Что такое симметричная матрица

Что такое симметричная матрица

Линейный оператор \(A\), действующий в евклидовом векторном пространстве \(\mathfrak\), называется симметричным , если для любых векторов \(x,y \in \mathfrak\) выполняется соотношение \((Ax,y)=(x,Ay)\).

Как упоминалось выше, при обсуждении матричной формы линейного оператора, если фиксирован базис в векторном пространстве рассмотрение линейного оператора можно заменить рассмотрением матрицы — его матричной формы. Пусть этот базис \(\\) будет ортонормированным, \(\alpha _\) — матричная форма оператора \(A\). Тогда \[ (Ae_s,e_p)=(\sum _^k\alpha _e_r, e_p)=\sum _^k\alpha _(e_r,e_p)=\alpha _, \] \[ (e_s,Ae_p)=(e_s,\sum _^k\alpha _e_r)=\sum _^k\alpha _(e_s,e_r)=\alpha _. \] Таким образом, матричная форма симметричного оператора представляется симметричной матрицей — матрицей \(\alpha\), удовлетворяющей условию \(\alpha = \alpha ^T\). Можно проверить и обратное — если матричная форма является симметричной матрицей, то соответствующий линейный оператор является симметричным. Симметричные операторы играют важную роль в естествознании (особенно в физике), так что этот класс операторов заслуживает отдельного обсуждения.

Пусть \(\alpha \) — вещественная симметричная матрица. Тогда ее собственные значения вещественны.

Пусть \(\lambda \) — собственное число матрицы \(\alpha\), причем \(\lambda \neq \overline<\lambda>\) (т.е. \(\lambda\) — не вещественна). Тогда для соответствующего собственного вектора \(u\) имеем: \[ \alpha u = \lambda \cdot u, \quad \overline=\overline<\lambda u>=\overline<\lambda>\cdot \overline, \quad \overline=\alpha \cdot \overline. \] Сравнивая эти соотношения, получаем: число \(\overline<\lambda>\) является собственным числом матрицы \( \alpha\), \( \overline\) — соответствующий собственный вектор. Вычислим \((\alpha u, \overline)\) двумя способами. Во-первых, \((\alpha u, \overline)=(\lambda u,\overline)=\lambda (u,\overline)\). Перебрасывая матрицу на второй сомножитель, получаем: \((\alpha u, \overline)=( u, \alpha \overline) =(u,\overline <\lambda>\overline)=\overline<\lambda>(u, \overline)\). При этом \((u, \overline)=\overline<(u, \overline)>\) — вещественная величина, отличная от 0. Отсюда следует, что \(\lambda = \overline<\lambda>\).

Собственные вектора, соответствующие различным собственным числам симметричной матрицы, ортогональны друг другу.

Пусть \(\alpha u_1=\lambda _1u_1\), \(\alpha u_2=\lambda _2u_2\), \(\lambda _1 \neq \lambda _2\), \(\alpha \) — симметричный оператор. Вычислим \((\alpha u_1, u_2)\) двумя способами. Во-первых, \((\alpha u_1, u_2)=\lambda _1(u_1,u_2)\). Во-вторых, \((\alpha u_1, u_2)=( u_1, \alpha u_2)=\lambda _2(u_1,u_2)\). Сравнивая, получаем: \((\lambda _1-\lambda _2)(u_1,u_2)=0\), откуда \((u_1,u_2)=0\).

Более продвинутое рассмотрение приводит к следующему результату.

Собственные вектора симметричной матрицы попарно ортогональны друг другу.

Таким образом, набор собственных векторов симметричной матрицы образуют ортогональный базис, а если ветора базиса привести к единичной длине — ортонормированный базис.

Симметричная матрица

Симметри́чная ма́трица, квадратная матрица , в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Другое определение: матрица A A A называется симметричной, если A = A T A = A^<\mathsf> A = A T , где A T A^<\mathsf> A T – транспонированная матрица . Частным случаем симметричной матрицы является диагональная матрица .

Симметричные матрицы с вещественными элементами обладают следующими свойствами.

1. Линейная комбинация симметричных матриц есть симметричная матрица.
2. Если симметричная матрица имеет обратную матрицу , то она симметричная.
3. Если A A A – произвольная квадратная матрица, то матрицы A + A T A + A^ <\mathsf T>A + A T , A A T AA^ <\mathsf T>A A T , A T A A^<\mathsf T>A A T A являются симметричными.
4. Произведение двух симметричных матриц A A A и B B B является симметричной матрицей тогда и только тогда, когда матрицы A A A и B B B перестановочны ( A B = B A ) (AB = BA) ( A B = B A ) .
5. Все собственные значения симметричной матрицы вещественны.
6. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны.
7. Если A A A – симметричная матрица порядка n n n , то в пространстве R n <\mathbb R>^n R n существует базис из собственных векторов матрицы A A A .
8. Симметричная матрица A A A диагонализуема, т. е. матрица P – 1 A P P^AP P –1 A P является диагональной. Столбцами ортогональной матрицы P P P служат нормированные собственные векторы матрицы A A A .

Понятие симметричной матрицы используется в определении квадратичной формы .

Опубликовано 31 мая 2023 г. в 23:08 (GMT+3). Последнее обновление 31 мая 2023 г. в 23:08 (GMT+3). Обратная связь

Матрицы в математике
Информация

Области знаний: Линейная и полилинейная алгебра. Теория матриц

• Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
  Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
  выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
  ISSN: 2949-2076
• Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
  Главный редактор: Кравец С. Л.
  Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
  Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru

• © АНО БРЭ, 2022 — 2023. Все права защищены.
• Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
  Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
• Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
  Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Симметричная матрица

Теорема. Для любой матрицы $ A_<> $ матрицы $ A_<>A^ $ и $ A^ A $ — симметричны. Для любой квадратной матрицы $ A_<> $ матрица $ A_<>+A^ $ — симметрична.

Определитель

Теорема [Кэли]. В полном разложении определителя симметричной матрицы порядка $ n $ обозначим $ \mathfrak s_n $ число слагаемых, $ \mathfrak s_n^ <(+)>$ — число слагаемых с положительным знаком, $ \mathfrak s_n^ $ — число слагаемых с отрицательным знаком, а $ \mathfrak d_n =\mathfrak s_n^ <(+)>— \mathfrak s_n^ $. Имеют место соотношения:

$$ \mathfrak s_=(n+1)\mathfrak s_n- C_n^2 \mathfrak s_ \ ; $$ $$ \mathfrak d_=-(n-1)\mathfrak d_n- C_n^2 \mathfrak d_ \ . $$

Имеют место пределы:

Миноры: тождества Кронекера

Теорема [Кронекер]. Для симметричной матрицы $ A_<> $ порядка $ n \ge k+1 $ имеет место тождество

$$ A\left(\begin 1 & 2 & \dots & k-2 & k \\ 2 & 3 & \dots & k-1 & k+1 \end \right)- A\left(\begin 2 & 3 & \dots & k-1 & k \\ 1 & 2 & \dots & k-2 & k+1 \end \right)= $$ $$ = A\left(\begin 1 & 2 & \dots & k-3 & k-2 & k-1 \\ 2 & 3 & \dots & k-2 & k & k+1 \end \right) \ , $$ связывающее три ее минора порядка $ k-1 $.

Пример. Для $ k=4 $:

$$ A\left(\begin 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end \right)- A\left(\begin 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \end \right)= A\left(\begin 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end \right) $$ $$ \iff \ \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right|- \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right|= \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right| \ . $$

Ранг

См. замечание о терминологии ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема. Если $ \mathfrak r = \operatorname (A)\ge 1 $, то в матрице $ A $ существует ненулевой ведущий минор порядка $ \mathfrak r $.

Произведение

Произведение симметричных матриц — не обязательно симметричная матрица!

Теорема. Для того, чтобы произведение симметричных матриц $ A $ и $ B $ было симметричной матрицей необходимо и достаточно, чтобы матрицы $ A $ и $ B $ коммутировали: $ AB = BA $.

Обратная матрица

Теорема. Обратная к симметричной матрице (если существует) является симметричной матрицей.

Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы

Теорема 1. Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если $ \lambda=0 $ корень кратности $ \mathfrak m $ характеристического полинома симметричной матрицы $ A $, т.е.

$$ \det (A-\lambda E)\equiv(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^+\dots+a_ \lambda^ <\mathfrak m>\quad npu \ a_\ne 0 $$ то $ \operatorname (A)=n-\mathfrak m $.

Если в характеристическом полиноме некоторый коэффициент $ a_j $ при $ j \not\in \ $ обращается в нуль, то соседние с ним в нуль не обращаются и имеют различные знаки: $ a_ a_ < 0 $.

Теорема 2. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам симметричной матрицы $ A_<> $, ортогональны, т.е. если $ \mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ $, а $ \mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ $ и $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, то

Локализация собственных чисел

Теорема 3 [Коши]. Для симметричной матрицы $ A_<> $ число ее собственных чисел, лежащих на интервале $ ]a,b_<>[ $, определяется по формуле:

Доказательство и примеры ☞ ЗДЕСЬ.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_<> $.

$$ A_1,A_2,\dots,A_ $$ симметричной матрицы $ A_<> $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_<> $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,\dots,A_n $:

Численные методы нахождения собственных чисел

QR-алгоритм поиска всех собственных чисел ☞ ЗДЕСЬ.

Часто в приложениях требуется вычислить значения не всех собственных чисел симметричной матрицы, а только небольшого (по сравнению с порядком матрицы) количества максимальных по модулю. Численный метод решения этой задачи изложен ☞ ЗДЕСЬ.

Диагонализуемость

Для понимания материалов настоящего пункта требуется знание материалов пункта ДИАГОНАЛИЗУЕМОСТЬ МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА.

Теорема 4. Существует ортогональная матрица $ P_<> $, приводящая симметричную матрицу $ A_<> $ к диагональному виду:

$$ P^AP=P^>AP= \left( \begin \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end \right). $$

Доказательство особенно просто в случае когда все собственные числа $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ различны. На основании теоремы 1 матрица $ A_<> $ диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании теоремы 2 матрица $ P $, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.

Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку $ n $ матрицы $ A $. Окончание доказательства ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Теорема утверждает что даже при наличии кратных корней у характеристического полинома $$ f(\lambda)=(-1)^n(\lambda — \lambda_1)^<<\mathfrak m>_1> \times \dots \times (\lambda — \lambda_<\mathfrak r>)^<<\mathfrak m>_<\mathfrak r>>, \quad <\mathfrak m>_1+\dots+<\mathfrak m>_<<\mathfrak r>>=n, \ \lambda_k \ne \lambda_ \ npu \ k \ne \ell $$ алгебраическая кратность собственного числа $ \lambda_j $ совпадает с его геометрической кратностью: $$\operatorname \, (A-\lambda_j\, E)= <\mathfrak m>_j\, npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,\mathfrak r\>.$$ Или, что то же: размерность собственного подпространства $$ \left\ \right\> $$ равна $ <\mathfrak m>_j $. При нахождении фундаментальной системы решений (ФСР) указанной системы уравнений мы получим $ <\mathfrak m>_j $ линейно независимых собственных векторов $ \<<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \> $ , принадлежащих $ \lambda_j $. Однако при традиционных способах построения ФСР вовсе не гарантирована ортогональность этих векторов. Как построить ФСР так, чтобы она удовлетворяла условию теоремы, т.е. была ортонормированной? Воспользуемся для этого процессом ортогонализации Грама-Шмидта, применив его к системе $ \<<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \> $. Результатом процесса будет новая система векторов $ \<<\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> \> $ такая что ее линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой исходной системы: $$ <\mathcal L>\left(<\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> \right)= <\mathcal L>\left(<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \right) \quad \mbox < и >\quad \langle <\mathfrak Y>_,<\mathfrak Y>_ \rangle =0 \ \mbox < при >\ k \ne \ell \, , $$ т.е. векторы $ <\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> $ остаются собственными векторами, принадлежащими $ \lambda_j $. Но теперь эти новые векторы попарно ортогональны. Нормировав их, мы получим требуемую теоремой систему из $ <\mathfrak m>_j $ ортогонормированных столбцов матрицы $ P $, соответствующих кратному собственному числу $ \lambda_j $.

Пример. Диагонализовать матрицу

$$ A=\left( \begin 0&1&0&1&0&0&0&-1 \\ 1&0&1&0&0&0&-1&0 \\ 0&1&0&1&0&-1&0&0 \\ 1&0&1&0&-1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1&0&1&0&1 \\ 0&0&-1&0&1&0&1&0 \\ 0&-1&0&0&0&1&0&1 \\ -1&0&0&0&1&0&1&0 \end \right) $$ с помощью ортогональной матрицы.

Решение. Имеем: $$ \det (A-\lambda E) \equiv (\lambda-3)(\lambda+3)(\lambda-1)^3(\lambda+1)^3 \, . $$ Ищем собственные векторы. Для простых собственных чисел: $$ \lambda_1=-3 \ \Rightarrow \ \mathfrak X_1=\left[1,-1,1,,-1,-1,1,-1,1\right]^ \ ; $$ $$ \lambda_2=3 \ \Rightarrow \ \mathfrak X_2=\left[-1,-1,-1,-1,1,1,1,1\right]^ \ . $$ Эти столбцы войдут в состав матрицы $ P $, только их надо нормировать: $ \mathfrak X_ /|\mathfrak X_| $. Для кратных собственных чисел $ \lambda_j \in \ $ сначала находим произвольные ФСР $$ \lambda_3=1 \ \Rightarrow \ \left\ x_1&-x_2 & &-x_4 & & & &+x_8 & =0 \\ & x_2 &-x_3 & +x_4 & & -x_6 & & & =0 \\ & & x_3 & +x_4 & & & -x_7 &-x_8& =0 \\ & & & 3\,x_4 &+x_5 & -x_6 & -2\,x_7 & -x_8 & =0 \\ & & & & x_5 & -x_6 & +x_7 & -x_8 & =0 \end \right. $$ $$ \Rightarrow \mathfrak X_ =\left[1,1,0,0,1,1,0,0 \right]^\ ;\mathfrak X_ =\left[ 0,-1,0,1,-1,0,1,0 \right]^;\ \mathfrak X_ =\left[0,1,1,0,1,0,0,1 \right]^ \ . $$ $$ \lambda_4=-1 \ \Rightarrow \quad \left\< \begin \mathfrak X_ =\left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 \right]^\\ \mathfrak X_ =\left[ 0,1,-1,0,-1,0,0,1 \right]^ \\ \mathfrak X_ =\left[0,1,0,-1,-1,0,1,0 \right]^ \end \right\>\, . $$ Применяем к каждой из них алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта: $$\mathfrak Y_=\mathfrak X_=\left[1,1,0,0,1,1,0,0 \right]^; $$ $$ \mathfrak Y_=\mathfrak X_+ \alpha > \mathfrak Y_, \quad \langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle =0 \quad \Rightarrow \ \alpha >=-\frac<\langle \mathfrak X_,\mathfrak Y_ \rangle><\langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle >=\frac \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mathfrak Y_=\left[\frac,-\frac,0,1,-\frac,\frac,1,0 \right]^ ; $$ $$ \mathfrak Y_=\mathfrak X_+ \beta > \mathfrak Y_+ \gamma > \mathfrak Y_, \quad \langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle =0, \langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle =0 \quad \Rightarrow \ $$ $$ \beta > =-\frac<\langle \mathfrak X_,\mathfrak Y_ \rangle><\langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle>=-\frac,\ \gamma > =-\frac<\langle \mathfrak X_,\mathfrak Y_ \rangle ><\langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle >=\frac \quad \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \mathfrak Y_=\left[-\frac,\frac,1,\frac,\frac,-\frac,\frac,1 \right]^ \, . $$ $$ \mathfrak Y_=\mathfrak X_=\left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 \right]^, \mathfrak Y_=\left[\frac,\frac,-1,0,-\frac,-\frac,0,1 \right]^, $$ $$ \mathfrak Y_=\left[\frac,\frac,\frac,-1,-\frac,-\frac,1,-\frac \right]^ \, . $$ После нормирования, составляем из этих векторов ортогональную матрицу: $$ P= \left(\begin -\sqrt/4 & \sqrt/4 & 1/2 & \sqrt/6 & -\sqrt/12 & -1/2 & \sqrt/6 & \sqrt/12 \\ -\sqrt/4 & -\sqrt/4 & 1/2 & -\sqrt/6 & \sqrt/12 & 1/2 & \sqrt/6 & \sqrt/12 \\ -\sqrt/4 & \sqrt/4 & 0 & 0 & \sqrt/4 & 0 & -\sqrt/3 & \sqrt/12 \\ -\sqrt/4 & -\sqrt/4 & 0 & \sqrt/3 & \sqrt/12 & 0 & 0 & -\sqrt/4 \\ \sqrt/4 & -\sqrt/4 & 1/2 & -\sqrt/6 & \sqrt/12 & -1/2 & -\sqrt/6 & -\sqrt/12 \\ \sqrt/4 & \sqrt/4 & 1/2 & \sqrt/6 & -\sqrt/12 & 1/2 & -\sqrt/6 & -\sqrt/12 \\ \sqrt/4 & -\sqrt/4 & 0 & \sqrt/3 & \sqrt/12 & 0 & 0 & \sqrt/4 \\ \sqrt/4 & \sqrt/4 & 0 & 0 & \sqrt/4 & 0 & \sqrt/3 & -\sqrt/12 \end \right) \, . $$ $$ P^AP= \left( \begin 3&&&&&&& \\ &-3&&&&&& \\ &&1&&&&& \\ &&&1&&&& \\ &&&&1&&& \\ &&&&&-1&& \\ &&&&&&-1& \\ &&&&&&&-1 \end \right) \, . $$ ♦

Квадратичная форма

Экстремальное свойство собственных чисел

Пусть уравнение $ X^>A X=1 $ задает эллипсоид в $ \mathbb R^3 $, т.е. квадратичная форма положительно определена. Построить посылочный ящик минимального объема (минимальный параллелепипед), содержащий данный эллипсоид.

Решение. Если уравнение эллипсоида приведено к каноническому виду $$ \frac+\frac+\frac=1, $$ то ответ геометрически очевиден: эллипсоид «шире всего» в направлении оси, соответствующей максимальному из трех чисел $ a,b,c $, и «уже всего» в направлении оси, соответствующей минимальному из этих чисел. То есть размер оптимального посылочного ящика — $ (2\,a, 2\,b, 2\,c) $. В случае, если уравнение $ X^>A X=1 $ не приведено к каноническому виду, его можно привести к нему с помощью ортогональной замены переменных. Такая замена оставляет инвариантными размеры эллипсоида, а результатом ее становится уравнение эллипсоида в каноническом виде $$ \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2=1 \, . $$ Здесь $ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 $ — собственные числа матрицы $ A $, они являются положительными ввиду предположения о положительной определенности этой матрицы. Соответствующие собственные векторы матрицы определяют главные оси эллипсоида 1) . Сравнивая два канонических вида уравнения эллипсоида, можем размеры посылочного ящика сформулировать в терминах собственных чисел матрицы: максимальный размер эллипсоид имеет равным $ 2/\sqrt<\min \<\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\>> $, а минимальный — равным $ 2/\sqrt<\max \<\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\>> $. Если эллипсоид нельзя поворачивать вокруг начала координат, то для того, чтобы поместить его в ящик размеров $ 2/\sqrt<\lambda_1>, 2/\sqrt<\lambda_2>, 2/\sqrt <\lambda_3>$ последний надо ориентировать в пространстве: рёбра должны быть параллельны собственным векторам матрицы $ A $. ♦

Замеченное свойство собственных чисел симметричной матрицы распространяется и в многомерное пространство. Традиционно его формулируют в несколько ином виде — хотя и менее наглядном, но более ориентированном на приложения в задачах механики и статистики.

Задача. Найти условные экстремумы квадратичной формы $ F(X)=X^>A X $ на единичной сфере $$ \mathbb S= \< X\in \mathbb R^n \mid x_1^2+\dots+ x_n^2=1 \>\, . $$

В курсе математического анализа показывается, что, во-первых, указанные экстремумы существуют 2) , и, во-вторых, могут быть найдены применением метода множителей Лагранжа.

Теорема. Если $ \lambda_ <\max>$ — максимальное, а $ \lambda_ <\min>$ — минимальное собственные числа матрицы $ A $, то

$$ \max_ X^>A X =\lambda_<\max>, \qquad \min_ X^>A X =\lambda_ <\min>\, . $$ Указанные экстремумы квадратичная форма достигает на соответствующих собственных векторах матрицы $ A $ единичной длины.

Доказательство. Применяем метод множителей Лагранжа, т.е. составляем функцию $$L(X,\lambda) = F(X)- \lambda (X^X-1)$$ и ищем ее абсолютные экстремумы (как функции $ (n+1) $-го аргумента). На основании теоремы о стационарных точках полинома эти экстремумы должны достигаться на вещественных решениях системы уравнений $$ \left\< \begin <\partial L >\big/<\partial x_1 >=&2\left(a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n \right)-2 \lambda x_1 &=0, \\ \dots & & \dots \\ <\partial L >\big/<\partial x_n>=&2\left(a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n \right)-2 \lambda x_n &=0, \\ <\partial L >\big/<\partial \lambda >=&x_1^2+\dots +x_n^2-1 &= 0 \, . \end \right. $$ Решаем эту систему. Первые $ n $ уравнений перепишем в матричном виде $$AX-\lambda X=\mathbb O \ \iff \ (A-\lambda \, E) X=\mathbb O \, . $$ Из последнего уравнения системы следует, что $ X \ne \mathbb O $. Следовательно, решениями системы будут исключительно только собственные векторы $ <\mathfrak X>_j $ матрицы $ A $, при $ \lambda $ равном соответствующему собственному числу $ \lambda_j $ этой матрицы. При $ X=<\mathfrak X>_j $ и $ \lambda=\lambda_j $ получаем экстремальные значения функции $ F(X) $: $$F(<\mathfrak X>_j)=<\mathfrak X>_j^<^>A <\mathfrak X>_j = \lambda_j <\mathfrak X>_j^<^><\mathfrak X>_j=\lambda_j \, . $$ Откуда и следует утверждение теоремы. ♦

Еще один вариант экстремального свойства симметричной матрицы излагается ☞ ЗДЕСЬ.

Кососимметричная матрица

Эрмитова матрица

Обобщение понятия симметричной матрицы на матрицы с комплексными элементами можно было бы формально произвести по той же определяющей формуле $ A=A^ $. Однако такое обобщение практически не используется ввиду потери ряда полезных свойств вещественных симметричных матриц. Вместо этого используют матрицы вида $$ A=P+ \mathbf i Q \quad \mbox \ \ \in \mathbb R^, \ P=P^, \ Q=-Q^ \ , $$ т.е. матрица $ P $ — симметричная, а $ Q $ — кососимметричная. Такие матрицы удовлетворяют равенству $$ \overline^= A \, $$ где $ \overline $ означает комплексное сопряжение всех элементов матрицы $ A $. Матрицы такого вида называются эрмитовыми. Они рассматривается ☞ ЗДЕСЬ.

Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что

Примеры [ править ]

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение, то она имеет диагональный вид: , где — единичная матрица, в любом базисе.

Положительно (отрицательно) определённые матрицы [ править ]

Симметричная матрица размерностью называется положительно определённой если Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.