Численные методы решения нелинейных уравнений
где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.
Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x , которые обращают уравнение в тождество.
Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой. Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня xПP , которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (малой положительной величины) ε , то есть
Величину ε также называют допустимой ошибкой , которую можно задать по своему усмотрению.
Этапы приближенного решения нелинейных уравнений
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
- Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x) , в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0 .
- Уточнение корней до заданной точности.
Отделение корней
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x) . Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения.
Для примера рассмотрим задачу решения уравнения 
где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде 
Для графического отсечения корней достаточно построить график функции 
Из рисунка видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8) .
Аналитическое отделение корней
Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1 . Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, т.е.
то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.
Теорема 2 . Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0 .
Уточнение корней
Для уточнения корней может использоваться один из следующих методов:
- Метод последовательных приближений (метод итераций)
- Метод Ньютона (метод касательных)
- Метод секущих (метод хорд)
- Метод половинного деления (метод дихотомии)
Метод последовательных приближений (метод итераций)
Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения решения.
Функциональное уравнение может быть записано в виде
Функцию f(x) называют сжимающим отображением .
Последовательность чисел x0, x1 ,…, xn называется итерационной , если для любого номера n>0 элемент xn выражается через элемент xn-1 по рекуррентной формуле
а в качестве x0 взято любое число из области задания функции f(x) .
Реализация на C++ для рассмотренного выше примера
Уравнение может быть записано в форме 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Результат выполнения
Метод Ньютона (метод касательных)
Если известно начальное приближение x0 корня уравнения f(x)=0, то последовательные приближения находят по формуле 
Графическая интерпретация метода касательных имеет вид 
Реализация на C++
Для заданного уравнения 
производная будет иметь вид 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
#define _USE_MATH_DEFINES
#include
#include
using namespace std;
double find( double x, double eps)
double f, df; int iter = 0;
cout do f = sin(M_PI*x / 180) — 1 / x;
df = M_PI / 180 * cos(M_PI*x / 180) + 1 / (x*x);
x = x — f / df;
iter++;
> while (fabs(f) > eps && iter <20000);
cout return x;
>
int main()
cout cin.get(); return 0;
>
Результат выполнения
Метод секущих (метод хорд)
Если x0 , x1 — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие
то последующие приближения находят по формуле 
Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка закреплен, т.е. вычисление приближения корня уравнения f(x) = 0 производят по формулам: 
Геометрическая интерпретация метода хорд: 
Реализация на C++
В отличие от двух рассмотренных выше методов, метод хорд предполагает наличие двух начальных приближений, представляющих собой концы отрезка, внутри которого располагается искомый корень.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
#define _USE_MATH_DEFINES
#include
#include
using namespace std;
double find( double x0, double x1, double eps)
double rez = x1, f0, f;
int iter = 0;
cout do f = sin(M_PI*rez / 180) — 1 / rez;
f0 = sin(M_PI*x0 / 180) — 1 / x0;
rez = rez — f / (f — f0)*(rez — x0);
iter++;
> while (fabs(f) > eps && iter <20000);
cout return rez;
>
int main()
cout cin.get(); return 0;
>
Результат выполнения
Метод половинного деления (метод дихотомии)
Если x0 , x1 — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие 
то последующие приближения находятся по формуле 
и вычисляется f(xi) . Если f(xi)=0 , то корень найден. В противном случае из отрезков выбирается тот, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, и проделывается аналогичная операция. Процесс продолжается до получения требуемой точности.
Геометрическая интерпретация метода дихотомии
Реализация на C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
#define _USE_MATH_DEFINES
#include
#include
using namespace std;
double func( double x)
return (sin(M_PI*x / 180) — 1 / x);
>
double find( double x0, double x1, double eps)
double left = x0, right = x1, x, fl, fr, f;
int iter = 0;
cout do x = (left + right) / 2;
f = func(x);
if (f > 0) right = x;
else left = x;
iter++;
> while (fabs(f) > eps && iter <20000);
cout return x;
>
int main()
cout cin.get(); return 0;
>
Результат выполнения
Для численного поиска решения также можно использовать генетические алгоритмы.
Комментариев к записи: 8
Решение нелинейных уравнений
При решении нелинейных уравнений невозможно выразить переменную. В этих случаях целесообразно применить ряд численных методов нахождения корней уравнения. Ниже рассмотрены некоторые из них.
Любое уравнение можно представить в виде f (x) = 0 , перенеся всё в одну сторону, тогда поиск корней уравнения сводится к поиску точек пересечения функции f (x) с осью абсцисс. Для более удобной реализации методов в языке Паскаль целесообразно сразу описать функцию f (x) как подпрограмму:
function F(x:real):real;
begin
F:= . ;
end;
Существует ряд методов численного решения нелинейных уравнений, целесообразность применения каждого из которых определяется видом уравнения, его порядком, требуемой точностью и т. д. Эти методы подробно рассмотрены в [1,2,5].
Метод отделения корней
Итак, дано уравнение ƒ(x) = 0, где ƒ(x) – непрерывная функция. Поиск корней уравнения сводится к поиску точек пересечения функции ƒ(x ) с осью абсцисс. Все рассматриваемые ниже методы подразумевают, что уже найден отрезок [a,b], в котором существует один корень уравнения. В зависимости от вида функции таких отрезков может быть несколько, а для периодических функций – бесконечное множество. Метод отделения корней осуществляет поиск таких отрезков.
Наиболее наглядным является графический способ отделения корней. Для реализации этого метода необходимо построить график функции. Это будет легко сделать, если составить программу, которая будет выдавать таблицу значений функции при меняющемся с некоторым шагом h аргументе x (см. рис. 1).
Если есть такая таблица значений функции, то график функции можно и не строить. Достаточно найти две строчки, где значение функции меняет знак на противоположный. Такой способ называется табличным методом отделения корней (см. пример).
Рис. 1. Графическая интерпретация метода отделения корней
Пример. 4.1. Реализация табличного метода отделения корней.
Здесь x пробегает значения от xn до xk с шагом h и при этом на экран выводятся значения x и f(x). Отрезок [xn, xk] и шаг h нужно подбирать для каждой функции, исходя из её характера. Шаг должен быть меньше, чем расстояние между корнями уравнения, чтобы исключить попадание в шаг двух корней.
program tablica;
var xn,xk,x,h:real;
function F(x:real):real;
begin F:=sqrt(x)+2*sqr(x)+3*x; end;
begin
write(‘Введите начало интервала > ’); readln(xn);
write(‘Введите конец интервала > ’); readln(xk);
write(‘Введите шаг > ’); readln ( h );
x:=xn;
begin
writeln(‘x=’,x,‘ f(x)=’,f(x));
x:=x+h;
end;
end.
Процесс выбора отрезка [a,b], содержащего корень, можно автоматизировать. Для этого нужно, начиная с какого-то начального значения, смещать отрезок длиной h в цикле и каждый раз анализировать значения функции на концах этого отрезка. Корень присутствует, если эти значения разного знака. Можно использовать сложное условие
(f(a)>0 AND f(b)<0) OR (f(a) AND f(b)>0),
а можно просто найти произведение и проверить его знак. Корень присутствует, если f(a)*f(b) . После этого можно уточнять значение корня, а можно перейти к поиску следующего отрезка, задав начало поиска от конца найденного.
Пример. 4.2. Поиск ближайшего отрезка, содержащего корень.
program poisk;
var a,b,h:real;
function F(x:real):real;
begin F:=sqrt(x)+2*sqr(x)+3*x; end;
begin
write(‘Введите начало поиска > ’); readln(b);
write(‘Введите шаг > ’); readln ( h );
repeat
a:=b;
b:=a+h;
writeln(‘a=’,a,‘ b=’,b);
end.
Метод половинного деления
Пусть дано уравнение ƒ(x) = 0, где ƒ ( x ) – непрерывная функция, корень Р отделен на отрезке [a,b], т. е. ƒ(a) × ƒ(b) > 0, причем | b – a | < E. Требуется найти значение корня Р с точностью до Е (см. рис. 2).
Если корень Р не отделен на заданном отрезке, т. е. ƒ (a) и ƒ (b) одного знака и, следовательно, ƒ (a) × ƒ b) > 0, то вычисляются значения функции в точках, расположенных через равные интервалы на оси Х. Когда ƒ (an) и ƒ (bn) имеют противоположные знаки, то значения a = an и b=bn принимаются в качестве начальных и находят середину отрезка [a,b], т. е. с=(a+b)/2. Тогда отрезок [a,b] точкой с разделится на два равных отрезка [a,c] и [c,b], длина которых равна (b–a)/2. Из двух этих образовавшихся отрезков выбирается тот, на концах которого функция ƒ (x) принимает значения противоположных знаков; обозначим его [a1,b1]. Затем отрезок [a1,b1] делим пополам и проводим те же действия. Получим отрезок [a2,b2], длина которого равна (b–a)/2 2 . Процесс деления отрезка пополам производится до тех пор, когда на каком-то k-м этапе будет получен отрезок [ak,bk], такой, что
bk – ak = (b – a)/2 k ≤ E и ak ≤ P ≤ bk ,
где число k указывает на количество проведенных делений. Числа ak и bk – корни уравнения ƒ (x) = 0 с точностью до E. За приближенное значение корня следует взять Р=(ak+bk)/2, причем погрешность не превысит (b–a)/2 k+ 1 .
Рис. 2. Графическая интерпретация метода половинного деления
Отметим, что в качестве условия прекращения счета более целесообразно пользоваться условием E ≤ I bk – ak I .
Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.
Рассмотренный метод имеет относительно малую скорость сходимости, но отличается от других методов простотой реализации алгоритма, не требующего вычисления производных заданной функции.
На блок-схеме видно два цикла. Первый реализует поиск отрезка [a,b] длиной h, на котором есть корень уравнения. Второй цикл уменьшает этот отрезок методом половинного деления до тех пор, пока его длина не станет меньше заданной погрешности е. Удобнее всего для организации циклов применить оператор repeat … until. Внутри второго цикла размещён условный оператор, который проверяет, с какой стороны нужно уменьшить отрезок [a,b].
Рис. 3. Блок-схема алгоритма метода половинного деления
Метод касательных
Расчетная формула метода касательных (или метод Ньютона-Рафсона) получается из разложения функции ƒ(x) = 0 в ряд Тейлора в окрестности точки xn. При ограничении разложения двумя членами ряда получим
Здесь O (от английского order) означает порядок остаточного члена в разложении, который в дальнейшем считается малым.
Обычно окончательная формула записывается в виде
Таким образом, зная какое-либо предыдущее приближение xn, где n – номер приближения или итерации (n ≥ 0), можно определить последующее приближенное значение корня xn+1. Если заданное (xn) и расчетное (xn+1) значения совпадают с точностью ε, т. е.
то значение xn+1 считается приближенным значением корня уравнения ƒ (x) = 0.
Кроме предыдущего условия окончания счета, можно использовать условие малости функций ƒ (x) около корня, т. е. | ƒ (xn)| ≤ εf или | ƒ (xn+1) | ≤ εf , где εf – заданная погрешность.
Рассмотрим геометрическое толкование метода касательных (см. рис. 4), где значение корня Р определяется следующим образом.
Рис. 4. Графическая интерпретация метода касательных
Исходя из некоторого начального приближения xn, находим соответствующее ему значение ƒ (xn) (точка А), проводим касательную к кривой ƒ (x) через точку А и ищем точку пересечения этой касательной с осью Х. Эта точка будет значением xn+1, т. к. требовалось провести через точку с координатами xn, ¦(xn) прямую с угловым коэффициентом ƒ ‘(xn) и затем найти её пересечение с осью Х.
Величина отрезка (xn – xn+1) больше заданной погрешности e, поэтому поиск значения корня продолжается аналогично. Принимая последнее найденное значение xn+1 за исходное, определяем следующее значение xn+2 по той же формуле
далее опять проверяется условие
Повторение поиска следующей точки продолжается до тех пор, пока не выполнится условие окончания поиска приближенного значения корня.
Для составления программ можно руководствоваться блок-схемой, представленной на рис. 5.
Рис. 4.5. Блок-схема алгоритма метода касательных
Наличие в блок-схеме вывода f(x1) означает дополнительную проверку правильности определения корня, т. к. в этом случае значение функции должно быть близко к нулю.
Замечание. При реализации этого метода целесообразно функцию ¦(x) и её производную ¦ ‘ (x) описать как подпрограммы:
function F(x:real):real;
begin F:= . ; end;
function F1(x:real):real;
begin F1:= . ; end;
При этом функция должна быть предварительно продифференцирована вручную.
Основной цикл удобнее всего организовать при помощи оператора repeat … until.
Метод касательных обладает относительно большой скоростью сходимости при выполнении следующих условий:
- Начальное приближение x0 выбрано достаточно близко к корню уравнения ƒ (x) = 0.
- Вторая производная ƒ «(x) не принимает больших значений.
- Первая производная ƒ ‘ (x) не слишком близка к нулю.
Важно помнить, что успешность поиска корня напрямую зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Поэтому иногда целесообразно вначале провести поиск отрезка, содержащего корень, методом отделения корней, как это было сделано перед реализацией метода половинного деления. Подбирая необходимый шаг, можно легко найти такой отрезок. Тогда в качестве первого приближения можно взять любой из его концов или середину этого отрезка.
Модифицированный метод Ньютона
Модифицированный метод Ньютона лишь немного отличается от метода касательных и обладает меньшей скоростью сходимости. Здесь значение производной вычисляется всего один раз в точке первого приближения и больше не изменяется. Следовательно, её вычисление будет стоять до оператора цикла. Общая формула вычисления последующего приближения будет выглядеть так:
Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений
На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.
Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x0, x1, . xn, …, в которых каждое последующее приближение xn+1 вычисляется на основании предыдущего xn. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x0, x1, . xn, … при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.
Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.
2.2. Отделение корней
Корень уравнения f(x)=0 считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.
X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2018
ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (МЕТОД ДИХОТОМИИ)
Космакова О.С. 1 , Васютин А.А. 1
1 Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ)
Работа в формате PDF
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
В общем случае редко удается точно найти все корни нелинейных уравнений, а если к тому же коэффициенты в уравнении даны с погрешностью, то вопрос о точном определении корней вообще теряет всякий смысл. Однако если предположить, что задано уравнение типа (1), то тогда без ограничения общности можно утверждать, что F(х) имеет корни, для которых существует δ-окрестность, содержащая только один простой корень. Такой корень иногда называют изолированным.
Предположим теперь, что найден отрезок [a, b] такой, что
функцияF(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе с производной первого порядка;
значения F(x) на концах отрезка имеют разные знаки (F(a)F(b) < 0);
первая производная F (x) сохраняет определенный знак на всем отрезке.
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что F(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным. Такой интервал называют интервалом изоляции искомого корня ξ.
Нули функции на практике вычисляют приближенно несколькими способами. Одним из самых распространенных и не очень точных является графический метод.
Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) – это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции F(x) и отметить точки пересечения F(x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив исходное уравнение (1) равносильным ему уравнением:
где функцииF1(x) и F2(x) – более простые, чем исходная функцияF(x). Тогда, построив графики функций у =F1(x) и у = F2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Пример 1. Графически отделить корни уравнения
Решение. Уравнение (3) перепишем в виде равенства lg x=.
Отсюда ясно, что корни уравнения (3) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые (см. рис. 1), приближенно найдем единственный корень уравнения (3) или определим его содержащий отрезок [2, 3].
Рис. 1 – Графическое отделение корней (пример 1)
Убедимся, что отрезок [2, 3] содержит один и только один корень уравнения (3).
Перепишем уравнение в виде F(x) = 0, где .
Тогда F(2) = 2 . lg(2) – 1 = 2 . 0.30103 – 1 = 0.60206 – 1 = – 0.39794 0, т.е. на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков.
Найдем первую производную функции:
Следовательно, первая производная сохраняют свой знак на отрезке, а на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков, значит отрезок [2, 3] – отрезок изоляции искомого корня ξ.
Другим, не менее распространенным методом отделения корней является метод производных. Этот метод основан на том, что между любыми двумя нулями функции содержится, по крайней мере, один нуль ее производной. Отсюда следует, что нули функции естественно искать на интервалах, порождаемых нулями производной. Метод заключается в том, что ищут и приравнивают к нулю производную функции F'(х), а затем на отрезках определяют знак функции F(х), где хi – корни уравнения F'(х)= 0. Таким образом, всю числовую ось разбивают на интервалы. Отметим, что описанный метод называют еще методом экстремумов функции.
Пример 2. Отделить методом производных корни уравнения:
Решение. Найдем производную F'(х) и приравняем ее нулю.
Составим приблизительную схему знаков функции F(х):
Следовательно, уравнение (4) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах (– ∞, –2), (–2, 0) и (0, + ∞). Возьмем для пробы три дополнительные точки х = – 3, х = – 1, х = 1 и составим следующую схему знаков F(x):
Если исследуемая функция есть полином n-й степени, то используют метод удаления корней: определяют один корень, и функцию F(х) представляют в виде F(х)= g1(х) . (х – х1), где x1 – первый найденный корень, а g1(х)– полином степени (n – 1).Затем проверяют, является ли х1корнем полинома g1(x). Если корень имеет кратность, большую единицы, то записывают многочлен в виде F(х)= g2(х) . (х – х1) 2 . После конечного числа шагов получают представление F(х)= (х – х1) k gk(х) и переходят к определению следующего корня при помощи gk(х). В результате получают представление
Чтобы погрешность с каждым шагом не увеличивалась, а очередной корень определялся с высокой степенью точности, следует уточнение корня производить по функции F(х), а не по функции g(х). Это особенно важно, когда удалено много (больше половины) корней.
На практике предполагаемые корни уточняют различными специальными вычислительными методами. Одним из них является метод дихотомии (бисекции, половинного деления), относящийся к итерационным. Он состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых F(х) имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Этот процесс построения последовательности вложенных отрезков позволяет найти нуль функции (F(х) = 0)с любой заданной точностью.
При заданной точности деление пополам продолжают до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше . , тогда координата середины последнего найденного отрезка и есть значение корня требуемой точности.
Метод дихотомии – простой и надежный метод поиска простого корня уравнения F(х) = 0. Он сходится для любых непрерывных функций F(х), в том числе и недифференцируемых.
проблема определения отрезка, на котором функция меняет свой знак (как правило, это отдельная вычислительная задача, наиболее сложная и трудоемкая часть решения);
если корней на выделенном отрезке несколько, то нельзя заранее сказать, к какому из них сойдется процесс;
не применим к корням четной кратности;
для корней нечетной, но высокой кратности метод неустойчив, дает большие ошибки;
медленно сходится. Для достижения ε необходимо выполнить итераций, т.е. для получения 3 верных цифр (ε = 0.0005) надо выполнить около 10 итераций, если первоначальный отрезок имеет единичную длину.
Программа, по которой можно уточнить корни методом дихотомии, построена по алгоритму, приведенному ниже (см. рис. 2).
Рис. 2 Блок-схема метода дихотомии
Пример 3. Отделить корни уравнения x 2 – 5 . sin x = 0 и уточнить их с точностью ε = 0.00005 методом дихотомии.
Решение. Первый этап – графическое отделение корней. Графическим методом (см. рис. 3) находится отрезок, на котором расположен один из корней данного уравнения [1.8; 2.2]; (второй корень тривиальный, х = 0 находится легко).
Рис. 3 Графическое отделение корней (пример 3)
Второй этап – уточнение отделенного корня методом дихотомии до заданной точности ε. Для того чтобы уточнить корень, изолированный на отрезке [1.8; 2.2], с указанной точностью используем процедуру bisect.
Формальные параметры процедуры BISECT. Входные:A, B (тип real) – определяют длину отрезка; EPS (тип real) – определяет заданную точность вычислений; IT (тип integer) – определяет наибольшее разрешенное количество итераций (для избежания зацикливания процесса в случае неправильного определения отрезка изоляции). Выходные:X (тип real) – в нем содержится искомый корень сравнения; K (тип integer) – в него заносится количество выполненных итераций; FLAG (тип integer) – определяет способ выхода из процедуры, если FLAG=1, то заданная точность вычислений EPSне достигнута за разрешенное количество итераций IT.
Перед началом работы программы определяют func(Х) – процедуру-функцию, по которой вычисляют значения F(х). Тип функции должен быть вещественным.
Паскаль-программа и результаты расчета в среде Pascal ABC приведены на рисунках 4 и 5.
Рис. 4 Паскаль-программа уточнения корня методом дихотомии
Рис. 5 Результаты уточнения корня методом дихотомии в среде PascalABC
Вариант алгоритма метода дихотомии может быть реализован в среде математического пакета Mathcad (см. рис. 6). Достоинством пакета является возможность графического отделения корней и оценка значений первой и второй производных на интервале изоляции.
Рис. 6 Результаты решения в среде пакета Mathcad