Что не является целым числом

теория-чисел — Доказать, что число не является целым

Доказать, что $%1 + \frac 12 + \frac 13 + . + \frac 1n$% не является целым числом (n натуральное число >1).

задан 6 Дек ’14 15:55

Valerie
91 ● 1 ● 11
81&#037 принятых

1 ответ

Пускай $%2^k$% — наибольшая степень двойки, не превышающая $%n$%, $%A$% — наименьший общий знаменатель всех дробей. Заметим, что и число $%A$% делится на $%2^k$% и не делится на $%2^$%.

Теперь приведём дробь к общему знаменателю — при этом каждую дробь умножаем на чётное число, за исключением дроби $%\frac$%. Таким образом, искомая сумма — это дробь с нечётным числителем и чётным знаменателем. Такая дробь не может быть целым числом.

отвечен 6 Дек ’14 17:41

Спасибо. Как думаете, возможно ли доказать это через последовательность ($%n \to + \infty$%)?

(6 Дек ’14 23:25) Valerie

@Valerie: Ряд расходится, то есть сумма может быть сколь угодно большая.

(6 Дек ’14 23:29) EdwardTurJ

А если найти предел частного суммы числителя и суммы знаменателя? С факториалами.

ЧИСЛО ЦЕЛОЕ

ЧИСЛО, ЦЕЛОЕ, все положительные или отрицательные ЧИСЛА, не являющиеся ДРОБЯМИ, и НУЛЬ, например, . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . Множество целых чисел бесконечно. Положительные целые числа также называются натуральными. Существование отрицательных целых чисел и нуля позволяет производить вычитание любого целого числа из другого целого числа и получать в результате целое число.

Научно-технический энциклопедический словарь .

Смотреть что такое «ЧИСЛО ЦЕЛОЕ» в других словарях:

• ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО ЦЕЛОЕ … Научно-технический энциклопедический словарь
• ЧИСЛО НАТУРАЛЬНОЕ — ЧИСЛО, НАТУРАЛЬНОЕ, любое из чисел (1, 2, 3, 4 . ) в таком виде, в каком используется при счете. Это самые простые числа, без правильных и десятичных дробей и без мнимых частей. Существует бесконечное количество натуральных чисел. Все они… … Научно-технический энциклопедический словарь
• число — а/; мн. чи/сла, сел, слам; ср. см. тж. в том числе, числовой, численный 1) Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое число/. Чётное, нечётное числ … Словарь многих выражений
• Целое (тип данных) — Целое, целочисленный тип данных (англ. Integer), в информатике один из простейших и самых распространённых типов данных в языках программирования. Служит для представления целых чисел. Множество чисел этого типа представляет собой… … Википедия
• число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева
• Число с плавающей запятой — Число с плавающей запятой форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную.… … Википедия
• число — а; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь
• ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова
• Число с фиксированной запятой — Число с фиксированной запятой формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой , где z цена (вес) младшего разряда. Простейший… … Википедия
• ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — (integer) Целое число. Огромное множество экономических переменных, например количество фирм в отрасли, которые могут принимать только целочисленные значения; это называется ограничением по целым числам. Экономисты часто просто игнорируют его и… … Экономический словарь

Что такое целое число

Целыми числами называются все натуральные числа, все числа противоположные им по знаку и нуль.

Обозначается множество целых чисел $Z$ .

Очевидным является такое вложение $N \subset Z$ .

На множестве целых чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение целых чисел

Суммой двух целых чисел $n$ и$p$ называется целое число$s$, которое вычисляется по правилу:

• если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $s=n+p$ ;
• если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $s=-(|n|+|p|)$ ;
• если $n>0$ и $p \lt 0$ $|n| \geq|p|$ , то $s=|n|-|p|$ ;
• если $n>0$ и $p \lt 0$ $|n| \lt |p|$ , то $s=-(|p|-|n|)$ ;
• если $n \lt 0$ и $p>0$ $|n|>|p|$ , то $s=-(|n|-|p|)$ ;
• если $n \lt 0$ и $p>0$ $|n| \leq|p|$ , то $s=|p|-|n|$ .

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Задание. Вычислить сумму целых чисел:

Решение. 1) 1) $5+19=24$

2) первое слагаемое положительное, а второе отрицательное и модуль второго слагаемого больше модуля первого слагаемое, поэтому сумма будет равна

3) первое слагаемое отрицательное, а второе положительное и модуль второго слагаемого больше первого, сумма при этом будет равна

4) оба слагаемых отрицательные числа, таким образом, их сумма равна

Ответ.

Умножение целых чисел

Произведением двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $m$, вычисляемое по правилу:

• если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $m=n \cdot p$ ;
• если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $m=|n| \cdot|p|$ ;
• если $n>0$ и $p \lt 0$ или если $n \lt 0$ и $p>0$ , то $s=-(|n| \cdot|p|)$ ;
• если $n=0$ или $p=0$ , то $m=0$ .

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти произведение целых чисел:

$1)5 \cdot 9 \quad;\quad 2 ) 5 \cdot(-9) \quad;\quad 3 )-5 \cdot(-9) \quad;\quad 4 ) 5 \cdot 0$

Решение. 1) $5 \cdot 9=45$

2) первый множитель положительный, а второй отрицательный, произведение будет также числом отрицательным:

3) оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение число положительное:

$$-5 \cdot(-9)=|-5| \cdot|-9|=5 \cdot 9=45$$

4) при умножении на нуль всегда в результате получаем нуль:

Ответ.

Вычитание целых чисел

Разностью двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $r$, вычисляемое по правилу

т. е. разность двух целых чисел $n$ и $p$ есть сумма целого с числа $n$ и числа $(-p)$ , противоположного числу $p$. Следовательно, разность вычисляется по правилу сложения двух целых чисел.

Подробнее о вычитании чисел читайте по ссылке.

Задание. Найти разность чисел:

$1 )-27-13 \quad;\quad 2 ) 27-(-5)$

Решение. По правилу вычитания целых чисел первое выражение примет вид:

По правилу сложения целых чисел это равно:

Второе выражение запишется в виде:

Ответ.

Деление целых чисел

Частным от деления целого числа $m$ на целое число $n$ ( $n \neq 0$ ) называется целое число $p$, которое удовлетворяет правилу: $m=n \cdot p$ . О числе $p$ говорят, что оно получено в результате деления числа $m$ на число $n$, и пишут:

На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима — не для любой пары целых чисел существует частное. Поэтому говорят, что множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.

Какие числа называются целыми

Среди множества разных чисел, чаще всего мы используем целые числа. Ими можно считать, как в положительную, так и в отрицательную сторону. В этом материале узнаем подвиды таких чисел, их свойства и как их использовать.

17 декабря 2020

· Обновлено 28 октября 2022

Открыть диалоговое окно с формой по клику

Определение целых чисел

Что такое целое число — это натуральное число, а также противоположное ему число и нуль. Примеры целых чисел: -7, 222, 0, 569321, -12345 и др.

Что важно знать о целых числах:

• Сумма, разность и произведение целых чисел в результате дают целые числа.
• Не существует самого большого и самого маленького целого числа. Этот ряд бесконечен. Наибольшего и наименьшего целых чисел — не бывает.
• Обыкновенные и десятичные дроби нельзя назвать целыми числами. Но иногда в задачах можно встретить целые числа, у которых дробная часть равна нулю и при этом нет долей.

Целые числа на числовой оси выглядят так:

На координатной прямой начало отсчета всегда начинается с точки 0. Слева находятся все отрицательные целые числа, справа — положительные. Каждой точке соответствует единственное целое число.

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, если отложить от начала координат данное количество единичных отрезков.

Натуральные числа — это целые, положительные числа, которые мы используем для подсчета. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + ∞.

Целые числа — это расширенное множество натуральных чисел, которое можно получить, если добавить к ним нуль и противоположные натуральным отрицательные числа. Множество целых чисел обозначают Z.

Выглядит эти ребята вот так:

Последовательность целых чисел можно записать так:

∞ + . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … + ∞

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Домашний лицей для 5–11 классов

Занятия где и когда удобно, 10+ кружков на выбор, никакого стресса с домашками и нудных родительских собраний

Свойства целых чисел

Таблица содержит основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c:

Свойство

Сложение

Умножение

a + (b + c) = (a + b) + c

a * (b * c) = (a * b) * c

a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

Пару слов о делении. В стандартном виде невозможно разделить число на множестве целых чисел, но можно делить с остатком. Это правило можно сформулировать так:

• Для всяких целых a и b (b ≠ 0), есть один набор целых чисел q и r. При этом:

a = bq + r, где a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток,

Выберите идеального репетитора по математике
15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения

Положительные и отрицательные целые числа

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля живут натуральные числа — их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля — целые отрицательные числа.

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус». Они всегда меньше нуля. Примеры целых отрицательных чисел: -944, -1287, -1, -19.

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс». Они всегда больше нуля. Примеры положительных целых чисел: 13, 401, 55, 29, 12345.

Бесконечное множество — это ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону.

Если выбрать два любых целых числа, то те числа, которые находятся между заданными, можно называть конечным множеством.

Например, напишем целые числа от -4 до 3. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Данное конечное множество чисел выглядит так:

• -3, -2, -1, 0, 1, 2

Пример 1. Сколько целых чисел расположено между числами -30 и 100?

1. Можно построить прямую и посчитать сколько отрезков находится между заданными числам.
2. Или можно посчитать в уме: у нас есть 29 отрицательных числа, нуль и 99 положительных чисел.

Пример 2. Сколько нечетных целых чисел расположено между числами -4 и 5?

1. Выпишем все целые числа, которые находятся между -4 и 5:
   -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
2. Подчеркнем нечетные числа в данному ряду.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль. Примеры неотрицательных целых чисел: 43, 878, 0.

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль. Примеры неположительных целых чисел: -43, -878, 0.

Нуль — это граница между положительными и отрицательными числами. То есть нуль это ни положительное и ни отрицательное число.

Эти два термина помогают формулировать мысли кратко. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое меньше или равно нулю, можно сказать: a — целое неположительное число.

Целые числа в описании изменения величины

Какие числа называют целыми мы уже знаем. Их удобно использовать, чтобы считать предметы или чтобы сказать, что чего-то стало больше или меньше. А теперь примерчик!

Вы участвуете в конкурсе в инстаграм: нужно написать 5 постов про свои самые заветные мечты. А пока вы это не сделали, можно сказать, что сейчас у вас -5 постов. То есть число 5 описывает сколько вы должны сделать постов, а знак «минус» говорит о том, что вы все еще не выполнили условия конкурса. Постов то нет��

А если помимо 5 постов, нужно опубликовать еще 5 сторис — общий долг можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

• -5 (постов, которых еще нет) + (-5 сториз, которых тоже еще нет) = -10 публикаций

Итого: чтобы участвовать в конкурсе, нужно сделать 10 публикаций в инстаграм.