Что обозначает запись a b

Инфиксные, префиксные и постфиксные выражения¶

Когда вы записываете арифметическое выражение вроде B * C, то его форма предоставляет вам достаточно информации для корректной интерпретации. В данном случае мы знаем, что переменная B умножается на переменную C, поскольку оператор умножения * находится в выражении между ними. Такой тип записи называется инфиксной, поскольку оператор расположен между (in between) двух операндов, с которыми он работает.

Рассмотрим другой инфиксный пример: A + B * C. Операторы + и * по-прежнему располагаются между операндами, но тут уже есть проблема. С какими именно операндами они будут работать? + работает с A и B или * принимает B и C? Выражение выглядит неоднозначно.

Фактически, вы можете читать и писать выражения такого типа долгое время, и они не будут вызывать у вас вопросов. Причина в том, что вы кое-что знаете о + и *. Каждый оператор имеет свой приоритет. Операторы с высоким приоритетом используются прежде операторов с низким. Единственной вещью, которая может изменить порядок приоритетов, являются скобки. Для арифметических операций умножение и деление стоят выше сложения и вычитания. Если появляются два оператора одинакового приоритета, то используются порядок слева направо, или их ассоциативность.

Давайте интерпретируем вызвавшее затруднение выражение A + B * C, используя приоритет операторов. B и C перемножаются первыми, затем к результату добавляется A. (A + B) * C заставит выполнить сложение A и B перед умножением. В выражении A + B + C по очерёдности (через ассоциативность) первым будет вычисляться самый левый +.

Хотя это очевидно для вас, помните: компьютер нуждается в точном знании того, как и в какой последовательности вычисляются операторы. Одним из способов записи выражения, гарантирующим, что не возникнет путаницы по отношению к порядку операций, является создание того, что называется выражением с полностью расставленными скобками. Такой тип выражения использует пару скобок для каждого оператора. Скобки диктуют порядок операций, так что здесь не возникает многозначности. Так же отпадает необходимость помнить правила расстановки приоритетов.

Выражение A + B * C + D может быть переписано как ((A + (B * C)) + D) с целью показать, что умножение происходит в первую очередь, а затем следует крайнее левое сложение. A + B + C + D перепишется в (((A + B) + C) + D), поскольку операции сложения ассоциируются слева направо.

Существует ещё два очень важных формата выражений, которые на первый взгляд могут показаться вам неочевидными. Рассмотрим инфиксную запись A + B. Что произойдёт, если мы поместим оператор перед двумя операндами? Результирующее выражение будет + A B. Также мы можем переместить оператор в конец, получив A B +. Всё это выглядит несколько странным.

Эти изменения позиции оператора по отношению к операндам создают два новых формата — префиксный и постфиксный. Префиксная запись выражения требует, чтобы все операторы предшествовали двум операндам, с которыми они работают. Постфиксная, в свою очередь, требует, чтобы операторы шли после соответствующих операндов. Несколько дополнительных примеров помогут прояснить этот момент (см. таблицу 2).

A + B * C в префиксной нотации можно переписать как + A * B C. Оператор умножения ставится непосредственно перед операндами B и C, указывая на приоритет * над +. Затем следует оператор сложения перед A и результатом умножения.

В постфиксной записи выражение выглядит как A B C * +. Порядок операций вновь сохраняется, поскольку * находится непосредственно после B и C, обозначая, что он имеет приоритет выше следующего +. Хотя операторы перемещаются и теперь находятся до или после соответствующих операндов, порядок последних по отношению друг к другу остаётся в точности таким, как был.

Таблица 2: Примеры инфиксной, префиксной и постфиксной записи

Инфиксная запись	Префиксная запись	Постфиксная запись
A + B	+ A B	A B +
A + B * C	+ A * B C	A B C * +

А сейчас рассмотрим инфиксное выражение (A + B) * C. Напомним, что в этом случае запись требует наличия скобок для указания выполнить сложение перед умножением. Однако, когда A + B записывается в префиксной форме, то оператор сложения просто помещается перед операндами: + A B. Результат этой операции является первым операндом для умножения. Оператор умножения перемещается в начало всего выражения, давая нам * + A B C. Аналогично, в постфиксной записи A B + явно указывается, что первым происходит сложение. Умножение может быть выполнено для получившегося результата и оставшегося операнда C. Соответствующим постфиксным выражением будет A B + C *.

Рассмотрим эти три выражения ещё раз (см. таблицу 3). Происходит что-то очень важное. Куда ушли скобки? Почему они не нужны нам в префиксной и постфиксной записи? Ответ в том, что операторы больше не являются неоднозначными по отношению к своим операндам. Только инфиксная запись требует дополнительных символов. Порядок операций внутри префиксного и постфиксного выражений полностью определён позицией операторов и ничем иным. Во многом именно это делает инфиксную запись наименее желательной нотацией для использования.

Таблица 3: Выражение со скобками

Инфиксное выражение	Префиксное выражение	Постфиксное выражение
(A + B) * C	* + A B C	A B + C *

Таблица 4 демонстрирует некоторые дополнительные примеры инфиксных выражений и эквивалентных им префиксных и постфиксных записей. Убедитесь, что вы понимаете, почему они эквивалентны с точки зрения порядка выполнения операций.

Таблица 4: Дополнительные примеры инфиксной, префиксной и постфиксной записи

Инфиксное выражение	Префиксное выражение	Постфиксное выражение
A + B * C + D	+ + A * B C D	A B C * + D +
(A + B) * (C + D)	* + A B + C D	A B + C D + *
A * B + C * D	+ * A B * C D	A B * C D * +
A + B + C + D	+ + + A B C D	A B + C + D +

Преобразование инфиксного выражения в префиксное и постфиксное¶

До сих пор мы использовали специальные методы для преобразования между инфиксными выражениями и эквивалентными им префиксной и постфикской записями. Как вы можете ожидать, существуют алгоритмические способы выполнения таких преобразований, позволяющие корректно трансформировать любое выражение любой сложности.

Первой из рассматриваемых нами техник будет использование идеи полной расстановки скобок в выражении, рассмотренной нами ранее. Напомним, что A + B * C можно записать как (A + (B * C)), чтобы явно показать приоритет умножения перед сложением. Однако, при более близком рассмотрении вы увидите, что каждая пара скобок также отмечает начало и конец пары операндов с соответствующим оператором по середине.

Взгляните на правую скобку в подвыражении (B * C) выше. Если мы передвинем символ умножения с его позиции и удалим соответствующую левую скобку, получив B C *, то произойдёт конвертирование подвыражение в постфиксную нотацию. Если оператор сложения тоже передвинуть к соответствующей правой скобке и удалить связанную с ним левую скобку, то результатом станет полностью постфиксное выражение (см. рисунок 6).

Рисунок 6: Перемещение операторов вправо для постфиксной записи

Если мы сделаем тоже самое, но вместо передвижения символа на позицию к правой скобке, сдвинем его к левой, то получим префиксную нотацию (см. рисунок 7). Позиция пары скобок на самом деле является ключом к окончательной позиции заключённого между ними оператора.

Рисунок 7: Перемещение операторов влево для префиксной записи.

Таким образом, при преобразовании выражения (неважно, насколько сложного) в префиксную или постфиксную запись для установления порядка выполнения операций используется полная расстановка скобок. Затем находящийся внутри них оператор передвигается на крайнюю левую или крайнюю правую позицию — в зависимости от того, префиксную или постфиксную запись вы хотите получить.

Вот более сложное выражение: (A + B) * C — (D — E) * (F + G). Рисунок 8 демонстрирует его преобразование в постфиксный и префиксный виды.

Рисунок 8: Преобразование сложного выражения к префиксной и постфиксной записи.

Обобщённое преобразование из инфиксного в постфиксный вид¶

Нам необходимо разработать алгоритм преобразования любого инфиксного выражения в постфиксное. Для этого посмотрим ближе на сам процесс конвертирования.

Рассмотрим ещё раз выражение A + B * C. Как было показано выше, его постфиксным эквивалентом является A B C * +. Мы уже отмечали, что операнды A, B и C остаются на своих местах, а местоположение меняют только операторы. Ещё раз взглянем на операторы в инфиксном выражении. Первым при проходе слева направо нам попадётся +. Однако, в постфиксном выражении + находится в конце, так как следующий оператор, *, имеет приоритет над сложением. Порядок операторов в первоначальном выражении обратен результирующему постфиксному выражению.

В процессе обработки выражения операторы должны где-то храниться, пока не найден их соответствующий правый операнд. Также порядок этих сохраняемых операторов может быть обратным (из-за их приоритета), как в данном примере со сложением и умножением. Поскольку оператор сложения, появляющийся перед оператором умножения, имеет более низкий приоритет, то он должен появиться после использования последнего. Из-за такого обратного порядка имеет смысл рассмотреть использование стека для хранения операторов до тех пор, пока они не понадобятся.

Что насчёт (A + B) * C? Напомним его постфиксный эквивалент: A B + C *. Повторимся, что обрабатывая это инфиксное выражение слева направо, первым мы встретим +. В этом случае, когда мы увидим *, + уже будет помещён в результирующее выражение, поскольку имеет преимущество над * в силу использования скобок. Теперь можно приступить к рассмотрению работы алгоритма преобразования. Когда мы видим левую скобку, то сохраняем её как знак, что должен будет появиться другой оператор с высоким приоритетом. Он будет ожидать, пока не появится соответствующая правая скобка, чтобы отметить его местоположение (вспомните технику полной расстановки скобок). После появления правой скобки оператор выталкивается из стека.

Поскольку мы сканируем инфиксное выражение слева направо, то для хранения операторов будем использовать стек. Это предоставит нам обратный порядок, который был отмечен в первом примере. На вершине стека всегда будет последний сохранённый оператор. Когда бы мы не прочитали новый оператор, мы должны сравнить его по приоритету с операторами в стеке (если таковые имеются).

Предположим, что инфиксное выражение есть строка токенов, разделённых пробелами. Токенами операторов являются *, /, + и — вместе с правой и левой скобками, ( и ). Токены операндов — это однобуквенные идентификаторы A, B, C и так далее. Следующая последовательность шагов даст строку токенов в постфиксном порядке.

1. Создать пустой стек с названием opstack для хранения операторов. Создать пустой список для вывода.
2. Преобразовать инфиксную строку в список, используя строковый метод split .
3. Сканировать список токенов слева направо.
   • Если токен является операндом, то добавить его в конец выходного списка.
   • Если токен является левой скобкой, положить его в opstack .
   • Если токен является правой скобкой, то выталкивать элементы из opstack пока не будет найдена соответствующая левая скобка. Каждый оператор добавлять в конец выходного списка.
   • Если токен является оператором *, /, + или -, поместить его в opstack . Однако, перед этим вытолкнуть любой из операторов, уже находящихся в opstack , если он имеет больший или равный приоритет, и добавить его в результирующий список.

#. Когда входное выражение будет полностью обработано, проверить opstack . Любые операторы, всё ещё находящиеся в нём, следует вытолкнуть и добавить в конец итогового списка.

Рисунок 9 демонстрирует алгоритм преобразования, работающий над выражением A * B + C * D. Заметьте, что первый оператор * удаляется до того, как мы встречаем оператор +. Также + остаётся в стеке, когда появляется второй *, поскольку умножение имеет приоритет перед сложением. В конце инфиксного выражения из стека дважды происходит выталкивание, удаляя оба оператора и помещая + как последний элемент в результирующее постфиксное выражение.

Рисунок 9: Преобразование A * B + C * D в постфиксную запись

Чтобы закодировать алгоритм на Python, мы будем использовать словарь под именем prec для хранения значений приоритета операторов. Он связывает каждый оператор с целым числом, которые можно сравнивать с числами других операторов, как уровень приоритетности (для этого мы произвольно выбрали целые числа 3, 2 и 1). Левая скобка получит самое низкое значение. Таким образом, любой сравниваемый с ней оператор будет иметь приоритет выше и располагаться над ней. Строка 15 определяет, что операнды могут быть любыми символами в верхнем регистре или цифрами. Полная функция преобразования показана в ActiveCode 8.

Дано(AB перпендикулярна BD,СД перпендикулярна ВД,АВ=СД.
доказать АД параллельна ВС.

Які внутрішні односторонні кути можуть утворювати дві паралельні прямі із січною? А. 11 189. Б. 112° 168. В. 53° 153. Г. 19° 1161.

кері теорема ұғымы??​

Розв’яжіть будь-ласка срочно даю 70 балів

8. Яку з даних властивостей не може мати трапеція? А) Протилежні кути рівні; Б) діагоналі рівні та перпендикулярні; В) один із кутів при більшій основ … і більший за один із кутів при меншій основі; Г) середня лінія трапеції дорівнює її висоті.​

Что обозначает запись a b

Вероятность логического пересечения событий записывается в виде

P(AB) = P(A) P(B|A)

P(AB) = P(B) P(A|B),

где P(A) и P(B) – вероятности событий A и B, соответственно;

P(B|A) и P(A|B) – условные вероятности, а именно:

P(B|A) – вероятность события B при условии, что событие A произошло;

P(A|B) – вероятность события A при условии, что событие B произошло.

Если события A и B несовместны, то они не имеют общих точек и, следовательно, событие AB является невозможным:

P(AB) = 0.

Событие A не зависит от события B, если

P(A|B) = P(A).

При этом P(AB) = P(A) P(B) и, следовательно, событие В не зависит от события А:

P(B|A) = P(B).

означает, что произошло событие A, но не B.

Запись означает, что ни событие A, ни событие B не произошли.

Перейдем к формуле для вероятности .

Если события A и B не имеют общих точек, то

.

Рассмотрим теперь два произвольных события А и B и вычислим вероятность того, что произошло либо событие А, либо событие B, либо оба события А и B. Суммируя вероятности всех точек, содержащихся либо в А, либо в B, каждую точку следует учитывать по одному разу и поэтому

.

(Точки пересечения AB входят как в A, так и в B и поэтому дважды учитываются при подсчете вероятности события ).

Буквенные выражения

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьёзная задача в математике свóдится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Например, в выражении a + b + 4 переменными являются буквы a и b. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a + b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства

Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2 , переменной b присвоили значение 3. В результате буквенное выражение a + b + 4 обращается в обычное числовое выражение 2 + 3 + 4, значение которого можно найти:

Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b . Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3 , то мы получим 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a × (b + c) можно записать a(b + c) . Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c) = ab + ac .

Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a . На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a .

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a . Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а«, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a«

К примеру, если переменная a равна 5 , то значение выражения 3a будет равно 15 .

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc . Здесь коэффициентом является число 5 . Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как « abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc «.

Если вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемнóжились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

Знак коэффициента отнóсится только к коэффициенту, и не отнóсится к переменным!

Рассмотрим выражение −6b . Минус, стоящий перед коэффициентом 6 , отнóсится только к коэффициенту 6 , и не отнóсится к переменной b . Понимание этого факта позвóлит не ошибаться в будущем со знаками.

Найдем значение выражения −6b при b = 3 .

−6b это короткая форма записи от −6 × b . Для наглядности запишем выражение −6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b

Пример 2. Найти значение выражения −6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

и далее подставим значение переменной b

Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2

−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b , поэтому для наглядности запишем выражение −5 × a + b в развёрнутом виде и подстáвим значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab . В этом случае коэффициентом является единица:

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число −1 . Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a . Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:

Здесь крóется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к невидимой единице, а не к переменной a . Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас прóсят найти его значение при a = 2 , то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ −2 , не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2 , то мы подставляем −2 вместо переменной a

Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2 , b=3 и c=4

Выражение abc это короткая форма записи от 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2 , b=−3 и c=−4

Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6. Найти значение выражения −abc при a=3 , b=5 и c=7

Выражение −abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение −abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7. Найти значение выражения −abc при a=−2 , b=−4 и c=−3

Запишем выражение −abc в развёрнутом виде:

−abc = −1 × a × b × c

Подставим значение переменных a , b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень простá. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.

Пример 1. Определить коэффициент в выражении: 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемнóжим числа и отдельно перемнóжим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105. После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:

Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

Перемножим отдельно числа и буквы:

−a × (−3 ) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.

Пример 3. Определить коэффициент в выражении:

Перемножим отдельно числа и буквы:

Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен не верно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на хорошем уровне.

Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минус. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице:

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a − b , то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые . А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b) . В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) станóвятся слагаемыми.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a . Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Это действие называют приведéнием подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например, приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a . В данном случае подобными являются все слагаемые. Слóжим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно привóдят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также, можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a , к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8) × a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1, который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a+a, можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a , добавили ещё одну переменную a , в итоге получилось 3 переменные a .

Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом деле оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a , вычли одну переменную a , в итоге осталась одна единственная переменная a

Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишем решение покороче:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b . Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.

Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b, можно подчеркнуть двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержащие переменные b , подчеркнем двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t , можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

Запишем решение покороче:

Упрощение выражений

Часто можно встретить задание, в котором сказано «упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его прóще и корóче.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .

Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его прóще» .

В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

В итоге дробь упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть: «а что можно сделать?» . Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

Но мы упростили выражение и получили новое упрощённое выражение . Значение нового упрощённого выражения по-прежнему равно 0,5

Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st .

Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде ( −6,3)×b , затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b

Пример 3. Упростить выражение

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3

Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:

Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до

Пример 5. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до mn .

Пример 6. Упростить выражение

Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Пример 7. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b, то нельзя записывать следующим образом:

Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

Тогда значение выражения будет равно 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a

Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.

Пример 10. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Коэффициент был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.

Таким образом, выражение упростилось до

Пример 11. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно следующим образом:

Пример 12. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.

Тождества. Тождественно равные выражения

После того как мы упростили какое-нибудь выражение, оно станóвится проще и короче. Чтобы проверить верно ли упрощено выражение, достаточно подстáвить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то это означает, что выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b . Чтобы упростить данное выражение, можно по-отдельности перемнóжить числа и буквы:

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.

Пусть значения переменных a , b будут следующими:

Подстáвим их в первое выражение 2a × 7b

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

Теперь подстáвим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения выражения 2a × 7b , а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a = 4 и b = 5 значение первого выражения 2a × 7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a = 1 и b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким образом, выражения 2a × 7b и 14ab при любых значениях переменных равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными.

Делаем вывод, что между выражениями 2a × 7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).

А равенство вида 2a × 7b = 14ab называют тождеством.

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.

Верные числовые равенства тоже являются тождествами. Например:

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения.

Например, мы упростили выражение 2a × 7b , и получили более простое выражение 14ab . Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения при и

Задание 2. Найдите значение выражения при

Задание 3. Найдите значение выражения при и и

Задание 4. Найдите значение выражения при и

Задание 5. Запишите в виде буквенного выражения следующую последовательность действий:

• Число a умножить на три, и из этого произведения вычесть пятнадцать
• Число t умножить на девять, и к полученному произведению прибавить тридцать пять

Задание 6. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 7. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 8. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 9. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 10. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 11. Упростите выражение:

Задание 12. Упростите выражение:

Задание 13. Упростите выражение:

Задание 14. Упростите выражение:

Задание 15. Упростите выражение:

Задание 16. Упростите выражение:

Задание 17. Упростите выражение:

Задание 18. Упростите выражение:

Задание 19. Упростите выражение:

Задание 20. Упростите выражение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

64 thoughts on “Буквенные выражения”

смогу ли подготовиться к огэ за три месяца если ничего не знаю. ?
Ульяна :
За девять сможешь, но это надо по два предмета в месяц проходить.
Александр :

Как-то вы долго делали этот сайт.. Я в 8 классе, 4 месяца назад нашёл ваш сайт, так как ничего не понимал (там было вроде 30 шагов еще), прочитал их все, можно сказать базовое понял, но нужно дальше, на ютубе начал уроки смотреть и за еще 3 месяца, выучил на ютубе всю программу 5-8 класса, выучил 9 класс (неравенства), 10 класс(тригонометрия)

Человек занимается этим на безвозмездной основе, так что оставь свои претензии при себе, он тебе ничего не должен. Создатели этого сайта, я уверен, взрослые люди, со своими заботами и проблемами, а не школьники которые учатся до трёх часов дня, а потом делают что душе угодно. То что ты тригонометрию выучил — это молодец, да, однако здесь не лучшее место, что бы кичиться своими успехами в такой форме.

Андрей :
Здравствуйте, когда ориентировачно выйдут новые уроки?
Парвиз :

Здравствуйте. Никогда не занимался математикой, я гуманитарий, но по воле судьбы приходится. Очень хороший сайт. Но мне срочно нужна инфа про корни, квадраты, кубы, интегралы, системы линейных уравнений, начальная тригонометрия, логарифмы и все подобное для экономистов. Нет ли возможности рассказать что это или где можно на доступном языке прочесть? Спасибо