Вещественные числа — что это такое
Вещественные числа — числа, которые обладают дробной частью.
Они могут быть как положительными, так и отрицательными. Дробная часть также может быть нулевой, тогда число называют целым (множество целых числе является подмножеством множества вещественных чисел, т.е. целое число это просто частный случай вещественного — также, как, например, русские люди являются подмножеством жителей Евразии).
Примеры вещественных чисел:
12 56.7 0 1242342345345246 -23456.43 5.0 5 -23
Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):
- Вещественные числа — что это такое понятное объяснение
- вещественные числа
Что такое вещественные числа?
Множество вещественных чисел это объединение множеств чисел рациональных и иррациональных.
1 — рациональное число.
Число Пи — иррациональное.
Оба вещественные.
Для того чтобы на практике прочувствовать что такое вещественные числа и в чем их отличие, достаточно в консоли сложить 0.1 и 0.2
Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 3 Комментировать
Ответы на вопрос 2
Пока ты спишь — твой конкурент совершенствуется
Понятным и доступным языком напишите
Были натуральные числа. тобишь те, которые использовали при счете: 1, 2, 3 . а потом кому то понадобились и отрицательные числа включить туда и дробные, и иррациональные. и он их назвал вещественными. тобишь вещественные числа — это те же натуральные, но еще и включает отрицатаельные, иррациональные и дроби.
p.s. вот нарыл книгу матана. хорошо расписано: matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_gen/171/matan.pdf
Вещественное число
Веще́ственное, или действи́тельное число [1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] .
Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.
Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3] . Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере [3] была создана строгая теория вещественных чисел.
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.
Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону [8] :
Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. |
Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало [9] . Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.
Создание строгой теории
Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана [10] . В более поздней работе [11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств [12] , но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.
Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.
Конструктивные способы определения вещественного числа
Основная статья: Конструктивные способы определения вещественного числа
0 \; \exists N(\varepsilon): \; \forall n > N(\varepsilon) \; \forall m > 0 \; | a_ — a_n | < \varepsilon " width="" height="" />
Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.
Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел .
Два вещественных числа
и ,
определённые соответственно фундаментальными последовательностями » width=»» height=»» />, называются равными, если
и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей » width=»» height=»» />:
по определению больше числа , то есть
0 \; \exists N: \; \forall n > N \; a_n \geqslant b_n + \varepsilon » width=»» height=»» />
Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.
Теория бесконечных десятичных дробей
Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида
где есть один из символов или , называемый знаком числа, — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества и
Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа
, то ; если \beta» width=»» height=»» />. В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если \beta» width=»» height=»» />.
и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.
Теория сечений в области рациональных чисел
В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.
Сечением в множестве рациональных чисел и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:
, которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.
Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:
Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.
Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Аксиоматический подход
Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.
В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.
Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».
Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.
Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:
Давид Гильберт [15]
Аксиоматика вещественных чисел
Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
Аксиомы поля
На множестве определено отображение (операция сложения)
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент из того же множества , называемый суммой и ( эквивалентная запись элемента множества ).
Также, на множестве определено отображение (операция умножения)
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением и .
При этом имеют место следующие свойства.
, называемый нулём, такой, что для любого существует элемент , называемый противоположным к , такой, что , называемый единицей, такой, что для любого существует элемент и называемый обратным к , такой, что _.» width=»» height=»» /> Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых :
Аксиомы порядка
Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.
Аксиомы непрерывности
» width=»» height=»» /> и и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение
Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел [16] .
На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством (_» width=»» height=»» />), причём отношение порядка согласовано со структурой поля _» width=»» height=»» />. Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел.
Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.
Непротиворечивость и категоричность аксиоматики
Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.
Другие системы аксиом вещественных чисел
Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности » width=»» height=»» /> и _» width=»» height=»» /> используются следующие два условия:
0″ width=»» height=»» /> [17] и можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :
_» width=»» height=»» /> Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы , для » width=»» height=»» />—_» width=»» height=»» />.
Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:
Определение. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле
В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского (англ.), состоящую всего из 8 аксиом.
Свойства
Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый Свойствам вещественных чисел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.
Связь с рациональными числами
Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда. [18]
Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.
Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.
Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.
Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.
Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.
Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.
Теоретико-множественные свойства
Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала . [18]
Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:
a_ \cdots a_ \cdots» width=»» height=»» />
Здесь -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.
Далее предлагается рассмотреть следующее число:
Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:
- интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер. [18]
Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.
Обобщение вещественных чисел
Поле вещественных чисел » width=»» height=»» /> постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю » width=»» height=»» /> примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.
- Комплексные числа. Особенно плодотворны в алгебре и анализе.
- Интервальные числа. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей.
- Нестандартный анализ, который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).
Прикладные применения
Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.
Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).
См. также
- Непрерывность множества действительных чисел
- Теория чисел
- Десятичный разделитель
- Комплексное число
- Прямая Александрова (англ.)
- Прямая Суслина (англ.)
Примечания
- ↑ Названия вещественное число и действительное число равнозначны. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы:
- Лузин, Н. Н. Теория функций действительного переменного. (Московская школа)
- Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. (Ленинградская школа)
В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
- Зорич В. А. Математический анализ. (МГУ, мехмат) — действительное число
- Ильин В. А., Позняк В. Г. Основы математического анализа. (МГУ, физфак) — вещественное число
- Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
- Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (СПбГУ) — вещественное число
- ↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — С. 35-36. , а также Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — С. 146.
- ↑ 123Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — С. 287-289.
- ↑Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
- ↑ История математики. — Т. I. — С. 96-101.
- ↑ 12Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
- ↑ История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305.
- ↑ История математики. — Т. II. — С. 35.
- ↑Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
- ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М .: Просвещение, 1977. — С. 171-178. — 224 с.
- ↑Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
- ↑Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.
- ↑Рыбников К. А. История математики. — Т. 2. — С. 196.
- ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида 0) \; \overset><\Leftrightarrow>\; (a \geqslant 0) \and (a \neq 0)» width=»» height=»» />
- ↑ 123В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М .: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
Литература
Использованная литература
- Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М .: УЧПЕДГИЗ, 1938.
- Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М .: Издательство иностранной литературы, 1963.
- Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
- Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц. — М .: МИР, 1986. — 432 с.
- Дедекинд Р.Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.
- Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М .: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1
- История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах / под ред. Юшкевича. — М .: НАУКА, 1970. — Т. 1.
- Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М .: НАУКА, 1985. — (Классики науки).
- А. Н. КолмогоровК обоснованию теории вещественных чисел // УМН. — 1946. — В. 1(11). — Т. 1. — С. 217–219.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М .: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
- Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М .: НАУКА, 1977.
- Рыбников К. А. История математики. — М .: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4
- Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
Рекомендуемая литература
Тем, кто интересуется историей становления понятия вещественного числа, можно порекомендовать следующие две книги:
- Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
- История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
- Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
- Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
- Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)
Прекрасное подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей, а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в области рациональных чисел можно найти в следующей:
- Арнольд И. В.Теоретическая арифметика.
Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда можно порекомендовать ту самую брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод:
- Дедекинд, Р.Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.
Также прекрасное изложение теории Дедекинда имеется в классическом учебнике
- Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.
- Ильин В. А., Познак Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I.
Аксиоматическое изложение теории вещественного числа можно найти в книгах
- Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М .: Дрофа, 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
- Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М .: «МЦНМО», 2002. — 657 с. — ISBN 5-94057-056-9
Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Гильбертом на нескольких страницах в Дополнении VI. О понятии числа в следующем издании классической работы
- Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie. — пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
Натуральные числа Числовые системы Счётные
множестваНатуральные числа (» width=»» height=»» />) • Рациональные (>» width=»» height=»» />) • Периоды • Вычислимые • Арифметические Вещественные числа
и их расширенияВещественные (» width=»» height=»» />) • Кватернионы (» width=»» height=»» />) • Седенионы (Другие
числовые системыКардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион - Числа
- Математический анализ
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Мир (орбитальная станция)
- День системного администратора
Полезное
Смотреть что такое «Вещественное число» в других словарях:
- Вещественное число — в информатике тип данных, содержащий числа, записанные с десятичной точкой и/или с десятичным порядком. См. также: Типы данных Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
- вещественное число — действительное число — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы действительное число EN real number … Справочник технического переводчика
- ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО — то же, что действительное число … Большой Энциклопедический словарь
- вещественное число — то же, что действительное число. * * * ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, то же, что действительное число (см. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО) … Энциклопедический словарь
- Вещественное число — то же, что Действительное число … Большая советская энциклопедия
- ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО — то же, что действительное число … Математическая энциклопедия
- ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО — то же, что действительное число … Естествознание. Энциклопедический словарь
- ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — вещественное число, положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении… … Математическая энциклопедия
- Действительное число — вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q целые, q ≠ 0, так и в виде… … Большая советская энциклопедия
- ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — (вещественное число), любое положит., отрицат. число или нуль. Посредством Д. ч. выражаются результаты измерения всех физ. величин … Естествознание. Энциклопедический словарь
- Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
- Путешествия
Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.- Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
- Искать во всех словарях
- Искать в переводах
- Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории
Вещественные числа: что такое, описание, примеры, характеристика
Числа для ЭВМ записывают в экспоненциальной форме – так называемое нормализованное представление. Они компактны и удобочитаемы для человека. Рассмотрим, что такое вещественные числа, приведём их примеры. Разберёмся, из каких частей состоят.
Вещественные числа: что это
В математике величина числа не ограничена, в информатике она определяется количеством разрядов. Существует понятие переполнения разрядной сетки. Это ситуация, когда число состоит из большего количества символов, чем предполагает вычислительное устройство, например, при наличии четырёх разрядов записать число больше 9999 невозможно – недостаточно знаков.
Для решения проблемы достаточно перенести запятую на один символ влево или представить число как умноженное на 10 в n-й степени: 1000 * 10 или 100 * 102.
Вещественные числа – это способ записи чисел в информатике с так называемой плавающей запятой. Это оптимальное решение между точностью, занимаемым объёмом и удобством работы с диапазоном принимаемых значений для вычислительной техники. К ним относят натуральные, дробные, иррациональные, в том числе числа с нулевой дробной частью.
Из чего состоит
- Мантисса m – целое значение с фиксированной длиной без учёта порядка.
- Знак мантиссы – указывает на положительность либо отрицательность, причем в первом случае знак плюс обычно не ставится, минус указывается обязательно.
- Порядок, основания экспоненты n – указывает на степень основания числа, на сколько знаков нужно перенести запятую.
- Знак порядка p – показывает, в какую сторону переносится запятая.
Записывается в виде R = m * n p .
- 0,123456 = 123*10-3 = 12*10-4;
- 7654321 = 7654321*102 = 765,4*103;
- -3,1415;
- 0,567 = 567 * 10-3;
- -126.
- 2021.
Как видим на втором примере, вещественное число – это не всегда хорошо. Из-за ограниченного количества разрядов страдает точность. В вычислительной технике применяются вещественные числа со следующей точностью (в соответствии со стандартом IEEE 754):
- Половинная (half) – занимает половину машинного слова. Применяется в графических ускорителях, где на первом месте стоит быстродействие. Точность ограничивается способом округления: к ближайшему чётному либо целому, которое делится на 8, 16 либо 32.
- Одинарная (single) – занимает машинное слово, применяется в случаях, где нужна повышенная точность.
- Двойная (double) – мантисса занимает в памяти пару машинных слов – требует много памяти и трафика при передаче. Актуальна, когда нужна высокая точность.
- Четверная (quadruple) – для записи требует четыре слова, используется в случаях беспрецедентной точности при обработке и передаче данных.
Существуют особые типы вещественных чисел: ноль со знаком, бесконечности, денормализованные. Вещественные числа можно умножать, вычитать, делить и суммировать.