Что сначала идет умножение или сложение

Порядок действий

Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

1. Если выражение содержит только действия на сложение и вычитание, то они выполняются в порядке следования — слева направо:
2. Если выражение содержит только действия на умножение и деление, то действия выполняются в порядке следования — слева направо:
3. Если в выражении присутствуют и умножение с делением, и сложение с вычитанием, то сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Дробная черта

Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:

13 + 2	= (13 + 2) : (10 — 7).
10 — 7

Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

нельзя заменить на

потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.

20 : 4(2 + 3) ≠	20	;
	4(2 + 3)

20	= 20 : (4(2 + 3)).
4(2 + 3)

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.

Список литературы	|	contact@izamorfix.ru
2018 − 2023	©	izamorfix.ru

Урок 9. Порядок арифметических действий в числовом выражении. Действия первой и второй ступеней, скобки

Prostobank.ua рассказывает, какие действия относятся к действиям первой и второй ступеней, каков порядок действий в числовом выражении без скобок и в выражении с квадратными, фигурными скобками. Что сначала деление или вычитание, какое первое действие умножения или деления, что первое сложение или вычитание? — ответ ищите в нашем уроке о порядке выполенния математических действий.

• Подбор кредитов:

Натуральные числа и дроби

Действия первой и второй ступени с натуральными числами. Порядок действий

Мы уже рассмотрели арифметические действия сложения и вычитания. Эти действия называются действиями первой ступени. Умножение и деление принято считать действиями второй ступени. Если в математическом выражении есть несколько действий, включая действия и первой, и второй ступени, есть разные числа, соответственно результат зависит от порядка совершенных действий. Поэтому при решении примеров следует соблюдать правильный порядок действий.

Если в выражении нет скобок и присутствуют только действия второй ступени, то действия выполняются в том порядке, в котором они написаны, слева направо.

Например, 80 : 4 ⋅ 2 : 10 = 20 ⋅ 2 : 10 = 40 : 10 = 4

Если в выражении нет скобок и присутствуют только действия первой ступени, то действия выполняются в том порядке, в котором они написаны, слева направо.

Например, 56 + 10 – 25 + 30 = 66 – 25 + 30 = 41 + 30 = 71

Если в выражении нет скобок и случаются действия разных степеней, то сначала выполняют действия второй ступени, а затем действия первой ступени. Напомним, умножение и деление считаются действиями второй ступени, сложение и вычитание – действиями первой ступени.

Например, 43 + 25 ⋅ 4 – 10. Сначала выполним умножение 25 ⋅ 4 = 100, 43 + 100 – 10 = 133.

Если в выражении есть скобки, сначала выполняем действия в скобках, а затем все остальные согласно порядку действий. Если в скобках записано выражение из нескольких действий первой и второй ступеней, то в скобках также сначала выполняем действия второй ступени.

1. действия в скобках
2. умножение и деление,
3. сложение и вычитание.

Сначала сложение или вычитание?

Сложение и вычитание являются действиями первой ступени, если нет скобок, то они выполняются поочередно слева направо.

Какое первое действие – умножение или деление?

И умножение, и деление – это действия второй степени, они «равноправны». Поэтому, если нет скобок, действия выполняются поочередно слева направо.

Сначала умножение или сложение?

Поскольку умножение является действием высшей степени, а сложение – действием низшей степени, если нет скобок, то сначала выполняем умножение.

Что сначала – деление или вычитание?

Поскольку деление является действием высшей степени, а вычитание – действием низшей степени, если нет скобок, сначала выполняем деление.

Алгоритм вычисления числового выражения

Перед вычислением числового выражения следует определить порядок действий и только после этого приступать к расчетам.

Рассмотрим выражение с несколькими действиями и скобками.

(53 – 42 : 7) ⋅ (22 ⋅ 2 +36 — 12) + 30

Первоочередность действий в данном выражении будет такой:

• 42 разделить на 7 (42 : 7 = 6)
• Из 53 вычесть результат первого действия: 53 – 6 = 47
• Во вторых скобках сначала нужно выполнить умножение 22 на 2: 22 ⋅ 2 = 44
• К результату умножения прибавляем 36: 44 + 36 = 80
• Из полученной суммы вычитаем 12: 80 – 12 = 68
• Умножим множители, которые являются результатами выполнения действий в первых и вторых скобках: 47 ⋅ 68 = 3196
• К произведению прибавляем 30: 3196 + 30 = 3226

Ответ: (53 – 42 : 7) ⋅ (22 ⋅ 2 +36 -12) + 30 = 3226

Порядок действий с круглыми, квадратными и фигурными скобками

В математических выражениях встречаются не только круглые () скобки, но и квадратные — [ ] и фигурные < >. Фигурные и квадратные скобки используют тогда, когда у скобки необходимо взять выражение в скобках. Порядок действий со скобками следующий: сначала выполняем действия внутри круглых скобок согласно правилам последовательности, второй этап – действия в квадратных скобках, третий этап – действия в фигурных скобках согласно правилам последовательности.

Рассмотрим выражение с круглыми и квадратными скобками

100 — 4 ⋅ [14 + 45 : (10 + 5)] + 6 ⋅ (30 + 4 ⋅ 5 + 10).

1. Выполним действия в круглых скобках:

30 + 4 ⋅ 5 + 10 = 30 + 20 + 10 = 60

1. Выполним действия в квадратных скобках: 14 + 45 : 15 = 17
2. Выполним остальные действия: 100 – 4 ⋅ 17 + 6 ⋅ 60 = 100 – 68 + 360 = 32 + 360 = 392

Порядок выполнения действий, правила, примеры

Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.

В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Решение примеров по действиям в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример или образец задачи 4

Условие: вычислите, сколько будет равно 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Что сначала идет умножение или сложение

На уроке вы узнаете о роли скобок в выражениях и о правилах, по которым выполняются действия. А также решите несколько интересных примеров.

Введение

В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны. Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (см. рис. 1). Рис. 1. Как меняется смысл фразы от запятой В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания – запятая, который очень сильно на этот смысл влияет. В математическом языке тоже есть такой знак препинания, это скобки.

Пример 1

Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6: . Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется: .

Роль скобок. Порядок операций

В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать. Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок действий. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.

Сложение и вычитание равноправны

В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.

Умножение и деление тоже равноправны

Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:

Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание

Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.

Действия в скобках раньше всего

Действия в скобках делаются в первую очередь. Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок. Умножение идет первым, поэтому сначала умножение, потом сложение. Но если поставить сложение в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым. Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.

Пример 2

Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:

Порядок выполнения действий

• действия в скобках
• умножение и деление
• сложение и вычитание

Пример 3

Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках – сначала умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.

Пример 4

Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.

Пример 5

Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.

Расставим последовательность действий.

Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:

Запись можно сократить. Расставим последовательность действий. 1 и 2 действие не влияют на третье. Его можно сделать одновременно с первым. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во вторых. Действия в первых больших и последних скобках тоже можно делать одновременно.

За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.

Запись получилась короче.

Заключение

Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. 14-е изд., испр. и доп. — М.: 2013. – 270 с.
2. Математика. 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. 24-е изд., испр. — М.: 2008. — 280 с.
3. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. 2-е изд., перераб. — М.: 2011; Ч. 1 — 176 с, Ч. 2 — 240 с.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник)

Домашнее задание