Что такое супремум и инфимум?
Пожалуйста, объясните, что такое супремум и инфимум, просто и понятно.
Почему в натуральном ряде 1,2,3. Супремума нет, а инфимум равен 1?
Число называется верхней границей множества , если любое число не превосходит . Иными словами, — верхняя граница множества , если .
Множество называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.
Если множество ограничено сверху, то его минимальная верхняя граница называется точной верхней границей, или супремумом, и обозначается .
Минимальность верхней границы означает, что ее нельзя уменьшить. Если мы уменьшим супремум на любое небольшое , то число уже не будет верхней границей для множества , то есть найдется число , для которого уже не является верхней границей, то есть будет верно неравенство .
Определение супремума в формальной записи:
, если
1) — верхняя граница , то есть ;
2) — минимальная верхняя граница , то есть .
Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница как максимум всех нижних границ.
Число называется нижней границей множества , если любое число не меньше . Иными словами, — нижняя граница , если .
Множество называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.
Если множество ограничено снизу, то его максимальная нижняя граница называется точной нижней границей, или инфимумом, и обозначается .
Определение инфимума в формальной записи:
, если
1) — нижняя граница , то есть ;
2) — максимальная нижняя граница , то есть .
Множество натуральных чисел не органичено сверху, поэтому и супремума у него нет.
По определению можно показать, что .
Так как , то есть 1 — нижняя граница.
Так как , то 1 — максимальная нижняя граница.
математический-анализ — Обьясните пожалуйста простыми словами
Начнём с предложенного примера. Его удобно было бы схематично изобразить на числовой прямой, чтобы все необходимые вещи просто увидеть. Это точки, которые расположены по возрастанию: 0, 1/2, 2/3, 3/4, . , и они неограниченно приближаются к 1, не достигая её (потому что 1/n стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности).
Мы видим, что у этого множества есть min (наименьшее значение). Оно равно нулю. Если такая точка есть, что она же будет и inf (точной нижней гранью).
Теперь посмотрим на другую сторону. Мы видим, что наибольшее значение ни в какой точке не достигается, потому что за каждым числом имеется следующее, и оно больше предыдущего. Значит, max (наибольшее значение) у множества отсутствует. Но оно ограничено сверху: все рассматриваемые числа чего-то не превосходят. Например, верно то, что все они не больше 100. В таком случае число 100 разрешается называть верхней гранью множества. Ясно, что и многие другие числа обладают этим свойством: например, 50, или 2, или 3/2. Всё это верхние грани. Мы хотим выбрать из них «лучшую», то есть наиболее точную. Ясно, что это будет число 1. Все наши числа не превосходят 1, то есть это верхняя грань. При этом она самая маленькая из возможных: уменьшить её уже нельзя. Дело в том, что наши числа подходят к ней всё ближе и ближе. И если мы уменьшим 1 до, скажем, 0,999, то верхней грани уже не получится, так как число 1-1/n выйдет за указанные пределы, оказавшись правее 0,999 при n > 1000.
Точная верхняя грань (строгое определение см. в учебнике, а также условия, при которых она у множества существует), обозначается как sup. В рассмотренном примере max A отсутствует, но sup A = 1.
Если требуются ещё какие-то пояснения, их можно будет добавить.
отвечен 1 Ноя ’15 18:17
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 53
Инфимум и супремум — Infimum and supremum
Набор T действительных чисел (полые и темные кружки), подмножество S из T (заполненные кружки) и точная нижняя грань of S. Обратите внимание, что для конечных полностью упорядоченных множеств нижняя грань и минимум равны. Множество A действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ A (красный ромб и кружки), и наименьшая такая верхняя грань, то есть верхняя грань A (красный ромб).
В математике, infimum (сокращенно inf ; множественное число infima ) из подмножества S из частично упорядоченного набора T — это наибольший элемент в T, который меньше или равны всем элементам S, если такой элемент существует. Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB) также широко используется.
supremum (сокращенно sup ; множественное число suprema ) подмножества S частично упорядоченного множества T является наименьшим элементом в T, который больше или равен всем элементам S, если такой элемент существует. Следовательно, верхняя грань также называется наименьшей верхней границей (или LUB).
Нижняя грань в точном смысле двойственна концепции супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел являются частными частными случаями, которые важны в анализе и особенно в интеграции Лебега. Однако общие определения остаются в силе в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.
Понятия инфимума и супремума аналогичны минимум и максимум, но более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные наборы, которые могут не иметь минимума или максимума.. Например, положительные действительные числа ℝ (не включая 0) не имеют минимума, потому что любой заданный элемент ℝ можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему числу, которое все еще находится в ℝ. Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое может использоваться в качестве нижней границы.
- 1 Формальное определение
- 2 Существование и уникальность
- 3 Отношение к максимальным и минимальным элементам
- 3.1 Минимальные верхние границы
- 3.2 Свойство наименьшей верхней границы
- 4.1 Свойства
- 6.1 Infima
- 6.2 Верхняя часть
Формальные определение
supremum = наименьшая верхняя граница
Нижняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (P, ≤) — это элемент a из P такой, что
- a ≤ x для всех x в S.
Нижняя граница a для S называется точной нижней гранью (или точной нижней границей, или встречей) для S, если
- для всех нижних границ y для S в P, y ≤ a (a больше или равно любой другой нижняя граница).
Аналогично, верхняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (P, ≤) — это элемент b из P такой, что
- b ≥ x для всех x в S.
An верхняя граница b для S называется супремумом (или точной верхней границей, или соединением) для S, если
- для всех верхних границ z для S в P, z ≥ b (b меньше th любая другая верхняя граница).
Существование и уникальность
Инфима и верхняя граница не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества S из P может потерпеть неудачу, если S вообще не имеет нижней границы или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. Однако, если нижняя грань или супремум существует, она уникальна.
Следовательно, особенно интересны частично упорядоченные множества, для которых известно, что существует определенная инфима. Например, решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют и супремум, и инфимум. Дополнительную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, которые возникают из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты.
. Если супремум подмножества S существует, он уникален. Если S содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит S (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если S содержит наименьший элемент, то этот элемент является точным; в противном случае нижняя грань не принадлежит S (или не существует).
Отношение к максимальному и минимальному элементам
Точная нижняя грань подмножества S частично упорядоченного множества P, при условии, что оно существует, не обязательно принадлежит S. Если да, то это минимальный или наименьший элемент из S. Подобным образом, если верхняя грань S принадлежит S, это максимальный или наибольший элемент из S.
Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора есть другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа x существует другое отрицательное действительное число x 2 >> , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 является наименьшей верхней границей отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента.
Однако определение максимального и минимального элементов является более общим. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, а нижняя и верхняя границы уникальны.
В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, точная нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.
Минимальные верхние границы
Наконец, частично упорядоченный набор может иметь много минимальных верхних границ без наименьшей верхней границы. Минимальные верхние границы — это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних оценок, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только тогда, когда данный заказ не является общим. В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.
В качестве примера пусть S — множество всех конечных подмножеств натуральных чисел, и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное путем взятия всех множеств из S вместе с множеством целых чисел ℤ и набор положительных действительных чисел ℝ, упорядоченный по включению подмножества, как указано выше. Тогда ясно, что и ℤ, и ℝ больше всех конечных множеств натуральных чисел. Тем не менее, ни не меньше, ни обратное: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.
Свойство наименьшей верхней границы
Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой.
Если упорядоченное множество S имеет свойство, заключающееся в том, что каждое непустое подмножество S, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что S имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, множество ℝ всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично, множество integ целых чисел обладает свойством наименьшей верхней границы; если S — непустое подмножество ℤ и существует некоторое число n такое, что каждый элемент s из S меньше или равен n, то существует точная верхняя граница u для S, целое число, которое является верхней границей для S и меньше или равно любой другой верхней границе для S. Хорошо упорядоченный набор также имеет свойство наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего задавать.
- Если λ ≥ 0, то inf (λ · A) = λ · (inf A) и sup (λ · A) = λ · (sup A).
- Если λ ≤ 0, то inf (λ · A) = λ · (sup A) и sup (λ · A) = λ · (inf A).
- inf (A + B) = (inf A) + (inf B) и sup (A + B) = (sup A) + (sup B).
- Если A, B — непустые множества положительных действительных чисел, то inf (A · B) = (inf A) · (inf B); аналогично для супремы.
Двойственность
Если обозначить через P частично упорядоченное множество P с отношением противоположного порядка, то есть
- x ≤ y в P тогда и только тогда, когда x ≥ y в P,
тогда точная нижняя грань подмножества S в P равна верхней грани S в P, и наоборот.
Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (−S), где −S = .
Примеры
Infima
- Нижняя грань набора чисел равна 2. Число 1 является нижней границей, но не максимальной нижней границей, и следовательно, не точная нижняя грань.
- В более общем случае, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является нижним пределом для набора. В этом случае он также называется минимум набора.
- inf = 1. = 1.>
- inf
- inf 2> = 2 3. \ mid x ^ >2 \ right \> = <\ sqrt [] >.>
- inf <(- 1) n + 1 n ∣ n = 1, 2, 3,…>= — 1. + > \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \> = — 1.>
- Если x n — убывающая последовательность с пределом x, тогда inf x n = x.
Suprema
- Верхняя грань набора чисел равна 3. Число 4 равно верхняя граница, но это не наименьшая верхняя граница и, следовательно, не супремум.
- sup
- sup <(- 1) n - 1 n ∣ n = 1, 2, 3,…>= 1. — > \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \ > = 1.>
- sup = sup A + sup B. = \ sup A + \ sup B.>
- sup
В последнем примере супремум множества рациональные числа являются иррациональными, что означает, что рациональные числа неполны.
Одно из основных свойств супремума:
для любых функционалов f и g.
Верхняя грань подмножества S из (ℕ, |), где | обозначает «делит », является наименьшим общим кратным элементов S.
Верхняя грань подмножества S из (P, ⊆), где P — набор мощности некоторого набора, является супремумом по отношению к set (подмножество) подмножества S из P, является объединением элементов S.
См. Также
Викискладе есть медиафайлы, относящиеся к Infimum и supremum . - Essential supremum и Essential infimum
- Наибольший элемент и наименьший элемент
- Максимальные и минимальные элементы
- Limit superior и limit inferior (предел infimum)
- Верхняя и нижняя границы
Ссылки
Внешние ссылки
- , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
- Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик У. «Infimum and supremum». MathWorld. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
Ограниченность числовых множеств, их точные границы. Предельные точки числовых множеств.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть $X -$ произвольное непустое множество действительных чисел. Число $M=\max X$ называется наибольшим (максимальным) элементом множества $X,$ если $M\in X$ и для всякого $x\in X$ выполняется неравенство $x\leq M$. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента $m=\min X$ множества $X.$
Множество $X$ называется ограниченным сверху, если существует действительное число $a$ такое, что $x\leq a$ для всех $x\in X.$ Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества $X.$ Для заданного ограниченного сверху множества $X$ множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества $X$ и обозначается символом $\sup X.$ Очевидно $\sup X=\max X$ тогда и только тогда когда $\sup X\in X.$
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества $X.$ Последняя обозначается символом $\inf X.$
Множество $X,$ ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным.
Пусть $x\subset R.$ Число $x_0\in R$ называется предельной точкой множества X , если любая окрестность точки $x_0$ содержит точку из множества $X,$ отличную от $x_0,$ то есть для $$\forall\varepsilon>0\,\,\exists y\in X, y\neq x_0: |y-x_0|
Сама точка $x_0$ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству $X$ .
Примеры.
а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.
б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества $X.$ Найти $\sup X$ и $\inf X.$
Решение.
а) Данное множество имеет наибольший элемент $M=1$ поскольку для всех элементов множества $x\in X $ выполняется неравенство $x\leq 1$ и при этом $1\in X.$
Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=\frac\in X$ всегда найдется элемент $x_=\frac\in X$ для которого выполняется неравенство $x_\leq x_n.$
б) Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x\leq 1,$ причем $1\in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $[1, +\infty)$ c наименьшим элементом равным $1.$ Таким образом, $\sup X=1.$
Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x\geq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\frac\,\,\Rightarrow\,\,\frac<\varepsilon,\quad\frac\in X.$$ Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$
Ответ: $M=1,$ наименьшего элемента не существует, $[1, +\infty),$ $(-\infty, 0],$ $\sup X=1,$ $\inf X=0.$
1.74. Для множества $X=\left\
Решение.
Запишем множество $X$ в виде
Данное множество имеет наибольший элемент $M=\frac$ поскольку для всех элементов множества $x\in X $ выполняется неравенство $x\leq \frac.$ При этом $\frac\in X.$
Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=\frac\in X$ всегда найдется элемент $x_=\frac<2^>\in X$ для которого выполняется неравенство $x_\leq x_n.$
Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x\leq \frac,$ причем $\frac\in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $\left[\frac, +\infty\right)$ c наименьшим элементом равным $\frac.$ Таким образом, $\sup X=\frac.$
Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x\geq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\log_2\frac\,\,\Rightarrow 2^n>\frac\Rightarrow\,\,\frac<\varepsilon,\quad\frac\in X.$$ Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$
Ответ: $M=\frac,$ наименьшего элемента не существует $\sup X=\frac,$ $\inf X=0.$
1.80. Пусть $X\subset R -$ произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество $-X=\$ так же ограничено и справедливы равенства $$\sup (-X)=-\inf X,\qquad \inf (-X)=-\sup X.$$
Доказательство.
Так как множество $X$ ограничено, то оно ограничено сверху и снизу, а значит существуют соответственно, числа $a$ и $b$ такие, что $\forall x\in X, \,\, a\leq x\leq b. $ Отсюда, решая неравенство видно, что для элементов $-x$ верно неравенство $-b\leq -x\leq -a.$ То есть множество $-X=\$ также является ограниченным.
Пусть $a=\inf X.$ Тогда из неравенства $-x\leq -a$ получаем $-x\leq -\inf X.$
Если $a\in X,$ то $-a\in -X.$ В этом случае очевидно, что $$-a=\sup(-X)\Rightarrow \sup(-X)=-\inf X.$$
Если $a\notin X,$ то $-a\notin -X.$ Покажем, что $-a$ это наименьшй элемент принадлежащий множеству верхних граней. Действительно, пусть существует элемент $c\neq a, \,\,-c\notin -X,$ такой что для всех $-x\in -X$ $-x\leq -c\leq -a.$ Тогда $c\notin X$ и віполняется неравенство $a\leq c\leq x.$ Следовательно, $a\neq \inf X.$ Получили противоречие. Таким образом, $$-a=\sup(-X)\Rightarrow \sup(-X)=-\inf X.$$
Аналогично доказывается, что $\inf (-X)=-\sup X.$
Что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
1.75. Для множества $X=[-1, \, 1]$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.
Ответ: $1,\, -1,\, 1,\, -1.$
1.76. Для множества $X=\left\
Ответ: Не существует, $-5,\, 0,\, -5.$
1.81. Пусть $X,\,\, Y\subset R -$ произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество $X+Y=\
Высшая математика. Практика.
- Матрицы, определители и системы линейных уравнений.
- Векторная алгебра
- Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.
- Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве.
- Некоторые понятия математической логики теории множеств.
- Комплексные числа
- Предел функции.
- Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
- Графики функций и кривые
- Неопределенный интеграл.
- Определенный интеграл и его применение.
- Числовые ряды.
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- Экстремумы функций нескольких переменных.
- Двойные интегралы
- Дифференциальные уравнения
Таблицы
- Таблица производных
- Таблица производных сложных функций
- Таблица производных высших порядков
- Таблица интегралов
- Формулы Тейлора
- Греческий алфавит
- Таблица оригиналов и изображений.
- Сравнение функций O(f) и o(f).
- Тригонометрическая таблица
Книги