Найти интегральную кривую которая касается прямой y kx b в точке
Перейти к содержимому

Найти интегральную кривую которая касается прямой y kx b в точке

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где — функция, определенная в некоторой области пространства , — независимая переменная, — функция от , — ее производные.

Порядком уравнения n называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Функция называется решением дифференциального уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: . Дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого уравнения единственное.

Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.

Пример 1. Решить уравнение . Его решение: определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

рис.1

Более сложное уравнение, в котором производная непостоянная, имеет вид: . Это – уравнение первого порядка, разрешенное относительно . (Термин «разрешенное» означает, что выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида , из которого выразить может быть и не удастся). Это уравнение также имеет бесконечно много решений, отличающихся на константу C (см. рис. 2):

Это решение дифференциального уравнения описывается серией функций:

при С=1 y = F ( x ) + 1 и т.д. Таким образом серия графиков получена параллельным переносом на константу С.

рис.2

Более сложные дифференциальные уравнения обычно стараются свести к таким простейшим уравнениям 1-го порядка, разрешенным относительно производной, которые легко решить интегрированием.

Пример 2

Выведем закон движения тела, брошенного с начальной скоростью V под углом α к горизонту.

Но по условию y (0) = 0 → C 2 = 0 →

Найдем время подъема:

Найдем высоту подъема:

Дальность полета xmax (при y ( t ) = 0 )

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его разрешить относительно производной и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида .

Альтернативные формы записи такого уравнения: .

Решение дифференциального уравнения записывают в виде:

для неразрешенного относительно производной в виде неявной функции:

Пример 3

Решить уравнение : , , интегрируя обе части уравнения, получим

Потенциируя обе части уравнения, получаем общее решение y = Cx , которое изображается серией линейных интегральных кривых, проходящих через точку (0,0). При этом из графика (рис.3) видно, что через любую точку, не принадлежащую (0,0), проходит только одна интегральная кривая (решение).

Пример 4

Рассмотрим уравнение : интегрируя, получаем: x 2 + y 2 = C = R 2 (рис.4)

рис.4

1) Общее решение– множество решений, содержащее константу.

2) Частное решение получают при подстановке конкретного значения константы в общее решение

Особые решения не входят в общие решения через каждую точку особого решения проходит более одной интегральной кривой.

Пример5

см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох проходит два решения (две интегральные кривые): частное и особое).

Можно построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о геометрическом смысле производной: tgα = f ( x , y ) (рис.6). Таким образом задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают интегральную кривую (одно из решений).

рис.6

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема. (О существовании и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения y ’= f ( xy ) ). Пусть — непрерывная функция (рис.7) в области , причем — также непрерывна в . Тогда существует единственное решение y = y ( x ) дифференциального уравнения y ’= f ( xy ) с начальным условием y ( x 0)= y 0, ( x 0, y 0) принадлежит D . Следовательно, через точку проходит только одна интегральная кривая.

(без доказательства).

Пример 7

Рассмотрим подробнее уравнение :

Так как производная функции f ( y ) неопределена при у = 0 (разрыв вдоль оси Ох), то при у = 0 есть еще одно решение (особое).

Основные тины дифференциальных уравнений

1) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где — непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на . (метод разделения переменных). Интегрируя обе части, получаем . Обозначая любую первообразную для , а — любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде неявно выраженной функции . Это – искомая интегральная кривая.

Рассмотрим пример такого уравнения

интегрируя, получим . Возьмем синус от обеих частей алгебраического уравнения: (общее решение в неявном виде).

2) Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными:

Уравнения вида . Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые и пересекаются в точке , то замена приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые не пересекаются, то и замена приведет к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим параболическое зеркало. Расположим начало координат в фокусе параболы (рис.8). Такое зеркало имеет интересное свойство: при помещении источника света в фокус зеркала лучи, радиально расходящиеся в разные стороны , после отражения становятся параллельными (так получают плоские световые волны), причем по закону отражения угол падения равен углу отражения.

рис.8

Введем замену: y = zx и рассмотрим один случай, когда

Сокращая на z , получаем интегрируем равенство:

Возводим в квадрат z 2 – 1 = C 2 x 2 – 2 Cxz + z 2

Таким образом, получено уравнение параболы с фокусом в начале координат.

Пятигорский институт
(филиал)

ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет»
Пятигорский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Северо-Кавказский федеральный университет»

Официальной информацией о СКФУ могут считаться только материалы, размещённые на сайте ncfu.ru или на сайтах третьего уровня доменной зоны ncfu.ru. За сведения, размещённые на внешних ресурсах, СКФУ ответственности не несёт.

Контакт-центр: 8-800-200-64-76
(звонок бесплатный)

Уравнение касательной к графику функции

Одну из главных ролей в записи касательной к графику играет производная, поэтому определим ее геометрический смысл.

Пусть задана произвольная функция y = f(x).

На графике этой функции возьмем точку А с координатами . А теперь выберем точку B с координатами недалеко от точки А.

Геометрический смысл производной, рисунок 1

Проведем через точки A и B прямую.

Угол наклона прямой к оси абсцисс обозначим буквой .

Геометрический смысл производной, рисунок 2

Проведем через точку А прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку B — прямую, параллельную оси ординат. Пусть эти две прямые пересекутся в точке C.

Тогда катет , а катет .

Если взять отношения этих значений , то получим отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике ABC, что равно .

Если уменьшать расстояние между точками A и B, то будут уменьшаться длины отрезков и и в какой-то момент точка В совпадет с точкой A, а отношение станет равно производной функции y = f(x) в точке .

Тут может возникнуть вопрос: при чем здесь геометрический смысл производной, если мы начали с касательной?

Касательная — это прямая. Вспомним уравнение прямой: y = kx + b, где k — это коэффициент наклона прямой, и он равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс. А теперь совмещаем все данные и делаем вывод, что .

Это очень важный для нас вывод, попробуем применить его на практике, а именно на задачах формата профильного ЕГЭ по математике.

Лучшие университеты для поступления в 2024 году
Перечень вузов России с рекомендациями, как пройти на бюджет

Лучшие университеты для поступления в 2024 году

Решение задач

Задача 1

К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой . Нужно найти угловой коэффициент касательной к графику данной функции.

Задачи по теме «Касательная к графику», рисунок 1

Из теории выше мы узнали, как найти угловой коэффициент касательной — он равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке. Значит, через целочисленные точки на прямой построим прямоугольный треугольник и найдем отношение противолежащего катета к прилежащему — получится .

Ответ: 3.

Задача 2

К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой . Определите угловой коэффициент касательной в точке .

Задачи по теме «Касательная к графику», рисунок 2

Действуйте по уже известным правилам. Получился ответ 0,25? А вот и нет! В данном случае нужно обратить внимание на убывание графика касательной. Видите, она слева направо идет вниз? Значит, к ответу нужно добавить минус и записать его — получится −0,25.

Ответ: −0,25.

Будьте внимательны
Не позвольте маленькому минусу лишить вас дополнительных баллов на экзамене или контрольной. ��

Задача 3

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 36.

Задачи по теме «Касательная к графику», рисунок 3

Надеюсь, вы не подумали, что мы будем изображать прямую y = 36 и искать касательные, параллельные ей. �� Достаточно будет рассуждений. Прямая y = 36 — горизонтальная прямая с k = 0, а значит, и у касательных к графику k = 0 или тангенс угла наклона касательной к графику функции также будет равен нулю, что может быть только в точках экстремума функции или, проще говоря, в «бугорках» функции.

Задачи по теме «Касательная к графику», рисунок 4

В ответе просили указать количество таких точек, значит, ответ — 5.

Ответ: 5.

Задача 4

Прямая y = 4x + 13 параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Если прямая параллельна касательной к графику функции, то у них будут равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой y = 4x + 13 равен 4, а угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной от этой функции, то есть 2x − 3. Приравняем полученные значения и найдем x:

Ответ: 3,5 — абсцисса точки касания.

Выберите идеального репетитора по математике
15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения

Выберите идеального репетитора по математике

Как составить уравнение касательной к графику функции

Но как поступать, если нужно составить уравнение касательной к графику функции?

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке находится по формуле .

Для упрощения понимания этой формулы запишем алгоритм составления уравнения касательной к кривой y = f(x) в точке :

  1. Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим в y = f(x) и посчитаем.
  2. Продифференцируем функцию y = f(x).
  3. Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим в и посчитаем.
  4. Составим уравнение касательной и приведем его к виду y = kx + b.

Задача 5

Запишите уравнение касательной к параболе в точке .

Воспользуемся алгоритмом выше:

  1. Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим в и посчитаем: .
  2. Продифференцируем функцию: .
  3. Вычислим значение функции в точке касания: .
  4. Все найденные значения подставим в уравнение касательной: .
  5. Приведем полученное выражение к виду y = kx + b: y = −2x + 24.

Ответ: уравнение касательной y = −2x + 24.

По условию задачи нас не просили, но мы можем изобразить график квадратичной функции и касательную к параболе для проверки. Если получилась лишь одна точка касания с правильными координатами, значит, наши расчеты были верны!

Задачи по теме «Касательная к графику», рисунок 5

Некоторые темы математики, как клубок ниток, содержат в себе понятия и правила из других тем. Не понимая прошлые темы, не удастся разобраться и в новой. На каждом уроке курсов обучения математике в онлайн-школе Skysmart мы актуализируем уже имеющиеся знания, поэтому не разобраться не получится. Приходите на бесплатный вводный урок за подробным разбором сильных и слабых сторон и конкретными рекомендациями, как улучшить оценки и подготовиться к экзаменам!

Линейная аппроксимация

При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость аппроксимировать их линейной функцией.

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции ( аппроксимирующей функции ) g(x) , которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.

В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной .

В случае если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной . Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция – нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции , а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию g(x) , проходящую наиболее близко ко всем заданным узлам. Таким образом, критерием близости функции является g(xi)=yi .

В качестве функции g(x) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом .

В случае если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная .

В случае если между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами, а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию ).

Аппроксимация линейной функцией

Уравнение прямой

Любая линейная функция может быть записана уравнением

Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой.

С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение:
Метод наименьших квадратов
Решение поставленной задачи сводится к нахождению экстремума указанной функции двух переменных. С этой целью находим частные производные функции функции по коэффициентам a и b и приравниваем их к нулю.
Частные производные МНК
Решаем полученную систему уравнений
Частные производные МНК
Определяем значения коэффициентов
Коэффициенты линейной аппроксимации по МНК
Для вычисления коэффициентов необходимо найти следующие составляющие:
МНК
Тогда значения коэффициентов будут определены как
Коэффициенты линейной аппроксимации

Пример реализации

Для примера реализации воспользуемся набором значений, полученных в соответствии с уравнением прямой

y = 8 · x — 3

Рассчитаем указанные коэффициенты по методу наименьших квадратов.
Результат сохраняем в форме двумерного массива, состоящего из 2 столбцов.
При следующем запуске программы добавим случайную составляющую к указанному набору значений и снова рассчитаем коэффициенты.

Реализация на Си

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
// Задание начального набора значений
double ** getData( int n) double **f;
f = new double *[2];
f[0] = new double [n];
f[1] = new double [n];
for ( int i = 0; i f[1][i] = 8 * ( double )i — 3;
// Добавление случайной составляющей
f[1][i] = 8*( double )i — 3 + ((rand()%100)-50)*0.05;
>
return f;
>
// Вычисление коэффициентов аппроксимирующей прямой
void getApprox( double **x, double *a, double *b, int n) double sumx = 0;
double sumy = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for ( int i = 0; i sumy += x[1][i];
sumx2 += x[0][i] * x[0][i];
sumxy += x[0][i] * x[1][i];
>
*a = (n*sumxy — (sumx*sumy)) / (n*sumx2 — sumx*sumx);
*b = (sumy — *a*sumx) / n;
return ;
>
int main() double **x, a, b;
int n;
system( «chcp 1251» );
system( «cls» );
printf( «Введите количество точек: » );
scanf( «%d» , &n);
x = getData(n);
for ( int i = 0; i printf( «%5.1lf — %7.3lf\n» , x[0][i], x[1][i]);
getApprox(x, &a, &b, n);
printf( «a = %lf\nb = %lf» , a, b);
getchar(); getchar();
return 0;
>

Результат выполнения
Запуск без случайной составляющей
Реализация линейной аппроксимации по МНК
Запуск со случайной составляющей
Реализация линейной аппроксимации по МНК

Построение графика функции

Для наглядности построим график функции, полученный аппроксимацией по методу наименьших квадратов. Подробнее о построении графика функции описано здесь.

Реализация на Си

#include
const int NUM = 70; // количество точек
LONG WINAPI WndProc( HWND , UINT , WPARAM , LPARAM );
double **x; // массив данных
// Определение коэффициентов линейной аппроксимации по МНК
void getApprox( double **m, double *a, double *b, int n) double sumx = 0;
double sumy = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for ( int i = 0; i sumy += m[1][i];
sumx2 += m[0][i] * m[0][i];
sumxy += m[0][i] * m[1][i];
>
*a = (n*sumxy — (sumx*sumy)) / (n*sumx2 — sumx*sumx);
*b = (sumy — *a*sumx) / n;
return ;
>
// Задание исходных данных для графика
// (двумерный массив, может содержать несколько рядов данных)
double ** getData( int n) double **f;
double a, b;
f = new double *[3];
f[0] = new double [n];
f[1] = new double [n];
f[2] = new double [n];
for ( int i = 0; i f[0][i] = x;
f[1][i] = 8 * x — 3 + ((rand() % 100) — 50)*0.05;
>
getApprox(f, &a, &b, n); // аппроксимация
for ( int i = 0; i f[2][i] = a*x + b;
>
return f;
>
// Функция рисования графика
void DrawGraph( HDC hdc, RECT rectClient, double **x, int n, int numrow = 1) double OffsetY, OffsetX;
double MAX_X = 0;
double MAX_Y = 0;
double ScaleX, ScaleY;
double min, max;
int height, width;
int X, Y; // координаты в окне (в px)
HPEN hpen;
height = rectClient.bottom — rectClient.top;
width = rectClient.right — rectClient.left;
// Область допустимых значений X
min = x[0][0];
max = x[0][0];
for ( int i = 0; i min = x[0][i];
if (x[0][i] > max)
max = x[0][i];
>
double temp = max — min;
MAX_X = max — min;
OffsetX = min*width / MAX_X; // смещение X
ScaleX = ( double )width / MAX_X; // масштабный коэффициент X
// Область допустимых значений Y
min = x[1][0];
max = x[1][0];
for ( int i = 0; i min = x[j][i];
if (x[j][i] > max)
max = x[j][i];
>
>
MAX_Y = max — min;
OffsetY = max*height / (MAX_Y); // смещение Y
ScaleY = ( double )height / MAX_Y; // масштабный коэффициент Y
// Отрисовка осей координат
hpen = CreatePen( PS_SOLID , 0, 0); // черное перо 1px
SelectObject(hdc, hpen);
MoveToEx(hdc, 0, OffsetY, 0); // перемещение в точку (0;OffsetY)
LineTo(hdc, width, OffsetY); // рисование горизонтальной оси
MoveToEx(hdc, OffsetX, 0, 0); // перемещение в точку (OffsetX;0)
LineTo(hdc, OffsetX, height); // рисование вертикальной оси
DeleteObject(hpen); // удаление черного пера
// Отрисовка графика функции
int color = 0xFF; // красное перо для первого ряда данных
for ( int j = 1; j <= numrow; j++) hpen = CreatePen( PS_SOLID , 2, color); // формирование пера 2px
SelectObject(hdc, hpen);
X = ( int )(OffsetX + x[0][0] * ScaleX); // координаты начальной точки графика
Y = ( int )(OffsetY — x[j][0] * ScaleY);
MoveToEx(hdc, X, Y, 0); // перемещение в начальную точку
for ( int i = 0; i Y = OffsetY — x[j][i] * ScaleY;
LineTo(hdc, X, Y);
>
color = color DeleteObject(hpen); // удаление текущего пера
>
>
// Главная функция
int WINAPI WinMain( HINSTANCE hInstance,
HINSTANCE hPrevInstance, LPSTR lpCmdLine, int nCmdShow) HWND hwnd;
MSG msg;
WNDCLASS w;
x = getData(NUM); // задание исходных данных
memset(&w, 0, sizeof ( WNDCLASS ));
w.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW ;
w.lpfnWndProc = WndProc;
w.hInstance = hInstance;
w.hbrBackground = CreateSolidBrush(0x00FFFFFF);
w.lpszClassName = «My Class» ;
RegisterClass (&w);
hwnd = CreateWindow ( «My Class», «График функции» ,
WS_OVERLAPPEDWINDOW , 500, 300, 500, 380, NULL , NULL ,
hInstance, NULL );
ShowWindow(hwnd, nCmdShow);
UpdateWindow(hwnd);
while ( GetMessage (&msg, NULL , 0, 0)) TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage (&msg);
>
return msg.wParam;
>
// Оконная функция
LONG WINAPI WndProc( HWND hwnd, UINT Message,
WPARAM wparam, LPARAM lparam) HDC hdc;
PAINTSTRUCT ps;
switch (Message) case WM_PAINT :
hdc = BeginPaint(hwnd, &ps);
DrawGraph(hdc, ps.rcPaint, x, NUM, 2); // построение графика
EndPaint(hwnd, &ps);
break ;
case WM_DESTROY :
PostQuitMessage(0);
break ;
default:
return DefWindowProc (hwnd, Message, wparam, lparam);
>
return 0;
>

Реализация линейной аппроксимации по МНК (график)

Результат выполнения

Аппроксимация с фиксированной точкой пересечения с осью y

Частная производная по a

В случае если в задаче заранее известна точка пересечения искомой прямой с осью y, в решении задачи останется только одна частная производная для вычисления коэффициента a.

В этом случае текст программы для поиска коэффициента угла наклона аппроксимирующей прямой будет следующий (имя функции getApprox() заменено на getApproxA() во избежание путаницы).

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
// Задание начального набора значений
double ** getData( int n) double **f;
f = new double *[2];
f[0] = new double [n];
f[1] = new double [n];
for ( int i = 0; i f[1][i] = 8 * ( double )i — 3;
// Добавление случайной составляющей
//f[1][i] = 8 * (double)i — 3 + ((rand() % 100) — 50)*0.05;
>
return f;
>
// Вычисление коэффициентов аппроксимирующей прямой
void getApproxA( double **x, double *a, double b, int n) double sumx = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for ( int i = 0; i sumx2 += x[0][i] * x[0][i];
sumxy += x[0][i] * x[1][i];
>
*a = (sumxy — b*sumx) / sumx2;
return ;
>
int main() double **x, a, b;
int n;
system( «chcp 1251» );
system( «cls» );
printf( «Введите количество точек: » );
scanf( «%d» , &n);
x = getData(n);
for ( int i = 0; i printf( «%5.1lf — %7.3lf\n» , x[0][i], x[1][i]);
b = 0;
getApproxA(x, &a, b, n);
printf( «a = %lf\nb = %lf» , a, b);
getchar(); getchar();
return 0;
>

Аппроксимация при фиксированном b

Результат выполнения программы поиска коэффициента угла наклона аппроксимирующей прямой при фиксированном значении b=0:

Комментариев к записи: 23

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *