Деление многочленов столбиком
Для любых многочленов f(x) и g(x) , g(x) ≠ 0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x) , такие что f(x)/g(x)=q(x)+r(x)/g(x) .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Инструкция . Для получения решения в онлайн режиме необходимо ввести числитель и знаменатель.
Пример деления в столбик . Найти частное деления и остаток многочлена:
№1.
| x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
| x 3 -3x 2 | x 2 |
| -9x 2 -42 |
№2.
| x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
| x 3 -3x 2 | x 2 -9x |
| -9x 2 -42 | |
| -9x 2 + 27x | |
| -27x -42 |
№3.
| x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
| x 3 -3x 2 | x 2 -9x -27 |
| -9x 2 -42 | |
| -9x 2 + 27x | |
| -27x -42 | |
| -27x + 81 | |
| -123 |
Целая часть: x 2 -9x -27
Остаток: -123
Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.
Пример №1 . Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x 5 +3x 3 -x 2 +4x+1, Q(x)=2x 2 -x+1
Пример №2 . Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x 4 +6x 3 -2x 2 +x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x 3 (x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект
Деление многочленов
Кубические уравнения — уравнения, содержащие 3ю степень вида:
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
Чтобы решить кубические уравнения и уравнения с более высокими степенями нужно воспользоваться методом Деления многочленов.
Во-первых, нужно вычислить нули методом подбора, затем, используя деление многочленов, нужно преобразовать уравнение в квадратное.
Способ
- Найти нули $x_N$
- Деление многочленов: разделите уравнение на $(x-x_N)$
- Решите квадратное уравнение
Подсказка
Квадратное уравнение, полученное после деления многочленов, можно решить с помощью квадратной формулы.
Пример
Решите кубическое уравнение: $x^3-19x-30=0$
Найдем 0
Первый 0 находится путем подбора.
Используем разные значения для $x$, пока не получим 0.
$x^3-19x-30=0$
$x=1$:
$1^3-19\cdot1-30=-48$ $\neq0$ =>не 0
Деление многочленов
Функция делитcя на $(x-x_1)$. Для этого иcпользуетcя деление многочленов.
Сначала вычиcлим $x^3:x$ и выпишем ответ.
Теперь $x^2$ умножаетcя на $(x+2)$. Решение пишем во втором ряду и оно приобретает минуc.
Оба ряда cейчаc cкладываютcя c остатком, выписанным внизу.
Как и раньше, теперь вычисляем $-2x^2:x$. Пишем результат справа и умножаем его на $(x+2)$.
Обе линии снова вычитаются.
В итоге, $-15x:x$ было вычислено, умножено и снова вычтено. Остаток 0; деление многочленов выполнено.
Решите квадратное уравнение
Новое квадратное уравнение можно решить, например, используя pq-формулу.
$x^2-2x-15=0$
Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком
Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.
После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.
Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.
Решим уравнение
Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.
Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.
Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.
является корнями многочлена , и он делится на двучлены и без остатка.
Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:
Таким образом, корни исходного уравнения: х=2; х=1; х=-5. И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Для вас другие записи этой рубрики:
- Задание С3 ЕГЭ 2013
- Решение систем линейных уравнений
- Видеолекция «Решение рациональных неравенств методом интервалов»
- Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов
- Решение рациональных неравенств методом интервалов
- Решение системы неравенств с модулем
Алгоритм деления «уголком» многочленов от одной переменной
Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:
где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:
Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.
Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.
Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.
Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.
Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.
Определение . Разделить многочлен a(x) на многочлен b(x) с остатком – это значит представить многочлен a(x) в виде
где многочлен c(x) – частное , а многочлен r(x) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:
Очень важно отметить, что формула
является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .
При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.
Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.
К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.
Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен
Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:
пишем под делимым 2x 4 – x 3 + 5x 2 – 8x + 1 .
Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.
пишем под первым остатком x 3 + 3x 2 – 8x .
Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.
пишем под вторым остатком.