Конев В.В. Пределы последовательностей и функций
Понятие числовой последовательности (примеры)
Последовательности: Примеры
Предел функции: Примеры
Приближенные вычисления: Примеры
Непрерывность функций: Примеры
образуют последовательность с общим членом :
образуют последовательность с общим членом :
Общий член определяет последовательность вида
Общий член задает последовательность
1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, .
описывается общим членом
Рассмотрим сумму первых n элементов последовательности :
с общим членом является монотонно возрастающей.
Последовательность
Конев В.В. Пределы последовательностей и функций
Понятие числовой последовательности
Предел последовательности
Предел функции
Приближенные вычисления
Непрерывность функций
Последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего:
Последовательность называется монотонно убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего:
Элементам числовой последовательности можно поставить в соответствие точки числовой оси:
Существуют и другие способы графического представления элементов последовательности, например, в виде графика функции :
Рис. 1. Графическая иллюстрация монотонно возрастающей последовательности.
Рис. 2. Монотонно убывающая последовательность.
Непересекающиеся множества — Теория множеств
Непересекающиеся множества — это такие множества, пересечение которых друг с другом приводит к нулевому множеству. В теории множеств иногда мы замечаем, что в двух множествах нет общих элементов. Другими словами, пересечение множеств является пустым множеством или нулевым множеством. Такой тип множества называется непересекающимся множеством.
Например, если у нас есть
, то мы можем сказать, что эти два множества непересекающиеся, поскольку в этих двух множествах
нет общих элементов.
В этом уроке вы узнаете, что такое непересекающееся множество, объединение непересекающихся множеств и попарно непересекающееся множество.
Непересекающиеся множества широко применяются в структурах данных. В математике мы используем их, чтобы находить связи между двумя множествами или функциями. Если элементы двух множеств связаны, то они не являются непересекающимися.
Определение
Два множества считаются непересекающимися, если в них нет общих элементов. Другими словами, если пересечение двух множеств пусто, то эти множества считаются непересекающимися.
В непересекающихся множествах нет общих элементов, потому что в результате операции пересечения множеств между ними всегда будет получаться нулевое или пустое множество.
Рассмотрим два множества:
Очевидно, что эти два множества не имеют общих элементов между собой.
дает нулевое множество:
Понятие числовой последовательности
Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел $N$ в некоторое множество $X$ : $\left\\right\>=\left\\right\>_^<\infty>=\left\ ; x_ ; \ldots ; x_ ; \ldots\right\>, x_ \in N$
Элемент $x_$ называется первым членом последовательности, $x_$ — вторым, . , $x_$ — $n$-ым или общим членом последовательности.
Задание. Для последовательности $x_=\$ определить, чему равен третий член $x_$
Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что $x_=5$
Ответ. $x_=5$
Задание последовательности формулой ее общего члена
Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Найти формулу общего члена последовательности $x_=\$
Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:
$n=1 : x_=6=2 \cdot 3=2^ \cdot 3=2^ \cdot(2 \cdot 1+1)$
$n=2 : x_=20=4 \cdot 5=2^ \cdot 5=2^ \cdot(2 \cdot 2+1)$
$n=3 : x_=56=8 \cdot 7=2^ \cdot 7=2^ \cdot(2 \cdot 3+1)$
Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.
Таким образом, делаем вывод, что
Ответ. Формула общего члена: $x_=2^ \cdot(2 n+1)$
Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой $n$-го члена: $x_=\frac<(-1)^>, n \in N$
Решение. Для того чтобы найти $x_$ , подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:
Задание. Проверить, являются ли числа $a=6$ и $b=1$ членами последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$
Решение. Число $a=6$ является членом последовательности $\left\\right\>, n \in N$ , если существует такой номер $n_ \in N$ , что $x_
Таким образом, число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности.
Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$ . Рассуждая аналогично, как и для $a=6$ , получаем:
$\frac^+11>+1>=1 \Rightarrow n_^-n_+10=0 \Rightarrow D=1-40=-39 \lt 0$
Таким образом, уравнение $n_^-n_+10=0$ не имеет решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не является членом последовательности $\left\\right\>$
Ответ. Число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности, а $b=1$ не является членом последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$
Рекуррентный способ задания последовательности
Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член $x_$ последовательности и известно, что $x_=f\left(x_\right)$ , то есть $x_=f\left(x_\right), x_=f\left(x_\right)$ и так далее до нужного члена.
Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:
Задание. Последовательность $\left\\right\>$ задана при помощи рекуррентного соотношения $x_=\frac\left(x_+x_\right), x_=2, x_=4$ . Выписать несколько первых членов этой последовательности.
Решение. Найдем третий член заданной последовательности:
Аналогично находим далее, что
При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения $x_$ надо найти все предыдущие 499 членов.