Что больше среднее арифметическое или среднее геометрическое

Неравенства между средними значениями

Замечание . Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда , и в случае, когда.

Следствие 1 . Для произвольного набора из n положительных чисел

справедливы следующие неравенства между его средними значениями:

Следствие 2 . Для произвольного набора из n положительных чисел

любые два из его средних значений

равны между собой тогда и только тогда, когда все числа

Итак, для n произвольных положительных чисел

справедлива следующая цепочка неравенств:

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши .

В случае, когда n = 2 , неравенство Коши имеет вид

Докажем это неравенство:

что и требовалось.

Из неравенства Коши с n = 2 , взяв

нетрудно получить очень полезное следствие .

Следствие . Для произвольного положительного числа x выполнено неравенство

Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом

В случае n переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:

В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:

Докажем это неравенство:

Выясните, что больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел.

Составьте программу для решения задачи. Выясните, что
больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел. Разработайте перегруженные функции нахождения среднего
арифметического и среднего геометрического трех целых и вещественных чисел

Вот тема моей задачи. Пожалуйста помогите. Нужно сделать так, чтобы пользователь сам вводит числа и там всё считалось. Нужно срочно, завтра сдавать, плиз

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Выясните, что больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел
Выясните, что больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое трёх чисел
Имеется такая прога, сейчас она не работает, нужно сделать через функцию, которая получает и.

Вычислить среднее геометрическое, или среднее арифметическое, или произведение в зависимости от четности чисел
Даны три числа x, y, z. Если значения всех чисел являются четными, то вычисляется их среднее.

Вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных элементов матрицы
Составить функцию что вычесляет среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных.

Нарушитель
8990 / 4844 / 1118
Регистрация: 12.03.2015
Сообщений: 22,930

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

#include #include double A3(unsigned x, unsigned y, unsigned z) { return (x + y + z) / 3.0; } double A3(double x, double y, double z) { return (x + y + z) / 3.0; } double G3(unsigned x, unsigned y, unsigned z) { return cbrt(x * y * z); } double G3(double x, double y, double z) { return cbrt(x * y * z); } // true, если СА > СГ void int_check(void)  unsigned x, y, z; do printf(">> Введи 3 целых положительных ЦЕЛЫХ числа через пробел: "); while (scanf("%u%u%u", &x, &y, &z) != 3  // true, если СА > СГ void float_check(void)  x  0  int main() { char t; do printf(">> Задай тип переменных (u - целые/f -вещественные): "); while (scanf("%c", &t) != 1); switch (t) { case 'u': int_check(); break; case 'f': float_check(); break; default: printf("! кривые руки.\n"); } return 0; }

Регистрация: 11.05.2017
Сообщений: 45

Verevkin,
А какие тестовые данные ты вводил для вещественных чисел?

И да, ещё бы хорошо было бы проработать момент с отрицательными целыми и вещественными числами

7430 / 5022 / 2892
Регистрация: 18.12.2017
Сообщений: 15,692

Сообщение от Владимир2017

И да, ещё бы хорошо было бы проработать момент с отрицательными целыми и вещественными числами
совершенно не нужно, во-первых читайте условие:

Сообщение от Владимир2017

Выясните, что больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел

во-вторых среднее геометрическое из отрицательных не находится

сброшенный код написан на языке С

math_in_school

Поскольку эти понятия используются очень часто, имеет смысл немного о них поговорить. Среднее арифметическое возникает, когда делят поровну. Тут всё понятно – как говорил Шариков – сложить и поделить. Sa =( a + b )/2 .
А что такое среднее геометрическое для a и b ? Это такой отрезок, который будет стороной квадрата, равного по площади прямоугольнику со сторонами a и b . Понятно, что он между a и b . Sg = √ ( ab) — корень квадратный из произведения.
Сравним Sa V Sg при одних и тех же a и b (для положительных, разумеется ) V – знак сравнения. Его можно заменить на > или < , преобразовав неравенство в такое, которое будет выглядеть очевидным. Понятно, что следует выполнять правила операций с частями неравенства – переносить , добавлять равное или умножать на положительное число.
(a+b)/2 V √ (ab) ; a + b — 2 √ (ab ) V 0 ; a + b — 2 √ a √ b V 0 ;
Левая часть неравенства – полный квадрат a + b — 2 √ a √ b = ( √ a — √ b ) ² >= 0 Следовательно, знак V в неравенстве Sa V Sg мы имеем право заменить на >= .
Sa >= Sg Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда больше или равно их среднему геометрическому, причём равенство достигается при a = b .
Этот факт имеет очень простую и красивую геометрическую интерпретацию. Пусть a + b будут диаметром окружности. Тогда перпендикуляр к диаметру из точки соприкосновения отрезков a и b до пересечения с окружностью даст среднее геометрическое. А радиус – среднее арифметическое. Предлагаю доказать это в качестве упражнения.

А что будет, если чисел не два, а больше? Будет то же самое, но называться станет сложно и страшно – неравенством Коши-Буняковского. Докажем его как-нибудь в другой раз, после того, как разберёмся, что такое математическая индукция.

П.С. Выполняя пожелание old_greeb , рассмотрим ещё одно среднее — гармоническое Sh=2ab/(a+b) Это величина является,например, решением задачи о средней скорости, которой часто морочат головы изучающим физику — заставляя пользоваться точным определением средней скорости, а не интуитивными понятиями. Пусть первую половину пути объект двигался со скоростью а, вторую половину — со скоростью b. Какова средняя скорость? Интуитивный ответ (a+b)/2, очевидно, неверен. Правильное решение по определению скорости, как отношения пути ко времени, даёт V=S/(S/2a +S/2b) = 2ab/(a+b)

Сравним среднее гармоническое и среднее геометрическое. 2ab/(a+b) V √ (ab) или √( ab)/((a+b)/2) V 1 В числителе — среднее геометрическое, которое меньше среднего арифметического в знаменателе 2ab/(a+b) √ (ab)

Среднее геометрическое

Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего геометрического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию.

Содержание:

• Определение среднего геометрического
• Расчет среднего геометрического
• Свойства среднего геометрического
• Прикладное значение среднего геометрического

Среднее геометрическое или среднее пропорциональное используется человечеством в архитектурных, землемерных и инженерных расчетах не менее 2500 лет. Об этом достоверно известно благодаря математическому трактату Евклида «Начала».
В своей второй теореме Евклид доказывает, что в прямоугольном треугольнике высота проведенная из прямого угла (рисунок) делит противоположную сторону так что:

Собственно говоря, благодаря второй теореме Евклида среднее геометрическое и получило свое название. В древнем мире математики ограничивалось только использованием корня квадратного (геометрия) и корня кубического (стереометрия).
Вообще говоря, извлечение корня с различными целыми показателями является частным случаем дробной степени. Но к такому пониманию этих алгебраических операции математики подошли только в семнадцатом веке. Неоценимый вклад в достижении обобщенного понимания степенных алгебраических операции внес Рене Декарт.

В свете современных представлений:

Среднее геометрическое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат взаимного умножения этих чисел и извлечения из произведения корня с показателем равным количеству чисел:

a_{ср.геом} = n
a ₁ · a ₂ · … · a _n

Таким образом, мы имеем дело исключительно с положительными вещественными числами и находим такое число, что при замене каждого из этих чисел их произведение не изменяется.

Расчет среднего геометрического

Для того чтобы начать онлайн расчет среднего геометрического введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному — они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:

Введите исходные данные

Что-то пошло не так. Прямое восхождение не может быть больше 24 часов, минуты и секунды больше 60, а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°

Среднее геометрическое, a_{ср. геом}

Для наглядной демонстрации правила о средних

выводим так же результат расчета среднего арифметического:

Среднее арифметическое [1] , a_{ср. арифм}

Design by Sergey Ov for abc2home.ru

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднего геометрического в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

После того как будут введены хотя бы два исходных числа, цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый, и автоматически начнется расчет среднего геометрического и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.

Страницы по теме «Расчет средних значений»

• Среднее арифметическое — расчет онлайн, определение, формула
• Среднеквадратическое отклонение — расчет онлайн, определение, формула
• Среднее геометрическое — расчет онлайн, определение, формула
• Среднее гармоническое и среднее степенное — расчет онлайн, определения, формулы
• Среднее квадратическое — расчет онлайн, определение, формула

Свойства среднего геометрического

1. Среднее геометрическое значение множества заданных неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого множества.

2. Кроме того среднее геометрическое подчиняется неравенству о средних для множества положительных вещественных чисел

a_min ≤ a_{ср. гарм} ≤ a_{ср. геом} ≤ a_{ср. арифм} ≤ a _{ср.квадр} ≤ a _max [2] ,

то есть для любого множества положительных чисел среднее геометрическое никогда не бывает больше среднего арифметического [1] :

a ₁ · a ₂ · … · a _n
a ₁ + a ₂ + …+ a _n n

Прикладное значение среднего геометрического

Среднее геометрическое широко используется в демографической статистике, моделирований социального развития общества.
С применением среднего геометрического в экономике расcчитываются финансовые индексы, в физике — коэффициент преломления антибликового напыления, а в вычислительной математике осуществляется сглаживание шумов.

P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднего геометрического, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).

1. Среднее арифметическое значение (чаще используется термин, просто, «среднее арифметическое» или «среднее») множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:

a ₁ + a ₂ + …+ a _n n

2. Среднее степенное значение s_d порядка (степени) d от множества заданных чисел a ₁ + a ₂ + …+ a _n определяется формулой: