Найдите все значения а при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение 4 5
Перейти к содержимому

Найдите все значения а при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение 4 5

ЕГЭ-2017. Досрочная волна. Резервный день. 14.04.2017

13. а) Решите уравнение $\cos^2(\pi — x) — \sin \left( x + \dfrac<3\pi>\right) = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac<5\pi>; 4\pi\right]$.

14. Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 3. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P = 4$.
a) Докажите, что грань $PBDC_1$ — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка $AP$.

15. Решите неравенство: $$(9^x — 2\cdot 3^x)^2 — 62 \cdot (9^x — 2\cdot 3^x) — 63 \geqslant 0.$$

16. Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm \angle BAC = \dfrac43$.

17. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Месяц и год Июль, 2017 Июль, 2018 Июль, 2019 Июль, 2020
Долг (в млн рублей) $S$ $0,8S$ $0,4S$ 0

Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн. рублей.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin |x| + |a| \leqslant 4,\\ x^2 + 8x < 16a + 48 \end$$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[-1;0]$.

19. На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Найдите все значения а при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение 4 5

Решить уравнение `sin^4 2x+1=cos3x`.

Так как левая часть уравнения `sin^4 2x+1>=1`, а правая часть `cos3x

На тригонометрическом круге изобразим решения первого уравнения последней системы на рис. 14, а второго- на рис. 15. Совпадение будет при `x=2pik,kinZ`.

Решить уравнение `sin^2 4x+cos^2x=2sin4x*cos^4x`.

Перепишем уравнение `sin^2 4x-2sin4x*cos^4x+cos^2x=0`.

Будем решать его как квадратное относительно `sin4x`. Дискриминант уравнения

Значит, решения возможны только в случае `D=0` или $$ \left[\begin\mathrmx=0,\\ \mathrmx=\end\right.\pm 1.$$ Последней совокупности уравнений удовлетворяют значения `x=(pin)/2,ninZ`. Так как при этих `x` обращается в нуль и `sin4x`, то из уравнения следует, что должно быть `cosx=0`.

Пример 27 (МФТИ)

Решить систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе. Получим:

По формуле дополнительного угла имеем:

`2sin(x-pi/4)-2sin(y+pi/3)=4` или `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/4)=2`

причём равенство может достигаться только в случае, если

Решая эту систему, получаем

Так как мы решаем уравнение – следствие системы и могли получить лишние корни, то надо сделать проверку. В нашем случае

`sinx=1/(sqrt2)`, `cosx=-1/(sqrt2)`, `siny=-1/2`, `cosy=-(sqrt3)/2`

и, подставляя эти значения в исходную систему, убеждаемся, что она удовлетворяется. Итак,

Пример 28 (МФТИ)

Решить уравнение `»arctg»3x=arccos8x`.

Обозначим `t=8x^2`. Имеем уравнение `3t=sqrt(1-8t)` или `9t^2+8t-1=0`.

`t_1=-1`, `t_2=1/9`. Т. к. `t>=0`, то `t=1/9=8x^2`, `x^2=1/72` (ОДЗ удовлетворяется).

Далее нужно делать проверку, т. к. в исходном уравнении углы равны, а мы перешли к уравнению, где тангенсы этих углов равны, т. е. к следствию нашего уравнения. При этом могут появиться посторонние корни.

`x_1=-1/(6sqrt2)` не удовлетворяет уравнению, т. к. `»arctg»3x_1=0` (`arccosx>=0` всегда).

`x_2=1/(6sqrt2)` — удовлетворяет уравнению, т. к. углы `»arctg»3x_2 in (0;pi/2)` и

`arccos8x_2 in (0;pi/2)` и тангенсы у них совпадают.

При каких значениях параметра `a` уравнение `(x-a)arccos(x+3)=0` имеет единственное решение?

Так как `x=-2 in`ОДЗ, то единственным решением может быть только `x=-2`. Значит должно выполняться:

$$ \left[\begina=-2,\\ a\notin \mathrm\end\right.$$ или $$ \left[\begina=-2,\\ a\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-2;+\infty \right).\end\right.$$

Пример 30 (МФТИ)

Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение `2cos2x+2asinx+a=1` имеет единственное решение на интервале `(-pi/2;0)`.

Обозначим `sinx=t`. Решим уравнение `4t^2-2at-(a+1)=0`.

Значит, для единственности решения зада чи должно быть либо

`(a+1)/2=-1/2` и `a=-2`, либо `(a+1)/2` не даёт значение `sinx` в интервале

Пример 31 (ЕГЭ)

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(sinx-cosx)/(sinx-acosx)=a` имеет хотя бы одно решение на отрезке `[pi/2;pi]`.

Уравнение эквивалентно системе

Эта система из однородного уравнения первого порядка и неравенства.

1) Если `cosx=0`, `x in [pi/2;pi]`, т. е. `x=pi/2`, то `sinx=1` и система даёт `a=1`.

2) Если же `cosx!=0`, то делим уравнение и неравенство системы на `cosx`. Получаем систему

Если `a=1`, то системе удовлетворяют все значения из `(pi/2;pi]`.

Если же `a!=1`, то система становится такой: $$ \left\\mathrmx=a+1,\\ \mathrmx\ne a.\end\right.$$

Чтобы ей удовлетворяла хотя бы одна точка из `(pi/2;pi]`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось `a+1

Задание 22: Параметрическое уравнение, графическая визуализация решений (часть 1)

№ 3: Найдите все значения параметра $a$ при которых уравнение $\left(a+3-\left|x-4\right|\right)\left(x^2-8x+10-a\right)=0$ имеет ровно $2$ корня.

№ 4: Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $\left(x^2+a^2-13\right)\sqrt\le0$ имеет не более двух решений.

№ 5: Найдите все значения параметра $a$ при которых неравенство $\frac\le0$ выполняется при всех $x$ из промежутка $1\le x\le3$

№ 6: При каких значениях параметра система из двух неравенств $\frac\ge 0$ и $x-8>ax$ не имеет решений

№ 7: Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства $\frac\le0$ является некоторый луч

Интерактивные Задачи:

2. Системы и совокупности неравенств

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств , если нужно найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением всех заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств .

Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *