Что такое ядро матрицы

Ядро и образ линейного отображения

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства . Образ преобразования , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства , которое каждому вектору его проекции на направление, задаваемое единичным вектором — множество векторов, ортогональных , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество

Следовательно, множество 2. Образ любого линейного отображения . Тогда , то есть Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы .

4. Линейное отображение , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве и дополним его векторами до базиса всего пространства образуют базис подпространства , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. Следствие. Линейное отображение

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Ядро линейного отображения

В различных разделах математики ядром отображения $\ f : A \rightarrow B$ называется некоторое множество kerf , в некотором смысле характеризующее отличие f от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения f множество kerf всегда должно быть тривиально. Если множества A и B обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то kerf также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ $\mathrm<Im>\,f» width=»» height=»» /> и фактормножество A / kerf . <h3>Ядро линейного отображения</h3> <img decoding=$

Ядром линейного отображения называется прообраз нулевого элемента пространства U :

$\ker f = \< x\in A: f(x) = 0 \> » width=»» height=»» /> kerf является подпространством в V . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства V . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ f изоморфен фактору пространства V по ядру f : <img decoding=$

\,f \simeq V / \ker f.» width=»» height=»» />

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:

$\dim\ker f + \dim\mathrm<Im> \,f = \dim V,» width=»» height=»» /> а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра: <img decoding=$

(u) = v_0 + \ker f, $ f(v_0) = u, $ v_0\in V, ~ u\in U.» width=»» height=»» />

Теория матриц

Любую прямоугольную матрицу G размера $m \times n$ , содержащий элементы поля K (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g: \mathbb^n \rightarrow \mathbb^m$ умножения векторов слева на матрицу:

$g(v) = G v,$ v \in \mathbb<K> ^n» width=»» height=»» /> Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с n неизвестными <img decoding=$

a_ x_1 + \ldots + a_ x_n = b_1; \\ \ldots ~~ \ldots ~~ \ldots ~~ \\ a_ x_1 + \ldots + a_ x_n = b_m. \end\right.» width=»» height=»» />

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора $\mathbf= (b_1,\;\ldots,\;b_m)» width=»» height=»» />, а задача о решении однородной системы уравнений (<img decoding=$ =\mathbf» width=»» height=»» />) сводится к поиску ядра отображения g .

Пример

$f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$

Пусть f будет линейным отображением и:

$f(\vec<x> )= \begin1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end\begin x_1\\x_2\\ x_3\end = \begin x_1\\x_2\\ 0\end.» width=»» height=»» /> Тогда его ядро является векторным подпространством: <img decoding=$

0\\0\\\lambda \end \in \mathbb R^3 \mid \lambda \in \mathbb R \right\>.» width=»» height=»» />

Гомоморфизм групп

Если f — гомоморфизм между группами, то kerf образует нормальную подгруппу A .

Гомоморфизм колец

Если f — гомоморфизм между кольцами, то kerf образует идеал кольца A .

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора

Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1) тогда и т. к то

и т. к. , то является подпространством пространства V.

является подпространством пространства V. #

Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI=θ>

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.

Доказательство:

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N—R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N—R. В результате получаем, что

Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .

Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.

Доказательство:

1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.

2) Пусть . Тогда, т. у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.

Главная
Заказать работу
Стоимость решения
Варианты оплаты
Ответы на вопросы (FAQ)
Отзывы о нас
Примеры решения задач
Методички по математике
Помощь по всем предметам
Заработок для студентов

Что такое ядро матрицы и как его найти?

Как найти ядро (нуль-пространство) матрицы?
С помощью команды kernel.
Вспомним определение ядра (нуль-пространством) матрицы:
Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору. Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений.
Ядром матрицы A являются все решения уравнения AW=0.

Синтаксис команды kernel
W=kernel(A [,tol,[,flag])
Параметры
A : действительная или комплексная матрица. В случае, если матрица представлена в разреженном виде (тип sparse), то только действительная A.
flag : строка, имеющая значение ‘svd’ (по умолчанию) или ‘qr’
tol : действительное число
W : полная матрицы

Команда kernel возвращает ортономальный базис нуль-пространства матрицы A. W=kernel(A) возвращает ядро матрицы A. Если матрица W будет непустой, будет выполняться:
A*W=0 .

Параметры flag и tol являются необязательными: flag = ‘qr’ или ‘svd’ (по умолчанию принимает значение ‘svd’). Указывают на используемый алгоритм вычисления.

tol = параметр допуска. В качестве значения tol по умолчанию принимается величина порядка %eps(~2.220E-16).

Пример.
A=[2 -3 5 7;4 -6 2 3;2 -3 -11 -15]

A =
! 2. — 3. 5. 7. !
! 4. — 6. 2. 3. !
! 2. — 3. — 11. — 15. !

W =
! .3026009 .7751569 !
! .2244353 .5075518 !
! — 7491452 .3042427 !
! .5448329 — .2212674 !

! .0444089 .0222045 !
! .0666134 .0666134 !
! .1776357 .0888178 !

Видно, что s является матрицей с практически нулевыми элементами.