Как вычислить интеграл модуля

Интеграл от модуля и от параметра

Вычислить интеграл: .

Пример 4

Построить график зависимости интеграла от параметра а .

A. .

B. .

С. .

интегралы — Интеграл от модуля

Эта функция кусочно-линейная, равная $%2-x$% при $%x\ge1$% и $%x$% для $%x\le1$%. Интеграл по любому отрезку [a,b], содержащему точку 1, представляется как сумма интегралов от двух линейных функций по [a,1] и [1,b]. А ещё проще нарисовать график функции и посмотреть на площадь под этим графиком: там сразу ясно, что получается треугольник с площадью 1.

P.S. Обычно меньшее число у пределов интегрирования предшествует большему. Если их переставить, то формально такой интеграл сменит знак.

(14 Ноя ’14 2:21) falcao

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

задан
14 Ноя ’14 2:10

показан
11100 раз

обновлен
14 Ноя ’14 2:21

Научный форум dxdy

Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:00

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье и при вычислении $a_$ столкнулся с интегралом от модуля, с которыми раньше не работал. После вдумчивого раскуривания учебника от Ильина и Садовничего родил такое решение, но не знаю, верное ли оно:
$$a_= \frac<\pi >\int_<-\pi>^<\pi>2+\left | x \right |dx=\frac<\pi >\left (-\int_<-\pi>^(2+x)dx + \int_^<\pi>(2+x)dx \right ) = \frac<\pi >\left ( 2\int_^<\pi>(2+x)dx \right ) = \frac<\pi >\left ( \int_^<\pi>2dx + \int_^<\pi>xdx \right ) = \frac<\pi >\left ( 2\pi + \frac<\pi^>\right )=4+\pi$» /> Что скажете? Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?) 09.02.2017, 10:08 Последний раз редактировалось Mikhail_K 09.02.2017, 10:10, всего редактировалось 1 раз. Объясните, как именно совершён переход от интеграла по <img decoding=$ к сумме (или разности) интегралов по $[-\pi,0]$ и $[0,\pi]$ .

$[-\pi,\pi]$

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения. А что дальше?

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой <img decoding= $» />$» />$» />$» />$» />, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?

Doctor в сообщении #1190998 писал(а):
родил такое решение, но не знаю, верное ли оно

Решение, про которое Вы не знаете, верное ли оно, просто по определению не может быть верным.
Верное решение — это такое, которое не оставляет поводов для сомнений.

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:13
Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой <img decoding= $» />$» />$» />$» />$» />

Потому что эта точка делит его на две равные части?

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-\pi,\pi]$ к сумме (или разности) интегралов по $[-\pi,0]$ и $[0,\pi]$ .

Исключительно по аналогии, да и тут на форуме видел такой способ.

Не совсем понял — решение ошибочное?

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:20
Doctor в сообщении #1191002 писал(а):
Потому что эта точка делит его на две равные части?
Doctor в сообщении #1191002 писал(а):
Исключительно по аналогии
, да и тут на форуме видел такой способ.

Ну, мне понятно, что » вдумчивого раскуривания» учебника в Вашем случае не было.
Я даже не буду говорить, верное ли решение. Даже если оно верное (?), Вы его не понимаете. Задача решена не тогда, когда написаны какие-то рассуждения и получен правильный ответ, а когда этот ответ строго доказан и поэтому не может вызывать сомнений.
Рассуждение по аналогии не является корректным способом рассуждения в математике (во всяком случае, до тех пор, пока аналогия не подкреплена логикой).

Давайте решать с начала. Последуйте вот этому совету:

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

$[-\pi,\pi]$

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения (с модулем). А что дальше?

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:37

Mikhail_K , пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю, я сразу написал, что с такими интегралами не сталкивался, так что оправдываться не буду. Единственный вопрос, который я задал — верное ли решение ? Да или нет , если нет — иду разбираться сам дальше. Меня интересует мнение о правильности решения, а не о моих способностях или о том, что считать правильным.

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:46
Doctor в сообщении #1190998 писал(а):