Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;. ∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.

Метод перебора

Пока F(x)∙F(x+h)>0		Рис. Структограмма для метода перебора
x=x+h

Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.

Пока \|b-a\|>ε
c=(a+b)/2 F(a)∙F(c)

да	нет
b=c	a=c

Рис. Структограмма для метода половинного деления
Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙F(c)c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)| < ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно).Структограмма метода хорд показана на рисунке.

Пока \|F(c)\|>ε
F(a)∙F(c)

да	нет
b=c	a=c

Рис. Структограмма для метода хорд
Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Затем в точке(x₀,F(x₀)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x₁. В точке (x₁,F(x₁)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x₂ и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(x_i)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x₀)∙F»(x₀)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.

Пока \|F(x)\|> ε		Рис. Структограмма для метода касательных

Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(x_i) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.

Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁=f(x₀), второе — x₂=f(x₁) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле x_i+1 =f(x_i). Указанную процедуру повторяем пока |f(x_i)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|

Пока \|f(x_i)\|> ε		Рис. Структограмма для метода итераций
x_i+1 =f(x_i)

Контрольное задание. Лабораторная работа 4.

Решение нелинейных уравнений.

Задание. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.

Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице.

Варианты уравнений и методов их решения

Методы решения нелинейных уравнений

Воронова, М. Е. Методы решения нелинейных уравнений / М. Е. Воронова, М. Н. Симакова, Е. Е. Симаков. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 3 (6). — С. 102-105. — URL: https://moluch.ru/young/archive/6/414/ (дата обращения: 30.11.2023).

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона, приведены подробные алгоритмы применения данных методов, а также проведен сравнительный анализ указанных методов.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Цель работы: изучить методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным и апробировать их в опытно-экспериментальной работе.

Задачи работы:

Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.
Разработать некоторые аспекты методики решения нелинейных уравнений с применением ИКТ.
Изучить методы решения нелинейных уравнений:

‒ Метод деления пополам

Введение.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам. Весь комплекс естественных наук построен и развивается на базе математических знаний. Например, исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений необходимо в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости и физике низких температур. По этой теме есть достаточное количество литературы, но во многих учебниках и статьях трудно разобраться ученику средней школы. В данной работе рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, которые можно использовать при решении прикладных задач физики, химии. Интересным представляется аспект применения информационных технологий к решению уравнений и задач по математике.

Шаговый метод.

Пусть требуется решить нелинейное уравнение вида уравнение F(x)=0. Предположим также, что нам задан некоторый интервал поиска [x0,x1]. Требуется найти интервал [а,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Реализация шагового метода

Рис. 1. Шаговый метод

Решить подобную задачу можно несколькими способами. Шаговый метод является наиболее простым из численных методов решения неравенств, но для достижения большой точности необходимо существенно уменьшить шаг, а это сильно увеличивает время расчётов. Алгоритм решения уравнений с помощью данного метода состоит из двух этапов.

На этом этапе определяются участки, на каждом из которых находится только один корень уравнения. Есть несколько вариантов реализации этого этапа:

Подставляем значения X (желательно с каким-то достаточно мелким шагом) и смотрим где функция сменит знак. Если функция сменила знак, это значит, что на участке между предыдущим и текущим значением X лежит корень (если функция не меняет характер возрастания/убывания, то можно утверждать, что корень на этом интервале один).
Графический метод. Строим график и оцениваем на каких интервалах лежит один корень.
Исследуем свойства конкретной функции.

На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Например, метод половинного деления (дихотомии) или метод Ньютона.

Метод половинного деления

Быстрый и достаточно простой численный метод решения уравнений, основанный на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Данный метод обычно используется при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Однако у данного метода есть существенный недостаток — если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то с его помощью не удастся добиться хороших результатов.

$C:\Users\Admin\Desktop\1.jpg$

Рис. 2. Метод дихотомии

Алгоритм данного метода следующий:

‒ Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

‒ Проверить условие F(a)*F(x) 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2– 2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f ‘(x) =2x>0 и f »(x) = 2> 0.

В нашем случае уравнение касательной имеет вид: y-y₀=2x₀·(x-x₀). В качестве точки x₀ выбираем точку B₁(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Точка пересечения касательной и оси Ox: x₁ =

Рис. 3. Построение первой касательной к графику функции f(x)

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₁, получаем точку В₂ =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В₂, и обозначаем точку пересечения касательной и Ox точкой x₂.

Уравнение второй касательной: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x — 4.25. Точка пересечения касательной и оси Ox: x₂ = .

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку В₃ и так далее.

В3 = ( )

Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x)

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства |xi-xi-1| нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Постановка задачи

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

f(x)=0 (1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| ε. Члены этой последовательности x_n называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число ε называют точностью метода, а N – это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью ε.

Существует различные методы нахождения приближенного решения, т.е. способы построения последовательности итераций x_n>, однако все они имеют общие этапы, изображенные на рисунке.

Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать его на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

Достаточное условие единственности корня на отрезке [a,b]:

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

Так как f / ( )>0, то f / (x)>0 при , f / (x) и f / (x)>0 при . Кроме того, f( )= )= >0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -270, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

Рассмотрим для третьего корня отрезок [4, 5]:

f(4)= -90, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Табличный способ:

** Решение нелинейных уравнений

При решении нелинейных уравнений невозможно выразить переменную. В этих случаях целесообразно применить ряд численных методов нахождения корней уравнения. Ниже рассмотрены некоторые из них.

Любое уравнение можно представить в виде f (x) = 0 , перенеся всё в одну сторону, тогда поиск корней уравнения сводится к поиску точек пересечения функции f (x) с осью абсцисс. Для более удобной реализации методов в языке Паскаль целесообразно сразу описать функцию f (x) как подпрограмму:

function F(x:real):real;

begin

F:= . ;

end;

Существует ряд методов численного решения нелинейных уравнений, целесообразность применения каждого из которых определяется видом уравнения, его порядком, требуемой точностью и т. д. Эти методы подробно рассмотрены в [1,2,5].

Метод отделения корней

Итак, дано уравнение ƒ(x) = 0, где ƒ(x) – непрерывная функция. Поиск корней уравнения сводится к поиску точек пересечения функции ƒ(x ) с осью абсцисс. Все рассматриваемые ниже методы подразумевают, что уже найден отрезок [a,b], в котором существует один корень уравнения. В зависимости от вида функции таких отрезков может быть несколько, а для периодических функций – бесконечное множество. Метод отделения корней осуществляет поиск таких отрезков.

Наиболее наглядным является графический способ отделения корней. Для реализации этого метода необходимо построить график функции. Это будет легко сделать, если составить программу, которая будет выдавать таблицу значений функции при меняющемся с некоторым шагом h аргументе x (см. рис. 1).

Если есть такая таблица значений функции, то график функции можно и не строить. Достаточно найти две строчки, где значение функции меняет знак на противоположный. Такой способ называется табличным методом отделения корней (см. пример).

Рис. 1. Графическая интерпретация метода отделения корней

Пример. 4.1. Реализация табличного метода отделения корней.

Здесь x пробегает значения от x_n до x_k с шагом h и при этом на экран выводятся значения x и f(x). Отрезок [x_n, x_k] и шаг h нужно подбирать для каждой функции, исходя из её характера. Шаг должен быть меньше, чем расстояние между корнями уравнения, чтобы исключить попадание в шаг двух корней.

program tablica;

var xn,xk,x,h:real;

function F(x:real):real;

begin F:=sqrt(x)+2*sqr(x)+3*x; end;

begin

write(‘Введите начало интервала > ’); readln(xn);

write(‘Введите конец интервала > ’); readln(xk);

write(‘Введите шаг > ’); readln ( h );

x:=xn;

begin

writeln(‘x=’,x,‘ f(x)=’,f(x));

x:=x+h;

end;

end.

Процесс выбора отрезка [a,b], содержащего корень, можно автоматизировать. Для этого нужно, начиная с какого-то начального значения, смещать отрезок длиной h в цикле и каждый раз анализировать значения функции на концах этого отрезка. Корень присутствует, если эти значения разного знака. Можно использовать сложное условие
(f(a)>0 AND f(b)<0) OR (f(a) AND f(b)>0),

а можно просто найти произведение и проверить его знак. Корень присутствует, если f(a)*f(b) . После этого можно уточнять значение корня, а можно перейти к поиску следующего отрезка, задав начало поиска от конца найденного.

Пример. 4.2. Поиск ближайшего отрезка, содержащего корень.

program poisk;

var a,b,h:real;

function F(x:real):real;

begin F:=sqrt(x)+2*sqr(x)+3*x; end;

begin

write(‘Введите начало поиска > ’); readln(b);

write(‘Введите шаг > ’); readln ( h );

repeat

a:=b;

b:=a+h;

writeln(‘a=’,a,‘ b=’,b);

end.

Метод половинного деления

Пусть дано уравнение ƒ(x) = 0, где ƒ ( x ) – непрерывная функция, корень Р отделен на отрезке [a,b], т. е. ƒ(a) × ƒ(b) > 0, причем | b – a | < E. Требуется найти значение корня Р с точностью до Е (см. рис. 2).

Если корень Р не отделен на заданном отрезке, т. е. ƒ (a) и ƒ (b) одного знака и, следовательно, ƒ (a) × ƒ b) > 0, то вычисляются значения функции в точках, расположенных через равные интервалы на оси Х. Когда ƒ (a_n) и ƒ (b_n) имеют противоположные знаки, то значения a = a_n и b=b_n принимаются в качестве начальных и находят середину отрезка [a,b], т. е. с=(a+b)/2. Тогда отрезок [a,b] точкой с разделится на два равных отрезка [a,c] и [c,b], длина которых равна (b–a)/2. Из двух этих образовавшихся отрезков выбирается тот, на концах которого функция ƒ (x) принимает значения противоположных знаков; обозначим его [a₁,b₁]. Затем отрезок [a₁,b₁] делим пополам и проводим те же действия. Получим отрезок [a₂,b₂], длина которого равна (b–a)/2 2 . Процесс деления отрезка пополам производится до тех пор, когда на каком-то k-м этапе будет получен отрезок [a_k,b_k], такой, что

b_k – a_k = (b – a)/2 k ≤ E и a_k ≤ P ≤ b_k ,

где число k указывает на количество проведенных делений. Числа a_k и b_k – корни уравнения ƒ (x) = 0 с точностью до E. За приближенное значение корня следует взять Р=(a_k+b_k)/2, причем погрешность не превысит (b–a)/2 k+ 1 .

Рис. 2. Графическая интерпретация метода половинного деления

Отметим, что в качестве условия прекращения счета более целесообразно пользоваться условием E ≤ I b_k – a_k I .

Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.

Рассмотренный метод имеет относительно малую скорость сходимости, но отличается от других методов простотой реализации алгоритма, не требующего вычисления производных заданной функции.

На блок-схеме видно два цикла. Первый реализует поиск отрезка [a,b] длиной h, на котором есть корень уравнения. Второй цикл уменьшает этот отрезок методом половинного деления до тех пор, пока его длина не станет меньше заданной погрешности е. Удобнее всего для организации циклов применить оператор repeat … until. Внутри второго цикла размещён условный оператор, который проверяет, с какой стороны нужно уменьшить отрезок [a,b].

Рис. 3. Блок-схема алгоритма метода половинного деления

Метод касательных

Расчетная формула метода касательных (или метод Ньютона-Рафсона) получается из разложения функции ƒ(x) = 0 в ряд Тейлора в окрестности точки x_n. При ограничении разложения двумя членами ряда получим

Здесь O (от английского order) означает порядок остаточного члена в разложении, который в дальнейшем считается малым.

Обычно окончательная формула записывается в виде

Таким образом, зная какое-либо предыдущее приближение x_n, где n – номер приближения или итерации (n ≥ 0), можно определить последующее приближенное значение корня x_n+₁. Если заданное (x_n) и расчетное (x_n+₁) значения совпадают с точностью ε, т. е.

то значение x_n+₁ считается приближенным значением корня уравнения ƒ (x) = 0.

Кроме предыдущего условия окончания счета, можно использовать условие малости функций ƒ (x) около корня, т. е. | ƒ (x_n)| ≤ ε_f или | ƒ (x_n+₁) | ≤ ε_f , где ε_f – заданная погрешность.

Рассмотрим геометрическое толкование метода касательных (см. рис. 4), где значение корня Р определяется следующим образом.

Рис. 4. Графическая интерпретация метода касательных

Исходя из некоторого начального приближения x_n, находим соответствующее ему значение ƒ (x_n) (точка А), проводим касательную к кривой ƒ (x) через точку А и ищем точку пересечения этой касательной с осью Х. Эта точка будет значением x_n+₁, т. к. требовалось провести через точку с координатами x_n, ¦(x_n) прямую с угловым коэффициентом ƒ ‘(x_n) и затем найти её пересечение с осью Х.

Величина отрезка (x_n – x_n+₁) больше заданной погрешности e, поэтому поиск значения корня продолжается аналогично. Принимая последнее найденное значение x_n+₁ за исходное, определяем следующее значение x_n+₂ по той же формуле

далее опять проверяется условие

Повторение поиска следующей точки продолжается до тех пор, пока не выполнится условие окончания поиска приближенного значения корня.

Для составления программ можно руководствоваться блок-схемой, представленной на рис. 5.

Рис. 4.5. Блок-схема алгоритма метода касательных

Наличие в блок-схеме вывода f(x₁) означает дополнительную проверку правильности определения корня, т. к. в этом случае значение функции должно быть близко к нулю.

Замечание. При реализации этого метода целесообразно функцию ¦(x) и её производную ¦ ‘ (x) описать как подпрограммы:

function F(x:real):real;

begin F:= . ; end;

function F1(x:real):real;

begin F1:= . ; end;

При этом функция должна быть предварительно продифференцирована вручную.

Основной цикл удобнее всего организовать при помощи оператора repeat … until.

Метод касательных обладает относительно большой скоростью сходимости при выполнении следующих условий:

Начальное приближение x₀ выбрано достаточно близко к корню уравнения ƒ (x) = 0.

Вторая производная ƒ «(x) не принимает больших значений.

Первая производная ƒ ‘ (x) не слишком близка к нулю.

Важно помнить, что успешность поиска корня напрямую зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Поэтому иногда целесообразно вначале провести поиск отрезка, содержащего корень, методом отделения корней, как это было сделано перед реализацией метода половинного деления. Подбирая необходимый шаг, можно легко найти такой отрезок. Тогда в качестве первого приближения можно взять любой из его концов или середину этого отрезка.

Модифицированный метод Ньютона

Модифицированный метод Ньютона лишь немного отличается от метода касательных и обладает меньшей скоростью сходимости. Здесь значение производной вычисляется всего один раз в точке первого приближения и больше не изменяется. Следовательно, её вычисление будет стоять до оператора цикла. Общая формула вычисления последующего приближения будет выглядеть так:

Литература

Беспалов В.В. Информационные технологии. Программирование: учеб. пособие. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2015. – 94 с.

Беспалов В.В. Основы применения вычислительной техники и программирование: учеб. пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 107 с.

Офицеров Д.В., Старых В.А. Программирование в интерактивной среде Турбо-Паскаль: справ. пособие. – Минск: Беларусь, 1992. – 240 с.

Шевелев Г.Е. Информатика: лабораторный практикум: учеб. пособие / Том. политехн. ун-т. – Томск, 2004. – 118 с.

Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. –Томск: МП «РАСКО», 1991.–227 с.

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Методы решения нелинейных уравнений

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

** Решение нелинейных уравнений

Метод отделения корней

Метод половинного деления

Метод касательных

Модифицированный метод Ньютона

Литература

Добавить комментарий Отменить ответ