Решение задачи о карточках с буквами
Задача 8. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: «а», «м», «р», «т», «ю». Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово «юрта».
Решение: Используем классическое определение вероятности: $P=m/n$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов.
$n = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как всего карточек пять), вторую — 4 (осталось к этому шагу четыре), третью — 3 и четвертую — 2 способами.
$m = 1$, так как искомая последовательность карточек «ю», потом «р», потом «т», потом «а» только одна.
Получаем вероятность $P = 1/120$.
Для будущих вожатых. Часть 2.1 (Игры на знакомство)
Продолжаем публиковать полезный материал для наших вожатых. Сейчас мы разместили материалы, которые будут полезны не только вожатым «Орлёнка», но и нашим детям. Наши публикации будет содержать ИГРЫ, для вожатых и детей, читай и бери на вооружение!
ИГРЫ НА ЗНАКОМСТВО
Великолепная Валерия
Участники встают в круг. Первый участник называет свое имя и прилагательное, характеризующее его (игрока) и начинающееся с той же буквы, что и его имя. Например, Великолепная Валерия, Интересный Игорь и т. д. Второй участник называет словосочетание первого и говорит свое. Третий же участник называет словосочетания первых двух игроков и так до тех пор, пока последний участник не назовет свое имя.
Снежный ком
Участники берутся за руки, образуя круг. Начинает игру первый игрок, называя свое имя. Второй участник по кругу повторяет имя первого участника и говорит свое. Третий участник повторяет имена первых двух и называет свое имя. И так игра длится до тех пор, пока последний человек не назовет все имена, включая свое.
«Три факта»
Каждый участник сообщает группе свое имя и три факта о себе. Один из них является реальным, а два других — выдуманными. Задача остальных участников — определить, какой именно из представленных фактов соответствует действительности (участникам предлагается поочередно проголосовать за истинность каждого из фактов). Потом участник, который представлялся, раскрывает истину: говорит, какой из приведенных фактов реален [1].
Одеяло
Участники делятся на две команды, располагаясь, друг напротив друга. Между ними натянуто одеяло. С каждой команды по одному человеку подсаживаются ближе к одеялу. Как только одеяло опускают, необходимо успеть произнести имя того, кто сидит напротив. Кто быстрее назвал — забирает к себе в команду игрока. Побеждает та команда, которая » перетянет» к себе больше игроков, т. е. та команда, которая знает больше имён.
А я еду, а я тоже, а я заяц
Участники игры сидят на стульях по кругу, одно место — не занято никем. В центре — водящий. Все участники во время игры пересаживаются по кругу против часовой стрелки. Игрок, сидящий около пустого стула, пересаживается на него со словами «а я еду». Следующий игрок — со словами «а я тоже». Третий участник говорит «а я заяц» и, левой рукой ударяя по пустому стулу, называет имя человека, сидящего в кругу. Тот, чьё имя произнесли, должен как можно быстрее перебежать на пустой стул. Задача водящего — успеть занять стул быстрее того, кого назвали. Кто не успел, становится водящим. Игра начинается сначала.
Мы идём в поход
Участники встают в круг. Начинает игру первый участник, называя своё имя и предмет, который он берёт с собой в поход. Ведущий начинает: » Меня зовут Катя, я беру с собой калачи». Всем участникам необходимо догадаться о том, что предмет должен начинаться с той же буквы, с какой и имя. Кто догадался, того ведущий берёт в поход. И так до тех пор, пока все не скажут правильно.
Я змея, змея, змея
Участники стоят в круге, через одного — мальчик, девочка. Начинает вожатый, подходя к кому-нибудь со словами: » Я змея, змея, змея, хочешь быть моим хвостом?». Если ответ положительный, то спрашиваемый проползает под ногами ведущего, знакомится и своей правой рукой берёт левую руку спрашиваемого через ноги. В случае отрицательного ответа звучит фраза: » А придётся!», и идёт сцепление. Таким образом, с каждым разом змея всё больше и больше увеличивается. Игра продолжается до тех пор, пока все участники не присоединятся друг к другу.
Дрозд
Участники образуют два круга — внутренний и внешний, равные по численности. Игроки внутреннего круга разворачиваются спиной в центр, образуются пары. Далее вместе с ведущим произносят: » Я дрозд, ты дрозд, у меня нос и у тебя нос, у меня щёчки аленькие и у тебя щёчки аленькие. Мы с тобой два друга. Любим мы друг друга». При этом пары выполняют движения: открытой ладонью показывают на себя и соседа, прикасаются кончиками пальцев к своему носу и к носу соседа, к щёчкам, обнимаются или пожимают руку, называя свои имена. Затем внешний круг делает шаг вправо, и образуются новые пары, игра продолжается.
Ритм
Участники стоят в кругу. Все вместе делают два хлопка по коленкам, щелчок пальцами правой руки, щелчок пальцами левой руки, два хлопка и т. д. Желательно, чтобы начинал вожатый. Итак, при щелчке пальцами правой и левой руки ведущий произносит «Привет, я », затем два хлопка, после этого при щелчке пальцами правой руки произносит «Привет», а при щелчке пальцами левой руки — имя одного из участников. Тот игрок, чьё имя назвали, сначала здоровается с тем, кто назвал его имя, а при следующих щелчках называет имя другого участника из круга. Например: щелчок/Привет, щелчок/я Оля, два хлопка, щелчок/привет, щелчок/Игорь, Игорь: щелчок/привет, щелчок/Оля, два хлопка, щелчок/привет, щелчок/Света, и т. д. Кто не успел — тот » прошляпил».
Паровоз
Участники стоят в кругу. Ведущий подходит к любому игроку и говорит: «Привет, я — паровоз. Как тебя зовут?» Участник называет своё имя, » паровоз» повторяет. Важно повторять с той же интонацией, с какой произнёс участник. Кто представился, присоединяется к паровозу. Игра продолжается до тех пор, пока все участники не присоединятся друг к другу.
Я знаю пять имён
Участники стоят в кругу — мальчик, девочка. По очереди каждый игрок называет 5 имён мальчиков и 5 имён девочек своего отряда, начиная с фразы: » Я знаю 5 имён…»
Любимое занятие
Все участники сидят в кругу на стульях. Ведущий в центре, он произносит некую характеристику (например, кто любит танцевать, кто играет на гитаре, кто любит мороженое и др.), относящие её к себе игроки должны поменяться местами. Если ведущий первым занимает свободный стул, то игрок без стула становится ведущим.
Суета сует
Всем участникам раздаются карточки, которые разделены на 9-16 клеточек. В каждой клеточке записано задание. Суть одна: записать в клеточку имя человека, который (тут открывается простор для фантазии) любит рыбу, держит дома собаку, любит звёзды… Чем неожиданней будет задание, тем лучше. Можно заложить в эту карточку то, что нужно вам. Например, выявить любителей рисования, пения, игры на гитаре и т. д. Побеждает тот, кто быстрее и точнее соберёт имена.
Ветер дует в сторону…
Играющие становятся в круг. Ведущий говорит: «Ветер дует в сторону…» (пример: того у кого есть брат) – те играющие, к которым относится высказывание ведущего (те у кого есть братья) – должны встать в круг.
5 важных вещей
Выполняется в парах. Пары расходятся на пять минут и молча жестами показывают друг другу пять самых важных для себя вещей. А затем пара жестами представляет друг друга кругу. Возможны варианты: пять самых страшных для меня вещей, самых неприятных и т.п.
Мяч по кругу
Все сидят в кругу. У первого игрока в руках мяч. Он называет чье-либо имя и кидает этому человеку мячик. Поймавший мяч должен назвать другое имя и кинуть ему мяч. Так до тех пор, пока не будет обойден весь круг, причем мяч должен побывать у каждого только один раз.
Построиться по именам в алфавитном порядке. Хорошо при первой встрече.
Поздороваться за руку с максимальным количеством людей
Каждый должен за определенное время (1-3 мин.) успеть поздороваться за руку с максимальным количеством людей. Внимание участников фиксируется на том, что руку надо пожимать доброжелательно, глядя в глаза человеку. Вариант: обязательно называть свое имя. Можно оговорить то, что необходимо подсчитать количество людей, с которыми ты поздоровался. Тогда по завершении упражнения ведущий спрашивает: «Кто поздоровался больше, чем с 10 людьми? А больше чем с 20?» Выявляются несколько лучших.
Имя — жест
Участники игры, по очереди, называют свою имя, но сопровождают характерным для себя жестом, движением (присесть, лечь, все на что хватит фантазии), затем все хором называют имя участника игры и повторяют его жест.
Знакомство
Ведущий. Сейчас мы с вами познакомимся. Меня зовут …. А вот вас собралось очень много, поэтому сделаем так: я буду называть имена мальчиков и девочек и давать им задания. Если вы услышали свое имя, быстро и дружно выполняйте команду. Попробуем.
- Ну-ка, Саши, Лены, Оли, — покажись! (Ребята поднимаются со своих мест). — Ну-ка, Миши и Марины, — улыбнись! Эй, Алеши и Андрюши, — поклонись!
Возможные команды: отзовись, наклонись, причешись, потянись, повернись, распрямись, расстегнись, почешись и т.д.
Ведущий. А сейчас давайте знакомиться так, как это делают животные.
- Чьи имена начинаются с буквы «М» — будут мычать;
- Чьи имена начинаются с буквы «Р» — рычать;
- «С» — свистеть;
- «Б» — блеять;
- «К» — кудахтать;
- «О» — орлами летать;
- «А» — будут антилопами с изогнутыми рогами (показывают рога над головой);
- «И» — извиваться, как змеи и т.д.
Расскажи о себе
Играющие разбиваются по парам и в течение определенного времени (около 30 сек.) рассказывают о себе своему напарнику. Затем по одному человеку из пары садятся лицом в круг, а за их спинами становятся напарники, которые за определенное время (около 15 сек.) должны рассказать от своего лица то, что они только что услышали от напарника. Потом напарники меняются местами.
Свидания
Каждому участнику игры выдается листок и ручка. На этом листке пишется время по часам в столбик: 00:00, 01:00, 02:00, …, 23:00. После этого дается время, чтобы участники назначили друг другу свидание в определённое время. При назначении свидания напротив определенного времени прописывается имя человека, которому было назначено свидание. В одно время можно назначить свидание только одному человеку, если группа достаточно большая, то свидание одному человеку можно назначать только один раз.
Как только все участники распишут на своих листах свидания по всем часам, ведущий объявляет время и тему разговора (например, «Сейчас 03:00 и тема разговора «Моя мечта»). Во время свидания пары участников должны поговорить друг с другом на заданную тему. Темы разговоров должны быть подобраны так, чтобы максимально познакомить детей. Свидание длится 1-2 минуты. После этого объявляется следующее время и следующая тема разговора, и новые пары участников встречаются на следующем свидании.
Кораблик (для маленьких).
Всем выдаются кораблики, и каждый по очереди рассказывает о себе, как о кораблике («Мой кораблик зовут “Ксюша”, он любит читать книги о путешествиях…») Маленьким детям легче рассказывать о каком-либо предмете, чем о себе. Таким образом, вы можете получить гораздо больше информации.
«БИП»
Необходимо иметь стулья и шарф (повязка на глаза). Играющие рассаживаются в круг. Водящий с завязанными глазами ходит внутри круга, периодически садясь к играющим на колени. Его задача – угадать, к кому он сел. Садиться надо спиной к играющему, так, как будто садишься на стул, ощупывать руками не разрешается. Зато тот, к кому водящий присел на коленки, должен произнести: «БИП», желательно не своим голосом, чтобы его не узнали. Если водящий угадал имя обладателя коленок, то они меняются местами.
«Творог» (Сосиска)
Все стоят в помещении и идут медленно и осторожно спиной друг к другу. Если кто-то встречается (натыкается), то они, оставаясь в таком положении, широко расставляют ноги и, наклоняясь, приветствуют друг друга рукопожатием, произнося при этом «Сосиска» (Творог). Потом они продолжают свое движение.
«Любимое занятие»
Все встают в круг. Начинает вожатый. Он говорит, например, «Я люблю петь» и показывает действие. Тот, кто тоже любит петь начинает показывать это же. Следующий придумывает своё действие, и так у многих к концу круга накапливается масса разных дел.
«Молекулы-хаос»
Участники изображают броуновское движение молекул. Встречаясь, здороваются и знакомятся друг с другом.
По команде вожатого: » Молекула-2, молекула-3 и т. д.», игроки разбиваются на группы по 2, 3 и т. д. человек. Как только звучит команда: «Хаос», участники вновь начинают двигаться как молекулы. Таким образом, игра продолжается.
«Часы»
Необходимо иметь листы бумаги с изображением больших часов на каждого члена группы, ручки, 14 тем разговора, заготовленных заранее.
Ведущий раздает каждому участнику часы. Дается несколько минут, чтобы все назначили друг другу встречи на определенное время и записали имя своего товарища напротив определенного времени. Нельзя встречаться с одним человеком 2 раза. Все показывают часы с заполненными делениями.
Вожатый объявляет: «Сейчас час дня и в час дня мы говорим о том, какую музыку мы любим. У вас есть 3 минуты». Ребята находят человека, с которым у них назначена встреча на час и болтают с ним о музыке.
«А теперь 2 часа. И мы говорим о том, как вчера мы собирались в лагерь и что нам сказали родные на прощанье», и т.д.
«Пара: мим и болтун»
Все сидят в кругу, выбираются двое из отряда. Каждый по очереди пытается рассказать о себе основное, только во время рассказа он может лишь показывать жесты — он мим. А другой, его напарник, пытается интерпретировать жесты. Получается весело и познавательно. Потом они меняются местами.
Построения
Ведущий предлагает построиться участникам по цвету глаз (от самых светлых до темных); по числам и месяцам рождения от 1 января до
31 декабря; в алфавитном порядке по первым буквам полных имен и т. д.
Для усложнения задания можно устраивать построения в полной тишине
Шляпа
Участники стоят в кругу. Все вместе делают два хлопка, щелчок
пальцами правой руки, щелчок пальцами левой руки, два хлопка и т. д.
Желательно, чтобы начинал вожатый. Итак, при щелчке пальцами правой и левой руки ведущий произносит свое имя, затем два хлопка, после этого при щелчке пальцами правой руки произносит свое имя, а при
щелчке пальцами левой руки — имя одного из участников. Тот игрок,
чье имя назвали, повторяет то же самое. Например, Оля, Оля, два хлопка, Оля, Игорь, Игорь, Игорь, два хлопка, Игорь, Света, и т. д. Кто не успел — тот «прошляпил».
Расскажи о себе
Играющие разбиваются по парам и в течение определенного времени (около 30 сек.) рассказывают о себе своему напарнику. Затем по одному человеку из пары садятся лицом в круг, а за их спинами становятся напарники, которые за определенное время (около 15 сек.) должны рассказать от своего лица то, что они только что услышали от напарника. Потом напарники меняются местами.
Особенное знакомство
Каждому участнику дается (30-60 секунд), чтобы рассказать о себе, но делать он это будет особенным образом. Например, рассказать о себе без использования буквы А, рассказывая о себе и танцевать.
Как еще один вариант: можно раздать ребятам различные предметы (мыльница, ручка, часы, галстук, мягкая игрушка и т. д.). И они, используя их должны будут оригинально рассказать о себе.
Эмблема
Каждому участнику предлагается придумать и нарисовать свою эмблему, свой собственный значок, а затем рассказать о том, что отражает его эмблема. Так автор кратко знакомит остальных участников с собой, со своими увлечениями, чертами характера.
В дальнейшем эмблемы оформляются в виде визиток, значок и прикрепляют к одежде.
ЗДРАВСТВУЙТЕ!
Участники становятся в круг. Командор предлагает поздороваться со своими соседями способом, принятым в некоторых странах. При этом командор называет страну и форму приветствия:
В РОССИИ принято пожимать друг другу руки.
В ИТАЛИИ горячо обниматься.
В БРАЗИЛИИ хлопать друг друга по плечу.
В ЗИМБАБВЕ трутся спинами.
В МАКЕДОНИИ здороваются локтями.
В НИКАРАГУА приветствуют друг друга плечами.
У АВСТРАЛИЙСКИХ АБОРИГЕНОВ принято тройное приветствие: хлопнуть по ладоням, подпрыгнуть, толкнуть бедром.
Данная игра дает возможность снять эмоциональное напряжение и в веселой форме расположить участников к дальнейшему знакомству и общению.
ЗАБАВНАЯ АНКЕТА
Командор задает вопросы, если ребята себя узнают, то выполняют то, о чем попросит командор.
1.Чей рост превышает один метр пятьдесят сантиметров…
Скажите: «Я – КИНКОНГ!»
2.Кто родился в мае…
Возьмите себе кого-нибудь в пару и станцуйте.
3.У кого синие глаза…
Подмигните нам три раза
4.У кого есть брат…
Щелкните три раза.
- Кто любит кошек…
6.У кого есть в одежде красный цвет…
Скажите соседу справа: «У вас чудная прическа»
- Кто хоть раз в своей жизни курил…
Скажите: «Я это оспариваю»
- А кто не переносит дыма от сигарет…
Скажите: «Курение вредит вашему здоровью».
Уличное знакомство
Все участники игры разбиваются на пары. Задача одного из участников пары: познакомиться со вторым, абсолютно незнакомым ему человеком. Для этого он применяет максимум усилий, всю свою находчивость. Нужно узнать имя и любимое занятие. 2-ой игрок пытается уйти от знакомства, не сказав ни одного грубого слова. В конце игры участники делятся своими впечатлениями и определяют наиболее успешного «обольстителя» и самого несговорчивого «незнакомца».
Интервью
Участник должен честно ответить на предыдущий вопрос. Потом задать вопрос следующему участнику. Думать над вопросом можно не более 5 секунд.
И т.д. по кругу…
Эта игра может проводиться как свободное интервьюирование всеми участниками друг друга. Если вожатый чувствует, что атмосфера в отряде пока напряженная, то можно воспользоваться следующим приемом: на спине каждого участника крепится лист бумаги, на котором друг другу ребята пишут вопросы в течение отведенного времени. Потом листы снимаются, все садятся в круг и по очереди отвечают на вопросы, написанные на листах.
Найди свое имя
Каждый участник пишет на трех листочках свое имя, сворачивает их и отдает вожатому. Он их перетасовывает, и дети дочитают их в рандомом порядке. Цель игры собрать все карточки со своим именем, продемонстрировал свою умелость и таланты.
Белка
На полу отмечаются две линии друг напротив друга, люди распределяются произвольно вдоль линий. Вводная: ведущий называет какие-то характеристики, например, «Пусть справа окажутся те, кто любит эстрадную музыку, а слева — те, кто любит классику» (варианты – имена, фильмы и так далее). Участники должны быстро, не столкнувшись перебежать на ту линию, которая им подходит. Если не подходит ни та, ни другая – останавливаются в центре. Если столкнулись – ведущий выбирает нового воду и все продолжается.
5 вещей
Выполняется в парах. Пары расходятся на пять минут и молча жестами показывают друг другу пять самых важных для себя вещей. Затем пара рассказывает о себе то, что поняла. При этом первый человек рассказывает о втором, а второй о первом. (Варианты: цели на тренинг, пять самых страшных для меня вещей, самых любимых и т.п.)
3 слова о себе
Каждому участнику предлагается описать себя тремя словами. Имя за слово не считается.
Кельтское колесо
Есть люди дела, есть любители порядка, есть люди творчества, а есть те, кто любит теплые отношения и комфорт. В форме якобы кельтской легенды участникам предлагается отнести себя к тому или иному типу, сделать рекламу своих особенностей и задуматься о развитии других, дополняющих этому типу качеств.
Такие разные времена
Участникам предлагается встречаться и здороваться под разную музыку, в разном настроении, в разном стиле, как будто люди из разных культур и эпох.
Разрекламируй друга!
В парах. Люди знакомятся друг с другом, узнают лучшие качества друг друга и должны наилучшим образом представить своего партнера, сделать ему рекламу перед всей группой! Игра имеет много вариантов
«У Лукоморья дуб зелёный»
Оборудование: дерево, к которому прикреплены листья: на листьях написаны имена детей. Ход игры:
1-ая часть. Ведущий отрывает лист, читает имя, написанное на нем, вызывает ребенка с этим именем. Вызванный ребенок выходит и срывает следующий листок с дерева и т.д.
2-ая часть игры. Ведущий раздает листья с именами детей в беспорядке. Задание: выменять у игроков листочек со своим именем, подбежать к дереву, прикрепить лист, назвав свое имя. Выигрывает тот, кто быстрее других.
«Это — я»
Игроки становятся в круг. Ведущий, стоящий в центре, называет два имени (одно женское, второе мужское). Игроки, чьи имена назвали, кричат: «это-Я» и меняются местами. Задача ведущего: занять освободившееся место. Тот, кто не успел занять свободное место, становится ведущим, если из двух названных имен есть только один человек с таким именем, он кричит «Это-Я» и остается на месте.
«Игра с газеткой»
Все встают в круг, водящий в центр круга. Участники придумывают необидную рифму к своему имени, например, Юлька — свистулька, и т.д.
Водящий подбегает с газеткой к любому участнику и замахивается над его головой, считая до трех. Если за это время участник не вспомнил ни одного имя+прозвище, то он получает газеткой по лбу и остается водить.
«Мячик»
Ведущий держит в руках мяч и говорит: Разноцветный мячик По дорожке скачет, По дорожке, по тропинке, От березки до осинки, От осинки — поворот – Прямо к САШЕ в огород! (имя одного из играющих). С последними словами ведущий бросает мяч вверх. Участники, чье имя было названо, должны поймать мячик. Тот, кто поймал, становится ведущим. Если названо имя участника, которого нет в игре, то мяч ловит ведущий и делает следующий бросок.
«Хоровод знакомства»
Все участники, взявшись за руки, водят хоровод со словами: «Мы по кругу ходим, ходим, познакомиться хотим. Стоят лишь те, кого зовут СЕРЕЖИ (имя одного из играющих). Ну, а мы с Вами – сидим». После этих слов участники, чье имя было названо, остаются стоять, а остальные приседают.
«Ассоциации»
Мяч перекидывается в кругу (произвольно) и каждый у кого в руках мяч, называет слово. Тот, кому перекинули называет слово- ассоциацию к сказанному предыдущим участником. Может быть задана тема для ассоциаций. Игра может быть переходом от одной темы к другой.
«Найди похожего на тебя»
Каждому участнику игры выдается небольшой листок и ручка, на котором необходимо в столбик записать ответы на 10 вопросов: «год рождения», «знак зодиака», «цвет волос», «цвет глаз», «рост», «любимый день недели», «любимое занятие», «любимый фильм», и т.п. Задача участников собрать подписи других, имеющих что-либо общее с его ответами за ограниченное время.
«Печатная машинка»
Данная игра направлена на закрепление знакомства, поэтому перед началом игры каждый сидящий (стоящий) в кругу напоминает всем свое имя.
Все участники игры становятся механизмами одной «печатной машинки», руки и ноги которых — клавиши на этой машинке. Все стоят или сидят в кругу и делают одновременно синхронно и ритмично движения: щелчок одной рукой, щелчок другой и два хлопка по коленкам. Когда делают щелчок правой рукой — говорят свое имя, когда левой — имя любого человека из круга, а на два удара по коленкам — все молчат (так как это пробел). Итак, от одного человека до другого мы начинаем печатать имена всех присутствующих.
«Печатная машинка» ломается, т. е, участник выходит из игры, если сбивается с ритма, если сначала называет не свое имя, если называет имя вышедшего из игры игрока. Выбывший игрок перекрещивает на груди руки, но из круга не уходит. Игру продолжает игрок, сидящий справа от него. В конце игры выбираются сам работоспособные «печатные машинки».
Ведущий помнит о том, что если среди игроков есть люди с повторяющимися именами, то необходимо договориться, как в этой игре их будут звать (игровое имя). Например, в коллективе три Лены. Одну из них называем Леной, вторую — Леночкой, третью — Ленчиком. Перед игрой каждый громко называет свое игровое имя, чтобы все запомнили. Сначала проводится репетиция, т. к. сразу трудно одновременно и щелкать, и говорить, и вспоминать имена. После 2-З минутной репетиции начинается игра на выбывание.
Это игра на внимание, развитие памяти, а также она является игрой на
знакомство (скорее проверкой как все запомнили имена присутствующих).
Настольная игра Activity Мега вызов
Считаете себя профессионалом в Активити?! Выполняете задание за 10 секунд, а остальное время скучаете?! Не придумали еще таких слов и способов их объяснений, которые вам неподвластны?! Как бы не так! Любимая игра Активити кидает Мега-вызов своим поклонникам!
В настольной игре «Activity Мега вызов» 10 всевозможных способов объяснений слов, а также два режима игры: команда на команду, и команда против времени. Испытайте свою компанию на общий уровень творческой смекалки и хорошее настроение на вечеринке — гарантировано!
Цель игры
Набрать наибольшее количество очков, правильно разъясняя слова на карточках.
Подготовка к игре
Сначала участники выбирают способ игры: совместная против времени или команды против команд. После выбирается ведущий, который будет меняться каждый ход среди всех участников или внутри команды. Все карточки перетасовываются и выкладываются в стопку рубашкой вверх. Первый участник тайно смотрит верхнюю карту, после чего переворачиваются песочные часы и начинается объяснение.
Ход игры
Перед началом игры у всех игроков есть 1 минута, чтобы посмотреть на свои карты и жетоны и выбрать какое слово или словосочетание на какой карточке они хотят объяснять и каким способом.
В игре используют следующие способы разъяснения слов:
Пантомима: можно использовать только мимику и жесты. Запрещено разговаривать и произносить любые звуки. Игрок не может показывать на предметы вокруг и брать их в руки.
Только 2 слова: Объяснение должно быть произведено только с помощью 2 слов. Нельзя использовать однокоренные слова, части слова или словосочетания.
Только 3 слова: Объяснение должно быть произведено только с помощью 3 слов. Нельзя использовать однокоренные слова, части слова или словосочетания.
Рисование: Игрок имеет право только рисовать. В рисунке не должны использоваться числа, слова, буквы или какие-то символы.
Шумовые эффекты: Объяснять можно только используя различные звуки (например, свист, треск, мычание и т.д.). Разговаривать запрещается.
Рифма: Все слова в объяснении должны рифмоваться со словом в задании. Можно использовать любое количество слов, при этом они могут быть не связаны друг с другом. В случае, если нужно объяснить словосочетание из нескольких слов, то слова можно рифмовать с каждым словом из словосочетания отдельно.
Одна линия: Слово должно быть нарисовано в одну линию без отрыва руки. Надписи не допускаются. Как только линия прервалась, рисунок считается законченным, продолжать рисование запрещается.
Аплитерация: Слово или словосочетание должно быть описано только словами, которые начинаются с одной и той же буквы. При этом буква не обязательно должна быть первой буквой слова из задания, можно выбрать любую букву для объяснения. Количество слов в объяснении не ограничено.
Разговор наоборот: Слово или словосочетание должно быть названо задом наперед. В случае необходимости можно повторить слово неограниченное количество раз. Другим игрокам запрещается везти записи.
Марионетка: Игрок должен изобразить слово, использую любого игрока в качестве марионетки. Строго без слов. Шумовые эффекты также не допускаются.
Каждый игрок решает, какое слово или словосочетание он будет разъяснять первым.
Игроки определяют, кто будет первым объяснять слово. Первый игрок переворачивает песочные часы и начинает первый раунд. У команды есть всего 1 минута, чтобы угадать 6 слов или словосочетаний.
Первый игрок выбирает одну из своих карт и переворачивает соответствующий ей жетон лицевой стороной вверх, таким образом, чтобы все члены команды видели способ разъяснения. Игрок объявляет категорию слова, обозначенную в оранжевом поле на карточке, например, «Работа», и начинает объяснение.
Если команда угадает слово или словосочетание, то исполнитель выкладывает свою карточку на свободный прямоугольник на игровом поле, а жетон на круглое поле рядом.
Затем наступает ход следующего игрока по часовой стрелке. Как можно скорее этот игрок начинает объяснять слово или словосочетание. Если ему это удается, то ход переходит к следующему игроку и т.д.
Если игроки не могут отгадать слово, то объясняющий игрок оставляет карточку себе и ход переходит к другому игроку. Во время следующего хода у этого игрока появится еще один шанс разъяснить другое слово или словосочетание с этой же карточки (дополнительно может быть вытащен новый жетон).
Один раунд заканчивается тогда, когда либо время песочных часов истекло, либо команда отгадала 6 слов или словосочетаний, и, таким образом, все пустые поля на игровом поле с картами и жетонами заняты.
Оценка ситуации:
В случае, если все поля с картами и жетонами заполнены, то этот раунд выигран, и фишка остается на месте и никуда не двигается.
В случае, если время истекло, но отгадано менее 6 слов или словосочетаний, то фишка передвигается на столько полей в направлении Черной дыры, сколько еще осталось свободных полей на игровом поле. Например, было угадано 4 слова. На игровом поле закрыты 4 поля и 2 поля свободны. Значит, фишка перемещается на 2 поля в сторону Черной дыры.
После оценки ситуации игровое поле освобождается от карточек и жетонов. Сыгранные карточки помещаются в отдельную стопку, жетоны перемешиваются, и выкладываются обратно к оставшимся жетонам. Игроки снова берут по две карты и два жетона.
В случае, если у игрока остались не разыгранные карты и жетоны с прошлого раунда, они добирают оставшиеся карты и жетоны до необходимого количества. Ход начинается с игрока, сидящего следующего по часовой стрелке за игроком, который объяснял в прошлом раунде последним. Игрок переворачивает песочные часы и начинает объяснять свое слово. Раунд продолжается по тем же правилам, что и предыдущий.
Окончание игры:
1) если команда отгадала 24 слова или словосочетания, при этом фишка не достигла Черной дыры. Команда признается победителем игры.
2) Фишка попала на поле Черной дыры до того, как все 24 карты были разыграны. В этом случае команда проиграла.
Конкурентная игра – команда против команды
Этот вариант игры также подходит в случае, если в игре принимает участие более 8 человек.
Игроки делятся на 2 команды, в каждой из которых должно быть не менее 3 игроков. Обе команды выбирают общее стартовое поле (Начинающие, Продвинутые, Профессионалы) и помещают на нем свои фишки. Карточки со словами и словосочетаниями хорошо перемешиваются и выкладываются стопкой рядом с игровым полем, также как и жетоны.
Игра проходит по тому же принципу, как описано в правилах выше, только в этом случае, команды чередуются для ответа. Сначала одна команда пытается отгадать 6 слов или словосочетаний в течение одной минуты, затем другая. Если команде это удается, она может переместить фишку соперника на одно поле в направлении Черной дыры.
Игра заканчивается тогда, когда фишка одной из команд достигнет Черной дыры- это значит, что эта команда проиграла.
Состав игры:
- 220 карточек;
- 2 фишки;
- 1 песочные часы;
- 25 жетонов;
- игровое поле;
- правила игры.
Для кого эта игра:
Рекомендуемый возраст от 12 лет. Количество участников от 3 до 12 игроков.
Настольная игра «Activity Мега вызов» — это мега-веселая игра для компании на любой вечеринке. Набор из 10 возможных способов объяснения слов, позволяет заинтересовать игрой и совсем маленьких участников, и молодежь, и вполне взрослых людей, которые тоже любят и умеют веселиться.
Купить настольную игру «Activity Мега вызов« в Новосибирске Вы можете в магазине развивающих и настольных игр «Игры Почемучек»
Оставить свой отзыв о настольной игре «Activity Мега вызов» (понравилось/не понравилось и почему) Вы можете чуть ниже в разделе Отзывы.
| Артикул: | 792021 |
| Возраст: | от 12 лет от 16 лет |
| Пол: | Мальчик Девочка |
Задачи по комбинаторике. Примеры решений
На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами.
Перегляд файлу
Задачи по комбинаторике. Примеры решений
На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики , которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей . Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут 😉
Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.
С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:
Перестановки, сочетания и размещения без повторений
Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит « без повторений »? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:
яблоко / груша / банан
Вопрос первый : сколькими способами их можно переставить?
Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:
яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко
Итого : 6 комбинаций или 6 перестановок .
Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!
Пожалуйста, откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики (методичку удобно распечатать) и в пункте №2 найдите формулу количества перестановок.
Никаких мучений – 3 объекта можно переставить способами.
Вопрос второй : сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?
Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)
а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний :
Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»
б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:
Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».
в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:
Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.
г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.
Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей , уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.
Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)
Вопрос третий : сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?
Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.
И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.
В данном случае работает формула количества размещений :
Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.
Пожалуйста, внимательно прочитайте пункт №2 методички Основные формулы комбинаторики и постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.
Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными .
Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой
Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение : используем формулу количества перестановок:
Ответ : 120 способами
Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ) , и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? 😉
Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.
Решение и ответ в конце урока.
Сочетания
В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:
Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение : прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать) .
В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:
способами можно взять 4 детали из ящика.
Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ : 1365 способами
Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:
– единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.
Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля , по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений при небольших значениях «эн».
Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:
В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по 1-й партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?
Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой) . Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений ) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».
Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
различных пар можно составить из соперников (кто играет белыми, кто чёрными – не важно) .
Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.
Ну а вывода тут два:
– во-первых, не всё очевидное – очевидно;
– и во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!
Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!
Размещения
Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком . Количество размещений рассчитывается по формуле
Что наша жизнь? Игра:
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение : ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:
способами можно раздать 3 карты игрокам.
Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:
способами можно извлечь 3 карты из колоды.
Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:
КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.
И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:
способами можно сдать по одной карте трём игрокам.
По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.
Ответ : 42840
Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.
Правило сложения и правило умножения комбинаций
Данные правила весьма напоминают алгебру событий , и многие читатели уже ознакомились с пунктом №4 справочного материала Основные формулы комбинаторики , где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:
1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ . Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.
То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта) .
Рассмотрим более основательный пример:
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?
Решение : в данном случае не годится подсчёт , поскольку общее количество сочетаний включает в себя и разнополые пары.
Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:
способами можно выбрать 2 юношей;
способами можно выбрать 2 девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Ответ : 123
Правило умножения комбинаций:
2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И .
Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?
способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать: способами.
Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: « каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».
То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.
Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!
Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?
Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:
возможных групп артистов.
Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).
Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение : для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо :
В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр: .
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует : трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц »
Или ещё проще: « каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц ».
Ответ : 180
Да, чуть не забыл об обещанном комментарии к задаче №5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами.
А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:
Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?
Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов.
(порядок карт в любой паре не имеет значения)
Краткое решение и ответ в конце урока.
Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений =)
Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:
У Васи дома живут 4 кота.
а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого – на правую)?
Решаем : во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!
а) Молчание котов . Данной экзекуции подвергаются сразу все коты
+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:
способами можно рассадить котов по углам комнаты.
Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.
б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?
Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота.
Считаем все возможные комбинации:
способами можно отпустить гулять одного кота (любого из четырёх);
способами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);
способами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из 4 сидит дома);
способом можно выпустить всех котов.
Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:
способами можно отпустить гулять котов.
Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи – когда любой кот в любой выборке случайным образом может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно 10 этажа . Комбинаций заметно прибавится!
в) Сколькими способами Вася может взять на руки двух котов?
Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам:
способами можно взять на руки 2-х котов.
Второй вариант решения: способами можно выбрать двух котов и способами посадить каждую пару на руки:
Ответ : а) 24, б) 15, в) 12
Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек =) Сколькими способами можно отпустить гулять 2 котов и 1 кошку?
То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.
Ещё один баян для самостоятельного решения:
В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:
1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения) ;
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?
ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. Не нужно огорчаться, если что-то не получится, так, например, пункт №2 достаточно коварен.
Полное решение с подробными комментариями в конце урока.
Заключительный параграф посвящён комбинациям, которые тоже встречаются достаточно часто – по моей субъективной оценке, примерно в 20-30% комбинаторных задач:
Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
Перечисленные виды комбинаций законспектированы в пункте №5 справочного материала Основные формулы комбинаторики , однако некоторые из них по первому прочтению могут быть не очень понятными. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Поехали:
Перестановки с повторениями
В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов , но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:
Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?
Решение : в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу , однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми , поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.
Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:
К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.
Проверка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.
По формуле количества перестановок с повторениями :
различных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!
Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: забиваем в любую ячейку =ФАКТР(11) и жмём Enter .
На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы:
Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!
Ответ : 554400
Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решений в соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:
Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
Формула здесь не годится, поскольку учитывает совпадающие перестановки (например, когда меняются местами силовые упражнения в среду с силовыми упражнениями в четверг). И опять – по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи (с точки зрения расписания) они считаются одинаковыми элементами.
Двухстрочное решение и ответ в конце урока.
Сочетания с повторениями
Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.
Сегодня все хорошо потрудились, поэтому настало время подкрепиться:
В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?
Решение : сразу обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются – ибо абсолютно идентичные пончики можно смоделировать разве что на компьютере =) Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.
Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.
Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.
Используем формулу 
количества сочетаний с повторениями:
способом можно приобрести 5 пирожков.
Ответ : 21
Какой вывод можно сделать из многих комбинаторных задач?
Порой, самое трудное – это разобраться в условии.
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
В кошельке находится достаточно большое количество рублей, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?
В целях самоконтроля ответьте на пару простых вопросов:
1) Могут ли в выборке все монеты быть разными?
2) Назовите самую «дешевую» и самую «дорогую» комбинацию монет.
Решение и ответы в конце урока.
Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями – наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:
Размещения с повторениями
Из множества, состоящего из элементов, выбирается элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».
Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:
Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Решение : на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики: способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: способами.
А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из цифр, из которого выбираются цифры и располагаются в определенном порядке , при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз) . По формуле количества размещений с повторениями:
Ответ : 10000
Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.
И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей mathprofi.ru:
Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами) .
Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?
Нет так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS.
Решение и ответ в конце урока. Не забываем использовать правила комбинаторики 😉 …Хотел похвастаться эксклюзивом, да оказалось не эксклюзивом =) Заглянул в Википедию – там есть расчёты, правда, без комментариев. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал.
Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей ,
и в задачах на классическое определение вероятности – особенно часто =)
Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!
Решения и ответы :
Задача 2: Решение : найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек:
Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить способами.
Примечание : т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ : 18
Задача 4: Решение : способами можно выбрать 3 карты из 36.
Ответ : 7140
Задача 6: Решение : способами.
Другой вариант решения : способами можно выбрать двух человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ : 506
Задача 9: Решение :
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Ответ : 22
Задача 11: Решение :
1) способами можно выбрать этаж для выхода всех пассажиров.
2) 
способами можно выбрать 2 этажа для выхода пассажиров (например, 6-ой и 11-й этаж).
способами можно выбрать двух человек для выхода на одном этаже (третий выйдет на другом этаже). Например: 
Кроме того, любую пару и «одинокого человека» можно поменять этажами: 
Таким образом, для каждой пары этажей (55 уникальных сочетаний) возможно способов выхода пассажиров.
По правилу умножения комбинаций: способами 2 пассажира могут выйти на одном этаже, а третий – на другом этаже.
3) способами пассажиры могут выйти на разных этажах.
Второй вариант решения : способами можно выбрать 3 этажа для выхода и способами переставить пассажиров по каждой тройке этажей; следовательно, пассажиры могут выйти на разных этажах способами.
4) Способ первый : суммируем комбинации первых трёх пунктов:
способом пассажиры могут выйти из лифта.
Способ второй : в общем случае он более рационален, более того, позволяет обойтись без результатов предыдущих пунктов. Рассуждения таковы: способами может выйти 1-й пассажир из лифта и способами может выйти 2-й пассажир и способами может выйти 3-й пассажир. По правилу умножения комбинаций: 
способом могут выйти три человека
Ответ : 1) 11; 2) 330; 3) 990; 4) 1331
Задача 13: Решение : по формуле количества перестановок с повторениями:
способами можно составить расписание занятий на неделю.
Ответ : 105
Задача 15: Решение : используем формулу сочетаний с повторениями:
способами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Ответ : 20
Ответы на вопросы:
1) Да (т.к. количество извлекаемых монет (3 шт.) меньше видов монет (4 вида));
2) Самый «дешёвый» набор содержит 3 рублёвые монеты, а самый «дорогой» – 3 десятирублёвые.
Задача 17: Решение : способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить: 
.
способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить:
автомобильных номера
( каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ : 1726272