Любой вписанный в окружность треугольник две вершины которого принадлежат диаметру прямоугольный
Перейти к содержимому

Любой вписанный в окружность треугольник две вершины которого принадлежат диаметру прямоугольный

Треугольник вписанный в окружность

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Треугольник вписанный в окружность

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:
    \[ r = \frac\]
  2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:
    \[ r = \fracP> \]
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:
    \[ r = \sqrt

    > \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
    \[ R = \frac\]
  2. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:
    \[ R = \frac\]
  3. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и полупериметр: \[ R = \frac> \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности: \[ S = pr \]
  2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр: \[ S = \sqrt \]
  3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание: \[ S = \frac2 ah \]
  4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла: \[ S = \frac\]
  5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними: \[ S = \fracab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:
    \[ P = a + b + c \]
  2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:
    \[ P = \frac\]
  3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними: \[ P = \sqrt < b2 + с2 — 2 * b * с * cosα>+ (b + с) \]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними: \[ a = \sqrt \]
  2. Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:
    \[ a = \frac\]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:
    \[ l = \frac\]
  2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известныдве стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угламежду ними:
    \[ l = \frac>\]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание: \[ h = \frac\]
  2. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты: \[ h = b \cdot \sin \alpha \]
  3. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием: \[ h = \frac\]

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

около треугольника описана окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Выбери номер(-а) высказываний, которые неверны. Запиши в порядке возрастания, если их несколько, без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 1. Окружность является геометрическим местом точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от точки, которая называется центром окружности.
2. Градусной мерой дуги окружности является градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу.
3. Любой вписанный в окружность треугольник, две вершины которого принадлежат диаметру, прямоугольный.
4. Треугольники, сторонами которых являются отрезки пересекающихся хорд, равны.

polinakotik24kek

Отложить от данной в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

Сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы каждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно — каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

madkay69

Тэхен на аве)))

Новые вопросы в Геометрия

В треугольнике ABC угол B равен 140° высота к стороне AC равна одному рассмотрим Круг радиусом √2 с центром в точке B Найдите площадь общей части треу … гольника ABC и Круга ​

Участок окружён забором, расстояние от стен да дома равно 3 метра, соответственно периметр и площадь участка 68 метров и 288 квад метров, найдите площ … адь дома​

Задания 11 и 12 срочно
Сколько прямых, заданных вершина куба, параллельны пл. A,DC?​

Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Яка довжина третьої сторони, якщо периметр цього трикутника дорівнює 14 см? Розписати, даю 20

Решебник по математике «Тренировочный вариант 3 ОГЭ по математике по демоверсии 2021 года с решением»

Установи соответствие между форматами листов и их размерами:

Самый большой размер у формата В0, ширина этого формата является длиной формата В1, ширина которого в свою очередь является длиной формата В2 и т.д. Значит, чем больше номер формата, тем меньше его размеры :

В России сегодня используется стандарт бумажного листа ISO 216. Всего в этом

стандарте есть три серии — A, B, C. Наиболее известный в России формат серии A, который используется для документов и чертежей. О существовании серии B мало кто знает, она используется в полиграфии для печати, например, книг и открыток. Серия C используется, например, для изготовления конвертов к форматам серии A. Все три стандарта основываются на делении листа на части, отчего все форматы стандарта оказываются подобными фигурами. Это предназначено для удобного масштабирования от формата к формату без потери полей и пропорций.

Рис. 1. Серия ISO 216 A

Представлена таблица, в которой даны размеры четырѐх листов в миллиметрах — B1, B3, B5, B7. Установи соответствие между форматами листов и их размерами:

№ 2 Условие задания: 1 Б.

Определи, сколько листов формата B5 можно сделать из листа формата B3.

РЕШЕНИЕ: Из листа формата В3 получается два листа формата В4, а из листа формата В4 получается два листа

формата В5. Т.о, из формата В3 получается 4 листа формата

№ 3 Условие задания: 1 Б.

найди площадь листа формата B2 и вырази еѐ в квадратных сантиметрах. В поле для ответа запиши только число, без единиц измерения, ответ округли до сотых.

РЕШЕНИЕ: Лист формата В2 имеет длину, как ширина листа В1, а ширина его равна длине листа формата В3. Т.о. еѐ размеры 707×500 . S = 707 500=353500 мм 2 ;

353500:100=3535 см 2 . ОТВЕТ: 3535

№ 4 Условие задания: 1 Б.

В России сегодня используется стандарт бумажного листа ISO 216. Всего в этом стандарте есть три серии — A, B, C. Наиболее известный в России — формат серии A, который используется для документов и чертежей. О существовании серии B мало кто знает, она используется в полиграфии для печати, например, книг и открыток. Серия C используется, например, для изготовления конвертов к форматам серии A. Все три стандарта основываются на делении листа на части, отчего все форматы стандарта оказываются подобными фигурами. Это предназначено для удобного масштабирования от формата к формату без потери полей и пропорций.

Номер Размер, мм, длина × ширина

В таблице даны размеры четырѐх листов в

Рис. 1. миллиметрах, первое число — длина, второе

— ширина. Установи, пользуясь таблицей, ширину листа бумаги

Ответ: 300 формата A3 и округли ответ до ближайшего целого, кратного 10. В поле для ответа запиши только число, без единиц измерения.

Чтобы найти ширину листа заданного формата, нужно сначала установить, в какой строке расположены его размеры.

Номер Размер, мм, длина × ширина Формат

Видим, что лист формата A3 имеет размер 420×297. Первое число — длина, второе — ширина. Значит, нужное нам число — 297 мм. Теперь надо выполнить второе условие, округлить до ближайшего целого, кратного 10. Это значит, что число должно оканчиваться на 0 единиц. Ближайшее — может быть и слева, и справа. Используем правило округления до десятков. 297≈300.

Правильный ответ: 300.

№ 5 Условие задания: 1 Б.

Для каждого вида упаковки бумаги определим цену за 1000 листов: для этого цену за упаковку нужно умножить на столько, сколько раз указанное количество листов входит в тысячу.

Цена за 1000 листов первого вида равна: 162 (1000:250)=648 руб.

Цена за 1000 листов второго вида равна: 157 (1000:200)=785 руб.

Цена за 1000 листов третьего вида равна: 183 (1000:250)=732 руб.

Цена за 1000 листов четвѐртого вида равна: 216 (1000:100)=2160 руб.

Сравнивая значения, получим, что наибольшая цена за 1000 листов: 2160 рублей.

Правильный ответ: 2160 руб.

В магазине продаѐтся бумага в различных упаковках и по различной цене. В

таблице показано количество листов в каждой упаковке и еѐ цена. В какой упаковке бумага стоит дороже?

Какова наибольшая стоимость 1000 листов? (Впиши только значение без единицы измерения.)

№ 6 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: При решении данного задания будем пользоваться следующими свойствами степеней:

a mna mn ; a ma na mn ; a m :a na mn ; a 0  1

+ переместительное и сочетательное свойства умножения:

137  29  10   3973  10  3973  1  3973

Правильный ответ: 3973

Найди значение выражения: 137   10  9  9   29  10 81  .

№ 7 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Представим дроби 2/25 и 2/13 в виде десятичных с округлением до трѐх знаков после запятой.

Сравнивая, получим, что между данными числами лежит 0,09. Это 3 вариант.

Правильный ответ: 3.

Какое из следующих чисел заключено между числами и ? В ответе укажи

номер правильного варианта. 1) 0,16; 2) 0,25; 3) 0,09; 4) 0,07.

№ 8 Условие задания: 1 Б.

6ya 2 6y

РЕШЕНИЕ: Преобразуем выражение. a  

Подставим a=−4, y=52 и найдѐм значение выражения.

6ya 2 6y 6  52

a      78 a a  4

Правильный ответ: −78.

6ya 2

Найди значение выражения a  при a = −4 и y = 52. a

№ 9 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Перед нами произведение двух выражений. Оно может быть равно нулю в случае, когда либо первый, либо второй множитель равен нулю. Получим два простейших линейных уравнения и решим их.

(−60x+36)(−12x+72)=0;

−60x+36=0; −12x+72=0; x1  0,6; x2  6 .

Сравним корни. 6 здесь — наибольший.

Правильный ответ: 6

еши уравнение и в ответе запиши его наибольший корень.

(−60x+36)(−12x+72)=0.

№ 10 Условие задания: 1 Б.

Частота попаданий первого спортсмена:  0,74

Частота попаданий второго спортсмена:  0,42 . 50

Частота попаданий третьего спортсмена:  0,44.

Частота попаданий четвѐртого спортсмена:  0,62

50 Сравнивая частоту попаданий, получим, что наибольшая —

Правильный ответ: 0,74

В таблице представлены результаты тренировки спортсменов.

На соревнования поедет тот, кто показывает лучшие результаты. Какова частота

удачных выступлений у спортсмена, который поедет на соревнования?

№ 11 Условие задания: 1 Б.

Поскольку гипербола, изображѐнная на рисунке, расположена в 1 и 3 четвертях, то из всех вариантов подходят вариант 1 и вариант 4. Поскольку график данной функции проходит через точку с координатами (1; 4), то ответом будет вариант 1.

Для остальных функций координаты не обращают формулу в верное равенство

Правильный ответ: 1.

Установи соответствие графика функции, который изображѐн в прямоугольной

системе координат, и формулы. Запиши номер варианта.

Рис. 1. График

1) y  ; x

№ 15 Условие задания: 1 Б.

Сумма углов треугольника 180°. Внешний угол треугольника BCD равен сумме двух других углов, не смежных с ним

∠ BCD= ∠ A+ ∠ B=11°.

Правильный ответ: 11.

Дан треугольник ABC, в котором известно, что ∠ A+ ∠ B=11°. Найди внешний

угол этого треугольника, расположенный при вершине C, ответ дай в градусах.

№ 16 Условие задания: 1 Б.

Для того чтобы решить эту задачу, удобно для наглядности соединить все точки отрезками. Тогда легко будет вспомнить, что треугольник AOC равнобедренный, поскольку его сторонами являются радиусы, угол ADC вписанный, а угол AOC — центральный, и он в 2 раза больше угла ADC.

∠ ADC=0,5 ∠ AOC=0,5 ⋅ 82=41°.

Правильный ответ: 41.

Три точки лежат на окружности с центром O. Найди ∠ ADC, если ∠ AOC=82°.

Ответ дай в градусах.

Рис. 1. Окружность и точки

№ 17 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Для нахождения площади квадрата можно воспользоваться формулой нахождения площади ромба.

Так как диагонали квадрата равны, то получим следующую d 2

Подставим значение диагонали и найдѐм площадь.

S    3960,5.

Правильный ответ: 3960,5.

Диагональ квадрата равна 89. Чему равна площадь квадрата?

№ 18 Условие задания: 1 Б.

РЕШЕНИЕ: Сначала подсчитаем количество клеток, которые занимает наша фигура. На данном рисунке это 8 клеток.

Площадь одной клетки нужно найти, для чего нужно размер стороны возвести в квадрат. Sa 2  0,3 2  0,09 Теперь можно найти площадь всей фигуры, умножив количество клеток на площадь одной.

Правильный ответ: 0,72.

На разлинованной в клетку бумаге изображена фигура.

Рис. 1. Фигура Сторона клетки — 0,3.

Найди площадь этой фигуры и запиши в ответе число без единиц измерения.

№ 19 Условие задания: 1 Б.

1. Окружность является совокупностью точек,

равноудалѐнных друг от друга. Неверно. 2. Градусной мерой дуги окружности является градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу. Верно.

3. Любой вписанный в окружность треугольник, две вершины которого принадлежат диаметру, прямоугольный. Верно.

4. Треугольники, сторонами которых являются отрезки

пересекающихся хорд, подобны. Верно. Истинность высказываний устанавливается при помощи соответствующего раздела учебника по геометрии. Здесь рассматривается часть, посвящѐнная треугольникам и четырѐхугольникам.

Правильный ответ: 1

Выбери номер(-а) высказываний, которые неверны. Запиши в порядке

возрастания, если их несколько, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1. Окружность является свокупностью точек, равноудалѐнных друг от друга. 2. Градусной мерой дуги окружности является градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу.

3. Любой вписанный в окружность треугольник, две вершины которого принадлежат диаметру, прямоугольный.

4. Треугольники, сторонами которых являются отрезки пересекающихся хорд, подобны.

№ 20 Условие задания: 2 Б.

3. Рассмотрим уравнение k 2  2k  48  0 ,дискриминант которого D = b 2  4a c    2  2  4  1  48 = 4 − 192= −188 отрицателен, значит, уравнение не имеет корней.

5. Рассмотрим уравнение k 2  2k  48  0 .. По теореме Виета

имеем: k 1k 2  2; k 1k 2  48;  k 1   8; k 2  6

Правильный ответ: −8; 6.

k 4   2k  48  2

1. Для решения данного уравнения будем использовать формулу разности квадратов: a 2  b 2  =(a−b) (a+b) — и теорему Виета: «Сумма корней приведѐнного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену».

2. Если использовать формулу разности квадратов, уравнение примет вид: (k 2  2k  48)  k 2  2k  48   0 . .

№ 21 Условие задания: 2 Б.

Здесь нужно рассматривать объѐм запланированной работы и производительность – скорость выполнения работы. Поскольку никаких численных указаний на него нет, возьмѐм его как единицу, 1. Рассмотрим ситуацию и обозначим производительность буквами v с соответствующим номеру индексом.

Очевидно, что в первом случае, для того чтобы получить выполненную работу, нужно умножить на 11 скорость работы каждого и сложить всѐ это.

Во втором описанном случае видно, что каждую скорость нужно умножить на указанное количество часов, и мы получим ту же единицу.

Описывая третий случай при помощи уравнения, мы можем заключить, что для получения единицы нужно взять скорость работы второго за x и точно так же сложить произведения времени на скорость для всех трѐх. Мы получим систему из трѐх уравнений.

 11  v 1  v 2  v 3   1,

Причѐм если сложить первые два, в которых известно время работы для всех трѐх, мы получим двойной объѐм работы. Значит, результат этого сложения нужно разделить пополам:

20v1  27v2  19v3  2|:2  10v1  13,5v2  9,5v3  1

Таким образом мы получим уравнение, равное по значению третьему. Можно их уравнять и решить получившееся уравнение.

10v1  13,5v2  9,5v3  9,5v1xv 2  10v3;

0,5v x  13,5

13,5 1 v 2  (13x,  5v  2 ;x)v 2  0,5v 3  0;

Правильный ответ: 13,5 ч.

Три экскаватора с навесным ковшом роют яму под систему водоотведения.

Трактора имеют разные годы выпуска и разных водителей, поэтому их производительности различаются. Они смогут выполнить работу, если будут трудиться вместе 11 ч подряд. Кроме того, для выполнения этого же объѐма работы можно разделить еѐ по времени так: первый будет работать 9 ч, второй 16 и третий — 8 ч. Сколько времени нужно проработать второму, если до него уже успели потрудиться первый (9,5 ч) и третий (10 ч)? Ответ дай в часах.

№ 23 Условие задания: 2 Б.

Если посмотреть на формулу, на первый взгляд может показаться, что графиком функции будет парабола — по причине наличия переменной во второй степени. Однако имеется ещѐ и переменная в знаменателе алгебраической дроби. Проведѐм тождественные преобразования. Кроме того, будет выколотая точка. Установим еѐ координату на оси абсцисс, приравняв знаменатель к нулю. Затем подставим в преобразованное выражение и получим координату по оси ординат.

y  4  1 ; x  0; x  1; y  4 x  1 ;y  4 1

x 2 x x (x  1) x

Теперь понятно, что графиком этой функции будет гипербола. A(1;3).

Построить схематично график этой функции можно при помощи параллельного переноса и поворота, применѐнного к базовому графику. Асимптотами гиперболы будут оси координатной плоскости, поскольку и значения, и область определения еѐ бесконечно стремятся к нулю, но никогда его не достигают. Минус перед дробью отразит график симметрично оси ординат. Свободный коэффициент 4 сдвинет график на 4 вверх. (Рисунок 1) 1 Здесь пунктиром показана базовая гипербола y  , x

оранжевая гипербола — результат отражения относительно оси ординат. Базовая гипербола никогда не пересечѐт горизонтальную линию, совпадающую с осью абсцисс. Значит, y=4.

Правильный ответ: (Рис. 1) и ответ y=4.

Найди значения параметра, при которых прямая y=b не имеет общих точек с

графиком функции . y  4  x2 1x . x

Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Серединный перпендикуляр свойства

ТЕОРЕМА 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Серединный перпендикуляр свойства

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB .

Теорема 1 доказана.

ТЕОРЕМА 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем теорему 2 методом «от противного».

С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Серединный перпендикуляр свойства

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Серединный перпендикуляр свойства

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2.

Окружность, описанная около треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Серединный перпендикуляр свойства

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

ТЕОРЕМА 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью AC , то в силу теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема синусов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ . (1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Теорема синусов доказана.

Справочник по математике для школьников

  • Арифметика
  • Алгебра
  • Тригонометрия
  • Геометрия (планиметрия)
  • Геометрия (стереометрия)
  • Элементы математического анализа
  • Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

  • Основные фигуры планиметрии
    • Фигуры, составляющие основу планиметрии
    • Углы на плоскости
    • Теорема Фалеса
    • Углы, связанные с окружностью
    • Признаки параллельности прямых
    • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
    • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
    • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
    • Свойства сторон и углов треугольника
    • Подобие треугольников
    • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
    • Биссектриса треугольника
    • Медиана треугольника
    • Высота треугольника. Задача Фаньяно
    • Средние линии треугольника
    • Теорема Чевы
    • Теорема Менелая
    • Описанная окружность. Теорема синусов
    • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
    • Площадь треугольника
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники
    • Параллелограммы
    • Трапеции
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Многоугольники
    • Правильные многоугольники
    • Углы, связанные с окружностью
    • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
    • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
    • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
    • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Площадь треугольника
    • Вывод формул Герона и Брахмагупты
    • Средние линии
    • Геометрические места точек на плоскости
    • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

    Учебные пособия для школьников

    • Задачи на проценты
    • Квадратный трехчлен
    • Метод координат на плоскости
    • Прогрессии
    • Решение алгебраических уравнений
    • Решение иррациональных неравенств
    • Решение логарифмических неравенств
    • Решение логарифмических уравнений
    • Решение показательных неравенств
    • Решение показательных уравнений
    • Решение рациональных неравенств
    • Решение тригонометрических уравнений
    • Степень с рациональным показателем
    • Системы уравнений
    • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
    • Уравнения и неравенства с модулями
    • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

    Демоверсии ЕГЭ

    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
    • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

    Демоверсии ОГЭ

    • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
    • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *