Число у которого ровно 3 делителя
Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?
Подсказка
Заметьте, обычно всякому делителю m соответствует «парный делитель» – M / m .
Решение
У любого числа M всегда есть делители 1 и M . Если у M есть делитель m , то есть и делитель M /m. Значит, чтобы число M имело три различных делителя, необходимо выполнение условий: m = M /m (то есть M = m ²) и m – простое число. Отсюда следует, что ровно по три различных делителя имеют квадраты простых чисел.
Ответ
Квадраты простых чисел.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Козлова Е.Г. |
| Название | Сказки и подсказки |
| задача | |
| Номер | 160 |
| кружок | |
| Место проведения | МЦНМО |
| класс | |
| Класс | 5 |
| год | |
| Год | 2004/2005 |
| занятие | |
| Номер | 13 |
| задача | |
| Номер | 13.4 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать , что таких чисел бесконечно много?
Самый простой способ найти число имеющее 3 делителя, это любое простое число в квадрате.
Простое число имеющее только 2 делителя: 1 и само число. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Теперь запишем 5 чисел имеющих 3 делителя:
2 2 = 4; делители: 1, 2, 4;
3 2 = 9; делители: 1, 3, 9;
5 2 = 25; делители: 1, 5, 25;
7 2 = 49; делители: 1, 7, 49;
11 2 = 121; делители: 1, 11, 121;
Так как простых чисел бесконечно, то и чисел имеющих только 3 делителя бесконечно много;
Ответ: 4, 9, 25, 49, 121.
Число у которого ровно 3 делителя
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
Решение
Предположим, что найдутся четыре подряд идущих числа, удовлетворяющих условию. Заметим, что среди четырёх подряд идущих чисел одно делится на 4. Тогда в разложении этого числа на простые множители есть не менее двух двоек. Если есть еще простой делитель p , отличный от двойки, то делителей у числа не менее шести: 1, 2, 4, p , 2 p , 4 p . Если в разложении есть только двойки, то для того, чтобы делителей было ровно четыре (1, 2, 4, 8), двоек должно быть ровно три. Итак, существует единственное делящееся на 4 число, у которого ровно четыре делителя – число 8. Его соседи (7 и 9) условию не удовлетворяют, поэтому искомых чисел не более трёх.
Пример трёх подряд идущих чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя: 33, 34, 35.
Ответ
Замечания
Есть и другие примеры.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Окружная олимпиада (Москва) |
| год | |
| Год | 2015 |
| класс | |
| Класс | 10 |
| задача | |
| Номер | 10.2 |
#python — Наименьшее число, у которого ровно 3 делителя, оканчивающихся на 3
Найдите наименьшее натуральное число, ровно три различных натуральных делителя которого оканчиваются на 3 в десятичной записи.
1) Как решить эту мульку, не пиша программу?
2) Попытка написания программы:
Программа получила на входе желаемое количество делителей (3), оканчивающихся на желаемую цифру (тоже 3), и выдала ответ: 273, который по случайному совпадению равен температуре в космосе, только без знака «минус».
Как проверить эту программу на наличие ошибок?
задан 23 Окт ’21 13:02
1) Это число будет не меньше этого НОК(. 3. 3. 3), это первое соображение
(23 Окт ’21 13:32) mihailm
@mihailm, да, но это мало что нам даёт.
(23 Окт ’21 13:33) Казвертеночка
Ну да, так как 273=НОК(3,13,273) то перебор великоват.
Тогда так: наше число как минимум имеет делитель вида p^2q или pqr, где p,q,r простые.
В первом случае p оканчивается на 1, а q на 3, во втором концы такие 3,3,3 или 3,3,7.
Теперь надо придумать как это доказать без maple))
(23 Окт ’21 15:04) mihailm
@mihailm, а как Вы это доказали с maple?
(23 Окт ’21 15:22) Казвертеночка
Перебрал в цикле, как же еще. В общем без компьютера никуда)
(23 Окт ’21 15:26) mihailm
@Казвертеночка: здесь, похоже, перебор действительно немного скучноватый — особенно когда уже знаешь ответ. Иногда бывает приятно выстроить какое-то рассуждение, но только если всё в итоге красиво выглядит. А здесь это не получается.
(23 Окт ’21 18:35) falcao
@falcao Три разных делителя, оканчивающиеся на 3, наименьшие из них 3,13,23. Ни одно произведение двух из них не заканчивается на 3, как и их произведение. Итак, получаем 3⋅13⋅23. Это разве не верно?
(23 Окт ’21 20:03) aalisa23
Ну так $%897>273$% же.
(23 Окт ’21 20:10) hpbhpb
@aalisa23: никто не сказал, что у числа должно быть три простых делителя с данным свойством. Число 273 = 3 * 7 * 13 имеет ровно три делителя, оканчивающихся на тройку: 3, 13 и само число. Из них только два простых, а значение произведения меньше.
(23 Окт ’21 22:08) falcao
@falcao Да, вы правы. Я не правильно условие восприняла.
(25 Окт ’21 23:02) aalisa23
показано 5 из 10 показать еще 5
1 ответ
Вот решение без компьютера.
Числа, оканчивающиеся на $%3$% (что означает наименьшую значащую цифру), требуют модульной арифметики! Более конкретно, если такое число не является простым, то легко увидеть, что это произведение $%(10r+1)(10s+3)$% для подходящих $%r$%,$%s$%.
Здесь я допустил глупую ошибку, поскольку у нас также могло быть произведение $%(10r-1)(10s-3)$% или, скорее, $%(10r+9)(10s+7)$%. К счастью, это затруднение можно преодолеть, в основном потому, что в случае $%r=0$% у нас есть произведение $%9(10s+7)$%, но это также можно записать как $%3(10t+1)$%. И в противном случае $%10r+9$% равно как минимум $%19$%, а другой множитель — не менее $%7$%, поэтому для поиска наименьшего $%n$%, запрошенного в задаче, кажется разумным начать с непростого числа, оканчивающегося на $%3$%, которое можно записать как $%n=(10r+1)(10s+3)$%. Наименьший множитель первого рода — это $%11$%, который является простым, а наименьший множитель второго рода — $%13$%, также простой. В этом случае мы получаем $%n=143$%, но только два делителя $%n$% заканчиваются на $%3$%.
Что, если первый множитель не является простым? Поскольку следующий наименьший такой множитель равен $%21$%, мы получаем $%3$% в качестве другого делителя, поэтому, если мы сохраним второй множитель $%13$%, то $%n=21⋅13=273$% с делителями $%273$%,$%13$%,$%3$% и, очевидно, $%n=3⋅7⋅13$% не имеет других делителей, заканчивающихся на $%3$%.
Остается вопрос, действительно ли $%273$% наименьшее число, которое мы ищем. Во-первых, если $%n$% — это число, тогда $%n$% имеет ровно три делителя вида $%10x+3$%. Назовем их $%10a+3$%, $%10b+3$%, $%10c+3$%.
Теперь рассмотрим простоту этих чисел. Если все они простые, то $%n$% не меньше $%3⋅13⋅23>273$%, так что этот случай можно отклонить. И если ровно два из них простые, и скажем, $%10a+3$% не простое, тогда эти простые числа не меньше $%3$% и $%13$%, поэтому любой оставшийся простой делитель $%n$% должен быть меньше $%7$% ($%273=3⋅13⋅7$%). Это означает, что единственный простой делитель $%10a+3$% равен $%3$% (поскольку $%2$% и $%5$% явно не подходят). Но тогда $%10a+3$% равно как минимум $%3^5=243$%, которое, умноженное на любое другое простое число, больше $%273$%.
Теперь предположим, что $%10a+3$% составное, в то время как максимум одно из чисел $%10b+3$% и $%10c+3$% — простое.
Сначала предположим, что $%10a+3$% нельзя записать как $%(10r+1)(10s+3)$%. Тогда $%10a+3=(10r+9)(10s+7)$%, где $%r≥1$%. Поскольку $%19⋅17=323>273$%, мы можем предположить, что $%s=0$%, и поэтому $%10a+3=7⋅19=133$% или $%10a+3=7⋅29=203$%. В обоих случаях, если, например, $%10b+3$% будет иметь другой простой делитель, как у $%10a+3$%, $%n$% будет не менее $%3(10a+3)$%, что больше $%273$%. Но если $%10b+3$% не имеет других простых делителей, как $%10a+3$%, то $%10b+3$% как минимум $%7^3>273$%. Таким образом, во всех этих случаях мы находим числа, превышающие $%273$%.
Теперь предположим, что $%10a+3=(10r+1)(10s+3)$%. Очевидно, что $%10s+3$% — это либо $%10b+3$%, либо $%10c+3$%. Предположим, у нас есть $%10a+3=(10b+3)(10r+1)$%. Поскольку $%10r+1≥11$%, мы видим, что $%10b+3$%, поэтому $%10b+3=3$%,$%13$%,$%23$%, и оно всегда простое. Поэтому $%10c+3$% не является простым и аналогично $%10a+3$%, мы находим, что $%10c+3=(10u+3)(10v+1)$%, где $%u=a$% или $%u=b$%. Первый случай дал бы $%10c+3=(10b+3)(10r+1)(10v+1)$%, что слишком велико, поэтому у нас есть $%10c+3=(10b+3)(10v+1)$%. Ясно, что $%a≠c$%, поэтому, если, например, $%a>c$%, то $%10r+1≥21$% и поэтому $%10b+3\lt 13$%, то есть $%10b+3=3$%. Это означает, что $%\frac=91>10r+1>10v+1$%.
Более того, если, например, $%10r+1$% простое, то $%n \geq \operatorname(10 r+1,3(10 v+1))=3(10 r+1)(10 v+1)>273$%. Таким образом, и $%10r+1$%, и $%10v+1$% составные, что с учетом ограничений диапазона означает, что они равны $%21$%,$%51$% или $%81$%. Например, если эти множители равны $%21$% и $%51$%, то $%\=\$% и $%n=1071$%. Также $%n=32⋅7⋅17$% не имеет других делителей вида $%10x+3$%.
отвечен 25 Окт ’21 23:56