Что такое сложное число

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Всё ещё сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Что такое составное число

Составным числом называется натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Еще можно определить составное число, как число, которое не является простым и не равно 1.

Задание. Указать, какие из перечисленных ниже чисел являются составными:

$$27 ; 17 ; 11 ; 14 ; 89 ; 93 ; 91 ; 81 ; 1$$ $$27 ; 14 ; 93 ; 91 ; 81$$

Разложение числа на множители

Основная теорема арифметики

Любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом (с точностью до порядка множителей).

Объединяя в разложении числа $n$ одинаковые простые сомножители, получаем так называемое каноническое разложение числа $n$ :

где $p_, p_, \ldots p_$, — различные простые числа, а $k_, k_, \ldots k_$ — натуральные.

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти каноническое разложение составных чисел 108 и 280.

Решение. Для нахождения простых множителей будем последовательно делить заданные числа на простые в порядке их возрастания.

Например запишем число 108 и проведем вертикальную линию. Далее возьмем наименьшее простое число 2. Разделим его на него 108, получается 54. Два записываем справа от вертикальной черты, а результат деления 54 под числом 108. Далее можно еще раз поделить на 2, получим 27. Число 27 уже не делится на 2, берем следующее простое число: 3, делим на него, получим 9, затем еще раз на 3, получаем 3, разделив его еще раз на три, получаем 1. Все мы нашли все делители числа 108.

Выпишем множители из правой части: $108=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Заменим одинаковые множители степенями: $108 = 2^3 \cdot 3^3$ . Получили каноническое разложение этого числа.

Разложим таким же образом число 280. Получим следующее разложение: $280=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ . Тогда, каноническое разложение этого числа имеет вид: $280=2^3 \cdot 5 \cdot 7$ .

Ответ. $108=2^3 \cdot 3^3$

$280=2^3 \cdot 5 \cdot 7$

Сложное число

Высоко составное число является строго положительным целым числом , которое имеет строго больше делителей , чем числа предшествующих ему.

Раймон Бадью предложил называть их числами плутонов ( плутонов , божественности богатства).

Резюме

1 История

2 Первые значения

2.1 Уменьшение показателей разложения в произведение простых множителей
2.2 Свойство изобилия
2.3 Асимптотическая оценка

6.1 Связанные статьи
6.2 Внешние ссылки

Исторический

Определение и именование этих чисел было введено в 1915 году Шринивасой Рамануджаном .

Однако Жан-Пьер Кахан предположил, что эта концепция была известна Платону, который установил идеальное количество жителей в городе в 5040 человек , его свойство иметь много разделителей, позволяющих разделить их на множество подгрупп одинакового размера. Более вероятно, что 5040 был выбран просто потому, что он равен . 7 ! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7

Первые значения

Первые двадцать одно очень сложное число выглядят следующим образом (восемь из них, подчеркнуты, даже намного сложнее ):

числа высоко соединения (продолжение A002182 из OEIS )	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1,260	1,680	2,520	5 040	7 560	10 080
число положительных делителей (продолжение A002183 из OEIS )	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64	72
простые множители	2	2²	2 3	2² 3	2³ 3	2² 3²	2⁴ 3	2² 3 5	2³ 3 5	2² 3² 5	2⁴ 3 5	2³ 3² 5	2⁴ 3² 5	2³ 3 5 7	2² 3² 5 7	2⁴ 3 5 7	2³ 3² 5 7	2⁴ 3² 5 7	2³ 3³ 5 7	2⁵ 3² 5 7
разложение в продукт примориалов	2	2 2	6	2 6	2 2 6	6 2	2 3 6	2 30	2 2 30	6 30	2 3 30	2 6 30	2 2 6 30	2 2 210	6 210	2 3 210	2 6 210	2 2 6 210	6 2 210	2 3 6 210

Мы можем отметить, что первые 7 факториалов : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040 , очень сложны, но 8!=40320 это не так.

Уменьшение показателей разложения в произведение простых множителей

Чтобы дать представление о форме очень сложного числа, мы можем сказать, что это число, имеющее как можно меньшие простые множители , но не одно и то же слишком много раз. Действительно, если мы рассмотрим разложение целого числа на простые множители следующим образом: n > 1 1>

n = p 1 c 1 × p 2 c 2 × ⋯ × p k c k ^>\times p_^\times \cdots \times p_^>

где являются первые простые числа, и где последний показатель не равен нулю, то число делителей является: p 1 = 2 < p 2 = 3 < . . . < p k =2=3<. > k c k > n

( c 1 + 1 ) × ( c 2 + 1 ) × ⋯ × ( c k + 1 ) . +1)\times (c_+1)\times \cdots \times (c_+1).>

Следовательно, чтобы он был очень сложным, необходимо, чтобы (в противном случае, заменяя два ошибочных показателя степени, мы уменьшаем , сохраняя при этом то же количество делителей: например, 18 = 2 1 × 3 2 можно заменить на 12 = 2 2 × 3 1 , у каждого по 6 делителей). Это необходимое условие эквивалентно: разлагаемо на продукты первооснов . Поэтому любое сложное число является практическим числом . n c 1 ⩾ c 2 ⩾ . . . ⩾ c k \geqslant c_\geqslant . \geqslant c_> n n

К сожалению, этого условия недостаточно; например, удовлетворяет условию затухания, но не является сильно сложным: также имеет 12 делителей, но строго меньше. 96 = 2 5 .3 .3> 60 = 2 2 .3 .5 .3.5>

Мы также можем показать, что всегда , за исключением двух особых случаев и . c k = 1 =1> n = 4 n = 36

Свойство изобилия

Сложные числа, строго превышающие 6, также являются многочисленными числами . Чтобы подтвердить этот факт, достаточно взглянуть на три или четыре старших делителя конкретного сложного числа.

Асимптотическая оценка

Если представляет собой количество очень сложных чисел, которые меньше или равны , Рамануджан, в частности, показал, что Q ( x ) x

что доказывает, что существует бесконечное множество очень сложных чисел.

Точнее, существует такая постоянная b , что

( ln ⁡ x ) 35 / 32 ≤ Q ( x ) ≤ ( ln ⁡ x ) b . )^\leq Q(x)\leq (<\ln x>)^.>

Сокращение от доказан Эрдёша в 1944 году и рост на Жан-Луи Николя (о) в 1971 году. Q ( x )

Пример

У очень сложного числа 10080 = 2 5 × 3 2 × 5 × 7 72 делителя.
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Цифры, выделенные жирным шрифтом , сами по себе очень сложные. Отсутствует только двадцатое высокосоставное число 7560 (= 3 × 2520).

Число 10 080 также является « 7-рыхлым », то есть все его простые множители меньше или равны 7.

использовать

Некоторые из этих чисел используются в традиционных системах измерения и, как правило, используются в инженерии из-за их использования в сложных вычислениях дробей , таких как 12 и 60.

Примечания и ссылки

(fr) Эта статья частично или полностью взята из статьи в англоязычной Википедии под названием « Сильно составное число » ( см. список авторов ) .

↑ Раймон Бадью, « О целых числах, богатых делителями» , Бюллетень APMEP N ° 249 , Сентябрь 1965 г. , стр. 409-414 ( читать онлайн )
↑ abc and d (en) С. Рамануджан , « Сильно составные числа » , Proc. Лондонская математика. Soc. (2) , т. 14, 1915 г. , стр. 347-409 ( DOI10.1112 / plms / s2_14.1.347 , zbMATH45.1248.01 ) .
↑ (in) Кахане, Жан-Пьер, « Свёртки Бернулли и самоподобные меры после Эрдеша: личные закуски » , Уведомления Американского математического общества , февраль 2015 , стр. 136–140.
↑ (in) П. Эрдёш , « Составные числа очень высоки » , J. London Math. Soc. , т. 19, 1944 г. , стр. 130-133 ( читать онлайн ) .
↑ Ж.-Л. Николас, «Распределение высококвалифицированного числа Рамануджана», Canad. J. Math., полет. 23, № 1, 1971, стр. 116-130 .

Смотрите также

Статьи по Теме

Высокоинформативный номер
Бинарная система
Сенарная система
Двенадцатеричная система
Шестидесятеричная система
Таблица разделителей

Внешние ссылки

(ru) Эрик В. Вайстейн , « Очень сложное число » , на MathWorld.
(ru) Билл Лауритцен, « Разнообразие чисел: самоорганизация, появление и экономика » , август 2000 г.
(ru) Алгоритм и списки на старой веб-странице (1998) Киран Кедлая(de)

Простые и составные числа

Тема «Простые и составные числа» — это основа для понимания арифметики и математики в целом.

Для начала, давай определим, что такое простые и составные числа.

Что такое простые числа

Простые числа — это числа, которые имеют ровно два делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д. Все простые числа больше 1.

Что такое составные числа

Составные числа — это числа, которые имеют более двух делителей. Например, 4, 6, 8, 9, 10, 12 и т.д. В составные числа входят все числа, кроме простых.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, необходимо разложить его на простые множители. Это можно сделать с помощью метода факторизации.

Например, для числа 20, мы можем разложить его на простые множители следующим образом: 20 = 2 x 2 x 5. Значит, 20 — это составное число, которое можно разложить на простые множители 2 и 5.

Чтобы проверить, является ли число простым, необходимо проверить, делится ли оно на любое число, кроме 1 и самого себя. Если число делится на какое-то другое число, то оно является составным.

Например, число 7 — простое, потому что оно делится только на 1 и на само себя. А число 9 — составное, потому что оно делится на 1, 3 и на само себя.

Простые числа являются важными в математике и науке в целом. Они используются, например, в шифровании данных, в теории чисел и в других областях.

Давайте вспомним, как разложить число на простые множители, для этого нам надо разбить число на простые множители:

Разложение на простые множители

Другими словами, составное число имеет более двух делителей. Все четные числа являются составными числами, кроме $2$ .

Все числа, которые заканчиваются на пять, делятся на пять. Поэтому все числа, кратные 5 и больше пяти, являются составными числами.

Натуральное число, которое имеет только два делителя, единицу и само себя, называется простым. Числа $0$ и $1$ не являются ни простыми, ни составными. Если любое целое число больше $1$ не является простым числом, то это составное число. Ниже приведена таблица простых чисел.

Таблица простых чисел

Что такое «решето Эратосфена»

Решето Эратосфена — это метод нахождения всех простых чисел до заданного числа. Этот метод был придуман древнегреческим ученым Эратосфеном, который был известен своими работами в области геометрии, астрономии и математики.

Суть метода Решета Эратосфена заключается в последовательном отсеивании составных чисел, начиная с числа 2, которое является первым простым числом. Сначала мы выписываем все числа от 2 до заданного числа в ряд, затем вычеркиваем все кратные 2 числа, оставляя только 2 как простое число. Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу, которое будет простым числом, и вычеркиваем все его кратные числа. И так далее, пока не достигнем заданного числа.

Например, для того, чтобы найти все простые числа до 30, мы выписываем все числа от 2 до 30:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Затем мы начинаем вычеркивать все кратные числа 2, оставляя только 2:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (3) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 3:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (5) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 5:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
И так далее, пока не достигнем заданного числа.
В итоге мы получим все простые числа до заданного числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Метод Решета Эратосфена является эффективным способом нахождения всех простых чисел до заданного числа, особенно если заданное число большое.

Алгоритм проверки числа на простоту с доказательством и примером

Алгоритм проверки числа на простоту можно реализовать разными способами, но один из наиболее эффективных и простых методов — это проверка делителей.

Алгоритм проверки числа на простоту:
Проверяем, является ли число меньше или равным 1. Если да, то число не является простым.
Проверяем, является ли число 2. Если да, то число является простым.

Проверяем, является ли число четным. Если да, то число не является простым, за исключением случая, когда это число 2.

Для нечетного числа n проверяем, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n и d является делителем n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. В противном случае n является простым числом.

Доказательство:

Как известно, простое число это такое число, которое имеет только два делителя: 1 и само число. Другими словами, если n является простым числом, то у него нет делителей, кроме 1 и самого n. Поэтому для проверки числа n на простоту достаточно проверить, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. Если такого делителя нет, то n является простым числом.