Что такое числовой ряд в информатике

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды Текст научной статьи по специальности «Математика»

В статье анализируются числовые ряды, признаки сходимости и расходимости.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кабаева Ирина Игоревна

Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами
Методика применения признака Куммера при исследовании числовых рядов на сходимость
Лазерная диагностика фазовых состояний ионных растворов вблизи набухающих полимерных мембран
Определение значений расходящихся тригонометрических рядов
Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды»

2. Иванов В. Г., Берестовский Т. Н. Липидный бислой биологических мембран. М.: Наука, 1982.

3. Chai B. H., Zheng J. M., Zhao Q., Pollack G. H. Spectroscopic studies of solutes in aqueous solution. J. Phys. Chem, 2008. №112. Р. 2242-2247.

Convergent and divergent number series Kabaeva I. (Russian Federation) Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды Кабаева И. И. (Российская Федерация)

Кабаева Ирина Игоревна / Kabaeva Irina — студент, кафедра информатики и методики преподавания математики, физико-математический факультет, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж

Аннотация: в статье анализируются числовые ряды, признаки сходимости и расходимости.

Abstract: the article analyzes the numerical series, signs of convergence and divergence.

Ключевые слова: числовой ряд, сходящиеся и расходящиеся ряды. Keywords: numerical series, convergent and divergent series.

Бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения, называется числовым рядом. Например:

2, 4, 6,8. 2п- последовательность

2+4+6+8+10+. +2п+. =tl=l со

п=2 = +. +®л+. , где а — общий член ряда.

Поскольку сумма для всех членов ряда найти невозможно, то считается, что общей суммы ряда не существует, но можно найти суммы первых пяти членов ряда, десяти членов ряда. Такие суммы называются частичными, то есть:

Sji =dj_ +Q j + +(Lji частичные суммы ряда. Сумма n-первых членов ряда называется частичной суммой ряда. Таким образом, для каждого ряда можно составить последовательность его частичных сумм:

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов [1 c.].

11 ■ European science № 6(16)

Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных

сумм сходится, а это значит, существует конечный предел частичной суммы, при п

Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность частичных

сумм расходится, а это значит, предел частичной суммы при п—> со не существует. со

ап-расходится, если Sn — расходится, если Sn = ico

lim Sn = ±00 значит X 2n — расходится.

Определять сходимость числового ряда через последовательность частичных сумм неудобно; зачастую это не приводит к нужному результату. Поэтому очень часто используются другие способы определения сходимости. Один из них — необходимый признак сходимости, который позволяет выявить расходящиеся ряды.

Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Необходимый признак сходимости не является достаточным признаком, а это значит, что обратное утверждение не всегда выполняется. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

Если CLn —► О . то ^^ . сходится — неверно!

Это значит, что всегда выполняется следствие из необходимого признака: если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд является расходящимся. Например:

= 0, значит ¿ 2п ряд может сходиться или

Свойства сходящихся рядов:

1. Сходимость ряда не изменится, если к нему прибавить или отнять конечное число членов ряда.

2. Если сходится числовой ряд, то сходится и его остаток.

3. Сходящиеся ряды можно складывать по членам и вычитать, при этом также получится сходящийся ряд.

4. Сходимость ряда не изменится, если все его члены умножить на некоторое число, отличное от нуля.

1. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/_Числовой_ряд

European science № 6(16) ■ 12

Числовые ряды

Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S — его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда

Составляем последовательность частичных сумм:

Свойства сходящихся рядов

остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.

1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда — ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).

Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:

2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю

Доказательство. Доказано.

Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого

неограниченная, наименьшее слагаемое .

Пример. расходится, т.к.

3. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда

1. Сложение в позиционных системах счисления с основанием q

Нам привычнее всего выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, этому нас учат с детства. А как выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления в других позиционных системах счисления?

Так как все рассматриваемые нами системы счисления относятся к виду позиционных систем счисления, то правила сложения, вычитания, умножения и деления в них одинаковые. А также одинаковыми для всех являются правила арифметики.

Почему иногда возникают трудности с выполнением арифметических операций в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления?

Допустим, \(1+1\) в десятичной системе счисления равняется двум. А в двоичной?

В двоичной системе счисления нет цифры \(2\), поэтому \(1+1=10\). Трудности возникают из-за того, что непонятен принцип построения числового ряда в других позиционных системах счисления.

Давай вспомним.

Числовой ряд двоичной системы счисления: \(0\), \(1\). На этом разряд единиц заканчивается, начинается разряд десятков: \(10\), \(11\). На этом заканчивается разряд десятков. Далее добавляются сотни: \(100\), \(101\), \(110\), \(111\). И таким образом строится остальной числовой ряд.

Восьмеричная система счисления

Числовой ряд: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\). На этом единицы закончились, добавляются десятки: \(10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\). Закончился первый десяток, далее будет второй, третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой, после этого добавится разряд сотен: \(100, 101, 102, 103. \) и т. д.

Шестнадцатеричная система счисления
Единицы: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9, A , B , C , D , E , F .
После перечисления всех единиц добавляется первый десяток: 10, 11, 12 . 1 B , 1 C , 1 D , 1 F .
Самое большое двузначное шестнадцатеричное число: \(FF\).
После него добавляется разряд сотен: 100, 101, 102 . 2 AA , 2 AB . F00 , F01 , F02 . FFE , FFF .
Самое большое шестнадцатеричное число \(FFF\) равняется \(4095\) в десятичной системе счисления.
Для удобства сложения чисел в разных позиционных системах счисления применяют таблицы сложения .

Рис. \(1\). Сложение в двоичной системе счисления

Рис. \(2\). Сложение в восьмеричной системе счисления

Рис. \(3\). Сложение в шестнадцатеричной системе счисления
пользуясь таблицами, выполним сложение в разных системах счисления.

+ 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 10 1101 ¯ 1001011010 + 7 2 1 6 1 5 1036 ¯ 10323 + 12 A0 25 F ¯ 14EF

Числовые ряды

2 слайд Основные понятия теории числовых рядов
1. Основные определения
Пусть задана числовая последовательность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида
u1 + u2 + … + un + … =
называют числовым рядом.
При этом, члены последовательности называются члена-
ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) )

3 слайд Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо равенство
uN = uN + 1 = uN + 2 = … = 0 ,
то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным .
Ряд ∑un называют
знакоположительным, если un  0 , nℕ ;

знакоотрицательным, если un  0 , nℕ ;

знакопостоянным, если он знакоположительный или знакоотрицательный;

знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

4 слайд Для ряда ∑un запишем последовательность
S1 = u1 , S2 = u1 + u2 , … , Sn = u1 + u2 + … + un , …
Числа S1, S2 , …, Sn называют частичными суммами ряда ∑un
(1-й, 2-й, …, n-й ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд ∑un называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм < Sn >.
При этом, число называют суммой ряда ∑un .
Если то говорят, что ряд ∑un
расходится и не имеет суммы.
Если S – сумма ряда ∑un , то записывают: ∑un = S .

5 слайд ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ
1) Рассматривается в математическом анализе:
Определить, сходится или расходится заданный ряд
(говорят: «исследовать ряд на сходимость»)
2) Рассматривается в вычислительной математике:
Найти сумму сходящегося ряда.
Найти точное значение суммы S сходящегося ряда удается редко. Обычно полагают S ≈ Sn где n выбирают так, чтобы
| Rn | = | S – Sn | <  ( заранее задано).
Число Rn называют остатком ряда.

10 слайд 2. Основные свойства числовых рядов
ТЕОРЕМА 1.
Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если добавить (отбросить) конечное число членов ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
1) Произведением ряда ∑un на число cℝ называется ряд
∑c  un .
2) Суммой (разностью) рядов ∑un и ∑vn называется ряд
∑(un + vn) [ ∑(un – vn) ].
ОБОЗНАЧАЮТ: c  ∑un – произведение ряда на число c ;
∑un  ∑ vn – сумма (разность) рядов ∑un и ∑vn

11 слайд ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами)
Если ряд ∑un сходится и его сумма равна U ,
ряд ∑vn сходится и его сумма равна V ,
то а) ряд ∑cun – сходится и его сумма равна cU (cℝ);
б) ряд ∑(un  vn) – сходится и его сумма равна U  V .

СЛЕДСТВИЯ теоремы 2.
1) Если ∑un расходится, то c0 (cℝ) ряд ∑cun – тоже расходится.
2) Если ряд ∑un сходится , а ряд ∑vn расходится, то ряд ∑(un  vn) – расходится ..

12 слайд ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд ∑un сходится, то

СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда)
Если , то ряд ∑un расходится.
ТЕОРЕМА 4 (закон ассоциативности для сходящихся рядов).
Пусть ряд ∑un сходится и его сумма равна U
Если сгруппировать члены этого ряда, НЕ ИЗМЕНЯЯ ИХ ПОРЯДКА, то полученный в результате этого ряд будет сходиться и иметь ту же сумму U.

15 слайд Сходимость знакоположительных рядов
ЛЕММА (необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда).
Знакоположительный ряд сходится  последовательность его частичных сумм ограничена.

ТЕОРЕМА (первый признак сравнения).
Пусть ∑un и ∑vn – знакоположительные ряды, причем
un  vn , nN (Nℕ).
Тогда
1)если ряд ∑vn сходится, то и ряд ∑un тоже сходится;
2)если ряд ∑un расходится, то и ряд ∑vn тоже расходится.

16 слайд ТЕОРЕМА (второй признак сравнения).

Пусть ∑un и ∑vn – знакоположительные ряды.
Если при n   существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов, т.е.

то ряды ∑un и ∑vn ведут себя одинаково по отношению к сходимости.

17 слайд ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках сравнения:
а)гармонический ряд – расходится;
б)обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
в) ряд геометрической прогрессии

20 слайд ТЕОРЕМА (признак Даламбера).

Пусть ∑un – знакоположительный ряд и существует
Тогда
а) если ℓ < 1 , то ряд сходится;
б) если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в) если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

23 слайд ТЕОРЕМА (признак Коши).
Пусть ∑un – знакоположительный ряд и существует
Тогда
а)если ℓ < 1 , то ряд сходится;
б)если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в)если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Замечания.
1) В признаках Коши и Даламбера случай ℓ =  включается в ℓ > 1 .
2) В ходе доказательства теорем показывается, что если ℓ > 1 , то

25 слайд ТЕОРЕМА (интегральный признак Коши).

Пусть ∑un – знакоположительный ряд,
f(x) – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая на [c;+ ) (где cℕ , c  1) функция такая, что
f(n) = un (для любого n = 1,2,3 …).
Тогда несобственный интеграл и ряд
ведут себя одинаково относительно сходимости.

28 слайд Сходимость знакопеременных рядов
1. Знакочередующиеся ряды
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки, называется знакочереду-
ющимся.
Будем считать, что 1-й член знакочередующегося ряда положителен.
 знакочередующийся ряд имеет вид:

u1 – u2 + u3 – u4 + … (–1)n + 1un + … =∑(–1)n + 1  un ,(1)
где un > 0 , nℕ .

29 слайд ТЕОРЕМА (признак сходимости Лейбница).

Пусть знакочередующийся ряд ∑(–1)n + 1  un удовлетворяет условиям:
1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.u1 > u2 > … >un > … ,
2)
Тогда ряд ∑(–1)n + 1  un сходится, причем его сумма S
положительна и не превосходит первого члена ряда.

31 слайд Замечания.
1) Ряд ∑(–1)n + 1  un будет сходиться и в том случае, когда условие теоремы Лейбница выполняется, начиная с некоторого номера N. Но утверждение о сумме ряда в этом случае не будет иметь места.
2) Если ряд ∑(–1)n + 1  un удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то погрешность, получаемая при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn, не превосходит модуля первого отбрасываемого члена, т.е.
| Rn | = | S – Sn | < un + 1
3) Если ряд ∑(–1)n + 1  un не удовлетворяет 2-му условию теоремы Лейбница, то он расходится (т.к. не выполнено необходимое условие сходимости).
Если ряд ∑(–1)n + 1  un удовлетворяет 2-му условию теоре-
мы Лейбница, но не удовлетворяет ее 1-му условию, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

32 слайд 2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Пусть ∑un – знакопеременный ряд.
Рассмотрим ряд ∑| un | .
ТЕОРЕМА (признак абсолютной сходимости).

Если ряд ∑| un | сходится, то ряд ∑un тоже сходится.
Замечание. Признак абсолютной сходимости достаточный, но не необходимый. Т.е. существуют сходящиеся знакопере-
менные ряды ∑un , для которых ∑| un | – расходится.
ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд ∑un называют абсолютно сходящимся, если его ряд модулей ∑| un | сходится.
Если ряд ∑un – сходится, а его ряд модулей ∑|un| – расходится, то ряд ∑un называют условно сходящимся.

34 слайд СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1) ТЕОРЕМА.
Если ряды ∑un и ∑vn сходятся абсолютно, то ряд ∑(αun  βvn) тоже сходится абсолютно (α,βℝ).

СЛЕДСТВИЕ.
Если ряд ∑un – сходится абсолютно,
∑vn – сходится условно,
то ряд ∑(αun  βvn) сходится условно (α,βℝ,   0 ) .

35 слайд 2) ТЕОРЕМА (о перестановке членов ряда).

а) Если ряд ∑un сходится абсолютно, то ряд, полученный из него в результате перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму.

б)Если ряд ∑un сходится условно, то можно так переставить члены ряда, что сумма получившегося ряда будет равна любому, заранее заданному числу.

Более того, можно так переставить члены ряда, что получившийся ряд будет расходиться (теорема Римана).

36 слайд ТЕОРЕМА (о сходимости произведения рядов).
Пусть ряды ∑un и ∑vn сходятся абсолютно и их суммы равны U и V соответственно.
Тогда ряд ∑un  ∑vn тоже сходится абсолютно и его сумма равна U  V .
4) ТЕОРЕМА (признак Дирихле).
Пусть1) последовательность монотонна и
2)последовательность частичных сумм ряда ∑bn ограничена.
Тогда ряд ∑ an  bn – сходится .
5) ТЕОРЕМА (признак Абеля).
Пусть1) монотонная и ограниченная;
2)ряд ∑bn – сходится.
Тогда ряд ∑ an  bn – сходится

Рабочие листы
к вашим урокам