Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения

1. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение вида ax + by + c = 0 , где \(a, b, c\) — числа (коэффициенты), называется линейным уравнением с двумя переменными \(x\) и \(y\).

Решением уравнения ax + by + c = 0 является пара чисел (\(x\); \(y\)), обращающая данное уравнение в верное равенство.

изобрази решения линейного уравнения − x + y − 2 = 0 точками в координатной плоскости \(xOy\).

Несложно подобрать несколько решений: \((3; 5), (2; 4), (1; 3), (0; 2), (-2; 0)\). Построим эти точки в координатной плоскости и убедимся, что они лежат на одной прямой \(t\).

Прямая \(t\) является графиком уравнения − x + y − 2 = 0 , или
прямая \(t\) является геометрической моделью этого уравнения.

Итак, если пара чисел (\(x\); \(y\)) удовлетворяет уравнению ax + by + c = 0 , то точка \(М\)(\(x\); \(y\)) принадлежит прямой \(t\).

И обратно, если точка \(М\)(\(x\); \(y\)) принадлежит прямой \(t\), то пара чисел (\(x\); \(y\)) удовлетворяет уравнению ax + by + c = 0 .

Графиком уравнения ax + by + c = 0 является прямая, если коэффициенты \(a, b\) не равны нулю одновременно.

Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0 .

1. Выбрать любое удобное значение переменной x = x 1 и из уравнения a x 1 + by + c = 0 вычислить значение y = y 1 .

2. Выбрать другое значение переменной x = x 2 и из уравнения a x 2 + by + c = 0 вычислить значение y = y 2 .

Клуб студентов «Технарь». Уникальный сайт с дипломами и курсовыми для технарей.

Описание:
1. Число Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым S (n, k), называется …
количество неупорядоченных разбиений n – элементного множества на k непустых подмножеств
количество неупорядоченных значений – элементного множества на k непустых подмножеств
количество неупорядоченных разбиений n
2. Размещение – это …
упорядоченный набор чисел из некоторого множества различных n элементов
упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов
упорядоченный набор из k различных элементов из суммы различных n элементов
3. Что из нижеперечисленного является формулой дифференцированного произведения?
(uv)^\’=u\’v+uv\’
(uv)^\’=uv+uv\’
(uv)^\’=uv+uv
4. Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при n, k = 0?
s(0,1)= c(0,0)=1
s(0,0)= c(1,0)=1
s(0,0)= c(0,0)=1
5. Что из ниже перечисленного является формулой сочетания без повторений?
(n/k)=C_n^k= n!/k!(n-k)!
(n/k)=C_n= n!/k!(n-k)!
(n/k)=C_n^k= n!/(n-k)!
6. Что из ниже перечисленного является формулой числа Стирлинга второго рода?
S(n,k)= 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j)
S(n,k)= 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n
S(n,k)=∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n
7. Что из нижеперечисленного является формулой расчёта функции потерь?
MSE=∑_(i=1)^n(Y_i-Y ̂_i )^2
MSE= 1/n ∑_(i=1)^n(Y_i-Y ̂_i)
MSE= 1/n ∑_(i=1)^n(Y_i-Y ̂_i )^2
8. Что из нижеперечисленного является формулой интегрирования?
∫ □sin sin xdx = -□cos cos x
∫ □sin sin xdx = -□cos cos x +C
∫ □sin sin xdx = cosx^3+C
9. Числа Стирлинга первого рода (без знака) – это …
количество значений порядка n
количество перестановок значений с k циклами
количество перестановок порядка n с k циклами
10. Что из нижеперечисленного является формулой нахождения градиента?
grad z= dz/dy i +dy/dx j ⃗=(dz/dx; dz/dy)
grad z= dz/dx i +dz/dx j =(dz/dx; dz/dy)
grad z= dy/dx i ⃗+dx/dx j ⃗=(dz/dx; dz/dy)
11. Что из нижеперечисленного является формулой тригонометрической функции?
〖x) 〗^\’= □sin sin x
〖x) 〗^\’= □cos cos x
〖x) 〗^\’= □tan tan x
12. Что из ниже перечисленного является формулой числа Стирлинга первого рода (со знаком)?
(x)_n=(x-1)(x-2) ∙ ∙ ∙ (x-n+1)
(x)_n=x(x-1)(x-2) ∙ ∙ ∙ (x-n)
(x)_n=x(x-1)(x-2) ∙ ∙ ∙ (x-n+1)
13. Важной особенностью размещения является …
порядок
элемент числа
переменное значение
14. Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при k>0 ?
s(k,0)= c(0,0)=0
s(0,k)= c(0,k)=0
s(k,0)= c(k,0)=0
15. Что из нижеперечисленного является формулой неопределенного интеграла?
F\'(x)=∫ f(x)dx
F(x)=∫ f\'(x)dx
F(x)=∫ f(x)dx
16. Что из ниже перечисленного является формулой размещения с повторениями?
A_n^(-k)=n^k
A_n=n^k
A_n^(-k)=n
17. Что из нижеперечисленного является формулой скорости?
время/расстояние
расстояние/масса
расстояние/время
18. Что из ниже перечисленного обозначает символ Похгаммера?
(x)_n
〖(x)〗_n^k
(x)_n^(-1)
19. Частная производная – это производная .
по одной переменной в случае, если функция имеет несколько переменных
скорость изменения функции в данной точке
грамотное сопоставление условий для решения задачи
20. Что из ниже перечисленного является формулой сочетания с повторениями?
-/(〖 C〗_n^k )= (n+k-1)!/(n-1)!
-/(〖 C〗_n^k )= (n+k-1)!/(k! ∙ (n-1)!)
〖 C〗_n^k= (n+k-1)!/(k! ∙ (n-1)!)
21. Что из ниже перечисленного является формулой факториала?
A^n=P_n=n!
A_n=P_n^n=n!
A_n^n=P_n=n!
22. Что из нижеперечисленного является формулой определенного интеграла?
∫ f(x)d=F(x)+C
∫ f(x)dx=F(x)+C
∫ f(x)dx=F(x)
23. Что характеризует функция потерь?
ошибку данных на наборе наблюдаемых позиций
ошибку прогноза на наборе наблюдаемых данных
ошибку скорости изменения наблюдаемых данных
24. Сочетание без повторений – это …
сочетание, где элементы повторяются
сочетание, где элементы не повторяются
сочетание, где элементы могут повторяться и не повторяться
25. Что из нижеперечисленного является функцией интеграла?
d/dx ∫ f(x)d=f(x)
d/dx ∫ f(x)dx=f(x)
d/x ∫ f(x)dx^2=f(x)
26. Сочетания с повторениями – это …
сочетания, где элементы могут повторяться
сочетания, где элементы могут не повторяться
сочетания, где элементы могут повторяться и не повторяться
27. Числа Стирлинга первого рода (со знаком) s (n, k) – это …
коэффициенты элементов
коэффициенты многочлена
коэффициенты значений
28. Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения?
f(x,b)=b_0+b_1 x_1+b_2 x_2 +_…+b_k x_k
f(x,b)=b+b_1 x_1+b_2 x_2 +_…+bx
f(x,b)=b_0+bx_1+b_2 x_2 +_…+b_k
29. Градиент – это .
вектор, который указывает направление роста функции
грамотное сопоставление условий для решения задачи
скорость изменения функции в данной точке
30. Сочетание – это …
неупорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов
упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов
неупорядоченный набор из чисел из некоторого множества различных n элементов
31. Важной особенностью сочетания является то, что порядок …
не применяется
имеет значение
не имеет значения
32. Что из нижеперечисленного является формулой интеграла?
∫ x^2 dx= x^3/3+C
∫ xdx= x/3+C
∫ x^2 dx= x/3+C
33. Производная функция – это .
скорость изменения функции в данной точке
составляющая переменной
соблюдение размещения
34. Если движение происходит в направлении градиента функции, то мы получим .
скорость максимального изменения функции
увеличения размерности
индексацию массива
35. Интеграл — это аналог суммы для .
бесконечного числа бесконечно малых слагаемых
бесконечного числа множественных слагаемых
бесконечного множества бесконечно малых слагаемых
36. Линейная регрессия – это модель машинного обучения, где .
предсказываемое значение является составляющей переменной
предсказываемое значение является целым числом
предсказываемое значение является суммой взвешенных признаков
37. Размещение без повторений – это размещение, где …
элементы повторяются
элементы не повторяются
элементы могут повторяться и не повторяться
38. Определенный интеграл применяется тогда, когда мы .
собираемся найти площадь под кривой
собираемся найти ошибку прогноза
собираемся найти скорость максимального изменения функции
39. Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при n>0 ?
s(n,0)= c(n,0)=0
s(n,0)= c(0,0)=0
s(0,n)= c(0,n)=0
40. Что из ниже перечисленного является формулой производной разности двух функций?
(f(x)-g(x))^\’=f(x)-g\'(x)
(f(x)-g(x))^\’=f(x)-g(x)
(f(x)-g(x))^\’=f^\’ (x)-g\'(x)

Комментарии: В тесте содержатся 40 вопросов, на которые даны ответы в файле работы. Правильные ответы выделены зеленым маркером. Тест был успешно сдан в 2022 году. Для корректного прочтения материала лучше всего пользоваться домашним ПК.

Размер файла: 455,5 Кбайт
Фаил: (.rar)

Скачано: 21 Коментариев: 0

Некоторые похожие работы:

Спеши, предложение ограничено !

Что бы написать комментарий, вам надо войти в аккаунт, либо зарегистрироваться.

Вход в аккаунт:

Cодержание / Математика вычислительная / Готовый тест с ответами «Специальная математика и основы статистики». МФПУ «Синергия», МОИ

Клуб студентов «Технарь». Уникальный сайт с дипломами и курсовыми для технарей.

Описание:
Ответы на тест Специальная математика и основы статистики (Ответы на тест Синергия/МОИ/ МТИ).
Результат 100 из 100 баллов.

Вопросы к тесту:
Размещение — это .

Тип ответа: Одиночный выбор

упорядоченный набор чисел из некоторого множества различных n элементов

упорядоченный набор из к различных элементов из некоторого множества

различных n элементов

упорядоченный набор из к различных элементов из суммы различных n элементов

Если движение происходит в направлении градиента функции, то мы получим .

Тип ответа: Одиночный выбор

скорость максимального изменения функции

Тип ответа: Одиночный выбор

вектор, который указывает направление роста функции

грамотное сопоставление условий для решения задачи

скорость изменения функции в данной точке

Сочетание без повторений — это .

Тип ответа: Одиночный выбор

сочетание, где элементы повторяются

сочетание, где элементы не повторяются

сочетание, где элементы могут повторяться и не повторяться

Важной особенностью сочетания является то, что порядок .

Тип ответа: Одиночный выбор

не имеет значения

Частная производная – это производная .

по одной переменной в случае, если функция имеет несколько переменных

скорость изменения функции в данной точке

грамотное сопоставление условий для решения задачи

Что из нижеперечисленного является функцией интеграла?

Числа Стирлинга первого рода (со знаком) s (п, к) — это .

Тип ответа: Одиночный выбор

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — это .

Тип ответа: Одиночный выбор

количество значений порядка n

количество перестановок значений с к циклами

количество перестановок порядка n с к циклами

Линейная регрессия — это модель машинного обучения, где .

предсказываемое значение является составляющей переменной

предсказываемое значение является целым числом

предсказываемое значение является суммой взвешенных признаков

Интеграл — это аналог суммы для .

Тип ответа: Одиночный выбор

бесконечного числа бесконечно малых слагаемых

бесконечного числа множественных слагаемых

бесконечного множества бесконечно малых слагаемых

Размещение без повторений — это размещение, где .

Тип ответа: Одиночный выбор

элементы не повторяются

элементы могут повторяться и не повторяться

Что из нижеперечисленного является формулой скорости?

Тип ответа: Одиночный выбор

Что из ниже перечисленного является формулой сочетания без повторений?

Важной особенностью размещения является …

Что из ниже перечисленного является формулой размещения с повторениями?

Сочетания с повторениями – это …

сочетания, где элементы могут повторяться

сочетания, где элементы могут не повторяться

сочетания, где элементы могут повторяться и не повторяться

неупорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества

различных n элементов

упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества

различных n элементов

неупорядоченный набор из чисел из некоторого множества различных n элементов

Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при

Число Стирлинга второго рода из п по к, обозначаемым S (n, к), называется .

Тип ответа: Одиночный выбор

количество неупорядоченных разбиений п — элементного множества на к непустых

количество неупорядоченных значений — элементного множества на к непустых

количество неупорядоченных разбиений п

Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при n,

Тип ответа: Одиночный выбор

Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при

Тип ответа: Одиночный выбор

Что из ниже перечисленного является формулой числа Стирлинга второго рода?

Что из ниже перечисленного является формулой числа Стирлинга первого рода (со

Что характеризует функция потерь?

Тип ответа: Одиночный выбор

ошибку данных на наборе наблюдаемых позиций

ошибку прогноза на наборе наблюдаемых данных

ошибку скорости изменения наблюдаемых данных

Производная функция — это .

Тип ответа: Одиночный выбор

скорость изменения функции в данной точке

Определенный интеграл применяется тогда, когда мы .

Тип ответа: Одиночный выбор

собираемся найти площадь под кривой

собираемся найти ошибку прогноза

собираемся найти скорость максимального изменения функции

Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения?

Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражениия?

f(x,b)=b+b_1 x_1+b_2 x_2 +_. +bx

Что из нижеперечисленного является формулой интеграла?

Что из ниже перечисленного является формулой сочетания с повторениями?

Что из ниже перечисленного обозначает символ Похгаммера?

Что из нижеперечисленного является формулой нахождения градиента?

Что из нижеперечисленного является формулой тригонометрической функции?

Что из нижеперечисленного является формулой неопределенного интеграла?

Что из ниже перечисленного является формулой факториала?

Что из нижеперечисленного является формулой определенного интеграла?

Что из ниже перечисленного является формулой производной разности двух

Что из нижеперечисленного является формулой интегрирования?

Что из нижеперечисленного является формулой расчёта функции потерь?

Размер файла: 45 Кбайт
Фаил: (.docx)

Скачано: 1 Коментариев: 0

Решение рекуррентных соотношений

Для рекуррентного соотношения, которому удовлетворяет последовательность [math] \ < a_n \>[/math] мы часто хотим получить выражение для [math]a_n[/math] . Например, для рекуррентного соотношения, задающего числа Фибоначчи:

[math] F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_ = F_ + F_, \quad n\geqslant 2, \quad n\in Z[/math]

[math]a_n[/math] член может быть записан следующим образом: [math]a_n=\dfrac>\left( \biggl( \dfrac> \biggr)^n — \biggl( \dfrac> \biggr)^n \right).[/math]

Для этого можно использовать метод производящих функций (англ. generating function method).

Метод производящих функций

Алгоритм получения выражения для чисел [math]a_[/math] , удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций cостоит из [math]4[/math] шагов.

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен [math]k[/math] ): [math]a_ = …, \\ a_ = …, \\ a_ = …, \\ … \\ a_ = …, n\geqslant k[/math]
2. Домножить каждую строчку на [math]z[/math] в соответствующей степени ( [math]z^ \cdot a_ = … \cdot z^[/math] ) и сложить все выражения, многоточие надо рассматривать как множество из выражений, где [math]n \in [k, +\infty)[/math] . В левой части получится сумма [math]\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n[/math] — это производящая функция, назовем ее [math]G(z)[/math] . Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее [math]G(z)[/math] .
3. Решить полученное уравнение, получив для [math]G(z)[/math] выражение в замкнутом виде.
4. Разложить [math]G(z)[/math] в степенной ряд, коэффициент при [math]z_n[/math] будет искомым выражением для [math]a_n[/math] .

Примеры

[math]1[/math] пример

Производящие функции позволяют решать рекуррентные соотношение механически по одному и тому же алгоритму. Рассмотрим общую схему на простом примере, который позволит продемонстрировать базовые приёмы работы.

Задано линейное однородное рекуррентное соотношение порядка [math]2[/math] с постоянными коэффициентами:
[math]\begin a_0&<>=<>&0,\\ a_1&<>=<>&1,\\ a_n&<>=<>&5a_-6a_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером [math]n[/math] . В данном случае порядок равен [math]2[/math] , так как для вычисления [math]a_n[/math] требуется знать [math]a_[/math] и [math]a_[/math] .

Будем искать производящую функцию последовательности в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots, [/math]

с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на [math]z^0[/math] , следующую — на [math]z^1[/math] и последнюю — на [math]z^n[/math] :
[math]\begin 1\cdot a_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot a_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot a_n&<>=<>&(5a_-6a_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Теперь сложим все уравнения для всех значений [math]n[/math] :
[math] \underbrace^<\infty>a_nz^n>_ z+5\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n-6\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n. [/math]

Левая часть уравнения в точности равна [math]G(z)[/math] , а в правой части есть суммы, очень похожие на функцию [math]G(z)[/math] , но не равные ей. Эти суммы нужно привести к виду [math]G(z)[/math] . Начнём с первой:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrelz\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ \stackrel z\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrel z\biggr( \underbrace< \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n+a_0>_ — a_0\biggr)=z(G(z)-a_0) \stackrel z G(z). [/math]

Равенство [math](1)[/math] получатся вынесением [math]z[/math] в первой степени за знак суммы, это необходимо, чтобы уровнять степень переменной [math]z[/math] и индекс переменной a внутри суммы. Действие [math](2)[/math] — изменение индекса суммирования, которое позволяет избавиться от [math]n-1[/math] . Равенство [math](3)[/math] получается, если прибавить и снова отнять значение [math]a_0[/math] , чтобы получить полную сумму от [math]n=0[/math] до [math]∞[/math] . Равенство [math](4)[/math] справедливо в силу того, что [math]a_0=0[/math] .

Аналогичные манипуляции со второй суммой дают нам выражение
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^=z^2G(z). [/math]

Теперь наше исходное уравнение для производящей функции принимает вид:
[math] G(z) = z + 5zG(z) -6z^2G(z), [/math]

откуда получаем производящую функцию последовательности в замкнутом виде:
[math] G(z) = \dfrac. [/math]

Отыскав производящую функцию в замкнутом виде, её нужно снова разложить в ряд. Это можно сделать разными способами, но самый простой из них — разбить всю дробь на простые дроби и применить формулу для разложения [math]\dfrac[/math] . Итак, разложим знаменатель функции на множители:
[math] G(z) = \dfrac = \dfrac. [/math]

Теперь разобьём дробь на сумму простых дробей:
[math] \dfrac = \dfrac — \dfrac. [/math]

Из этого разложения следует, что
[math] \dfrac= \displaystyle\sum_^<\infty>(3z)^n \quad\mbox< и >\quad \dfrac= \displaystyle\sum_^<\infty>(2z)^n. [/math]

Таким образом,
[math] G(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>3^nz^n — \displaystyle\sum_^<\infty>2^nz^n = \displaystyle\sum_^<\infty>(3^n-2^n)z^n. [/math]

С другой стороны, мы искали [math]G(z)[/math] в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n, [/math]
поэтому, в силу равенства рядов, [math]a_n=3^n-2^n[/math] (для [math]n\geqslant 0[/math] ).

[math]2[/math] пример: числа Фибоначчи

Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:
[math]\begin f_0&<>=<>&0,\\ f_1&<>=<>&1,\\ f_n&<>=<>&f_+f_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Первый шаг алгоритма мы уже выполнили, записав рекуррентное соотношение. Выполним второй шаг:
[math]\begin 1\cdot f_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot f_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot f_n&<>=<>&(f_+f_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Складываем все строчки:
[math] f_0 + f_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_nz^n = z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n. [/math]

Третий шаг алгоритма требует привести все суммы к замкнутому виду:
[math]\begin G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^, \\ G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n, \\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + z(G(z)-f_0)+z^2G(z),\\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + zG(z)+z^2G(z),\\ \end [/math]

откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math] G(z) = \dfrac. [/math]

Осталось разложить её в ряд (чего требует четвёртый шаг алгоритма). С этой целью нужно разложить знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:
[math]\displaylines< 1-z-z^2 = 0 \cr z_1=-\dfrac>, z_2=-\dfrac>. > [/math]

Нам известно разложение следующей рациональной функции:
[math] \dfrac = \displaystyle\sum_^<\infty>z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots. [/math]

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на [math]z_1[/math] :
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Аналогично (но с делением на [math]z_2[/math] ) поступим со второй дробью:
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac1> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Данное выражение можно упростить, если обратить внимание на то, что [math]1/z_1=-z_2[/math] , [math]1/z_2=-z_1[/math] и [math]z_1-z_2=√5[/math] . Подставим [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] в предыдущее выражение:
[math] f_n=\dfrac>\left( \biggl( \dfrac> \biggr)^n — \biggl( \dfrac> \biggr)^n \right). [/math]

[math]3[/math] пример

Найдём производящую функцию для последовательности квадратов чисел Фибоначчи: $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$.

По определению последовательности Фибоначчи выполняется:
[math] \left\< \begin f_ = f_ + f_n \\ f_ = f_ - f_n \end \right. [/math]
Возведя в квадрат и сложив, получим:
[math] \begin f_^2 + f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2 — f_^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_^2 — f_^2.\\ \end [/math]
Обозначим рассматриваемую последовательность [math]A[/math] , а её члены [math]a_n[/math] , тогда:
[math]a_n = 2a_ + 2a_ — a_[/math]

Рекуррентное соотношение:
[math] \begin a_0 = f_0^2 = 1 \\ a_1 = f_1^2 = 1 \\ a_2 = f_2^2 = 4 \\ a_n = 2a_ + 2a_ — a_, \quad n\geqslant3.\\ \end [/math]

Приведём суммы к замкнутому виду:
[math] \begin A(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n = 1 + z + 4z^2 + \displaystyle\sum_^<\infty>(2a_ + 2a_ — a_)z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n — \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n + 2z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n — z^3\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z(A(z) — 1 — z) + 2z^2(A(z) — 1) — z^3A(z), \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2zA(z) — 2z — 2z^2 + 2z^2A(z) — 2z^2 — z^3A(z), \\ A(z)(1 — 2z — 2z^2 + z^3) = 1 + z + 4z^2 — 2z — 2z^2 — 2z^2 = 1 — z, \\ \end [/math]
откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math]G(z) = \dfrac.[/math]

[math]4[/math] пример

Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:
[math]\begin a_0&<>=<>&1,\\ a_1&<>=<>&2,\\ a_n&<>=<>&6a_-8a_+n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Следующие действия аналогичны тем, которые мы делали для чисел Фибоначчи:
[math]\begin \displaystyle a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty> &<>=<>& 1+2z+6\displaystyle\sum_^<\infty>>-8\displaystyle\sum_^<\infty>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<> & 1+ 2z + 6z(G(z)-a_0)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ G(z) &<>=<> & 1 — 4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ \end [/math]

Вспомним, что
[math] (z^n)’ = nz^, [/math]

поэтому
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n=z\displaystyle\sum_^<\infty>nz^=z\displaystyle\sum_^<\infty>(z^n)’=z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’. [/math]

Последняя сумма может быть свёрнута:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>z^n=\displaystyle\sum_^<\infty>z^n-1-z=\dfrac-1-z=\dfrac. [/math]

Подставив свёрнутое выражение обратно, имеем,
[math] z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’ = z \biggl(\dfrac\biggr)’=\dfrac. [/math]

Таким образом, наше последнее уравнение примет вид
[math] G(z) = 1 -4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \dfrac.\\ [/math]

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем [math]G(z)[/math] :
[math] G(z) = \dfrac. [/math]

Дальше мы знаем что делать со всеми этими дробями, кроме, разве лишь, первой. Рассмотрим её (без множителя) подробнее:
[math] \dfrac =(1-z)^ =\displaystyle\sum_^<\infty>\binom(-z)^n=\displaystyle\sum_^<\infty>(-1)^n\binom(-z)^n =\displaystyle\sum_^<\infty>(n+1)z^n. [/math]

См. также

• Производящая функция
• Арифметические действия с формальными степенными рядами

Источники информации