Числа Эпсилона (математика) — Epsilon numbers (mathematics)
В математике эпсилон числа — это набор трансфинитных чисел, определяющим свойством которых является то, что они являются фиксированными точками на экспоненциальной карте . Следовательно, они недостижимы из 0 с помощью конечной серии приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε, которые удовлетворяют уравнению
в котором ω это наименьший бесконечный порядковый номер.
Наименьший такой порядковый номер — ε0(произносится как эпсилон ноль или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинита. рекурсия из последовательности меньших предельных ординалов:
Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате в ε 1, ε 2,…, ε ω, ε ω + 1,…, ε ε 0,…, ε ε 1,…, ε ε ε ⋅ ⋅ ⋅,… , \ varepsilon _ , \ ldots, \ varepsilon _ , \ varepsilon _ , \ ldots, \ varepsilon _ >, \ ldots, \ varepsilon _ >, \ ldots, \ varepsilon _ >>>>, \ ldots> . Порядковый номер ε 0 по-прежнему счетный, как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые числа и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).
Многие большие эпсилон-числа могут быть определены с помощью функции Веблена.
Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в системе сюрреалистических чисел, состоящей из всех сюрреалей, которые являются неподвижными точками базового ω экспоненциального отображения x → ω.
Порядковые числа ε
Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:
Из этого определения следует, что для любого фиксированного порядкового номера α>1 отображение β ↦ α β > — это нормальная функция, поэтому она имеет произвольно большие фиксированные точки с помощью fixed- точечная лемма для нормальных функций. Когда α = ω , эти фиксированные точки являются в точности порядковыми эпсилон-числами. Наименьшее из них, ε₀, является верхней гранью последовательности
0, ω 0 = 1, ω 1 = ω, ω ω, ω ω ω,…, ω ↑↑ k,… = 1, \ omega ^ = \ omega, \ omega ^ , \ omega ^ <\ omega ^ >, \ ldots, \ omega \ uparrow \ uparrow k, \ ldots>
, в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении β ↦ ω β > . (Общий термин дается с использованием обозначения стрелки Кнута вверх ; оператор ↑↑ эквивалентен тетрации.) Так же, как ω определяется как верхняя грань для натуральных чисел k, наименьшее порядковое эпсилон-число ε₀ может также обозначаться ω ↑↑ ω ; это обозначение гораздо реже, чем ε₀.
Следующее эпсилон-число после ε 0 > равно
, в котором последовательность снова строится путем повторения возведения в степень по основанию ω, но вместо этого начинается с ε 0 + 1 +1> из в 0. Обратите внимание
Другая последовательность с тем же супремумом, ε 1 > , получается путем начала с 0 и возведения в степень с основанием ε₀ вместо этого:
Эпсилон-число ε α + 1 > , индексируемое любым последующим порядковым номером α + 1 строится аналогично, путем возведения в степень по основанию ω, начиная с ε α + 1 +1> (или по основанию ε α > возведение в степень, начиная с 0).
Эпсилон-число с индексом предельный ординал α строится иначе. Число ε α > — это верхняя грань набора чисел эпсилон > . Независимо от того, является ли индекс α предельным порядковым номером, ε α > является фиксированной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но также и по основе возведения в степень γ для все порядковые числа 1 .
Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:
- Хотя это довольно большое число, ε 0 > по-прежнему счетный, являясь счетным объединением счетных порядковых чисел; фактически, ε α > является счетным тогда и только тогда, когда α является счетным.
- Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например,
- начальный порядковый номер любой несчетныйкардинал является эпсилонным числом.
Представление ε 0 > по корневым деревьям
Любое эпсилон-число ε имеет нормальную форму Кантора ε = ω ε > , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы меньше ε 0 могут быть с пользой описаны с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε 0 как упорядоченного набора всех конечных корневых деревья следующим образом. Любой порядковый номер α имеет нормальную форму Кантора α = ω β 1 + ω β 2 + ⋯ + ω β k > + \ omega ^ > + \ cdots + \ omega ^ >> где k — натуральное число, а β 1,…, β k , \ ldots, \ beta _ > — порядковые числа с α>β 1 ≥ ⋯ ≥ β k \ beta _ \ geq \ cdots \ geq \ beta _ > , однозначно определяется α . ординалы β 1,…, β k , \ ldots, \ beta _ > , в свою очередь, имеют аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих β 1,…, β k , \ ldots, \ beta _ > с новый корень (это приводит к тому, что th Число 0 представлено одним корнем, а число 1 = ω 0 > представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится хорошо упорядоченным множеством, которое по порядку изоморфно ε 0.
иерархии Веблена
Неподвижные точки «эпсилон-отображения» Икс ↦ ε Икс > образуют нормальную функцию, фиксированные точки которой образуют нормальную функцию, чья…; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ 0 (α) = ω). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение — это φ 1, а его неподвижные точки пронумерованы как φ 2.
. Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ α для прогрессивно увеличивающиеся ординалы α (включая, посредством этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы), с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ α + 1 (0). Наименьший порядковый номер, недоступный из 0 с помощью этой процедуры — i. е., наименьший порядковый номер α, для которого φ α (0) = α, или, что то же самое, первая фиксированная точка карты α ↦ φ α (0) (0)> — это порядковый номер Фефермана – Шютте Γ0. В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, имеется отображение Γ, в котором перечислены неподвижные точки Γ 0, Γ 1, Γ 2. из α ↦ φ α (0) (0)> ; это все еще числа эпсилон, поскольку они лежат в образе φ β для каждого β ≤ Γ 0, включая карту φ 1, которая перечисляет эпсилон числа.
Сюрреалистические ε-числа
В On Numbers and Games классическое изложение сюрреалистических чисел, Джон Хортон Конвей предоставил ряд примеров концептов, которые имели естественные расширения от ординалов до сюрреалов. Одной из таких функций является ω -map n ↦ ω n > ; это отображение естественным образом обобщается, чтобы включить все сюрреалистические числа в его область, что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.
Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты эпсилон-числом, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных эпсилон-чисел:
Существует естественный способ определить ε n > для каждого сюрреалистического числа n, и карта сохраняет порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.
См. Также
- Порядковая арифметика
- Крупный счетный порядковый номер
Ссылки
- J.H. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
- Раздел XIV.20 из Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.), PWN — Polish Scientific Publishers
Эпсилон (буква)
Ε, ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е.
Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.
Использование
Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.
В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:
Построить эпсилон НКА, который допускает следующие языки. Для упрощения построений используйте, по возможности, эпсилон:
Построить эпсилон НКА, который допускает следующие языки. Для упрощения построений используйте, по.
Регистрация: 19.11.2017
Сообщений: 574
Сообщение было отмечено mathus как решение
Решение
Что за ε вообще? Что он обозначает, какой смысл у этой переменной? Или это константа?
Для того, чтобы это понять, можно дать более подробное определение предела (взято отсюда — http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0501.html) и перейти к определению, данному в учебнике:
Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой a называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел
Этот номер (Nε) зависит от выбора окрестности точки a. Вне любой окрестности точки a находится лишь конечное число членов рассматриваемой последовательности. Окрестности конечных и бесконечно удаленных точек числовой прямой определяются заданием некоторого числа ε > 0.
Итак, для любого положительного числа ε>0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε будет выполняться неравенство |Xn-a| < ε (см. определение из учебника).
И да, Nε- это номер члена последовательности, или сам член посл.?
Это номер члена последовательности, начиная с которого (n ≥ Nε) будет выполняться неравенство |Xn-a| < ε.
Пример:
Рассмотрим последовательность x1, x2, . xn, . . Например, 1, 1/2, 1/3, . 1/n, . Её предел равен 0.
Значит неравенство |Xn-a| < ε можно записать как |Xn| < ε, т.к. в данном примере любой член последовательности Xn >0, то Xn < ε.
Каково бы ни было ε>0, согласно принципу Архимеда существует натуральное число Nε, которое больше, чем 1/ε, т.е. Nε>1/ε, следовательно 1/Nε < ε. Тогда для всех натуральных чисел n >Nε имеет место неравенство 0 < 1/n < 1/Nε < ε. При n >Nε выполняется условие |1/n-0| = 1/n < ε. А значит предел (число а) равен 0.
457 / 334 / 92
Регистрация: 14.03.2021
Сообщений: 1,338
.. то есть, эпсилон — это положительное число, сколь угодно малое наперёд заданное.
То есть, как в предыдущем примере, неравенство при, предположим, — начнёт выполняться, начиная с номера , при — начиная с номера — и так далее, для любой сколь угодно малой степени числа .
27697 / 17314 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979
Сообщение от Iliodor 
сколь угодно малое
Это совершенно не нужные, пустые слова. Применяемые для эмоционального усиления , что-ли.
Достаточно сказать «каждого», хотя мне кажемся, уместнее — «любого»
mathus, смысл определения в том, что если уж последовательность попадет в окрестность, то из нее уже не выскочит. Хотя и может до окончательного поглощения немножко погулять. Но уж начиная с некоторого Neps она уж никуда не денется.
Регистрация: 20.03.2020
Сообщений: 435
спасибо ответившим, вроде как тут разобрался, но все равно до конца не прояснилась тема(( Я был бы премного благодарен, если вдруг кто-то обьяснит мне эти «окрестности точек непонятные» на «пальцах», ну или может посоветуете книги/сайты с понятным,подробным обьяснением? Хотя я наверно совсем зажрался
Регистрация: 19.11.2017
Сообщений: 574
mathus,
Представьте себе числовую прямую и точку на ней. Окрестностью этой точки (-окрестностью) будет множество точек, удаленных от менее чем на . Для этих точек выполняется неравенство .
27697 / 17314 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979
mathus, https://ru.wikipedia.org/wiki/. 1%82%D1%8C
Скользкая штука.
Но нам пока достаточно говорить о 2-х окрестностях
— Окрестность точки -это то, что отстоит от точки менее чем на Епсилон
— Окрестность Бесконечность — это то, что больше числа Эн
Есть варианты : отрицательная бесконечность, левая (правая) окрестность точки — они очевидны.
Окрестностей много. Для каждого Епсилон — своя.
И в терминах окрестностей определение предела очень просто
Это значит, что для любой окрестности OB точки B найдется такая окрестность Ox точки x , что все значения функции от x из окрестности Ох попадут в ОВ
Хорошее упражнение — перевести «окрестное» определение предела в термины Епсилон- Эн или Епсилон-Дельта
Добавлено через 12 минут
Сообщение от Байт
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Определение предела и число эпсилон
Определение предела и число эпсилон
16.02.2013, 15:05
Добрый день. уважаемые форумчане !
Здесь я первый раз и, соответственно, создаю первую тему, поэтому прошу вас быть ко мне снисходительными.
Ввиду начала изучения теории пределов у меня возникли вопросы.
1. Предел последовательности.
Цитирую:
Цитата:
Число а называется пределом последовательности 
найдется такое натуральное число N, что при всех 
2. Геометрический смысл того же предела последовательности:
Цитата:
Число а называется пределом последовательности -окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения 
, для которых -окрестность точки а.
Не могу понять, откуда здесь вообще число эпсилон ? Меня удивляет то, что вплоть до определения предела последовательности числа 
не было как такового. Сути эпсилон в данном определении я не понимаю категорически. За что конкретно отвечает переменная 
? Будьте добры, разьясните мне, пожалуйста, смысл эпсилона.
Да, и ещё: «N» — это номер последовательности или число из последовательности ? Аналогично и с «n».
Я просмотрел дальше определение предела функции — это ещё закрученнее, чем я ожидал. Если определение предела функции по Гейне более-менее понятно (при том, что я не понимаю предела последовательности 🙂 ), то определение предела функции по Коши или на «языке – 
» для меня равносильно китайскому. 🙁
Заранее благодарен за ответ.