Что такое сопряженное пространство

Сопряжённое пространство

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается E^* .

Свойства

В конечномерном случае сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем : любому базису $\< e^i \>_^n» width=»» height=»» /> из <img decoding=$ можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис $\< e_i \>_^n» width=»» height=»» /> из <img decoding=$ , где функционал $e_i\,$ — проектор на вектор $\,e^i$ : $e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E$
Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между и .
Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и .
В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому (точнее, существует канонический изоморфизм между и обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 581 день] . В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения
- В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
  
  Сопряжённое с данным пр-вом пространство есть совокупность непрерывных линейных функционалов — но функционал будет линейным .если определён на линейном пространстве?
  
  При этом проде как «базовое пространство» (к которому строется сопряжённое) не обязано быть линейным (если смотреть по определению — там на писано «совокупность функционалов, заданных на некотором топологическом пространстве»). Как же так может быть? или же задание линейного функционала «превращает» пространство в линейное?
  
  ОТВЕТ:
  
  Сопряжённое пространство
  
  Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.
  
  Линейно-сопряжённое пространство — определение [ править ]
  
  Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве $E$ , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$ , оно обычно обозначается $E^*$ .
  
  Свойства [ править ]
  - В конечномерном случае сопряжённое пространство $E^*$ имеет ту же размерность, что и пространство $E$ над полем $F$ : любому базису $\< e^i \>_^n» /> из <img decoding=$ можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис $\< e_i \>_^n» /> из <img decoding=$ , где функционал $e_i\,$ — проектор на вектор $\,e^i$ : $e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E$
  - Если пространство $E$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^*$ .
  - Если пространство $E$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$ и $E^*$ .
  - В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому (точнее, существует канонический изоморфизм между и обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 4309 дней] . В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
    
    Вариации и обобщения [ править ]
    - В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
    - Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа: Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.
      - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
      Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство
      
      Пусть f 1 > и f 2 > — линейные функционалы на некотором линейном пространстве E . Суммой f 1 + f 2 +f_> будем называть функционал f , определённый следующим образом:
      
      f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) , ∀ x ∈ E . (x)+f_(x),\forall x\in E.>
      
      Произведение функционала f 1 > на число α обозначается α f 1 > и определяется как
      
      f ( x ) = α f 1 ( x ) , ∀ x ∈ E . (x),\forall x\in E.>
      
      Пространство всех линейных функционалов, определённых на некотором топологическом линейном пространстве E , называется сопряжённым с пространством E и обозначается E ∗ > .
      
      Для линейных непрерывных функционалов может быть введена норма:
      
      Проверим выполнение аксиом нормы:
      1. Неотрицательность следует непосредственно из определения.
      2. Абсолютная однородность. ‖ α f ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 | α f ( x ) | = α ⋅ sup ‖ x ‖ = 1 | f ( x ) | = α ‖ f ‖ \left|\alpha f(x)\right|=\alpha \cdot \sup _<\left\|x\right\|=1>\left|f(x)\right|=\alpha \left\|f\right\|> .
      3. Аксиома треугольника.
      Таким образом, в пространстве E ∗ > , сопряженное нормированному пространству, можно ввести естественную нормой.
      
      Топология E ∗ > , соответствующая данной норме называется Сильной топологией.
      
      Теорема 1. Сопряжённое пространство является полным.