Обозначения и символика
Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).
Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:
группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;
группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.
Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ
А. Обозначение геометрических фигур
1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.
2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:
А, В, С, D, . , L, М, N, .
3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:
а, b, с, d, . , l, m, n, .
Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.
Для прямых используются также следующие обозначения:
(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;
[АВ) — луч с началом в точке А;
[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.
4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:
Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:
α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;
β(d1 d2gα) — поверхность β определяется направляющими d1 и d2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.
5. Углы обозначаются:
∠ABC — угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, . , ∠φ°, .
6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:
— величина угла АВС;
— величина угла φ.
Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри
7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.
|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);
|Аа| — расстояние от точки А до линии a;
|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;
|аb| — расстояние между линиями а и b;
|αβ| расстояние между поверхностями α и β.
8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 и π2, где π1 — горизонтальная плоскость проекций;
π2 —фрюнтальная плоскость проекций.
При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π3, π4 и т. д.
9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х — ось абсцисс; у — ось ординат; z — ось аппликат.
Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.
10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:
А’, В’, С’, D’, . , L’, М’, N’, горизонтальные проекции точек; А», В», С», D», . , L», М», N», . фронтальные проекции точек; a’ , b’ , c’ , d’ , . , l’, m’ , n’ , — горизонтальные проекции линий; а» ,b» , с» , d» , . , l» , m» , n» , . фронтальные проекции линий; α’, β’, γ’, δ’. ζ’,η’,ν’. горизонтальные проекции поверхностей; α», β», γ», δ». ζ»,η»,ν». фронтальные проекции поверхностей.
11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.
Так: h0α — горизонтальный след плоскости (поверхности) α;
f0α — фронтальный след плоскости (поверхности) α.
12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.
Например: Ha — горизонтальный след прямой (линии) а;
Fa — фронтальный след прямой (линии ) a.
13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3. n:
Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:
14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :
А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , .
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , .
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , .
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , .
15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :
А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , .
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , .
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , .
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , .
Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.
№ по пор. | Обозначение | Содержание | Пример символической записи |
---|---|---|---|
1 | ≡ | Совпадают | (АВ)≡(CD) — прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D |
2 | ≅ | Конгруентны | ∠ABC≅∠MNK — угол АВС конгруентен углу MNK |
3 | ∼ | Подобны | ΔАВС∼ΔMNK — треугольники АВС и MNK подобны |
4 | || | Параллельны | α||β — плоскость α параллельна плоскости β |
5 | ⊥ | Перпендикулярны | а⊥b — прямые а и b перпендикулярны |
6 | Скрещиваются | с d — прямые с и d скрещиваются | |
7 | Касательные | t l — прямая t является касательной к линии l. βα — плоскость β касательная к поверхности α | |
8 | → | Отображаются | Ф1→Ф2 — фигура Ф1 отображается на фигуру Ф2 |
9 | S | Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования | — |
10 | s | Направление проецирования | — |
11 | P | Параллельное проецирование | рs α Параллельное проецирование — параллельное проецирование на плоскость α в направлении s |
№ по пор. | Обозначение | Содержание | Пример символической записи | Пример символической записи в геометрии |
---|---|---|---|---|
1 | M,N | Множества | — | — |
2 | A,B,C. | Элементы множества | — | — |
3 | Состоит из . | Ф | Ф — фигура Ф состоит из точек А, В,С, . | |
4 | ∅ | Пустое множество | L — ∅ — множество L пустое (не содержит элементов ) | — |
5 | ∈ | Принадлежит, является элементом | 2∈N (где N — множество натуральных чисел) — число 2 принадлежит множеству N | А ∈ а — точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а ) |
6 | ⊂ | Включает, cодержит | N⊂М — множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел | а⊂α — прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α) |
7 | ∪ | Объединение | С = A U В — множество С есть объединение множеств A и В; = ∪ | ABCD = [AB] ∪ [ВС] ∪ [CD] — ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС], [CD] |
8 | ∩ | Пересечение множеств | М=К∩L — множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅— пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов) | а = α ∩ β — прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ — прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек) |
№ по пор. | Обозначение | Содержание | Пример символической записи |
---|---|---|---|
1 | ∧ | Конъюнкция предложений; соответствует союзу «и». Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны | α∩β = < К:K∈α∧K∈β>Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β |
2 | ∨ | Дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или». Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба). | — |
3 | ⇒ | Импликация — логическое следствие. Предложение р⇒q означает: «если р, то и q» | (а||с∧b||с)⇒a||b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой |
4 | ⇔ | Предложение (р⇔q) понимается в смысле: «если р, то и q; если q, то и р» | А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости |
5 | ∀ | Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: «для всякого x: имеет место свойство Р(х) « | ∀( ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180° |
6 | ∃ | Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: «существует х, обладающее свойством Р(х)» | (∀α)(∃a)[a⊄α∧a||α].Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α |
7 | ∃1 | Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й). Выражение ∃1(x)(Рх) означает: «существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх» | (∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки. |
8 | (Px) | Отрицание высказывания P(x) | аb( ∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их |
9 | \ | Отрицание знака | [AB]≠[CD] —отрезок [АВ] не равен отрезку [CD].а?b — линия а не параллельна линии b |
Что такое d в геометрии
И. Ф. Шарыгин. Нужна ли в школе 21-го века Геометрия? (pdf)
Матем. просв., сер. 3, 8, 2004 г.
А. Д. Блинков. Почему я не вызываю учеников к доске?(doc)
Статья написана в 2004 году к Международному конгрессу по образованию.
И. А. Кушнир. Эмоциональная геометрия (pdf)
Эмоциональная геометрия основана на коротких посильных и красивых задачах повышенной сложности. О таких задачах (в том числе, авторских) и пойдет речь.
И. Ф. Шарыгин. Избранные статьи djvu.
Статьи Игоря Фёдоровича в «Кванте» .
В. Протасов, В. Тихомиров. Геометрические шедевры Шарыгина (pdf) «Квант», №1, 2006 г.
Cредняя линия. Параллелограмм
Г. Б. Филипповский. О двух параллелограммах в треугольнике. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.
Квадраты
Е. Бакаев. Комбинации квадратов (pdf). «Квант», №7, 2018г.
А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Угол в квадрате (pdf). «Квант», №4, 2015 г.
Е. Бакаев, А. Д. Блинков. Вспомогательные квадраты (pdf). «Квант», №4, 2016 г.
Вокруг биссектрисы
И. Ф. Шарыгин. Вокруг биссектрисы «Квант», №8, 1983 г.
«В этой статье собраны некоторые геометрические факты, прямо или косвенно связанные с биссектрисой треугольника.»
Теорема Штейнера-Лемуса
Л. Штейнграц. Новый взгляд на теорему Штейнера-Лемуса. (pdf) «Квант», №1, 2013 г.
Вписанная и вневписанные окружности
А.Д. Блинков, Ю.А. Блинков. Вневписанная окружность. (pdf) «Квант», №2, 2009 г. В статье излагаются классические факты о вневписанной окружности, обсуждаются задачи, в которых вневписанная окружность возникает самым неожиданным образом.
Г. Б. Филипповский. Замечательная прямая треугольника. (pdf) «Квант», №4, 2007 г. К статье рекомендуем подборку задач о вписанной окружности.
Ю. Билецкий, Г. Филипповский. О пользе вневписанных окружностей. (pdf)
А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике. (pdf) «Квант», №2, 2012 г.
А.А. Заславский, М. Панов О вписанной окружности прямоугольного треугольника (pdf) «Квант», №4, 2017 г.
П. А. Кожевников. Вневписанные окружности и дюжины точек.
21-я летняя конференция международного математического Турнира городов.
Фольклор Задача Ф. Ивлева. (pdf)
В заметке решение трудной и красивой задачи разбито на несколько подзадач, что позволяет использовать материал на кружке. Решения многих задач и различные обобщения можно найти в статье.
Huseyin Demir and Cem Tezer More on Incircles (pdf) Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (Apr., 1989), pp. 107-114
Площадь
Е. Бакаев. Площадь Треугольника (pdf)
«Квантик №2», 2012 год
А. Щетников. Параллелограмм и равенство площадей (pdf)
«Квантик №2», 2012 год
Прямая Эйлера и окружность девяти точек
И. Ф. Шарыгин, А. Ягубьянц. Окружность девяти точек и прямая Эйлера «Квант» №8, 1981 г. К этой статье рекомендуем такую серию задач.
И. А. Кушнир. Золотой ключ Леонарда Эйлера (pdf) «Математика в школах Украины», №13-15, 2012 г.
Рассказывается о приложениях окружности девяти точек для доказательства классических задач.
Д. В. Швецов. Важная лемма (pdf) «Квант» №5-6, 2012 г.
Л. А. Емельянов. Точка Шиффлера (pdf) «Математика в школе» №6, 2006 г.
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Тогда прямые Эйлера треугольников $AIC$, $AIB$, $BIC$, $ABC$ пересекаются в одной точке!
Nguyen Minh Ha. A proof of Vittas’ Theorem and its converse (pdf)
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $P$. Тогда прямые Эйлера треугольника $APB$, $BPC$, $CPD$, $DPA$ пересекаются в одной точке.
Debdyuti Banerjee and Sayan Mukherjee. Neuberg Locus And Its Properties (pdf) Journal of Classical Geometry, Volume 2, 2013
Отметим все такие точки $P$, что прямые Эйлера треугольников $APB$, $BPC$, $CPA$ пересекаются в одной точке. Оказывается, что это ГМТ обладает многими интересными своствами.
Точка Микеля, прямая Симсона, прямая Штейнера, теорема Дроз-Фарни
Ю. А. Блинков. Точка Микеля(pdf)
Базовые факты о точке Микеля.
Michal Rol ́ınek and Le Anh Dung The Miquel Points, Pseudocircumcenter, and Euler-Poncelet Point of a Complete Quadrilateral (pdf), Forum Geometricorum Volume 14 (2014) 145–153.
Г. Б. Филипповский. Ґрунтовна розмова про пряму Симсона-Уоллеса
Увлекательный рассказ о всех основных свойствах прямой Симсона, разбирается большое количество примеров!
Д. В. Швецов. От прямой Симсона к теореме Дроз-Фарни (pdf)
Журнал «Квант», №6, 2010 г.
Е. Д. Куланин. О прямых Симсона, кривой Штейнера и кубике Мак-Кэя (pdf)
Ежегодник «Математическое просвещение», №10, М., 2006
Обстоятельная статья, в которой, например, изучается вопрос касания прямых Симсона окружности Эйлера.
Cosmin Pohoata and Son Hong Ta. A Short Proof of Lamoen’s Generalization of the Droz-Farny Line Theorem (pdf)
Теорему Дроз-Фарни можно обобщать в разных направлениях. Об одном таком и идёт речь в статье.
Titu Andreescu and Cosmin Pohoata Droz-Farny Demystified (pdf)
В статье приводится очень короткое доказательство красивого обобщения теоремы Дроз-Фарни.
Теорема Фейербаха и точка Фейербаха
В. Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.
В статье обсуждаются сразу две жемчужины: теорема Тебо и теорема Фейербаха. Оказывается, что одна из теорем является следствием другой!
П.А. Кожевников. Ещё раз о точке Фейербаха. (pdf) Математическое просвещение, Выпуск 15, 2012 г.
«В этой заметке предлагается геометрическое доказательство теоремы Фейербаха, которое дает возможность описать точку Фейербаха и, в частности, получить отличное от авторского геометрическое решение задачи 8 из задачного раздела «Математического просвещения», вып. 14, 2010 г.»
J.L. Ayme. Красивое доказательство теоремы Фейербаха. (pdf)
Очень красивое доказательство теоремы Фейербаха. Оригинал статьи можно посмотреть на странице автора.
Фольклор. Доказательство теоремы Фейербаха по И. Ф. Шарыгину. (pdf)
Nguyen Minh Ha and Nguyen Pham Dat. Synthetic Proofs of Two Theorems Related to the Feuerbach Point.(pdf) Forum Geometricorum Volume 12 (2012) 39–46. В статье излагаются геометрические доказательства двух замечательных теорем, связанных с точкой Фейербаха. Кроме цитированной статьи J. Vonk, рекомендуем заглянуть в статью Куланина Е. Д., в которой теорема Емельянова доказывается с помощью коник.
Jan Vonk. The Feuerbach point and reflections of the Euler line. (pdf) Forum Geometricorum, 9 (2009) 47—55.
Рассматриваются интересные свойства точки Фейербаха.
Куланин Е.Д., Шихова Н.А. Прямые Эйлера и точки Фейербаха.(pdf)
Математическое образование, №2, 2012.
Кожевников П. А.(по статье Д. Гринберга) Обобщение теоремы Фейербаха. (pdf)
Куланин Е. Д. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником. (pdf)
Ежегодник «Математическое просвещение», №9, М., 2005.
Доказательство теоремы Фейербаха через коники! В статье указывается целое семейство окружностей, проходящих через точку Фейербаха(например, окружность, проходящая через основания биссектрис, проходит через точку Фейербаха). Для понимания статьи необходим некоторый опыт работы с кониками, который можно получить, почитав замечательную книгу А. Акопяна, А. Заславского (pdf).
Симедиана
А. Карлюченко, Г. Филипповский. О касательных, проведённых в двух вершинах треугольника , (pdf)
Ю. Блинков. Симедиана (pdf), «Квант», №4, 2015 г.
Tran Quang Hung . A Simple Synthetic Proof of Lemoine’s Theorem (pdf)
Конструкции
В.Ю. Протасов. О двух велосипедистах и вишнёвой косточке (pdf) «Квант», №3, 2008 г. «Попробуем подвести некоторые итоги. Две задачи международных олимпиад, задача о бабочке, два десятка геометрических задач, которые мы сформулировали в виде упражнений (некоторые из них появлялись на математических олимпиадах, в Задачнике , и в различных сборниках задач). Список далеко не полный. И все это выросло из задачи 1, совсем простенькой и неинтересной, которую мы вначале и решать-то не хотели.»
Г. Б. Филипповский. О точке на стороне и двух параллельных (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2011 г.
А. Полянский. Воробьями по пушкам (pdf) «Квант», №2, 2012 г. Решения упражнений
«В этой статье мы пользуясь двумя простыми и элегантными фактами, решим две достаточно сложные задачи.»
Ю. А. Блинков Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ещё одна точка ! (pdf) «Квант», №2, 2014 г.
А. Карлюченко, Г. Филипповский. Задачи с тремя равными окружностями (pdf) «Математика в школах Украины», № 22-23, август 2014 г.
Г. Б. Филипповский. «Угловые» приключения барона Мюнхгаузена (pdf)
А. Карлюченко, Г.Б. Филипповский. Про вiдстанi вiд вершини трикутника до його чудових точок (pdf). «У світі математики», том 22, випуск 4, 2016 г.
Ф. Нилов. New Examples of Hexagonal Webs of Circles (pdf)
Задача о бабочке
А. В. Спивак. Десять бабочек (pdf)
Е. С. Горская. Шесть доказательств теоремы о бабочке (pdf) Сборник «Учим математике-2». МЦНМО, 2009 г.
Построения
Г. Б. Филипповский, А. Карлюченко На трёх параллельных прямых pdf
А. Д. Блинков Геометрические построения с помощью треугольника-шаблона (pdf) «Квантик», №3-4, 2012 г.
Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2012 г.
Гомотетия
А. Спиров. Неожиданная поворотная гомотетия (pdf) «Квант», №5, 1998 г.
П. А. Кожевников. Задача M2100 (pdf)
Рекомендуем такие интересные серии задач на гомотетию:
Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и … еще одна точка! (pdf)
Полувписанная окружность, окружности Тебо
В. Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.
Рекомендуем серию задач про полувписанную окружность:
полувписанная окружность
А. Львов. О центрах гомотетий вписанных окружностей и окружностей Тебо pdf
Wilfred Reyes. An Application of Thebault’s Theorem (pdf) Forum Geometricorum Volume 2 (2002) 183–185.
Dmitry S. Babichev. Circles touching sides and the circumcircle for inscribed quadrilaterals (pdf) Journal of Classical Geometry, Volume 1, 2012
Замечательные окружности
Очень советуем порешать замечательную подборку задач Д. В. Прокопенко.
А. Г. Мякишев. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора(pdf)
Jan Vonk and J. Chris Fisher. On a new circle associated with a triangle (pdf) Forum Geometricorum Volume 11 (2011) 13–26.
В статье, посвящённой окружности Фурмана, очень много красивых геометрических доказательств.
Трисекция. Теорема Морлея
Л. Штейнгарц Снова о теореме Морлея «Квант» №5, 2009 год.
Л. Емельянов, Т. Емельянова Теорема Морлея. Сто лет спустя «Математика в школе», 2004 год.
Тоноян Г., Яглом И. Теорема Морлея «Квант» №8, 1978 год.
Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2012 г.
Изогональное сопряжение
Для первого знакомства с темой рекомендуем книжку В. В. Прасолова и статью Д. Гринберга(ниже).
Д. Гринберг. Isogonal conjugation with respect to a triangle (zip)
А. В. Акопян, А. А. Заславский. Разные взгляды на изогональное сопряжение (pdf) Математическое просвещение, сер. 3, вып. 11, 2007.
Д. В. Прокопенко Изогональное сопряжение и педальные треугольники pdf «Квант» №9, 2017 год.
А. Куликова, Д.В. Прокопенко Теорема об изогоналях pdf , «Квант», №4-5, 2018 год
» В статье приведено доказательство теоремы и продемонстрирована эффективность применения этой теоремы в олимпиадных задачах высокого уровня»
А. Уткин Изогональное сопряжение в четырехугольнике pdf, «Квант», №2, 2019 «В этой статье мы расскажем об изогональном сопряжении в четырехугольнике и покажем, что оно может оказаться полезным при решении задач»
Dimitar Belev. Some Properties of the Brocard Points of a Cyclic Quadrilateral (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 2, 2013
A. В. Акопян. Conjugation of lines with respect to a triangle (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 1, 2012
В статье речь идёт об обобщениях изогонального и изотомического сопряжениях. Для понимания статьи нужны знани проективных преобразований и коник. Всё необходимое можно найти в книжке про коники.
Теорема Кэзи
Luis Gonzlez. Casey’s Theorem and its Applications (pdf)
Shay Gueron. Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem (pdf)
Shailesh Shirali. On the Generalized Ptolemy Theorem (pdf)
Л. Емельянов. Замечательная окружность (pdf)
Комбинаторная геометрия
В. Ю. Протасов Теорема Хелли и вокруг неё (pdf) «Квант», №3, 2009 г.
Н. Б. Васильев Формула Пика «Квант», №12, 1974 г. Для дальнейшего знакомства с этим сюжетом рекомендуем книжку Вавилова и Устинова «Многоугольники на решетках»(pdf).
А. Полянский Одной рукой узелок не развяжешь ! (pdf) «Квант» №3, 2013 год.
Н. Б. Васильев Сложение фигур «Квант», №4, 1976 г.
А. Спивак, М. Смуров Покрытие полосками (часть-1) и (часть-2) «Квант», №4-5, 1998 г.
М. Петкова Салфетки «Кванта» и теорема Пифагора (pdf) «Квант» №3, 2012 год.
С. Табачников, В. Тиморин Прямая Сильвестра(pdf) «Квант», №5, 2009 г.
Геометрические неравенства
В. Протасов, В. Тихомиров Пространство Lp и замечательные точки треугольника (pdf) «Квант», №2, 2012 г.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Геометрическое доказательство неравенства Эрдеша-Морделла.(pdf)
Forum Geometricorum, 7 (2007) 99-102. В статье излагается одно из самых красивых доказательств известного неравенства.
Замечательные кривые
Акопян А. В. Кардиоида. «Квант» №3, 2012 год.
Акопян А. В. Лемниската Бернулли «Квант» №3, 2009 год.
Теорема Понселе
Протасов В. Ю. Два века теоремы Понселе (pdf), Журнал «Квант» №5-6, 2014 г.
Протасов В. Ю. Обобщенные теоремы о замыкании (pdf) / Generalized closing theorems (pdf)
Е.Диомидов, А.Заславский, В.Калашников, Г.Челноков. Вокруг теоремы Понселе. Материалы ЛКТГ, 2014 г.
Белухов Н. И. The Mixed Poncelet-Steiner Closure Theorem. (pdf)
Алгебра и геометрия
Г. Б. Филипповский. Рене Декарт (1596–1650). Декартова система координат (pdf) «Математика в школах Украины», №35-36, 2011 г.
А.И. Сгибнев. «Геометрия помогает алгебре» (ps, 2M), (ps-zip, 400K), (pdf, 190K)
Стереометрия
В.Ю. Протасов. Выход в пространство-2 pdf «Квант» №1-2, 2018 г.
С. Кузнецов. Расстояния на сфере pdf «Квант» №4, 2017 г.
В. Дубровский, В. Матизен. Из геометрии тетраэдра «Квант» №9, 1988 год.
А. Заславский. Описанная и вписанные сферы тетраэдра «Квант» №1, 2004 год.
А. Заславский, Д. Косов. Изогонально сопряжение в тетраэдре и его гранях «Квант» №3, 2004 год.
Нам пишут
В этом подразделе представлены тексты, присланные в редакцию сайта.
Е. И. Галахова. Девочка на шаре. pdf
«Пусть на описанной окружности треугольника ABC взята точка X. Окружность ω, проходящая через точки B и X пересекает стороны BC и AB (или их продолжения) в точках D и E соответственно. Тогда, в зависимости от условий, накладываемых на точку X или окружность ω, можно определить конструкции, значительно упрощающие поиск решения соответствующих задач.»
К. Бельский. Обобщение леммы Веррьера pdf
«Дан треугольник △ABC с центром вписанной окружности I. Окружность wa касается сторон AB,AC и окружности (ABC) в точках F,E,T соответственно. Ma середина дуги BAC окружности (ABC). Тогда I середина отрезка EF и точки T, I, Ma лежат на одной прямой.»
К. Бельский. Теорема Дезарга об инволюции для вписанных и вневписанных окружностей треугольника. pdf
В статье обсуждаются некоторые приложения теоремы Дезарга об инволюции. Предполагается знакомство с основами проективной геометрии.
К. Бельский. Изогональное сопряжение и частный случай точек Микеля. pdf
«В треугольнике △ABC (P,Q) — пара изогонального сопряжения. Пусть X точка на прямой PQ. Точка X′ — изогонально сопряжена точке X в треугольнике △ABC. Пусть E, F пересечение окружностей (ABC) и (X′P Q). (из утверждений ниже будет следовать, что эти окружности всегда пересекаются, что само по себе интересно)В этой статье будут показаны свойств точек E,F для любой точки X, также будут рассмотрены частные случай точки X и пар точек (P, Q).»
С.С. Комаров. Две равные вписанные окружности в прямоугольном треугольнике pdf
«Точка D выбрана на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC так, что окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, имеют равные радиусы. Назовём центры этих окружностей P и Q соответственно, а середину AB обозначим через M. Определим точки K и L как пересечения прямой, проходящей через M параллельно CD, с прямыми PC и QC соответственно. Обозначим точку пересечения, отличную от C, описанных окружностей треугольников ABC и PCQ через U. Тогда описанные окружности треугольников AKP и BQL касаются в точке U.»
что такое d в геометрии.
если это ромб, то диагональ))) ) в задачке: сторона ромба 10.5 или 1.5, дана ли S?
Остальные ответы
Обычно диаметр.
Диаметр XD
r радиус d кажется диаметр (если фигура круг)
Что угодно, геометрия — не физика (да и в физике обозначения могут плавать) .
Но чаще всего диаметрю
диаметр
диаметр окружности
ответ:
диаметр.
Диагоноль в многоугольнике
Диаметр в круге
А в треугольнике?
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Геометрия
Геометрия — это фундаментальная наука, часть математики, которая изучает фигуры и их свойства на плоскости и в пространстве.
Геометрия и геометрические фигуры повсеместно изучаются с раннего возраста, начиная с детского сада. Затем знакомство с геометрий продолжается в школе. В ВУЗах происходит более углубленное изучение специальных разделов геометрии.
- 1 Определение геометрии
- 2 Базовые понятия в геометрии
- 3 Геометрические фигуры
- 4 Виды геометрии
- 5 Литература
- 6 Примечания
Определение геометрии
пример сложной геометрической задачи
Название «геометрия» происходит от греческих слов «гео» — земля и «метрео» — измеряю. Геометрия берёт свое начало именно с измерений на земле [1] , вычисления площади плодородных участков. Также астрологи рассчитывали расположение различных небесных объектов и светил.
Геометрия не есть изолированная отрасль, не пересекающаяся с другими разделами математики. Дело состоит ровно наоборот. Многие задачи из алгебры, арифметики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений [2] , теоретической механики решаются как раз при помощи построений на плоскости и в пространстве, то есть путём применения геометрических методов. Более того, огромная часть уравнений решается геометрическим способом путем построений фигур или графиков функций.
Базовыми объектами в геометрии являются «точка», «луч», «прямая», «отрезок», «плоскость», «угол» и «фигура». Со своей стороны геометрия использует инструментарий алгебры и теории уравнений. Многие геометрические задачи на нахождение элементов фигур и площадей решаются путем сведения их к уравнениям. Геометрия также имеет дело и с числами, как и любая другая часть математики.
Базовые понятия в геометрии
Всё начинается с точки. Это простейшее понятие в геометрии. «Точка» на плоскости или в пространстве представляет собой неделимый объект, который занимает заданное местоположение, иными словами, имеющий определённые координаты. Если две точки имеют одни и те же координаты, то эти точки совпадают. Сравнивать точки между собой, как например мы сравниваем числа, какая из них больше или меньше, тяжелее или легче (как мы сравниваем массы предметов) в геометрии не имеет смысла. Все они равные или, иначе выражаясь, одинаковые, ни легче, ни тяжелее, ни меньше, не больше по размеру и весу. Поэтому точка — это некий абстрактный и типичный объект. Точки принято обозначать большими латинскими буквами A, B, K и др.
Если две точки не совпадают, их можно соединить линией. Линии бывают прямые или не прямые, то есть кривые. При этом две различные точки можно соединить только одной прямой, проходящей через эти точки.
угол в 1 радиан
Это является одной из основных аксиом геометрии. В самом деле, в классической геометрии Евклида, если провести через две точки вторую линию, отличную от первой прямой, то это будет уже не прямая, а кривая. Данный факт не трудно представить и визуализировать на листе бумаги.
«Луч» — это часть прямой, отложенная от точки (начала луча) только в одну строну. Луч иногда называют полупрямой. Иными словами, луч представляет собой прямую линию, имеющую начало, но не имеющую конца.
«Угол» представляет собой два луча, исходящих из одной точки. Углы делятся на острые (градусная мера менее 90 градусов), прямые (90 °), тупые (от 90 ° до 180 °), развернутые (180 °). Углы принято обозначать либо одной заглавной латинской буквой, обозначающей его вершину ∠ А, ∠ B, ∠ C и т. д. Либо тремя буквами ∠ ABC, ∠ MNK и т. п. Углы также принято измерять в радианах, при этом 180° это π радиан. 1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Пример угла в 1 радиан можно видеть на рисунке.
«Отрезок» — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Если одну точку принять за начало, а вторую точку принять за конец, то такой отрезок будет направленным и называться «вектором». Отрезки обозначаются двумя латинскими буквами, то есть обозначение начала и конца отрезка AB, CD и т. п. Пример отрезков можно видеть на рисунке.
«Плоскость» — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. Понятие, знакомое каждому, при этом столь же важное в геометрии как точка и прямая. Плоскости обычно обозначают греческими буквами α, β и др.
Геометрические фигуры
Базовыми фигурами в геометрии на плоскости являются треугольник, четырёхугольник, многоугольник, окружность. В пространстве — это призма, пирамида, сфера, конус.
«Треугольник» — простейшая фигура в геометрии, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих вершины треугольника. Отрезки при этом будут называться сторонами треугольника. У треугольника три угла и три стороны. Поэтому можно выделить прямоугольные треугольники (один из углов — прямой), остроугольные треугольники (все углы — острые), тупоугольные треугольники (если один угол тупой). Замечательным свойством треугольника будет формула о сумме его углов, которая равна 180°. Иными словами, если α, β, γ — углы треугольника, то верно равенство α + β + γ =180°.
Треугольник ABC
Если классифицировать треугольники с позиции сторон, то треугольники делятся на равносторонние (все стороны равны), равнобедренные (две стороны из трех равны, но не равны третьей) и произвольные. В треугольник против наибольшего угла лежит наибольшая сторона и наоборот. Огромное значение треугольники играют в геометрии благодаря тому, что почти любая фигура разбивается на треугольники каким-либо методом. Таким образом, чтобы уметь анализировать более сложные фигуры, нужно знать свойства треугольника.
Базовое значение в геометрии играет теорема Пифагора, [3] которая гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. a 2 + b 2 = c 2 +b^=c^> Для решения большинства задач в геометрии так или иначе используются теорема Пифагора.
«Четырёхугольник» — фигура, состоящая из четырёх вершин и четырёх отрезков, последовательно соединяющих его вершины, являющихся его сторонами, при этом никакие три вершины не лежат на одной прямой. Последнее требование позволяет исключить вырожденные четырёхугольники, которые представляют собой треугольники или прямые. Важными представителями четырёхугольников являются параллелограмм и трапеция, поскольку почти все остальные четырёхугольники можно анализировать на основе их свойств.
- Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны.
- Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и две другие не параллельны.
Наиболее популярными четырёхугольниками на практике являются квадраты, прямоугольники и ромбы, которые уже определяются на основе параллелограммов.
- Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны.
- Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые.
- Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны.
Сфера с радиусом r и диаметром d
Любой многоугольник уже разбивается на вышеописанные фигуры, поэтому его свойства можно изучать на основе рассмотренных фигур. Особняком стоит окружность или круг. Введение понятие «окружности» или «равноудалённости» значительно расширяет функционал и угол зрения геометрической науки. В свою очередь широкое применение круга на практике заставляет геометров пристально изучать свойства окружности, чтобы найденные таким образом закономерности инженеры могли применить в промышленности и других практических областях.
Окружность — это множество точек одной плоскости, равноудаленных от одной точки (центра окружности). При этом расстояние от любой точки окружности до её центра называется радиусом окружности или круга. Термин круг используется, если требуется включить все точки внутри окружности в одну фигуру. Отсюда следует, что окружность в отличие от круга не имеет площади. Но окружность является границей круга.
Если в определении окружности убрать требование на нахождение точек в одной плоскости, то получится сфера или шар.
- Сфера — это множество точек пространства, равноудаленных от одной точки (центра сферы). Сфера является границей шара.
- Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её верхними и нижними основаниями. Наиболее популярной призмой является куб.
- Пирамида — многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину.
- Конус — геометрическая фигура в пространстве, образованная множеством лучей (образующих конуса), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса).
Виды геометрии
Геометрия как наука в свою очередь делится на разделы и виды:
- Планиметрия — геометрия, в которой изучаются свойства фигур и объектов в рамках одной плоскости. В качестве примеров таких фигур можно указать названные выше треугольник, трапеция, окружность.
задача из начертательной геометрии
- Стереометрия — геометрия, в которой изучаются свойства фигур и объектов в трехмерном пространстве. Здесь большое внимание уделяется углу между плоскостями (двугранный угол), а также фигурам — шар, пирамида, призма и др.
- Аналитическая геометрия — геометрия, в которой для изучения свойств геометрических объектов и фигур используется инструментарий алгебры, а именно метод координат. Например, плоские фигуры изучаются путем введения двумерных координат ( x ; y ) для каждой точки. Пространственные фигуры из стереометрии анализируются путем введения координат ( x , y , z ) . Например, уравнением прямой на плоскости служит уравнение y = k ∗ x + b . Имея две прямые и два уравнения, их описывающие, можно найти точу пересечения данных прямых или доказать их параллельность. Треугольник можно задать координатами его вершин, а далее найти расстояние по формуле нахождения расстояния между двумя точками. После нахождения длин сторон можно найти площадь треугольника по формуле Герона S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) >> , где p — полупериметр треугольника. В аналитической геометрии существуют признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.
- Начертательная геометрия — вид геометрии, где пространственные фигуры изучаются методом их проецирования на плоскости. Обычно такая геометрия изучается на инженерных специальностях в ВУЗах.
- Дифференциальная геометрия — это раздел высшей геометрии, где свойства фигур изучаются при помощи интегрального исчисления, при помощи инструментария линейной алгебры, дифференциальных уравнений. Основоположником [4] данной геометрии является великий русский математик Н.И. Лобачевский (1792—1856). Данную геометрию принято называть неевклидовой геометрией, где аксиома о том, что через точку вне прямой на данной плоскости проходит только одна прямая параллельная данной, не верна.
Литература
- Бекаревич А. Н. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968. — 152 с.
- Выгодский М. Я.Справочник по элементарной математике. — М. : Наука, 1978.
- Переиздание: Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
Примечания
- ↑Глав. ред. М.Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — Изд. 1-е. — М. : Аванта+, 1999. — 688 с. — ISBN 5-89501-018-0.
- ↑Филиппов А. Ф.Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.
- ↑Якушева Е.В, Попов А.В, Якушев А.Г. Математика. Все для экзамена. — М. : УНЦ ДО, 2004. — 207 с. — ISBN 5-88800-226-7.
- ↑Мищенко А.С, Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 448 с. — ISBN 5-88688-048-8.
Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!