., Старый алгоритм

Wikimedia Foundation . 2010 .

Что означает sqrt

Sqrt (функция)
Навигация

Язык:
Русский
English

Возвращает квадратный корень аргумента.

Объявление

Function Sqrt(X : Real) : Real;

Режим

Windows, Real, Protected

Замечания

X — выражение вещественного типа . Результатом будет квадратный корень из X.

См. также

Пример

Язык:
Русский
English

begin
WriteLn ( ‘5 в квадрате равно ‘ , Sqr ( 5 )) ;
WriteLn ( ‘Квадратный корень из 2-х равен ‘ , Sqrt ( 2.0 )) ;
end .

Код для вставки: :: :: :: ГОСТ ::

Поделиться: //

Для форумов:
Для блогов:
Для Википедии:

Math.sqrt()

Квадратный корень заданного числа. Если число отрицательное, то вернётся NaN .

Описание

Если значение x отрицательно, метод Math.sqrt() вернёт NaN .

Поскольку метод sqrt() является статическим методом объекта Math , вы всегда должны использовать его как Math.sqrt() , а не пытаться вызывать метод на созданном экземпляре объекта Math (поскольку объект Math не является конструктором).

Примеры

Пример: использование метода Math.sqrt()

.sqrt(9); // 3 Math.sqrt(2); // 1.414213562373095 Math.sqrt(1); // 1 Math.sqrt(0); // 0 Math.sqrt(-1); // NaN Math.sqrt(-0); // -0

Спецификации

Specification
ECMAScript Language Specification # sec-math.sqrt

Совместимость с браузерами

BCD tables only load in the browser

Смотрите также

Math.cbrt() Экспериментальная возможность
Math.exp()
Math.log()
Math.pow()

Found a content problem with this page?

Edit the page on GitHub.
Report the content issue.
View the source on GitHub.

This page was last modified on 7 авг. 2023 г. by MDN contributors.

Your blueprint for a better internet.

MDN

Support

Product help
Report an issue

Our communities

Developers

Web Technologies
Learn Web Development
MDN Plus
Hacks Blog

Website Privacy Notice
Cookies
Legal
Community Participation Guidelines

Visit Mozilla Corporation’s not-for-profit parent, the Mozilla Foundation.
Portions of this content are ©1998– 2023 by individual mozilla.org contributors. Content available under a Creative Commons license.

Функции Sqrt и Sqr

Основы программирования 2.0

Функция Sqrt в Паскале вычисляет квадратный корень числа. Синтаксис функции следующий:

function Sqrt(Х : ValReal) : ValReal;

Эта функция возвращает квадратный корень числа, переданного через параметр Х. Число Х должно быть положительным, иначе произойдёт ошибка во время выполнения программы (так написано в документации, но в моей версии компилятора ошибки не происходит, а функция в случае отрицательного параметра возвращает значение NaN).

Функция Sqr в Паскале вычисляет квадрат числа. Синтаксис функции для разных типов приведён ниже:

function Sqr(Х : LongInt) : LongInt; function Sqr(Х : QWord) : QWord; function Sqr(Х : ValReal) : ValReal;

Эта функция возвращает результат вычисления квадрата числа, переданного через параметр. То есть Sqr = х * х.

О типе ValReal я рассказывал здесь.

Квадрат числа

Здесь всё крайне просто. Квадрат числа Х равен произведению Х на Х. То есть функция Sqr на первый взгляд кажется бесполезной. Потому что во многих случаях проще написать так:

Единственный случай, когда использование функции Sqr является обоснованным с точки зрения упрощения кода, это когда в качестве параметра передаётся вещественное число (константа) с большим количеством знаков после запятой, или очень большое целое число, или сложное выражение. Например:

будет написать проще, чем

Х := 5.3456753322 * 5.3456753322

Также возведение в квадрат числа в Паскале сложного выражения тоже будет проще, если использовать функцию Sqr:

X := Sqr(Y + 100 * Z / X)

Вычисление квадратного корня

Когда мы изучали функции вычисления экспоненты и натурального логарифма, то мы узнали, что с их помощью можно возвести число в любую степень. То есть вычислить, в том числе, и корень любой степени.

Однако использование этих функций всё-таки немного сложновато. Поэтому для вычисления квадратного корня в Паскале имеется специальная функция (потому что квадратный корень приходится вычислять намного чаще, чем, например, корень n-й степени).

Эту функцию вы уже знаете — это функция Sqrt.

А здесь я напомню что такое квадратный корень для тех, кто подзабыл математику.

Итак, квадратный корень из числа А (корень 2-й степени) — это решение уравнения:

То есть квадратный корень из числа А, это число Х, которое при возведении в квадрат даёт число А.

ВАЖНО!
Число А может быть только положительным числом. Извлечение корня из отрицательного числа тоже возможно, но это уже будут комплексные числа.

Что означает sqrt

Sqrt

Применение операции корня к числам

Рациональные числа

Действительные числа

Комплексные числа

Комплексный анализ

Обобщения

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратный корень в информатике

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Арифметическое извлечение квадратного корня

Геометрическое извлечение квадратного корня

См. также

Ссылки

Что означает sqrt

Объявление

Режим

Замечания

См. также

Пример

Math.sqrt()

Описание

Примеры

Пример: использование метода Math.sqrt()

Спецификации

Совместимость с браузерами

Смотрите также

Found a content problem with this page?

MDN

Support

Our communities

Developers

Функции Sqrt и Sqr

Квадрат числа

Вычисление квадратного корня

Добавить комментарий Отменить ответ