Натурально число n таково, что числа n+7 и n+34 делятся нацело на простое число p. Найдите число p.
13. Найдите значение числовых выражений. 1) 5 (3x — 7) + 2(1 -x), если х= 1/26 2) (2c + 5d) — (c + 4d), если с = 0,4; d = 0,6 3)3. (1 4x+24») — 2 (2 + … ×+1 14*), еслих = 0,5;у = 0,1 4) 1,(3) • (a + b) + 2,(7) • (a-b), если а = 2; b = -9 5) -0,1(2) • (a — b) + 0,0(2) • (a + 2b), если а = -10; b = 6
Теория чисел из книги Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел.
Глава 3 Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики 1. Простые числа Определение. Натуральное число p называется простым, если p > 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p. По соглашению, 1 не является простым числом. Остальные числа. Показать больше
Глава 3 Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики 1. Простые числа Определение. Натуральное число p называется простым, если p > 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p. По соглашению, 1 не является простым числом. Остальные числа, имеющие три и более делителей, называются составными. 3.1. Теорема Евклида. Докажите, что простых чисел бесконечно много. 3.2. Найдите все простые числа, которые отличаются на 17. 3.3. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 — простое число. 3.4. Пусть n > 2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число. 3.5. Найдите все такие простые числа p и q, для которых выполняется равенство p2 − 2q2 = 1. 3.6. Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 — простое число. 3.7. Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно. (См. также 4.127.) 3.8. Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно. (См. также 4.128.) 3.9. Докажите, что составное число n всегда имеет Спрятать
- Похожие публикации
- Поделиться
- Код вставки
- Добавить в избранное
- Комментарии
Число n таково что 8n
Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n + 3 быть простым?
Решение
Если 2n + 1 = k², 3n + 1 = m², то 5n + 3 = 4(2n + 1) – (3n + 1) = 4k² – m² = (2k + m)(2k – m).
Докажем, что 2k – m ≠ 1. Действительно, в противном случае 5n + 3 = 2m + 1 и (m – 1)² = m² – (2m + 1) + 2 = (3n + 1) – (5n + 3) + 2 = – 2n
Проект осуществляется при поддержке и .
Гипотеза Коллатца, часть 1
Эта первая статья из цикла «Доказательство гипотезы Коллатца».
Покажем, как избавиться от чётных чисел в задаче 3n+1.
§1. Введение
Гипотеза Коллатца – это одна из нерешенных проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки (см. Википедию).
Мы решили немного упростить гипотезу Коллатца и выкинуть из неё все чётные числа. Это открывает для нас новые возможности по доказательству. Покажем, как это сделать.
Для начала составим обратную схему.
§2. Обратная схема
Гипотеза выполняет действия 3n+1, n/2. Тогда обратные действия: , 2n.
Гипотеза разграничивает область применения 3n+1, n/2:
3n+1 – это всегда чётное число.
n/2 – результат может быть как чётный, так и нечетный.
Тогда сделаем всё то же самое, но наоборот. Чётному числу сопоставим:, 2n,
нечетному числу: 2n.
Результат операции может быть как целым, так и дробным. Но нас интересует только целый.
Распишем всё это более подробно.
Выполним преобразование для 1:
Число 1 – нечетное. Создаем число 2n: 2.
Выполним преобразование для 2:
Число 2 – чётное. Тогда проверим , дробное.
Значит, число 2 порождает только одно число, 2n:
2*2 = 4.
Выполним преобразование для 4:
Число 4 – чётное. Тогда проверим
Значит, число 4 порождает два числа, и 2n:
4*2 = 8.
Выполним преобразование для 8:
Число 8 – чётное. Тогда проверим , дробное.
Значит, число 8 порождает только одно число, 2n:
8*2 = 16.
Выполним преобразование для 16:
Число 16 – чётное. Тогда проверим
Значит, число 16 порождает два числа, и 2n:
16*2 = 32.
Итак, мы на пороге первой развилки! 1, 2, 4, 8, 16 – здесь у нас развилка на 5 и 32.
На этом остановимся.
§3. Нечётные числа
Переходим к нечетным числам. Покажем, как выявить все закономерности между нечетными числами в последовательностях Коллатца. Для этого воспользуемся обратной схемой.
Пусть n – нечетное число. Оно порождает 2n.
2n – чётное число, тогда проверим результат .
Для этого разложим n на модуль числа 3: n ≡ 0 mod(3), n ≡ 1 mod(3), n ≡ 2 mod(3).
Т.е. выразим n как: 3k, 3k+1, 3k+2, k ≥ 0.
Первый случай. n = 3k.
, не имеет целочисленного решения.
Второй случай. n = 3k+1.
, не имеет целочисленного решения.
Третий случай. n = 3k+2.
Таким образом, если существует такое нечетное число n ≡ 2 mod(3), то всегда существует нечетное число .
Для n ≡ 0 mod(3), n ≡ 1 mod(3) такого числа не существует.
Тогда рассмотрим случай n2 mod(3).
Умножаем n на 2, и снова на 2. Получаем 4n. Уравнение имеет решение только для
n ≡ 1 mod(3):
Других решений нет.
Таким образом, мы получили строгое соответствие:
Что на счет n ≡ 0 mod(3) ?
Обратим внимание, что мы не cможем продолжить генерацию чисел:
, – для случая n ≡ 0 mod(3).
Потому что если n ≡ 0 mod(3), то решение уравнения сводится к виду:
Оно не имеет целочисленного решения.
Также стоит отметить, что решение – может быть только нечетным, потому что по правилам арифметики – это всегда нечетное число.
§4. Формула: 4x + 1
Мы рассмотрели одну ветвь:
Теперь рассмотрим вторую. Умножим n на 8 и 16, и получим строгое соответствие:
Связаны ли эти ветви между собой? Рассмотрим подробно и :
, сопоставив эти два равенства, мы получим:
Это означает, что из нечетного числа n ≡ 2 mod(3) мы можем получить сразу два числа:
число и число
Теперь рассмотрим и :
, сопоставив эти два равенства, мы получим:
Это означает, что из нечетного числа n ≡ 1 mod(3) мы можем получить сразу два числа:
число и число
Таким образом, мы получили две функции:
§5. Как получить число 27?
Для того чтобы получить число 27 нам нужно просто начать процесс с единицы и прогуляться по следующей ветке:
1 5 3 13 53 35 23 15 61 81 325 433 577 769 3077 2051 1367 911 607 2429 1619 1079 719 479 319 425 283 377 251 167 111 445 593 395 263 175 233 155 103 137 91 121 161 107 71 47 31 41 27.
- Занимательные задачки
- Математика
- Научно-популярное