Тема 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной. Примеры: число очков, выпавших при бросании игральной кости; число родившихся детей в семье; число шаров, которые можно достать из урны и т. д.
Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.
Примеры: прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого промежутка; прогнозируемая температура воздуха по области и т. д.
Закон распределения случайной величины
где x 1 , x 2 , …, x n — случайные величины, соответствующие полной группе событий, т. е. p 1 + p 2 + … + p n = 1.
При возрастании количества исходов полной группы событий закон распределения становится менее наглядным, и оценить наиболее вероятный исход становится достаточно трудно. Поэтому вводят характеристики случайных величин: математическое ожидание — ожидаемая величина в данном опыте, дисперсия — разброс значений.
Характеристики случайной величины
Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
Дисперсией D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
Средним квадратическим отклонением s (Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:
Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньшее х:
Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности) называется функция f(x), равная производной интегральной функции:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое ожидание которой М (Х) = а и функция f (x) является плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
Для непрерывной случайной величины Х среднее квадратическое отклонение s (Х) определяется как и для дискретной величины.
9.2. Некоторые законы распределения
Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 — р.
Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз (m Ј n). Пусть событие А наступило в первых n испытаниях m раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно написать в виде произведения:
Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. Так как эти сложные события несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей. При этом вероятность каждого сложного события равна pm Ч qn-m. Вероятность появления события А m раз в n испытаниях равна:
Закон биномиального распределения
Нормальное распределение
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f (x) определяется формулой:
где а совпадает с математическим ожиданием величины Х: а = М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s = s (Х).
График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; ). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра а (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох.
Нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1 называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения будет:
Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b):
Вопросы
1. Приведите примеры испытаний, результатом которых становятся дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины.
2. Что отражают характеристики случайных величин — математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение? Покажите на графике.
3. Обоснуйте справедливость равенства p 1 + p 2 + … + p n = 1, используемого в законе распределения случайных величин.
4. Приведите примеры испытаний, где для расчета вероятности могла бы использоваться формула Бернулли.
5. Почему в формуле Бернулли используется число сочетаний, а не, допустим, размещений?
6. Что означает фраза «значения распределены по нормальному закону»?
Что такое res в информатике
Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .
предмет, вещь; в широком смысле — реальность; res cogitans (мыслящая — вещь) и res extensa (протяженная вещь) — понятия философии Декарта, при помощи которых он различает в сущем субстанцию мыслящую (дух, душа) и протяженную (материя, тело). Этот дуализм, согласно учению Декарта и окказионализму, может быть преодолен с помощью Бога, concursus del.
Философский энциклопедический словарь . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «RES» в других словарях:
- res — (izg. rȇs) DEFINICIJA 1. stvar 2. fil. u skolastici izraz za izvanjsku stvarnost SINTAGMA res cogitans (izg. res kȏgitans) fil. samosvjesni subjekt; »stvar koja misli«, opr. res extensa; res extensa (izg. res ekstènsa) fil. nesvjesni objekt koji… … Hrvatski jezični portal
- res — / rās, rēz/ n [Latin] 1: a thing (as a property, interest, or status) as opposed to a person that is the object of rights and esp. that is the subject matter of litigation a court with jurisdiction over the res of the suit compare in personam, in … Law dictionary
- Res — (r?z), n.; pl. . [L.] A thing; the particular thing; a matter; a point. [1913 Webster] [L., things done] (Law), the facts which form the environment of a litigated issue. Wharton. [L.] (Law), a thing… … The Collaborative International Dictionary of English
- Res — (r?z), n.; pl. . [L.] A thing; the particular thing; a matter; a point. [1913 Webster] [L., things done] (Law), the facts which form the environment of a litigated issue. Wharton. [L.] (Law), a thing… … The Collaborative International Dictionary of English
- Res — 〈f.; , ; Philos.〉 Ding, Sache ● Res cogitans 〈nach Descartes〉 das denkende Ding; Res extensa 〈nach Descartes〉 das ausgedehnte Ding [lat.] * * * Res, die; , [lat. res] (Philos.): Sache, Ding, Gegenstand … Universal-Lexikon
- RES — – The School for Renewable Energy Science Nom original RES Orkuskólinn Localisation Localisation Akureyri, Islande Informations Fondation 2006 Directeur Gudj … Wikipédia en Français
- Res — die; , <aus gleichbed. lat. res> Sache, Ding, Gegenstand (Philos.); Res cogitans [ ko. ]: denkendes Wesen, Geist, Seele; Res ext′ensa: ausgedehntes Wesen, Materie, Körper (Descartes; Philos.) … Das große Fremdwörterbuch
- rés — adj. 2 g. 1. Raso; rente. • adv. 2. Cerce. 3. Usado nas locução ao rés de e rés de, à superfície de, ao longo de, encostado a. • Confrontar: rês … Dicionário da Língua Portuguesa
- res — (Del lat. res, cosa, propiedad). 1. f. Animal cuadrúpedo de ciertas especies domésticas, como del ganado vacuno, lanar, etc., o de los salvajes, como venados, jabalíes, etc. 2. Col.), Ecuad.), El Salv.), Guat. y Méx. Animal vacuno. res de vientre … Diccionario de la lengua española
- res — res1 [rās, rēz, rez, res] n. pl. res [L res, a thing: see REAL1] Law 1. a thing; object 2. matter; case; point; action res2 abbrev. 1. research 2. reservat … English World dictionary
- Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
- Путешествия
Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.
- Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
- Искать во всех словарях
- Искать в переводах
- Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории
Процедуры и функции: обзор
Процедура или функция представляет собой последовательность операторов, которая имеет имя, список параметров и может быть вызвана из различных частей программы. Функции, в отличие от процедур, в результате своего выполнения возвращают значение, которое может быть использовано в выражении. Для единообразия функции и процедуры называются подпрограммами.
Описание процедур и функций
Любая используемая в программе процедура или функция должна быть предварительно описана в разделе описаний.
Описание процедуры имеет вид:
procedure имя ( список формальных параметров );
раздел описаний
begin
операторы
end;
Описание функции имеет вид:
function имя ( список формальных параметров ): тип возвращаемого значения ;
раздел описаний
begin
операторы
end;
Операторы подпрограммы, окаймленные операторными скобками begin / end , называются телом этой подпрограммы.
Список формальных параметров вместе с окружающими скобками может отсутствовать. Он состоит из одной или нескольких секций, разделенных символом » ; «. Каждая секция состоит из списка переменных, перечисляемых через запятую, после которого следуют двоеточие и тип. Каждая секция может предваряться ключевым словом var или const , что указывает на то, что параметры передаются по ссылке (см.п. Параметры процедур и функций). Тип формального параметра должен быть либо именем, либо динамическим массивом, либо множеством, либо процедурной переменной (для последних трех типов имеет место структурная эквивалентность типов).
Раздел описаний процедуры или функции устроен так же, как и раздел описаний основной программы. Здесь описываются так называемые локальные переменные и константы, типы (за исключением классов — классы можно описывать только глобально) а также вложенные процедуры и функции. Все такие локальные объекты доступны лишь внутри данной подпрограммы и не видны извне.
В разделе описаний подпрограммы можно описывать другие подпрограммы. Исключение составляют методы класса, описываемые непосредственно в теле класса: в них нельзя описывать вложенные подпрограммы ввиду синтаксической неоднозначности.
procedure DoAdd(a,b: real; var res: real);
begin
res := a + b;
end;
Вызов подпрограммы
Подпрограмма один раз описывается и может быть многократно вызвана. Для вызова процедуры используется оператор вызова процедуры:
begin
var x := ReadInteger;
var y := ReadInteger;
var res: integer;
DoAdd(x,y,res);
Print(res);
DoAdd(2*x,y,res);
Print(res);
end;
Для вызова функции используется выражение вызова функции.
Переменная Result
Внутри тела любой функции определена специальная переменная с именем Result , которая хранит результат вычисления функции. Ее тип совпадает с типом возвращаемого значения функции. Например:
function Sum(a,b: real): real;
begin
Result := a + b;
end;function MinElement(a: array of real): real;
begin
Result := real.MaxValue;
foreach var x in a do
if x < Result then
Result := x;
end;begin
var a := Seq(1,5,3);
writeln(MinElement(a) + Sum(2,3));
end.
Если внутри функции не присвоить переменной Result некоторое значение, то функция вернет в результате своего вызова непредсказуемое значение.
Упрощенный синтаксис описания подпрограмм
В PascalABC.NET имеется упрощенный синтаксис описания однооператорных процедур:
Аналогичный синтаксис имеется для функций, вычисляющих одно выражение:
При этом в ряде случаев для возвращаемого значения функции возможен автовывод типов:
Переменная res x mod 5>0
Res — логическая переменная, поэтому может принимать лишь два значения: True или False.
Res будет принимать значение True (или 1), когда x mod 5 > 0,
и будет принимать значение False (или 0), когда x mod 5
Mod — операция нахождения остатка от деления.
1. x = 21, а значит 21 mod 5 > 0, т.к 21 не делится на 5 без остатка. Поэтому Res примет значение True.
2. x = 15, а значит 15 mod 5 = 0, т.к 15 делится на 5 без остатка. Поэтому Res примет значение False.
3. x = 13, а значит 13 mod 5 > 0, т.к 13 не делится на 5 без остатка. Поэтому Res примет значение True.
4. x = 17, а значит 17 mod 5 > 0, т.к 17 не делится на 5 без остатка. Поэтому Res примет значение True.
5. x = 25, а значит 25 mod 5 = 0, т.к 25 делится на 5 без остатка. Поэтому Res примет значение False.