Площадь параллелограмма s в м2 можно вычислить по формуле s ab sina где a b стороны параллелограмма
Перейти к содержимому

Площадь параллелограмма s в м2 можно вычислить по формуле s ab sina где a b стороны параллелограмма

Помогите решить сие пожалуйста

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле S=ab sin альфа, где a и b — длины сторон параллелограмма, а альфа — угол между этими сторонами. Пользуясь данной формулой, найдите длину стороны b, если а=8, sin альфа =2/5, S=64

Лучший ответ

Подставить все в формулу, которую дали:
64 = 8 * b * 2/5
64 :8 = b * 0,4
b = 20

Александр ИльинПросветленный (27907) 3 года назад

Что бы подставить нужно потрудиться, а потом ещё и вычислять. Зачем, если добрые дяди с тётями всё решат и останется только переписать?

Остальные ответы

64=8b×2/5
64=3,2b
b=64/3,2
b=20

ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 330.

Решаем 330 вариант Ларина ОГЭ 2023 обычная версия. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 заданий обычного тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 305(alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задания 1-5

На плане (см. рис. выше) изображён дачный участок. Сторона каждой клетки на плане соответствует 2 м. Участок имеет прямоугольную форму. Въезд и выезд осуществляются через единственные ворота. При въезде на участок слева от ворот находится жилой дом. Помимо жилого дома, на участке есть баня площадью 36 м 2 . Между жилым домом и баней находится цветник с теплицей. Теплица отмечена на плане цифрой 3. Напротив жилого дома находится бак с водой для полива растений, за ним плодово‐ягодные кустарники. В глубине участка есть огород для выращивания овощей, отмеченный цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и застелены садовым покрытием, состоящим из плит размером 1 м × 1 м. Площадка вокруг дома выложена такими же плитами. К дачному участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

$$1.$$ Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других разделительных символов.

Объекты жилой дом баня бак цветник
Цифры

$$2.$$ Плиты для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плит понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку вокруг дома?

$$3.$$ Найдите площадь (в м 2 ) дома.

$$4.$$ Найдите расстояние от бака с водой до бани (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

$$5.$$ Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице (см. ниже).
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Отопление Газовое Электрическое
Стоимость нагревателя (котла) (руб.) 23 000 17 000
Стоимость монтажа (руб.) 17 784 13 000
Средний расход газа (м 3 /ч) 1,4
Средняя потребляемая мощность (кВт) 4,6
Стоимость газа (руб./м 3 ) 4,5
Стоимость электроэнергии (руб./(кВт∙ч)) 4,3

Пособие по математике для поступающих в МГУ

Обложка книги Пособие по математике для поступающих в МГУ

М.: МГУ, 1977. — 304 с.Настоящее пособие представляет собой методическое руководство по математике для учащихся подготовительных курсов МГУ, готовящихся к поступлению на естественные факультеты.
Подготовка к экзаменам рассчитана на один учебный год. Учащиеся должны систематически работать над школьными учебниками, по которым необходимо повторить программу курса по математике. Никаких дополнительных знаний сверх школьной программы для поступления в Московский университет не требуется. Однако приобрести навыки решения экзаменационных задач, и особенно задач повышенной трудности, необходимых в первую очередь поступающим на факультеты с математическим уклоном/ можно только в результате систематической напряженной работы.
В этой книге сформулированы основные темы для проработки, дан перечень необходимых параграфов в учебнике и список задач для решения. В конце первой части помещены контрольные задания для учащихся заочных подготовительных курсов.
Во второй части пособия приведено большое количество задач, предлагавшихся на письменных экзаменах по математике абитуриентам естественных факультетов МГУ в 1972—1975 гг. Для первого варианта каждого факультета выполнен подробный разбор, ознакомление с которым может служить ключом для решения остальных задач этого факультета. Эта часть книги должна послужить пособием для приобретения практических навыков решения задач.

PDF, 5.60 MB

Qmaoz3QRiRBHFo5oHLpaLzFeD8yoBKfPdCpc9VdwstbNWy

IPFS CID blake2b:

bafykbzacebsbsgme7ox653rs4lpee3czss4vnkcikj7vwmhprawbdxnjz3vrs

Начните свое путешествие в мир знаний! Ознакомьтесь с Предпросмотром и откройте другие возможности

Вас может заинтересовать

Ключевые слова

Пуск в работу питательного электронасоса после ремонта

PDF, 1.44 MB

Тригонометрические уравнения

PDF, 1.89 MB

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Б. И. АЛЕКСАНДРОВ М. В. ЛУРЬЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ в МГУ ГШ ) ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО 1МГУ; УНИВЕРСИТЕТА МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА Подготовительные курсы естественных факультетов Б. И. Александров, М. В. Лурье ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МГУ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1977 Борис И ванович А лекса н д р о в, М ихаил В ладим ирович Л ур ье ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ' ПОСТУПАЮЩИХ В МГУ Редактор Р. Д. С о л о д Художественный редактор Н. Ю. К а л м ы к о в а Технический редактор 3. С. К о н д р а ш о в а Корректор Г. В. З о т о в а Заказная. Сдано в набор 6 / IV 1976 г. Формат 6Юх 93Vie Зак. 619 Издательство Д. 5/7. Подписано к печати 11/ΧΙ 1976 г. Бумага тип. № 3 Физ. печ. л. 19,0 Тираж 16 ООО экз. Московского университета, Москва, Уч.-изд. л. 17,85 Цена 65 коп. К-9, ул. Герцена, Московская типография № 10 Союзполиграфпрома при Государствен­ ном Комитете Совета Министров СССР по делам издательств, поли-графин и книжной торговли. Москва, МчПЧ, Ш люзовая наб., 10. © Издательство Московского университета, 1977 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие представляет собой методическое руководство по математике д л я учащ ихся подготови­ тельных курсов М ГУ , готовящихся к поступлению на естественные факультеты. Подготовка к экзаменам рассчитана на один учеб­ ный год. Учащиеся долж ны систематически работать над школьными учебниками, по которым необходимо повторить програм му курса по математике. Н икаких дополнительных знаний сверх ш кольной программы д ля поступления в М осковский университет не требуется. О днако приобрести навы ки реш ения экзам енационны х задач, и особенно задач повы ш енной трудности, необхо­ димых в первую очередь поступающим на факультеты с математическим уклоном ; можно только в результате систематической напряж енной работы. В этой книге сф ормулированы основные темы д л я проработки, дан перечень необходимы х параграф ов в учебнике и список задач; д л я решения. В конце первой части помещены контрольные задания д ля учащ ихся заочных подготовительных курсов. В о второй части пособия приведено больш ое к о ли ­ чество задач, предлагавш ихся на письменных экзам енах по математике абитуриентам естественных факультетов М ГУ в 1972— 1975 гг. Д л я первого варианта каждого факультета вы полнен подробный разбор, ознакомление с которым может служить клю чом д л я реш ения осталь­ ны х задач этого факультета. Эта часть книги долж на послужить пособием д л я приобретения практических навыков реш ения задач. Курсы рекомендуют учащ имся ориентироваться на следую щ ие учебные пособия: 1. Д о р о ф е е в Г. В., П о т а п о в М. К., Р о ­ з о в Η. X. П особие по математике д ля поступающих в вузы. М., «Н аука», 1971— 1976. 2. М о д е н о в П. С., Н о в о с е л о в С. И. Пособие по математике д ля поступающих в вузы. И зд-во М ГУ, 1966. 3. JI и д с к и й В. Б., О в с я н н и к о в Л . В., Т у л а й к о в А. Н., Ш а б у н и н М. И . Задачи по элемен­ тарной математике. М., Физматгиз, 1963. 4. А л е к с а н д р о в Б. И., М а к с и м о в ' В. М., Л у р ь е М. В., К о л е с н и ч е н к о Д. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Изд-во МГУ, 1972. 5. Л у р ь е М. В., А л е к с а н д р о в Б. И. Задачи на составление уравнений. М., «Наука», 1976. Подготовительные курсы не располагают этими по­ собиями и не высылают их учащимся. Авторы МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ δ 1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА ПО МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИМИСЯ ЗАОЧНЫХ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ МГУ Изучение программного материала по математике учащимися заочных подготовительных курсов МГУ проводится по трем основ­ ным разделам: алгебра, геометрия и тригонометрия. Работа учащегося-заочника складывается из следующих основ­ ных элементов: чтение учебников, решение задач, выполнение кон­ трольных заданий. Основной формой обучения учащегося-заочни­ ка является самостоятельная работа над учебным материалом. Подготовка к вступительным экзаменам на любой из факуль­ тетов МГУ является трудоемким делом; его можно успешно вы­ полнить только при систематической и напряженной самостоятель­ ной работе. Готовиться к экзаменам следует систематически в те­ чение всего учебного года. Изучение курса математики в сжатые сроки перед экзаменами не даст глубоких и прочных знаний и не приведет к положительному завершению работы. Самостоятельная работа над учебными пособиями Самостоятельная работа над учебными пособиями является главным видом работы учащегося-заочника, и поэтому от ее орга­ низации зависит многое. Учащимся рекомендуется руководство­ ваться следующими положениями: 1) избрав какое-нибудь учебное пособие в качестве основного по определенной части курса математики, учащийся должен при­ держиваться данного пособия при изучении всей части курса или по крайней мере целого раздела. Замена одного пособия дру- г и м ч процессе изучения может привести к утрате логической свя­ зи между отдельными вопросами. Для решения задач, однако, можно использовать различные источники и прежде всего те по­ собия, которые высылаются курсами; 2) читая учебник по математике, следует переходить к новому материалу лишь после усвоения предыдущего. Все выкладки и вы­ числения, так же как и соответствующие чертежи учебника, сле­ дует выполнит^ самому после ознакомления с данным материалом по учебнику или пособию. Чтецие учебника или учебного пособия необходимо сопровож­ дать составлением конспекта, в котором записываются основные теоремы, их доказательства и выполняется решение типовых задач и упражнений, имеющихся после соответствующих разделов в учеб­ нике. Опыт показывает, что основные формулы полезно выписывать на отдельном листке, который не только поможет запомнить их, но и будет служить справочным материалом. Решение задач Решение задач можно начинать с разбора задач, решенных в учебнике и разобранных в пособиях, а затем переходить к само­ стоятельному решению задач, рекомендованных по этому разделу. Решение задач определенного типа должно продолжаться до при­ обретения прочных навыков в их решении. Очень полезно, если для решения всех задач отведена одна тетрадь. Это дает возмож­ ность впоследствии легко повторить пройденный материал. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно. В промежу­ точных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней или каких-либо других выражений. Помните, что большое количество решенных задач позволит, с одной стороны, глубже понять изучаемый материал, с другой стороны, определит успех njhi решении прдобных задач на экзамене. Умение решать задачи приобретается длительными системати­ ческим и упражнениями. Примите за правило каждый день решать по нескольку задач на тот или иной раздел программы. Опыт решения задач необходим и для выполнения контрольных работ. Выполнение контрольных работ Выполнение контрольных работ учащимися подготовительных курсов и рецензирование их преподавателями преследует две цели: во-первых, осуществление курсами контроля за работой учаще­ гося; во-вторых, оказание ему помощи в вопросах, которые ока6 зались для него непонятными. По каждой контрольной работе учащимся заочных подготовительных курсов будет выслана мето­ дическая записка, в которой дано подробное решение всех задач этой контрольной работы и приведен анализ типичных ошибок, встречавшихся при ее выполнении. К выполнению контрольных работ по каждому разделу курса или по частям этого раздела учащийся приступает только после изучения материала, соответствующего данной части программы, ознакомившись о примерами решения задач подобного рода, при­ веденных в пособии. При выполнении контрольных работ требуется, чтобы решения были записаны в тетради со всеми вычислениями и краткими объяснениями. В алгебраических примерах нужно объяснять, что из чего получается, если это необходимо, проводить проверку ре­ шений, указывать возникающие ограничения. Если по характеру задачи требуется построение чертежа, то он должен быть обосно­ ван, аккуратно/Выполнен, все обозначения должны быть четкими и соответствовать условию задачи* Кроме того, требуется, чтобы чертеж был крупным. При построении графиков функций следует использовать общие методы: перенос, сдвиг и т. д. Если в процессе решения задачи используется какая-нибудь теорема, то она должна быть названа. «Очевидным» считается то утверждение, которое входило в программу курса по математике и содержится в учебнике. Все геометрические утверждения должны быть строго доказаны. Не допускайте арифметических ошибок и строго контролируйте свои вычисления. Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил, не. за­ считываются. § 2. ЛИТЕРАТУРА, РАБОЧИЙ ПЛАН, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ЗАОЧНЫХ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ МГУ Для подготовки к вступительным экзаменам по математике учащимся рекомендуется использовать следующую литературу, применительно к которой составлено это пособие. Основная литература 1. К о ч е т к о в Е. С., К о ч е т к о в а Е. С. Алгебра и элемен­ тарные функции, чч. I и II. М., «Просвещение», 1971—1974. 2. К и с е л е в А. Н. Геометрия, ч. II. М., «Просвещение», 1971; а также ч. I любого года издания. 3. Б а р ы б и н К. С. Геометрия. М., «Просвещение», 1972. 7 Дополнительная литература А л е к с а н д р о в Б. И., Л у р ь е М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. Изд-во МГУ, 1976. В дальнейшем все перечисленные книги обозначаются сокра­ щенным образом. Например, под обозначением «Кочетковы, ч. I» следует понимать: К о ч е т к о в Е. С., К о ч е т ' к о в а Е. С. Алгебра и элементарные функции, ч. I; под обозначением «Пособие, § 15, 3 ( 1 ) » нужно понимать: А л е к с а н д р о в Б. И., Л у р ь е М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ, часть 2-я, § 15, вариант № 3, задача 1. В каждой теме перечисляются в рекомендуемом порядке номе­ ра параграфов из учебников, который учащийся должен прочесть, и номера задач й вариантов, которые он должен решить. Р а з д е л I. АЛГЕБРА* Тема 1. Действительные числа Основные определения. Изображение действительных чисел точками на числовой оси. Запись с помощью неравенств множеств на числовой оси: отрезка, интервала, полуинтервала, полуоси. Абсолютная величина действительного числа и ее основные свой­ ства. Геометрическая интерпретация абсолютной' величины. Реше­ ние уравнений и неравенств, содержащих неизвестное в виде ли­ нейного выражения под знаком абсолютной величины. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 35—48, упражнения № 289—293, 296—299, 305—307, 316—322, 347—353; § 7, 8, упражнения № 60— 74, 75—78; § 18, 25, упражнения № 207—219. Пособие — § 4, 1 ( 1), 2 i(l), 3 (1), 4 ( 1). Указание. Рассмотрим решение уравнения, содержащего неиз­ вестное под знаком абсолютной величины. Решить уравнение: \х — 3| — 1 2 * + 4 |= 2 . (1) Решение. Определение абсолютной величины гласит: . I Г а, если а > 0; I —а, если а 3 , \ (х — 3) — (2jc + 4) = 2 . Уравнение в этом случае имеет решение х = —9. Однако это зна­ чение не удовлетворяет ограничению х ^ З , при котором были опу­ щены знаки -модуля. Поэтому х = —9 не является решением урав­ нения ( 1). 2. Будем искать те решения уравнения (1), которые удовлетво­ ряют системе Г —2 < ; с < 3 , ( _ ( л: _ 3 ) - ( 2 л: + 4 ) = 2. Решение уравнения имеет вид х = —1. Оно удовлетворяет неравен­ ству— 2 « ζ χ < 3 , при условии которого последнее уравнение полу­ чается из исходного. Поэтому х = — 1 есть решение уравнения (1). 3. Рассмотрим, наконец, область * < —2. Имеем систему | ·* < — 2, \ _ ( * _ 3 ) + (2л: + 4) = 2. Решение уравнения этой системы х = —5 удовлетворяет неравенст­ ву х < —2 и потому является решением и уравнения ( 1). Ответ: Х\ = — 1, Хг= —5. Тема 2. Линейные уравнения и неравенства Тождества и уравнения. Неравенства, их основные сврйства. Строгие и нестрогие неравенства. Двойные неравенства. Линейные уравнения и неравенства. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 1, 2, упражнения № 1—5, 13; § 9 — 15, упражнения № 79— 116; § 3, упражнения 15—25; § 4, упражнения № 26—39, 50—56; § 17, упражнения № 133— 139; §20 (обратить особое внимание), упражнение № 152; § 21, упражнения № 154— 164, 179— 183. 9 Тема 3. Системы линейных уравнений Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неиз­ вестными. Определители системы, правило Крамера. Графическая интерпретация решения системы. Равносильность систем урав­ нений. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 26—34, упражнения № 220—222, 223, 229—232, 234, 236—240, 241, 247—252, 257, 283—286. Указания. Приведём основные результаты исследования вопро­ са о существовании и числе решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными: I (hX-\-biy = Ci, 1 агх-\-Ь гу — Си где a i, bi, Oz, bz, Ci и Cz — коэффициенты, действительные числа. Классификация решений системы линейных уравнений связана с численными значениями трех определителей: главного: Cllbi Δ= : (libi — Ь\С1ъ и двух частных: Clbl CL\C\ —’Cibi — Ь\Съ\ Ay — Q2C2 c^bz Возможны следующие случаи: 1. Решение единственное: Δ ^ Ο . " Δ* = х = . У= Эти формулы называются формулами Крамера. 2. Решение неединственное или решений нет ( система несовме­ стна): Δ = 0 . Здесь возможны такие подслучаи: а) Δ = 0, но один из частных определителей Δ* или Ау отличен от нуля: Αχ^φΟ или Ау=фО. Система несовместна; б) Δ = 0 и Δ *=Δ ν= 0 и п о крайней мере один из коэффициен­ тов при неизвестных х или у отличен от нуля. Система уравнений имеет бесчисленное множество решений; в) Δ = 0 , Δ *=Δ >,=0 и все коэффициенты системы равны нулю. Система имеет бесчисленное множество решений; г) Δ = 0 , Аж=А у= 0, все коэффициенты при неизвестных х и у равны нулю, но хотя бы одно из чисел с\ или Cz отлично от нуля. Система не имеет решений. Рассмотренные случаи допускают следующую геометрическую интерпретацию: каждое уравнение системы линейных уравнёний 10 можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, конеч­ но, если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных х или у отличен от нуля. Поэтому первый случай, когда АфО, означает, что прямые пересекаются (рис. 1). Второй случай: Δ = 0 , но или Ауф 0 означает, что прямые параллельны (рис. 2,а). Случай 2,6 эквивалентен совпадению прямых (рис. 2,6). Если все коэффи­ циенты в системе уравнений равны нулю, то вся плоскость (х, у) служит решением систе­ мы уравнений, т. е. любая па­ ра чисел х и у является ее ре­ шением. В случае 2,г ни одна точка плоскости не является решением системы. Следует отметить, что случаю 2,6 удов­ летворяет такая ситуация, ког­ да равны нулю все коэффи­ циенты в одном из уравнений системы. Тогда первому урав­ Рис. 1. нению удовлетворяют коорди­ наты точек прямой, которую представляет это уравнение. Поэтому решениями системы будут служить координаты точек этой прямой. ! ' Пример. Исследовать систему уравнений х + 2ау = 1, 0 или β2—7и -I- 6 ^ О, откуда находим 1 < а < 6; (а ф 2 ). Для определения Виета: знаков корней , 2а I воспользуемся ( 1) теоремой л : .+ х . = -^= у , 2а — 3 Корни имеют одинаковые знаки, если их произведение положи­ тельно. Если при этом положительна и сумма корней, то они оба положительны: 2а — 3 Χ ιΧ ι = п >’ * ^ 0, JCt ^ б, ·* > + * * = 5 = 2 > 0 ’ откуда с учетом (1) находим: 2 < а ^ 6 . Если при этом сумма кор­ ней отрицательна, то оба корня тоже отрицательны: , 2а — 3 ^ п — а— 2 ^ ’ = ф * ,< 0, л :* < 0, •^1 +-^8 = ~ Г 2 откуда с учетом (1) находим: 1 ^ а < 3 /2 . Если корни имеют разные знаки, то произведение корней отри­ цательно и выполняется неравенство XiXt = < 0 = ф * ,>0, x t < О, откуда находим: 3 /2 < а < 2 . Наконец, если хотя бы один из корней уравнения равен нулю, то имеет место условие 2а — 3 п ^ * = T ^ 2 = = 0’ из которого находим: а = 3/2. Поскольку при а = 3/2 сумма корней отрицательна, то другой корень уравнения отрицателен. 14 Λ Ответ: корни уравнения действительны при 1^ а ^ 6. а. Прй 2< а ^ 6, оба корня положительны; б. При а —2, один положи­ тельный корень; в. При 3 /2 < а < 2 , корни разных знаков; г. При а =3/2, один из корней равен нулю, а другой отрицателен; д. При 1 ^ а < 3 / 2 , оба корня отрицательны. Решить задачи. Пособие, § 7, 1 (б), 3 (5); § 8, 1 (4), 2(4), 3 (4), 4 (4); § 11, Ί (2), 2 (2), 3(2), 4(2 ); § 26, 1 (2), 2(2), 3(2 ), 4 (2). Тема 5. Рациональные уравнения и неравенства Целая рациональная функция (многочлен). Корни многочле­ нов. Разложение многочленов на множители. Дробно-рацио­ нальная функция. Решение рациональных неравенств методом интервалов. Пособие, § 12, 1(4), 2 (4 ),'3 (4 ), 4(4); § 17, 1.(1), 2(1), 3(1), 4(1). Пример 1. Решить неравенство (лс_ 3 ) ( х - 2 ) « ( « + 4) (х —6)* (х + 2) Знак этой дроби зависит от сочетания знаков составляющих ее сомножителей. Изобразим на числовой прямой точки —4, —2, 2, 3 и 6, в которых обращается в нуль хотя бы один из сомножи­ телей, стоящих в числителе или знаменателе этой дроби (рис. 3). Тогда числовая прямая разобь­ ется на 6 областей, в каждой из Рис. 3. которых все сомножители и, зна­ чит, вся дробь сохраняют определенный знак. Рассмотрим каждую из этих областей. При х >6 все сомножители положительны (ставим в этой обла­ сти знак « + » ) . При переходе в соседнюю область через точку 6 все сомножители сохраняют знаки потому, что скобка (х—6) входит в эту дробь в четной степени (поэтому в области 3 < х < 6 тоже нужно поставить знак « + » ) . При дальнейшем движении влево по числовой оси, при переходе от одной области к другой, знаки « + » и «—» будут чередоваться, так как каждый раз будет менять свой знак ровно один из сомножителей. Поэтому имеем Ответ: х < |—4, —2 < х ^ 2 ; 3 < !х < 6 ; х >6. Пример 2. Решить неравенство ί х2— Зх + 2 > _____ !_____ ^ х2— 7* + 1 2 15 Запишем это неравенство в следующем виде: 1_________ (х _ 1 )(х _ 2 ) !____ >о, (дс — 3) (дс —4 ) ( x « - 7 x - f 12) — (х* — Зх + 2) (х -1 )(х -2 )(х -3 )(х -4 ) . 0 0. Если в задаче встречается несколько выражений подобного типа, то областью допустимых значений неизвестного, ОДЗ, будут те значения х, при которых определены все функции, входящие в за­ дачу. Другой вопрос, который возникает при решении иррациональ­ ных уравнений или неравенств, связан с равносильностью пре­ образования «возвышение в квадрат» обеих .частей уравнения или неравенства. Например, совершенно очевидно, что возвышение в квадрат обеих частей верного числового неравенства 3 > —5 при­ ведет к неверному результату, если сохранить знак неравенства в одном случае, и даст правильный результат в другом слу­ чае: 5 > 3 . Таким образом, для того чтобы правильно решить задачу, не­ обходимо выделить несколько случаев. Нужно помнить, что если обе части неравенства или уравнения неотрицательны, то возвы­ шение в квадрат обеих частей этого уравнения или неравенства с сохранением данного знака между ними приводит к равно­ сильной задаче. В общем случае решение неравенства f(x ) > g ( x ) , ( 1) связанное с возвышением в квадрат обеих его частей, распадается на следующие случаи: a) П ( х ) ^ 0, \g (x )^ 0 , (2) I/·(*)>«·(*). Ц-ΟД З функций’ f (.х) и g (х). (3) u U W < 0. Очевидно, что случай, когда / ( х ) < 0, a fir(x)X ), не даст решений. Таким образом, все решения неравенства (1) получаются из ре­ шений систем (2) и (3). Пример. Решить неравенство У х - \- 3 ^ >х — 9. 2—619 17 Решение. Область допустимых значений в этой задаче опреде­ ляется неравенством х ^ —3. Возвести в квадрат обе части исходного неравенства было бы ошибкой, так как неизвестно, какой знак имеет его правая часть. Д ля х ^ 9 получилось бы неравенство, равносильное исходному, но при —3 ^ х < 9 результат мог бы быть неверным. Рассмотрим два случая. ' 1). х >9 . Имеем систему неравенств р » 9 , ί х + 3 > ( л : — 9)*, решения которой имеют вид 9 ^ х < 1 3 . 2) —3 < * < 9 . Здесь нельзя возводить обе части неравенства в квадрат, посколь­ ку его правая часть отрицательна. Но очевидно, что для тех х, для которых правая часть отрицательна, а левая часть больше или равна нулю, неравенство выполнено. Таким образом, в этом случае неравенство имеет следующие решения: —3 ^ х < 9 . Решениями исходного неравенства являются решения обоих случаев. Объединяя эти множества, получим Ответ: — 3 ^ х < 13. Те ма 7. Показательная и логарифмическая функции Степени с рациональными показателями; степени с иррацио­ нальными показателями. Основные действия со степенями. Пока­ зательная функция и ее график. Свойства показательной функции. Различия в свойствах показательной функции с основанием, боль­ шим единицы, и -показательной функции с основанием, меньшим единицы; монотонность показательных функций. Решение показа­ тельных уравнений. Логарифмическая функция и ее график. Свойства логарифми­ ческой функции. Различия в свойствах логарифмической функции с основанием, большим единицы, и логарифмической функции с основанием, меньшим единицы; монсронность логарифмических функций. Основные формулы теории'логарифмов. Переход к ново­ му основанию. Решение логарифмических уравнений. Решение показательных и логарифмических уравнений и не­ равенств. Необходимость учета ограничений, связанных с областью определения логарифмической функции, и условий, гарантирую18 щих равносильность совершаемых преобразований. Решение сме­ шанных задач, содержащих логарифмическую, показательную, ра­ циональную и иррациональную функции. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 6 8 —86; ч. II, § 174— 177, упраж­ нения № 1358— 1362, § 178, 179, упражнения № 1365— 1374; §180— 182, упражнения № 1375— 1390 (на последнее упражнение надо обратить особое внимание), 1394— 1399; § 183— 186, упражнения Ns 1449— 1464; § 197, упражнения № 1473—1475. После этого нужно решить задачи: Кочетковы — ч. II, № 1479— 1507, 1510—4514, 2194—2207, 2213. Пособие, § 1—35 в порядке возрастания трудности. Указания. Задачи, в которых встречается показательная и ло­ гарифмическая функции, — традиционный элемент экзаменацион­ ных вариантов по математике, предлагающихся в.МГУ. Проработ­ ку этой темы нужно начать с чтения и конспектирования учебни­ ка. Вслед за этим, а частично и параллельно этому, необходимо решать задачи из рекомендованных упражнений. Только после этого нужно переходить к систематическому решению задач из настоящего пособия. На них можно проверить свои знания и при­ обрести опыт решения экзаменационных задач. Независимо от того, вызвали эти задачи трудности или нет, необходимо ознакомиться с приведенными в пособии решениями и принять во внимание сделанные там методические замечания. Как правило, порядок расположения параграфов в пособии опре­ деляет порядок возрастания трудности задач. Тема 8. Последовательности и прогрессии Общее определение последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула для общего члена последо­ вательности. Сумма п членов арифметической прогрессии. Сум­ ма п членов геометрической прогрессии. Предел последовательности. Основные свойства пределов. Не­ которые теоремы о существовании пределов последовательности (без доказательства). Сумма членов бесконечно убывающей гео­ метрической прогрессии. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 127— 137, упражнения № 932— 938, 951, 960; упражнения № 964, 969, 971—980,985—988,989—996, 1001— 1020. Решить следующие задачи. 1. Биофак, 1970. Даны две геометрические прогрессии аи а2, а3 и Ьи Ь2, Ь3. Известно, что числа ai + bu a2+ b2, а3+Ь3 снова обра­ зуют геометрическую прогрессию. Доказать, что α φ 3= α 36ι. 2* 19 ' 2. Биофак, 1970. Даны две арифметические прогрессии αι, Ог, а3 и Ьи Ь2, Ь3, причем Ь\Ф Ь2, и а ! + ’а 2+ a3= b \+ Ь 2+Ь3. Известно, что числа αφι, афг, аф3 также образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что а\= Ь2. 3. Биофак, 1970. Даны "две геометрические прогрессии αι, Ог, . а$ и bit b2, Ь3. Известно, что числа αφι, афг, аф3 образуют ариф­ метическую прогрессию и ai+ a2+ a3= b i+ b t+ b 3. Доказать, что a i+ b i= a s+ b 3. 4. Геофак, 1971. Положительные числа αι, а2, а3, а4, а5 состав­ ляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов этих чисел по основанию 2 равна 5. Определить эти числа, если отношение logiai к log2fl5 равно — 5/3. Ответ: 32; 8; 2; 1/2; 1/8. 5. Геофак, 1971. Положительные числа αι, а2, а3, а4, as состав­ ляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов чисел αι, а3, а5 по основанию 3 равна 9. Определить числа αι, а2, а3, а4, а5, если log3a4 вдвое больше log8a2. Ответ: 3, 9, 27, 81, 243. 6. Физфак, 1973. Сумма первых тринадцати членов арифмети­ ческой прогрессии равна 130. Известно, что четвертый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти первый член арифметической прогрессии. Ответ: 10; 70. Те ма 9. Задачи на составление уравнений Рассмотреть 'следующие основные типы задач на составление ‘ уравнений: задачи, связанные с понятиями «концентрация и процентное содержание»; задачи «на движение»; задачи, решаемые с помощью неравенств; задачи, в которых уравнений меньше, чем неизвестных; задачи с целочисленными неизвестными; задачи с «альтернативными» условиями. ч Подробно о каждом из этих типов задач можно прочитать в книге Λί. В. Лурье и Б. И. Александрова «Задачи на составив: ние уравнений», выпущенной издательством «Наука» в 1976 г., а также в «Пособии по математике для поступающих в вузы» Г. В. Дорофеева, М. К. Потапова и Η. X. Розова. В качестве упражнений рекомендуется прорешать задачи на составление уравнений, имеющиеся в каждом варианте всех пара­ графов настоящего пособия. 20 Р а з д е л II. ТРИГОНОМЕТРИЯ Тема 10. Тригонометрические функции Градусная и радианная мера углов и дуг. Определение основ­ ных тригонометрических функций числового аргумента. Значения тригонометрических функций от некоторых аргументов: Λ υ, π π π π 2π 3π 5π . — »— · — » — » - 0->** 0 и Τ. Π. Основные тригонометрические тождества. Область определения тригонометрических функций и их свойства: четность, периодивность, монотонность и т. п. Графики основных тригонометрических функций: y = s in x , y = c o s x , y = tg x , y = c tg x . Учебник — Кочетковы, ч. I, § 9 5 — 104, 107—111, 113— 115; ч. II, § 161— 164; упражнения: ч. I, стр. 217, № 645—647, 649, 650, 663, 674, 710—716, 717, 720—727, 732—740; ч. И, № 1174-^1182, 1187, 1194, 1200— 1202. Тема 11. Основные тригонометрические формулы Теоремы сложения для основных тригонометрических функций. Формулы «приведения». Формулы удвоения аргумента. Формулы деления аргумента пополам. Формулы преобразования произведе­ ния тригонометрических функций в сумму. Формулы преобразо­ вания суммы или разности тригонометрических функций в произ­ ведение. Тригонометрические преобразования. Доказательство тригоно­ метрических тождеств. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 116; ч. II, § 149— 160, 169. Упраж­ нения: ч. I, № 754—763, 770, 771; ч. И, № 1028, 1029, 1031, 1040— 1042, 1056, 1066, 1070, 1099, 1100. Упражнения: № 1126, 1127, 1148, 1167— 1169, 1172,.1240,1241, 1244; Тема 12. Простейшие тригонометрические уравнения Определение обратных тригонометрических функций. Общие решения элементарных тригонометрических уравнений: s in x = a ; c o s x = a ; tg x = a ; c tg x = a . Учебник — Кочетковы, ч. I, § 11-7— 122, упражнения № 787— 795, 798—801, 803—808, 812—822, 823—826, 829, 831, 834, 835, 845, 1037—1039, 1051, 1052, 1059, 1060, 1107— 1110. Те ма 13. Решение тригонометрических уравнений Некоторые методы решения тригонометрических уравнений: применение основных тригонометрических формул; введение новой неизвестной; однородные уравнения; универсальная подстановка (выражение основных тригонометрических функций через тангенс половинного угла), введение вспомогательного аргумента (пре­ образование выражения osinA :+ 6 cosx) и т. п. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 123, 124; ч. II, § 156, 157, 167, 169, 171. Упражнения: № 846—865, 866—878, 1222, 1227, 1230, 1232, 1254—1257, 1260—1264, 1268, 1271, 1274, 1279, 1282, 1284, 1294, 1298. Тема 14. Тригонометрические неравенства Решение простейших тригонометрических неравенств типа s in x > a , cosx ^ a , tg x < a , c tg x ^ a и т. п. Графическая интерпретация. Сведение тригонометрических не­ равенств к простейшим. Учебник — Кочетковы, ч. I, 126, упражнения: ч. I, № 883—887. Указания. Для решения тригонометрических неравенств удобно использовать графическое представление тригонометрических функций или единичный круг. Как это делается, понятно из ука­ занных выше параграфов учебника. Предлагаем проверить справедливость записи решений следую­ щих простейших тригонометрических неравенств. Во всех вышеперечисленных неравенствах п = 0, ± 1 , ± 2 . В качестве дополнительных упражнений следует решить те тригонометрические неравенства, которые содержат варианты данного пособия (часть 2-я). 22 Неравенство I. a) sin х Решения arcsin - g - + 2πη — χ π — a res i η + 2πη aresin ^ -----+ 2πη < x < π — б) sin х >-----4- — arcsin ^ ----------- + 2πη 7π π g - + 2πη < X < - g - + 2πη в) sin * 1 — π — arcsin ^ ----------- + 2πη < * < г) s i n x < — “ о“ < arcsin д) 4 < §1п (-4 -) 1 1) a rc sin -g - + 2πη -b 2πη - g - + 2πη, 5π 1 2) - g - + 2πη < x < π — arcsin - g - + 2πη 1 II. а) COS X ^ — 1 6) cos x >— 4 — arccos - j - + 2πη < * < ; arccos - g - + 2πη — — arccos ^ -----+ 2πη < x < arccos ^ ----------- ^ - ^ + 2 π η 1 в) COS JCs^ — 1 г) cos x < — - 3 1 1 д) - β - - l в) t g A C < 2 r) |tg *l < 4 Д) t g x < — I 5π - у - + 2πη arccos ^ -----g r^ + 2 π η < * < 2 π —arccos ^ -----g -^ + 2πη π 1 1. -Q β--+-j- 2πη 2ТЧц < J лC^ arccos-ό~ aliius β + 2πη, 2. III. a) tg x ^ 3 jc < —arccos - g - + 2πη ^ x < — -g - + 2πη. arctg 3 + πη ^ jc < - g - + πη π · π ----- 4 “ + π/ι < * < ~2“ + π 2~ + πη < * < arctg 2 + πη — arctg 4 -|- πη < π jc < arctg 4 + πη π ψ 4- πη < *< ——ζ- + πη 23 Προ долж ете Решения Неравенство IV. a) ctg х ^ 3 б) c tg х >— 1 в) c t g x < 2 πη < X < arcctg 3 + πη 3π πη < χ < - ζ - + πη arcctg 2 + π / ι ^ χ < π + πη . г) ctg х < — 1 Ш X < π + «Λ. Т е ма 15. Смешайиые задачи Следует приобрести практику решения задач, в которых неиз­ вестное содержится в аргументах сложных функций, составленных из рациональных, иррациональных, показательных, логарифми­ ческих и тригонометрических функций. Пособие, ч. II, § 2, 1(5), 2(5), 3(6), 4(5); § 5, 1(4), 2(4), 3(4), 4(4); § 9, 1(2, 5), 2(2, 5), 3(2, 5), 4(2, 5); § 21, 1(3), 2(3), 3(3), ' 4 ( 3 ) ; §22, 1(1), 2(1), 3(1), 4(1) и другие. Р а з д е л III. ГЕОМЕТРИЯ Тема 16. Треугольники, параллелограммы, трапеции . Признаки равенства (конгруэнтности) треугольников. Аксиомы и теоремы о параллельности прямых на плоскости. Основные зада­ чи на построение. Свойства сторон и углов параллелограмма. Свойства диагоналей параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата. Теоремы о средней линии в треугольнике и трапеции. Геометрическое место точек. Основные виды геометрических мест точек. Учебник — Киселев, ч. I, § 33—59, 60—69, упражнения № 1— 14, стр. 40; № 15—38, стр. 41; § 70—83, 87— 101, упражнения № 1—20, 21—23, 24—75, стр. 59—62. Барыбин, глава III, стр. 38—59, упражнения: стр. 61; глава IV. 24 Тема 17. Подобие треугольников и многоугольников Соизмеримость отрезков. Свойство параллельных прямых, пе­ ресекающих стороны угла. Теоремы о подобии треугольников; признаки подобия треугольников. Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника. Подобие многоугольников. Основ­ ные задачи на построение, использующие теоремы о подобии. Мётрические соотношения в треугольниках. Теорема Пифаго­ ра. Теорема косинусов. Учебник — Киселев, ч. I, § 144— 155, 156—165, 168—176, 181— 185, 186, 187, 188—198, упражнения № 1—/14, 15—20, '21—42, 43— 47, стр. 137—140. Барыбин, глава 4. Тема 18. Измерение площадей Понятие о площади. Основные допущения о площадях. Пло­ щадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, многоугольника. Учебник — Киселев, ч. I, § 242—261, упражнения № 1—7,9— 12, 15—23, 25—28, 33, стр. 179—180. Тема 19. Окружность, круг, их части Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружно­ стей. Вписанные углы. Вписанные и описанные треугольники и многоугольники. Четыре замечательные точки в треугольнике. Основные задачи на построение. Пропорциональные линии в круге. Длина окружности. Площадь круга. Учебник — Киселев, ч. I, § '103—133, упражнения № 1—6, 7— 19, 20—»54, стр. 80—82, § 136—143, упражнения № 1— 13, 14—48, стр. 87—89; § 199—202, 226—241, '262—268, упражнения № 8, 13, 24, 29, 32, стр. 179— 180. Т е ма 20. Основные теоремы стереометрии Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол меж­ ду прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями. Призна­ ки параллельности плоскостей прямых и плоскостей, перпенди­ кулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей. 25 Теорема о трех перпендикулярах. Скрещивающиеся прямые. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Учебник — Киселев, ч. II, § 2—48, упражнения № 5—10, стр. 25; № 12—20, стр·. 26. Барыбин, главы V и VI, упражнения к главам V и VI. Т е ма 21. Пирамиды, призмы Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Объем приз­ мы. Пирамиды. Свойства сечений, параллельных основанию. Объем пирамиды. Правильная четырехугольная пирамида.' П ра­ вильная треугольная пирамида. Куб. * Подобие'многогранников. Отношение линейных элементов в подобных многогранниках. Отношение площадей сходственных фигур в подобных многогран­ никах, отношение сходственных объемов. Учебник — Киселев, ч. II, § 67—93, упражнения № 5—8,’ стр. 44; № 2—7, 12— 15, стр. 67, 68. Барыбин, глава VII, упражнения к главе VII. Тема 22. Круглые тела Поверхность цилиндра и конуса. Объем цилиндра и конуса. Поверхность шара и его частей. Объем шара и его частей. Учебник — Киселев, ч. II, § 105— 145, упражнения 1— 12, стр. 89. Барыбин, главы VIII, X, упражнения к главам VIII и X. Методические замечания к решению геометрических задач Для приобретения навыков решения геометрических задач тре­ буется особенно много времени. Поэтому подготовку по геометрии следует начинать как можно раньше и осуществлять равномерно, параллельно с повторением других разделов программы. Содержание программы вступительных экзаменов по геоме­ трии и важные методические указания можно найти в «Пособии по математике для поступающих в вузы» Г. В. Дорофеева, М. К■ Потапова, Η. X. Розова. М., Физматгиз, 1970— 1976 гг. Там же содержится определенное количество разобранных задач, иллюстрирующих те или иные особенности экзаменационных за­ дач, предлагавшихся в МГУ. 26 Опыт приемных экзаменов показывает, что наибольшие труд­ ности при решении геометрических задач вызывают стереометри­ ческие задачи, где требуется пространственное воображение и умение «ориентироваться» в соотношениях между пространствен­ ными фигурами. Не претендуя ни в какой степени на полноту охвата всех составных частей стереометрии, рассмотрим лишь не­ которые из них, которые, на наш взгляд, представляют собой важ ­ ные элементы, часто встречающиеся при решении разнообразных задач. К каждому из нижеследующих пунктов приведено по не­ сколько методических задач. Они решаются очень просто, способ­ ствуя отработке приемов, необходимых для решения других, более сложных задач. Поэтому мы советуем решить эти задачи перед тем как переходить к систематической работе над экзаменацион­ ными стереометрическими задачами. 1. Правильная треугольная пирамида На рис. 4 приведена правильная треугольная пирамида SABC. На этом же рисунке показаны основные элементы пра­ вильной треугольной пирамиды: а — сторона основания пира­ миды; Ъ — боковое ребро пирамиды; Н — высота пирамиды; h — апофема боковой грани; а — угол между боковым реб­ ром и плоскостью основания» определяемый как угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания; β — угол между * плоскостью боковой грани и основанием. По­ скольку SEJLBC, A E A .ВС (Е — середина СВ), угол A E S есть ли­ нейный угол двугранного угла между рассматриваемыми пло­ скостями; у — угол между боковым реб­ ром пирамиды и ее высотой. Длина отрезка АО определя­ ется как 2/3 высоты основания пирамиды, а ОЕ — как 1/3 этой высоты. Поэтому ясны следую­ Ри«с. 4. щие соотношения: АО* aV3 ; ОЕ = аУъ 1 π · α + γ = ·χ * \ 27 * = Я ‘ + £ 1 ; А, = я* + .£1 ; &cosy = # j 6 sinY = ^ j ^ _ · ; 0) ft sin β = Н; Acosp = ^ p · Плоскости A S E и BSD, проходящие через высоту пирамиды и, следовательно, перпендикулярные основанию, играют важную роль при решении многих задач, связанных с правильной тре­ угольной пирамидой. Каждая из этих плоскостей делит* соответ'ствующий двугранный угол между боковыми гранями пирамиды пополам, т. е. служит бисекторной плоскостью такого угла. Двугранный угол φ между боковыми, гранями пирамиды опреде­ ляется из равнобедренного треугольника CFB(FC 1.AS и F 5 ± i4 S , A A S C =A i4S 5, F C = F B ). Используя «теорему косинусов», из этого треугольника получаем а* = 2 ·FC* — 2 ·FC* ■cos φ, COS 9 — (2) 2-FC* — а* 2-FC* Можно также рассмотреть прямоугольный треугольник CEF: s ta T - “ # - 2π α · Р'>Высота боковой грани FC определяется весьма просто, если заметить, что b-FC — a-h, ah (3) Полезно отметить, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны (i4S±BC , B S ± A C , C S L A B , а отрезок FE есть кратчайшее "расстояние между этими ребрами (F E L B C , F£±^4S): f £ = ± £ L sina. (4) Вокруг всякой треугольной пирамиды можно описать сферу. Центр сферы, описанной вокруг правильной треугольной пирами­ ды, точка К, лежит на ее высоте или на ее продолжении за точку О (это становится ясным, если учесть, что прямая OS есть геоме­ трическое место точек, равноудаленных от вершин основания пи­ рамиды). 28 - Радиус описанной сферы R удобно найти из равнобедренного треугольника AKS: / ? C O S Y = - |- ; а) Если R < H , т. е. в >■ * = 2 c ^ Y '· (5> центр сферы лежит внутри пира­ миды; б) если R = H , т. е. а = центр сферы лежит на основания пирамиды; в) если R > H , т. е. центр сферы лежит вне пира­ миды. Во всякую треугольную пирамиду можно вписать шар. Центр шара, точка К', вписанного в правильную треугольную пирамиду, лежит на высоте пирамиды в точке ее пересечения с биссектри­ сой угла AES. Радиус вписанного шара г удобно находить из прямоугольного треугольника О К'Е: r = ^ - t g 4 -; (sinp = 4 ’ cosp = - ^ - ) . ч (6) Задача 1. Правильная треугольная пирамида SABC, рис. 4, задана двумя элементами: а — сторона основания, Н — высота. Найти все остальные элементы: α, β, 'у, = y r№ + -2 - или * = ^ f = - г щ - (из Δ ESO); 4) Ь = У а*/4-\-Н г (из /\D E S)·, 5) s i n - |- = ^ in ah 0 (из /\A F O ), АО = — . * bY 2 A F = — ·, 2cp = a r c s m - ^ - ; 6) R cos γ = 7) ; R= ^ ~ (из & A SK ); r = 0 £ - tg - § — £ - .t g - |- (из Δ Ε Ο Κ '). Задача 1. Правильная четырехугольная пирамида задана дву­ мя элементами: а — сторона основания и φ — угол между боковы­ ми гранями. Найти остальные элементы пирамиды. Задача 2. Правильная четырехугольная пирамида задана двумя элементами: R — радиус описанной сферы, а — сторона основания. Найти все остальные элементы пирамиды. Задача 3. Правильная четырехугольная пирамида задана двумя элементами: г — радиус вписанного шатра, iR — радиус описанного шара. Найти объем пирамиды. , Задача 4. Изучить сечения правильной четырехугольной пира­ миды плоскостями, параллельными диагонали АС и скрещиваю31 щемуся с ней ребру SD. В какие из этих сечений можно вписать окружность? З а м е ч а н и е . Приведем одно простое утверждение, которое полезно иметь в виду при решении многих стереометрических задач. Если в треугольной пирамиде SA B C с вершиной S ребро SA изменить в т раз, ребро SB — в п раз, а ребро SC — в k раз, то объем пирамиды с той же вершиной 5 , но с измененными длинами ребер, исходящих из этой вершины, изменится в mnk раз по сравнению с объемом первоначальной пирамиды. Доказательство этого утверждения приведено на стр. 235 на­ стоящего пособия. Там же приведен пример использования этого утверждения. 4. Куб Куб, рис. 7, обладает рядом свойств, которые полезно знать при решении стереометрических задач. Предлагаем самостоя­ тельно доказать следующие из них: а) диагональ куба перпендикулярна любой скрещивающейся с ней диагонали граней куба; ч ' ' б) диагонали непараллельных граней куба образует между со­ бой угол 60°; в) сечение куба плоскостью ах. 5. а) Решить неравенство _ ’ У 12 — З х > 5х — 2. б) Для каждого значения а найти все действительные реше ния неравенства γ α ~ х < 1 -\-х . 6. Найти косинус угла при основании равнобедренного тре­ угольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписан­ ной в треугольник окружности. Контрольная работа № 2 1. а) Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго кусков. Вес третьего куска равен суммарному весу части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г 36 золота. Третий кусок в четыре раза тяжелее первого и содержит 75 *г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске? б) Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, напол­ няют водой 3/4 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну четвертую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем воды до 3/4 бассейна, то на это понадобится 2,5 ч. Если первую трубу включить на один час, а вторую — на полчаса, то они наполнят бассейн более чем наполовину. За какое время наполняет бассейн каждая труба? 2. а) Решить уравнение 16 sin x —sin 2х= 1—cos 2х. б) Решить уравнение cosJe-cos2x+2sin3.*;= (co sx + co s Зх) (tg2x + tg 2 x ) . 3. Три последовательных члена геометрической прогрессии аь а% и а3 являются соответственно первым, четвертым и двадцать пятым членами арифметической прогрессии. Сумма чисел Οι, а% аг равна 114. Найти знаменатель геометрической прогрессии. 4. Найти все действительные решения системы ί»* — 1* 01+ 2 = 0 , \ 8 — х* = (х-\-2у)К 5. Центры трех окружностей различных радиусов расположены на одной прямой, а центр четвертой находится на расстоянии d от этой прямой. Найти радиус четвертой окружности, если изве­ стно, что каждая из этих окружностей касается трех других. Контрольная работа № 3 1. Решить уравнение * ! y f logi J/^ 3 x lo g ,x = — 1. 2. Решить неравенство logs (1 -f- cos 4х) < 1 + log^_ sin*. 3. Решить неравенство · г. ^ ? cos2(x + 1) · lg (9—2x—x2) ^ 1. 4. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который снача­ ла двигался равноускоренно с ускорением 4 км/ч2, а после того как его скорость возросла от 0 до v, продолжал двигаться равно­ мерно со скоростью ό . Расстояние между пунктами А и В равно 32 км. На первую половину пути велосипедист затратил в полтора раза больше времени, чем на вторую. Определить скорость v. 37 5. В основании треугольной пирамиды SAB C лежит прямо­ угольный треугольник ABC (угол С прямой). Ребро SA перпенди­ кулярно плоскости основания. В пирамиду вписан шар, радиус ко­ торого равен 1/3 SA. Через вершину 5 и точку касания шара с основанием пирамиды проходит плоскость, параллельная ребру ВС. Эта плоскость делит поверхность шара в отношении 1 :4. Най­ ти угол ВАС. Контрольная работа № 4 1. а) Правильная четырехугольная пирамида SABCD вращает­ ся вокруг прямой, проходящей через ее вершину S параллельно стороне основания АВ. Найти объем тела вращения, если известно, что высота пирамиды равна Л, а сторона основания — а. (При вра­ щении указанная прямая остается параллельной стороне АВ.) б) R треугольной пирамиде S A B C с вершиной 5 боковые гра­ ни образуют одинаковые двугранные углы с плоскостью основания ABC пирамиды. Окружность, вписанная в основание, касается реб­ ра А В в точке D, а ребра ВС — в точке Е. Известно, что Z A S B = = 7л/12, Z B S C = 5 n /l2 , Z A S O = n /2 . Найти отношение площади треугольника DBE к площади треугольника ABC. 2. Найти все х, удовлетворяющие одновременно следующим условиям: 4. Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоянной ско­ ростью v км/ч до пункта В, отстоящего от А на расстоянии 24,5 км. В пункте В он переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/ч, и движется тай до полной остановки. Затем он сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной -скоростью ό к м / ч . Какова должна быть скорость о, чтобы автомобиль' быстрее всего проехал путь от А до остановки и обратно до пункта А ука­ занным выше способом? 5. Построить графики функций: а) у = lo g , (л* — 7л: + 6); Контрольная работа № 5 1. Н а строительстве дороги в одной смене работало несколько машин 1-го типа и несколько машин 2-го типа. Одну машину 1-го типа обслуживают 6 человек, ее производительность в дождь равна 140 м2 за смену, а в хорошую погоду — 260 м2 за смену. Общая выработка всех машин 1-го типа за эту смену равна 900 м2. Одну машину 2-го типа обслуживает 7 человек. Ее максимальная произ­ водительность— 400 м2 За смену. Сколько было машин 1-го и 2-го типов, если известно, что все машины обслуживало не больше 40 человек и, кроме того, 700 м2 из проделанной работы можно было выполнить лишь машинами 2-го типа? 2. Решить уравнение -^-cos* (1 — У sin х) = У 2 cos х — j / s m 2.*. 3. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояние от вершины Е до сторон АВ, ВС и CD (или их продолжений) соот­ ветственно равны а, b и с. Найти расстояние от вершины Е до диа­ гонали AD. 4. НайТ-и все значения х, при которых справедливо неравенство 5. Даны три уравнения с действительными коэффициентами: 1) ах2+ Ь х+ с= О, 2) сх2+ Ь х + а = О, 3) х2+ а 2х + с 2=0. Каждое из них имеет по крайней мере один действительный ко­ рень. Известно, что любой корень третьего уравнения удовлетво­ ряет первому уравнению и хотя бы один корень второго уравнения является корнем третьего уравнения. Найти числа а, Ь, с, если а>! > 2|с|. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ. ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ХИМИЧЕСКИЙ, БИОЛОГИЧЕСКИЙ, ПОЧВЕННЫЙ, ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ И ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЫ Контрольная работа № 1 1. Имеются д в а ,раствора одной и той же соли в воде. Для по­ лучения смеси, содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого раствора вдвое больше по весу, чем второго. Через неделю из каж ­ дого килограмма первого и второго растворов испарилось по 200г воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требует39 ся первого раствора уже вчетверо больше по весу, чем второго Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 г каж ­ дого раствора? 2. Найти все действительные значения параметра а, при кото­ рых системы уравнений | а х ~J—2у = 2Ь — |—1, ί 2х — |—у = я* — J—2, \ .г-|-аг = 3 - 2. Ύ в) Решить систему уравнений /4 .5 * -·_ |_ 0 , 1.2»+, = 4,2, \ 25* + ^ = 25,5. 4. Три последовательных члена геометрической прогрессии αι, аг, Оз являются соответственно первым, четвертым и двадцать пя­ тым членами арифметической прогрессии. Сумма чисел Οι, Ог, Оз равна 114. Найти знаменатель геометрической прогрессии. 5. Плоскость проходит через вершину основания А треуголь­ ной пирамиды SABC, делит пополам медиану треугольника SA B , а медиану S L треугольника &4С пересекает в точке D такой, что SD DL 1 2 * В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды? Контрольная работа № 4 1. К бассейну объемом в 300 м3 подведены три трубы: через первую и вторую вода поступает, через третью выливается. Если все три трубы включены одновременно, то количество воды в бас­ сейне увеличивается ежеминутно на 20 м3. Бассейн начали напол­ 41 нять водой, включив первую и третью трубы. Более нем через 12 минут после начала работы в бассейне оказалось 100 м3 воды. В этот момент первую и третью трубы закрыли и включили вто­ рую трубу, завершившую наполнение бассейна. Всего на наполне­ ние бассейна было затрачено 30 мин. Определить, за какое время наполнился бы бассейн, если бы его с начала до конца наполняла только вторая труба? 2. Решить уравнение 4 уз#-2 х+1 _|_2 = 9·2ν3*ϊ=5*. 3. Решить уравнение 10ё' ] / s^ f j L + logjeCOS Τ ' — 5 20c + 3l) 8 ■ И» 4. Решить уравнение 2 sin х + sin Зх*= 2 cos x —cos 3x. 5. Три одинаковых прямых круговых конуса, радиусы основа­ ний которых равны г и составляют 3/4 их высоты, расположены по одну сторону от плоскости Р, а их основания леж ат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найти радиус шара, лежащего между этими конусами и касающегося как плоскости Р, так и трех конусов. Контрольная работа № 5 1. В магазине спортивных товаров туристы покупали снаря­ жение. Первый купил топорик и спальный, мешок, заплатив 18 рублей. Второй купил два спальных мешка и рюкзак, заплатив 35 рублей. Третий купил топорик, спальный мешок и палатку, за­ платив 68 рублей. Четверный купил рюкзак, два спальных мешка и две палатки. Сколько заплатил четвертый турист? 2. Решить неравенство ■ logi. (18 — 2*) log* · 3. Найти все пары значений (х, у), являющиеся решениями системы 1 42 ‘8 · ' · ^ Ι = ’ ί 3 ? - 6· удовлетворяющие условиям π . ^ π T < X13, §§ 21—23, стр. 103—130. Упражнения №№ 1— 14, 15—28, 32—41, 672—581, 663—669, 711 — 713, 740—773. ТЕМА 6 Первообразная функции и интеграл Первообразная функции и ее основное свойство. Три правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона — Лейбница. Интеграл. Геометрическая и фи­ зическая интерпретация. Некоторые приемы вычисления инте­ гралов. Колмогоров, 10. §§ 19—20, стр. 75— 100. Упражнения №№ 392— 401, 402—407, 409—418, 419—424, 434—439, 446—450, 458—471, 472—507, 619—622, 784—799, 804—810. Контрольная работа № 6 1. В прямоугольном треугольнике A B C с прямым углом С, углом В, равным 30°, и катетом СА = 1 проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15° к гипотенузе проведена пря­ мая, пересекающая отрезок ВС в точке F. Найти площадь тре­ угольника CDF. Указать ее приближенное значение в виде деся­ тичной дроби с точностью до 0,01. 2. Сколькими способами можно расставить на шахматной дос­ ке, имеющей, как обычно, 8 X 8 клеток, восемь разноцветных фи­ шек так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали стояла ровно одна фишка? 3. Вычислить площадь фигуры, определяемой неравенствам^ 2 * ^ у < 3 —х2, если известно, что координаты всех точек этой фигуры удовлетво­ ряют неравенству х ^ О . 4. Между двумя портами, удаленными друг от друга на рас-’ стояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. З а ­ траты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей.· Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропор­ циональна времени нахождения теплохода в пути, а другая, обу­ словленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, что­ бы стоимость рейса была минимальной,· если Известно, что при скорости 30 км/ч затраты равны 4,5 тыс. рублям, причем стой- 4 мость обслуживания пассажиров составляет 2/3 стоимости топ: лива. 5. Построить графики функций и выполнить их исследование а · у = 4*г- н ’ б. y= X 'sA iix. Контрольная работа MS 7 1. Имеется пять элементов а\, щ , а3, а4, а3. Найти число пере­ становок этих элементов, в которых а\ не стоит на первом месте, й а2 не стоит на втором месте. 2. Ребра прямоугольного параллелепипеда, вычисленные с точ­ ностью до 0,01 см( равны соответственно 4,25 см, 5,12 см и 6,15 см. С какой наибольшей точностью можно вычислить объем этого па­ раллелепипеда? Найти этот объем. 3. Если начало системы координат выбрать в точке стояния корабля, то линию берега можно описать уравнением y = lo g 2 х. Определить под каким углом видят берег с этого корабля. 4. Доказать, что _ι_ л+2 ^ i л + 2 , 2л JL 24 при любом натуральном п, большем единицы. 5. Найти член разложения (З х + 5 ) 12 с наибольшим коэффи­ циентом. Контрольная работа № 8 1. Оля, студентка второго курса биологического факультета, проводила эксперименты по выращиванию бактерий в питательной среде. При этом она заметила, что скорость увеличения числа бак­ терий в любой момент времени пропорциональна числу бактерий 46 которое имеемся в этот момент времени, причем коэффи­ циент пропорциональности равен 0,5 (время измеряется в часах). По заданию необходимо вырастить колонию бактерий числен­ ностью более 20 ООО единиц. Каково наименьшее время, выращива­ ния колонии бактерий указанной численности, если известно, что Оля первоначально поместила в среду 200 бактерий? Указание. Составить дифференциальное уравнение для - функ­ ции N( t ) и использовать при его решении начальное условие Ν·(ο) =200. _ 2. Даны треугольник со сторонами, равными У 22 и и углом 60° между ними и прямоугольник со сторонами, равными 29 и 1/25. Определить, что больше: площадь треугольника или пло­ щадь прямоугольника. 3. Доказать, что уравнение У х = — х2+ 8х— \5 ; не. имеет решений. 4. Сколько существует способов разделить группу школьников из 42 человек на три подгруппы, состоящих из равного числа людей? . .. . 5. Построить .график функции _ Зх4 -Ь 48 у ~ ~ х * и выполнить его исследование. ЗАДАЧИ / ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С РАЗБОРОМ ОТДЕЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ § 1. ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, 1972 г. Вариант 1 1. Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами, по 60 ящиков в каждой; при этом в 21 ящике были груши, а в осталь­ ны х— яблоки. Сколько ящиков с грушами было в каждой ма­ шине, если известно, что в первой машине на один ящик с груша­ ми приходилось в три раза больше ящиков с яблоками, чем во второй? 2. Найти все решения уравнения s in 2x—c o sx + 2 s i n x = + l , удовлетворяющие условию 0= ^ + 4 , < \2 5. Через вершины В и С треугольника ABC проведена окруж­ ность, которая пересекает сторону А В в точке К и сторону АС в точке Е. Найти АЕ, зная, что А К ~ К В = а , Z B C K = α, Z C B E = = β· 4—619 49 \ Вариант 4 / / / / 1. Д ва стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при этом было 44 попадания, остальные — промахи. Сколько раз попал каждый, если известно, что у первого стрелка ни каждый промах приходилось в два раза больше попаданий, чем у второго? . 2. Найти все решения уравнения 5 cos* х — К З sin 2 х + 3 sin» х « 2, удовлетворяющие условию' 00 . После этого находим, что у = 15. Ответ: в первой машине было 6 ящиков с грушами, а во вто­ рой— 15. Задача 2. Представляя sin 2* как 2 sin x ·cos х, получим co sx 1 , т. е. когда log7x > 0, имеем 2 logVt—3 log7x—2 < 0, -± < ь & х < 2 . Так как основание логарифма больше единицы, то ■ _ ^ . < л 1 , получ чаем 1 0 : а) log7x > 2 ; х> 4 9 , б) logTx < - l / 2 ; 0 < X < l l V 7 Очевидно, что подходят значения х, соответствующие только вто­ рому случаю. Ответ: 1 < j c < 4 9 , Ь < л : < l/>^7. 4· 51 Задача 4. Первое уравнение системы можно записать так: 2 * = 2 « / » + 4 - · Тогда неравенство приобретает вид 2 у * + ± < 2 у, или (2у— 1) а < 0. Ясно, что квадрат любого действительного числа отрицательным быть не может. Значит, 2у— 1=0, т. е. у =0,5. Далее находим: 2* = 1, х = 0. , Ответ: л:=0; у = 0,5. Задача 5. Чертеж к этой за­ даче представлен на рис. 12. Пусть точка О — центр указан­ ной окружности. Рассмотрим Δ ОАВ. В этом треугольнике угол АОВ равен 2а, поскдльку он измеряется дугой, стягиваю­ щей хорду АВ. В то же время угол ВАС, равный по условию а, измеряется половиной этой дуги. Из А Л О В находим хорду АВ: A B = 2 R sina. Затем нетруд­ но найти искомую площадь тре­ Рис. 112. угольника ABC, © котором из­ вестны все углы и сторона АВ. Используем теорему синусов: АС АВ . А С _____ 2 d s jn а sin β sin(«—a —β) » — ^ K s m a 81п(а + р) · Площадь треугольника A B C определяется равенством S = 4 - ^ g - ^ C . s i n « = 2^ · 8ΐη««8ΐηβ 2 sin (a + β) при ( α + β ) < π . § 2. ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, 1973 г. Вариант 1 1. На прокладке двух' параллельных трубопроводов работали два экскаватора. Первый из них начал работать на 30 мин рань­ ше второго. Когда второй экскаватор прокопал 27 м, оказалось, что он отстает от первого на 1 ж. С какой скоростью копали экскаваторы, если известно, что второй выкапывает в час на 4 м больше, чем первый? ’ 52 2. Упростить выражение ι ! o g |_ Ύ 5 V T+ V T 10 + 2 K2I* 3. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является хордой не­ которой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной СК, лроведенной из вер­ шины С к той же окружности, равна 2, Чему равен диаметр окружности? 4. Найти решения уравнения 1 п Х >+ *Х 0 ~~ 25 ’ - удовлетворяющие неравенству х > —-3. 5. Решить уравнение y~3s'm 2x — 2 cos*л: = 2. Сторона А В правильного шестиугольника ABCDEF равна У З и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны шестиугольника лежат вне этой окружности. Длина каса­ тельной СМ, проведенной к той же окружности из вершины С (соседней с вершиной В ), равна 3. Чему равен диаметр окруж­ ности? 4. Найти решения уравнения - 5 ^ = 1 2 8 , удовлетворяющие неравенству х> 3 . 5. Решить уравнение sia£ x — sin* χ — У 1 — cos 2х. Вариант 4 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которйми равно 84 км, выехал велосипедист, а через 2 ч навстречу ему из В в А выехал. мотоциклист, скорость которого на 48 км/ч больше ско­ рости велосипедиста. Найти их скорости, если известно, что к мо­ менту встречи велосипедист проехал на 16 км меньше, чем мото­ циклист. 2. Упростить выражение [6i°*2 y-te-vToj + etog, (/Г —УЩ\ 2 . 4 3. Сторона АВ- треугольника ABC является хордой некоторой окружности. Стороны АС и ВС лежат внутри окружности, продол­ жение стороны АС пересекает окружность в точке D, а продол­ жение стороны ВС — в тОчке Е, причем A B = A C = C D = 2 , ЕС = = У 2. Чему равен радиус окружности? 64 ' 4. Найти решения уравнения х _ з х — log,3 х — 3’ удовлетворяющие неравенству х< Ь. 5. Решить уравнение « / « Г -f - + i+ c tg · - г » Ιβ Λ ίί— ^ · · . Разбор варианта 1 Задача 1. Обозначим скорость, с которой копал землю первый экскаватор, буквой ν м/ч. Тогда скорость второго будет соответст­ венно (о + 4 ) л/ч. Пусть t — время, за которое второй экскаватор выкапывает 27 м. Условие задачи приводит· к следующей системе уравнений: ( °(*+-г)==28, ^ ^ I ( σ + 4 ) ί = 27. Подставляя i из второго уравнения в первое, получим квадрат­ ное уравненйе г о*+2о—224=0, положительный корень которого о = 14 дает решение задачи. Ответ: 14Гм/ч, 18 м/ч. . Задача 2. Легко проверить справедливость нижеследующих^ ра­ венств: . •°в1 -J5 = 5Ιοβ·2= 2; 1) б 2) lo g ^ 3) ^ = to g K r Г 7 _ V3); W + 2 K 2I = = l»gK r ^ ( K ? '+ V 7 ) * = I o g K r ( K f + V ^ · Тогда 2 + log>T 0 ^ - / 3 ) + log y r (V T 4- 1 ^ ) = 2 + log>T 4 = 6. Ответ: 6. Задача S. Продолжим сторону квадрата ВС до пересечения с окружностью в точке Λί; длину хорды ВМ обозначим через х (рис. 13)'. ’ύ ' По теореме о секущей и касательной, нроведенных к окружно­ сти из одной точки, имеем (л :+ 1 )-1 = 4 , т. е. В М = х= 3 . Проведем OF1.BM и ОЕА.АВ и соединим точки О и В. Из прямоугольного треугольника ОЕВ находим ОВ* = В Е * -\-Е О \' 4 + 4 - = - ^ ’ 2R=VW . Ответ: Y \ 0. Задача 4. Логарифмируя обе части уравнения о * * + 4 * _ 0 1 — 25 по основанию 3, получим равносильное уравнение х2+ 4 х+ 2 loga5 = 0 . Поскольку 21oga5 < 4 , дискриминант этого квадратного уравнения положителен и корни'уравнения действительны: ос = — 2 ·± ζ Υ 4 — 21og*5. Корень со знаком «плюс» удовле­ творяет условию задачи х >— 3. Другой корень можно предста­ вить в виде х = — 2— Y \ — 2 logi 5 = Рис. 13. = — 2 — y f l 0g , 3 - ^ - , откуда легко увидеть, что он м ен ьш е—3 и поэтому не является решением задачи. Ответ: х — — 2 - < - У 4 — 21og,5. Задача 5. Используя свойство арифметического корня Y x *= W и формулу l + c o s 2x = 2 cos2x, 56 запишем данное уравнение в следующем виде: V 3 sin к · cos х — cos* х — 2 [cos *| = 0. Теперь необходимо рассмотреть два случая: a) c o s x ^ O . cos х 1. co sjc 3 sin x — cos x — 2) == 0 = 0, лг, = ®/2-f-n/t. 2. J /3 sin ;c — cos* — 2 = 0. Вводя вспомогательный угол, получим Однако cosx2< 0 , что не удовлетворяет условию рассматривае­ мого случая. б) c o s x < 0. Аналогично предыдущему находим к3 i —— sin л:— 2“ cosjc = — 1, sin (‘ --г )- случая, так как cos Хз>0. Поэтому новых решений также не по­ лучаем. Omejem: х = -^—\-ш . § 3. ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, 1974 г. ί, Вариант 1 1. Из пункта А в пункт В', расположенный в 24 км от А, одно­ временно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист при­ был в пункт В на 4 ч раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найти скорость пешехода. 2. Найти все решения уравнения COS 3*- 2 * + * ’ > ]/^2 х — | - 1 -|—) / 4 х -J- 2у — |—5 = ^|/"2х -f- 2у -|—4. 4. Д ан квадрат-ABCD, сторона которого равна а, й построены две окружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата ABCD, касается стороны АВ в точке Е, а также касает­ ся стороны В С и диагонали АС. Вторая окружность с центром в точке А проходит через точку Е. Найти площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями. 5. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству 4*»+12* + 5 log, f 7 \ 2* + -jg j ' Вариант 2 1.. Две автоколонны перевозят груз. Машины имеют одинако­ вую грузоподъемность и в каждый рейс загружаются полностью. Первая автоколонна за один рейс перевозит на 5 т груза больше, чем вторая автоколонна. Известно, что если число машин в первой автоколонне удвоить, то для перевозки 120 т груза ей потребуется сделать на 5 рейсов меньше, чем второй автоколонне. Сколько тонн груза перевозит за один рейс вторая автоколонна? 2. Найти все решения уравнения sin 6л: — cos ^4* 4 - -γ ·^ = γ 2 sin ^5л: — . 3. Решить систему уравнений ( log, (7 — 2х) -f- lo g ^ (5л: — 7у) = О, I У -К -И + З - У 8= Т х = У $х + у - 9 . 4. В равнобочную трапецию ABCD вписана окружность, ка­ сающаяся нижнего основания AD в точке Е. Верхнее основание ВС равно а, угол B A D —60°. "Вторая окружность, целиком распо­ ложенная внутри трапеции, касается внешним .образом первой (вписанной) окружности в точке К, касается основания AD в точ­ ке М и боковой стороны DC. Найти площадь фигуры КЕМ, огра­ ниченной меньшей из дуг КЕ, меньшей из дуг М К и отрезком ЕМ. 58 5. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству 1о2у 5 -(* — г ) + 2 --------L+ τ i ------------------------- - --------------------- ^ > i i o g . 3 L · 0 1 Вариант 3 1. Из пункта А в пункт В, расположенный на противополож­ ном берегу озера, одновременно вышли моторная лодка и катер. К моменту, когда катер прибыл в .пункт В, моторная- лодка про­ шла половину пути и была в 30 км от В. Известно, что если бы катер шел из А в Б с большей Скоростью, увеличив ее на 3 км/ч, то лодка пришла бы в пункт В на 6 ч позже катера. Найти ско­ рость моторной лодки. 2. Найти все решения уравнения sin х + cos = ]/"3 sin (Зх + *)· ~ 3. Решить систему уравнений < 25(уг) " ="έτ’ I l / x + 2 + / 2 х + у + 14 = + 12. 4. В треугольнике AB C боковые стороны АВ и ВС равны а, угол АВ С = 120°. В треугольник А5С вписана окружность, касаю­ щаяся стороны АВ в точке £>. Вторая окружность с центром в точ­ ке В проходит через точку D. Найти площадь той части вписан-. ного круга, которая находится внутри второго круга. 5. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству ' l o g * (х+ -т ) _______ >______ L___ / О / 7 \ Ν υ· log7 i ж* — 2дс+ - j g J Вариант 4 1. Д ва насоса, работая одновременно, наполняют водой бас­ сейн емкостью 60. м3 за полтора часа. Известно, что'если бы ра­ ботал только один второй насос и его производительность была бы увеличена в полтора раза, то для наполнения бассейна потребова­ лось бы на 2 ч больше времени, чем для наполнения бассейна 59 с помощью только одного первого насоса. Сколько кубометров во­ ды в час подает первый насос? 2. Найти все решения уравнения , cos 5х — sin ( з х — ^ = ] / ^ 2 cos (4jc — |- Зж). 3. Решить систему уравнений logt (10 — Зх) -J- lo g , (2л: — 5г/) = 0, Ύ у 2 х - \- у - \- 1 - у и - Ъ х = V Ах -\-2 у— \2. А. В равносторонний треугольник ABC, сторона которого рав­ на а, вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке D. Вторая окружность, расположенная внутри треугольника ABC, касается внешним образом первой (вписанной) окружности в точ­ ке К, касается стороны АВ в точке М и стороны ВС. Найти пло­ щадь фигуры DKM, ограниченной меньшей из дуг DK, меньшей из дуг КМ и отрезком MD. 5. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству 49** — 63* + 20 15*- 3 | - 2 ^ п '> и * Разбор варианта 1 Задача 1. Обзоначим скорости велосипедиста и пешехода бук­ вами и и о соответственно. Понятно, что и > 4. Уравнения задачи имеют вид 0 . 24 _ и—4 24 v * Исключая из этих уравнений и, получим квадратное уравнение для скорости пешехода v : » 2 — 0 — 1 2 = 0 . Его положительное решение: о = 4 . Нетрудно подсчитать, в этом случае и равно 12 км/ч, т. е. ы>4. Ответ: 4 км/ч. Задача 2. Воспользуемся известными формулами: что Тогда имеем cos 3* — cos * = ν % sin л: и далее —2sin 2 x sin x = Y 3 sin x . Возможны два случая: 4 1) sin -яс= 0; х — кп. 2) sin 2 х — — ^ - ; 2* = (— 1)л+1 * = ( - l ) n+‘ - f + J-itrt, ^ . Ответ: х = кп; * = ( —1)л+» - ^ - + ^ - , где п = О, =hl, d z 2 . Задача 3. Из первого уравнения системы,имеем: 4 _____1 _ 2у-* 2*+2 9 1 1 2у-х-2 2*+* 9 у — х — 2 = х - \- 2 , у — 2 х -\- 4. Исключая с помощью этого соотношения у из второго уравнения системы, получаем иррациональное уравнение / 2 * + 1 + / 8* + 13 = у Ъ х + ύ . Очевидно, что допустимыми являются те х, которые удовлетворя­ ют неравенству *^>—‘/г- Поскольку обе части уравнения неотри­ цательны, то после их возведения в квадрат получится уравнение, равносильное исходному: V ( 2 * + 1 ) (8 * + 1 3 ) = - (2* + 1). (1) Заметим, что для существования действительных решений у это­ го уравнения необходимо, чтобы выполнялось условие 2 * + 1 < 0 и л и * < — ψ. Сравнивая это условие с условием, ограничивающим ОДЗ, полу­ чаем, что х может равняться только —V2. Непосредственной про­ веркой убеждаемся, что х = —‘/г есть решение уравнения (1). Та­ ким образом, х = —‘/г, а у = 3. Ответ: х ——‘/г, У = 3. Задача 4. .На рис. 14 представлен чертеж к этой задаче. Оче­ видно, что первая окружность вписана в равнобедренный прямо61 \ угольный треугольник ABC и ее центр О лежит на пересечении биссектрис этого треугольника. Поэтому радиус OF, проведенный из центра окружности к точке касания F со стороной АС, является частью высоты BF -равнобедренного треугольника ABC. Понятно также, что A E —AF; поэтому нетрудно рассчитать значения ра­ диусов обеих окружностей г и R, первой и второй соответственно: aV 2 /? = ^ χ -ί г— а -— а 2 - 1 ί2 И Д ля вычисления площади общей части кругов воспользуемся формулой для площади сегмента в окружности радиуса R, имею­ щего дугу а, рис. 15: ^M N K ~ ^ OMKN ^ A O M N ==~ 2 ~ R * a ^ μνκ о Я* (® 2 ~ ^ * s ^n s in «) Д ля сегмента EPF второй окружности дуга равна π/4; для сегмен­ та EQF первой окружности —Зя/4. Поэтому имеем ^bpf — ~2 S BQF— ' T r* ( τ ( i" s*nΤ ’) ’ sin ~ ) ' / Складывая эти выражения, получим величину искомой пло­ щади: V2 \ , i . / 3* V2 62 После подстановки выражений для радиусов обеих окружностей имеем:S BQFPB= i - < V 2 - m V V 2 - l)it — 4]. Ответ: а* ( / 2 - 1) [(2 V 2 - 1) * - 4]/8. Задача 5. В области допустимых значений неизвестного дан­ ное неравенство равносильно следующим системам неравенств: ( Ах* \2 х ->- 5 О, 1. | log, ( V + 2л г + - ^ - ) > 0; ( Ах!* -|- 12х ->- 5 ^ 0, 2‘ | l o g . ^ * + 2j : + - ^ - ) < 0. Решим поочередно, каждую из этих систем. ( 4л:* + I 1 2 д : + 5 >0 , = > * < — § -, * >— ψ \ A?-f-2* - f - ^ r - > l , = > * < — Объединяя найденные множества, получим: * < — § -и * >-г· . 4 л * + 1 2 л :+ 6 < 0 , =>- - L . 2 0 < х * + 2д : + ^ - < 1, Γ < Χ< Ύ ' Объединяя найденные множества, получим: . - т < * < :- т · Ответ: х < — 5/2; —9 / 4 < · * < — 7/4; л г >1 /4 . ' § 4. ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, 1975 г. Вариант 1 1. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов разной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнит63 ся за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бас­ сейн наполняется за 1 ч 12 мин. Какую часть бассейна заполняет за 20 мин работы насос меньшей производительности? 2. Решить уравнение sin* x — cos x ·cos Злг—- i - . 3. Решить уравнение 4 g 2 lo g , ( дг—2) _ j 1овуг2 ^ |‘2=л (' - 4-Y = 4 9 ^ log* 4. В треугольнике ЛВС биссектриса АК перпендикулярна ме­ диане ВМ, а угол ABC равен 120°. Найти отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольни­ ка круга. 5. Решить систему уравнений tg Зл: = tg κ. Вариант 2 1. Моторная лодка, пройдя 20 км по спокойной воде озера, во­ шла в вытекающую из озера реку и, сразу выключив мотор, про­ плыла по течению реки еще 5 км. Весь описанный путь занял 2 ч. Затем лодка развернулась и, двигаясь относительно воды с той же скоростью, как и в начале пути, когда она шла первые 20 км, вернулась к озеру через 20 мин после разворота. Какова скорость течения? 2. Решить уравнение 12 cos* - γ = 9—4 co s- j- ·cos 3. Решить уравнение g 1 в‘ ( 2х ) _ g Уд—*» gglog* (3+*) ^ 4. В треугольнике ABC биссектриса АН делит медиану ВЕ в отношении В К : К Е = 2, а угол АСВ равен 30°. Найти отношение площади треугольника ВСЕ к площади описанного около этого треугольника круга. 64 5. Решить систему уравнений c tg 4 * = tg £ ^ , ( - Ϊ - ) + 2 7 ! « · 3/ ' = 21о8^ ж ( ^ ) - 3 * . Вариант 3 1. Две артели с разным числом мастеров одинаковой квали­ фикации начали изготовлять шапки, причем каждый мастер делал по две шапки в день. Сперва работала только первая артель, вы­ пустившая 32 шапки. Затем ее сменила вторая артель, выпустив­ шая еще 48 шапок. Вся эта работа заняла 4 дня. После этого артели стади работать вместе и за следующие 6 дней изготовили еще 240 шапок. Сколько мастеров в каждой артели? 2. Решить уравнение з 2 sin* χ —- γ + s i n χ ■sin Здс. . 3-. Решить уравнение ^ ,ο β ν Τ χ ( ) ^ io g e х% _ _ g ,c * ' 4_ χ g lo e , ( 3* — 2) ^ 4. В треугольнике ABC высота BH делит сторону АС в отно­ шении АН :Н С = 4, а угол НВС вдвое меньше угла ВАС. Биссек­ триса АЕ угла ВАС пересекается с ВН в точке К· Найти отно«■· шение площади треугольника АВК к площади описанного около этого треугольника круга. 5. Решить систему уравнений / ctg х = ctg 0, 12 —л > 0 , л > 0, / 1 - — х > ^ 0. Решение этой системы показывает, что 2 < л < 1 2 . Уравнение можно записать следующим образом: откуда следует другое уравнение: 2 log, (л — 2) - f log, (12 — л) = 3 log, *-~-2 + 4 lo g ,л . б* 67 После приведения подобных членов и'потенцирования получим loga( 12—x) = lo g ix (x —2)1 12—х = х 2—2х, х®—х — 12= 0. Корни последнего уравнения равны * ι= 4 , х2= —3. Из этих значений только одно удовлетворяет условию 20; х > 0· У > 0, откуда следует, что х ф - ^ — |— у ф Ь - \ - ,к-\-2'кп1', ^ • « > 0 ; у > 0; х ф - j - Преобразуем отдельно члены второго уравнения системы. ___ j 1 Я Ifw l / ”** — °g> 16 2 logi« + logt x —4 . I. o i o g ^ y 16“ 4x — log,x + 2 — log,* * lo * « V Ax2 9 Ino· /4 x » \_ * 10g,> 1F \ « / K— l0gi *_________ 2 + 2 logt * — log» * * /4 Г — 1 . 1 . 1 . logi ) / — — + — log**—--^-iog*« JL.’3 iog| Ки 3. 43iogf Уу _ 8 3 = 8 Xog' y = y . Подставляя полученные выражения во второе уравнение, по­ лучим 2х — 5 = ~ у , У ~ Т ^ = -х · ^ Используя этот результат, запишем первое уравнение системы в более простом виде: t g 3 x = t g ( —х) или tg 3 x + tg x = 0 , sin Αχ cos Зж-cos X = 0 . Решения этого уравнения имеют вид 4х = τη, x = ^ j - , где я = 0, =£1, ± 2 . . Соответствующие у определяются формулой Ч— кп у,,— — о---2" . Найдем, какие ограничения накладываются областью допусти­ мых значений. Прежде всего, из условий лс> 0 и х Ф -j- следует, что п = 2, 3, 4 . . . , а условие у > 0 показывает, что годятся только п = 2 и я = 3 . Таким образом, возможна только пара решений: л= 3*/4, 3. Решить уравнение (1/ - ) ,o( t u (9*) = a / 3jlo(ts/ 2 4. Найти все решения уравнения cos (log^ Х 'х ) — (logjc [3/ J r * ) 4 - 1 _ γ - ζ их cos -д- + sin -jj 1 S in tcjc 5. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает боковую сторону ВС в точке Е. Найти площадь треугольника АВЕ, если известно, что площадь трапеции равна S, ее основание А В = а, A D —b, CD —c, с< а. Вариант 3 1. Из пункта А отправляется машина, а через час мотоцикл, который догоняет машину в пункте В. В этот момент из А отправ­ ляется второй мотоцикл, идущий с той же скоростью, что и пер­ вый. Второй мотоцикл догоняет машину через шесть часов после своего отправления. За какое время мотоцикл проходит путь из пункта А в пункт В? 2. Упростить выражение tg 4x tg (40°—2х) + t g 4 x tg (50°—2х) + + tg (5 0 °—2х) tg(40°—2х). 71 3. Решить уравнение g v (loe»je+loe«9) log,· _ gKloe, 1.8 4. Найти все решения уравн

1 Перейдите по этой ссылке или найдите бота "@BotFather" в Telegram

2 Отправьте команду /newbot

3 Укажите имя для вашего бота

4 Укажите имя пользователя для бота

5 Скопируйте последнее сообщение от BotFather и вставьте его сюда

Алгебра. 9 класс. Площадь параллелограмма

Формула для вычисления площади параллелограмма S=a⋅b⋅sinα, где a и b — смежные стороны. Вычисли площадь параллелограмма, если a=34, b =30 и sinα =0,8.

Лучший ответ

34•30•0,8= 816

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *