Что такое общий элемент
Перейти к содержимому

Что такое общий элемент

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Понятие числовой последовательности (примеры)

Последовательности: Примеры

Предел функции: Примеры

Приближенные вычисления: Примеры

Непрерывность функций: Примеры

образуют последовательность с общим членом :

образуют последовательность с общим членом :

  • Пусть Тогда, в частности,
  • Элементами последовательности не обязательно должны быть различные числа. Так, если yn = 1, то последовательность имеет вид


    Общий член определяет последовательность вида


    Общий член задает последовательность

    1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, .

    описывается общим членом

    Рассмотрим сумму первых n элементов последовательности :

    с общим членом является монотонно возрастающей.

    Последовательность

    Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

    Понятие числовой последовательности

    Предел последовательности

    Предел функции

    Приближенные вычисления

    Непрерывность функций

    Последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего:

    Последовательность называется монотонно убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего:

    Элементам числовой последовательности можно поставить в соответствие точки числовой оси:

    Существуют и другие способы графического представления элементов последовательности, например, в виде графика функции :

    Рис. 1. Графическая иллюстрация монотонно возрастающей последовательности.

    Рис. 2. Монотонно убывающая последовательность.

    Непересекающиеся множества — Теория множеств

    Непересекающиеся множества — это такие множества, пересечение которых друг с другом приводит к нулевому множеству. В теории множеств иногда мы замечаем, что в двух множествах нет общих элементов. Другими словами, пересечение множеств является пустым множеством или нулевым множеством. Такой тип множества называется непересекающимся множеством.

    Например, если у нас есть

    , то мы можем сказать, что эти два множества непересекающиеся, поскольку в этих двух множествах

    нет общих элементов.

    В этом уроке вы узнаете, что такое непересекающееся множество, объединение непересекающихся множеств и попарно непересекающееся множество.

    Непересекающиеся множества широко применяются в структурах данных. В математике мы используем их, чтобы находить связи между двумя множествами или функциями. Если элементы двух множеств связаны, то они не являются непересекающимися.

    Определение

    Два множества считаются непересекающимися, если в них нет общих элементов. Другими словами, если пересечение двух множеств пусто, то эти множества считаются непересекающимися.

    В непересекающихся множествах нет общих элементов, потому что в результате операции пересечения множеств между ними всегда будет получаться нулевое или пустое множество.

    Рассмотрим два множества:

    Очевидно, что эти два множества не имеют общих элементов между собой.

    дает нулевое множество:

    Понятие числовой последовательности

    Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел $N$ в некоторое множество $X$ : $\left\\right\>=\left\\right\>_^<\infty>=\left\ ; x_ ; \ldots ; x_ ; \ldots\right\>, x_ \in N$

    Элемент $x_$ называется первым членом последовательности, $x_$ — вторым, . , $x_$ — $n$-ым или общим членом последовательности.

    Задание. Для последовательности $x_=\$ определить, чему равен третий член $x_$

    Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что $x_=5$

    Ответ. $x_=5$

    Задание последовательности формулой ее общего члена

    Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

    проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

    Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Задание. Найти формулу общего члена последовательности $x_=\$

    Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

    $n=1 : x_=6=2 \cdot 3=2^ \cdot 3=2^ \cdot(2 \cdot 1+1)$

    $n=2 : x_=20=4 \cdot 5=2^ \cdot 5=2^ \cdot(2 \cdot 2+1)$

    $n=3 : x_=56=8 \cdot 7=2^ \cdot 7=2^ \cdot(2 \cdot 3+1)$

    Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

    Таким образом, делаем вывод, что

    Ответ. Формула общего члена: $x_=2^ \cdot(2 n+1)$

    Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой $n$-го члена: $x_=\frac<(-1)^>, n \in N$

    Решение. Для того чтобы найти $x_$ , подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:

    Задание. Проверить, являются ли числа $a=6$ и $b=1$ членами последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$

    Решение. Число $a=6$ является членом последовательности $\left\\right\>, n \in N$ , если существует такой номер $n_ \in N$ , что $x_=a=6$ :

    Таким образом, число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности.

    Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$ . Рассуждая аналогично, как и для $a=6$ , получаем:

    $\frac^+11>+1>=1 \Rightarrow n_^-n_+10=0 \Rightarrow D=1-40=-39 \lt 0$

    Таким образом, уравнение $n_^-n_+10=0$ не имеет решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не является членом последовательности $\left\\right\>$

    Ответ. Число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности, а $b=1$ не является членом последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$

    Рекуррентный способ задания последовательности

    Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член $x_$ последовательности и известно, что $x_=f\left(x_\right)$ , то есть $x_=f\left(x_\right), x_=f\left(x_\right)$ и так далее до нужного члена.

    Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

    Задание. Последовательность $\left\\right\>$ задана при помощи рекуррентного соотношения $x_=\frac\left(x_+x_\right), x_=2, x_=4$ . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

    Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

    Аналогично находим далее, что

    При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения $x_$ надо найти все предыдущие 499 членов.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *