Что происходит со степенями при сложении

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим пример умножения степеней с одинаковыми основаниями.

a 5 ⋅ a 3 = a ⋅ a ⋅ . ⋅ a ⏟ ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⏟ = a ⋅ a ⋅ . ⋅ a ⏟ = a 8 5 раз 3 раза 8 раз

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются,

а основание остаётся без изменений.

a n ⋅ a m = a n + m
(где \(а\) — любое число, \(n\) и \(m\) — натуральные числа).

Обрати внимание!

Нельзя заменять сумму a 6 + a 10 на a 16 .

Формула применяется как слева направо, так и справа налево.

1. 5 3 ⋅ 5 .
Решение: 5 3 ⋅ 5 = 5 3 ⋅ 5 1 = 5 3 + 1 = 5 4 = 625 .

2. 3 4 ⋅ 3 2 .
Решение: 3 4 ⋅ 3 2 = 3 4 + 2 = 3 6 = 729 .

упростить выражение:

t 12 t t 4 .
Решение: t 12 t t 4 = t 12 ⋅ t 1 ⋅ t 4 = t 12 + 1 + 4 = t 17 .

представить в виде произведения: 2 7 .
Решение.

Показатель степени \(7\) можно представить в виде суммы несколькими способами.

2 7 = 2 5 + 2 = 2 5 ⋅ 2 2 ; 2 7 = 2 6 + 1 = 2 6 ⋅ 2 1 = 2 6 ⋅ 2 .

Свойства степеней с одинаковыми основаниями

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

• a m × a n = a m+n
• a m ÷ a n = a m–n
• (a m ) n = a mn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

5 2 × 5 3 = 5 5 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ÷ a n = a m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:
(2 2 ) 4 = 2 2×4 = 2 8

Запишем в развернутом виде:
(2 2 ) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

Свойства степеней и действия с ними

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!

Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.

P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Степени. Коротко о главном

Определение степени:

Свойства степеней:

Произведение степеней с одинаковым основанием:	\( >\cdot >=>\)
Произведение степеней с одинаковыми показателями:	\( >\cdot ^>=<<\left( a\cdot b \right)>^>\)
Деление степеней с одинаковым основанием:	\( \frac<>><>>=>\)
Деление степеней с одинаковыми показателями:	\( \frac<>><^>>=<<\left( \frac \right)>^>\)
Возведение степени в степень:	\( <<\left( > \right)>^>=>\)
Дробная степень:	\( <^<\frac>>=\sqrt[m]<>>\)

Особенности степеней:

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное;
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное;
• Положительное число в любой степени – число положительное;
• Ноль в любой степени равен \( 0\);
• Любое число в нулевой степени равно \( 1\);
• Степень с целым показателем — это степень, показатель которой натуральное число (т.е. целое и положительное);
• Степень с рациональным показателем — это степень, показатель которой отрицательные и дробные числа;
• Степень с иррациональным показателем — это степень, показатель которой бесконечная десятичная дробь или корень.

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.

Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=^>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Примеры из жизни

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.

Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…

Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \( \displaystyle 10\) см на \( \displaystyle 10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.

Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.

Умножив \( \displaystyle 30\) на \( \displaystyle 30\) , ты получишь \( \displaystyle 900\) плиток (\( \displaystyle 30\cdot 30=900\) ).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».

Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.

Итак, тридцать во второй степени будет \( \displaystyle 900\) (\( \displaystyle ^>=900\) ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет \( \displaystyle 900\) .

Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.

Квадрат – это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сумму белых и черных квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа… По одной стороне \( \displaystyle 8\) клеток и по другой тоже \( \displaystyle 8\) .

Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной \( \displaystyle 8\) , то можно возвести восемь в квадрат. Получится \( \displaystyle 64\) клетки (\( \displaystyle 8\cdot 8=^>=64\)). Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)

Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?

Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.

В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…

А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты \( \displaystyle 27\) раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно \( \displaystyle 27\) . Записывается это так: \( \displaystyle ^>=27\) .

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?

Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!

Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…

Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?

Давай считать. Первый год — \( \displaystyle 1\) умножить на \( \displaystyle 3\) , потом результат еще на \( \displaystyle 3\) …

Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.

Значит \( \displaystyle 3\) в четвертой степени равно \( \displaystyle 81\) миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это \( \displaystyle 81\) или \( \displaystyle ^>=81\) .

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Основание и показатель степени

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием «\( \displaystyle a\) » и показателем «\( \displaystyle b\) » читается как «\( \displaystyle a\) в степени \( \displaystyle b\) » и записывается следующим образом:

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам.

Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число \( \displaystyle 0\) . Ноль понять легко – это когда ничего нет.

А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне \( \displaystyle -100\) рублей, это значит, что ты должен оператору \( \displaystyle 100\) рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число \( \displaystyle 3,141592…\).

Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа это:

Натуральными называются числа, используемые при счете, то есть \( \displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4\) и т.д;

Целыми – все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0;

Рациональными считаются дробные числа;

Иррациональные числа – это бесконечная десятичная дробь.

Степень с натуральным показателем

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

• Любое число в первой степени равно самому себе: \( \displaystyle >=a\)
• Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: \( \displaystyle >=a\cdot a\)
• Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: \( \displaystyle >=a\cdot a\cdot a\)

Определение:

Возвести число в натуральную степень \( \displaystyle n\) — значит умножить число само на себя \( \displaystyle n\) раз:
\( \displaystyle >=\underbrace_\) .

Примеры:

• \( \displaystyle ^>=5\)
• \( \displaystyle ^>=4\cdot 4\cdot 4=16\cdot 4=64\)
• \( \displaystyle ^>=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64\)

Свойства степеней

Произведение степеней:

Деление степней:

Возведение степени в степень:

Откуда взялись, например, первые два свойства? Сейчас покажу.

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к \( \displaystyle n\) множителям мы дописали \( \displaystyle m\) множителей, итого получилось \( \displaystyle n+m\) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа \( \displaystyle a\) с показателем \( \displaystyle n+m\) , то есть: \( \displaystyle >\cdot >=>\) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение \( \displaystyle ^>\cdot ^>\cdot ^>\) .

Пример: Упростите выражение \( \displaystyle ^>\cdot ^>\cdot <^>\) .

Решение:

Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!

Поэтому степени с основанием \( \displaystyle 3\) мы объединяем, а \( \displaystyle ^>\) остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что \( \displaystyle ^>+^>=^>\).

2. \( \displaystyle n\) -ая степень числа \( \displaystyle >\cdot ^>=<<\left( a\cdot b \right)>^>\)

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение \( \displaystyle \left( a\cdot b \right)\) умножается само на себя \( \displaystyle n\) раз, то есть, согласно определению, это и есть \( \displaystyle n\) -ая степень числа \( \displaystyle \left( a\cdot b \right)\):

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом.

И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже \( \displaystyle 0\).

Давайте подумаем, какие знаки («\( \displaystyle +\)» или «\( \displaystyle —\)») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число \( \displaystyle ^>\)? А \( \displaystyle <<\left( -3 \right)>^>\) ? \( \displaystyle <<\left( -3 \right)>^>\)?

С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть \( \displaystyle \left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)=+9\) или \( \displaystyle <<\left( -3 \right)>^>=9\). Но если мы \( \displaystyle 9\) умножим на \( \displaystyle \left( -3 \right)\), получится \( \displaystyle -27\).

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

Знаки степеней положительных и отрицательных чисел:

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
• Положительное число в любой степени – число положительное.
• Ноль в любой степени равен нулю.

Определи знак:

1) \( \displaystyle <<\left( 0,6 \right)>^>\)	2) \( \displaystyle <<\left( -4 \right)>^>\)	3) \( \displaystyle — <<\left( -\sqrt<3>\right)>^>\)
4) \( \displaystyle <<\left( -\frac<2> \right)>^>\)	5) \( \displaystyle <<\left( 2-\sqrt\right)>^>\)	6) \( \displaystyle <<\left( \sqrt-3 \right)>^>\)

Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

1) \( \displaystyle +\);	2) \( \displaystyle —\);	3) \( \displaystyle —\);
4) \( \displaystyle +\);	5) \( \displaystyle +\);	6) \( \displaystyle —\).

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.

Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно \( \displaystyle 0\) ? Очевидно нет, так как \( \displaystyle 2\ne \sqrt\) (потому что \( \displaystyle 2=\sqrt\) ).

Пример 6) уже не так прост!

Тут нужно узнать, что меньше: \( \displaystyle \sqrt\) или \( \displaystyle 3\) ?

Если вспомнить, что \( \displaystyle 3=\sqrt\) , становится ясно, что \( \displaystyle \sqrt

То есть, применяем правило II: результат будет отрицательным.

6 примеров для тренировки:

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация
Степень с целым показателем

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком «\( \displaystyle —\) ») и число \( \displaystyle 0\) .

Если показателем степени является целое положительное число, а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи.

Начнем с показателя, равного \( \displaystyle 0\) .

Любое число в нулевой степени равно единице:

\( \displaystyle >=1,\ a\ne 0\)Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием \( \displaystyle 3\). Возьмем, например \( \displaystyle ^>\), и домножим на \( \displaystyle ^>\):

Итак, мы умножили число \( \displaystyle ^>\) на \( \displaystyle ^>\) и получили то же, что и было – \( \displaystyle ^>\). А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на \( \displaystyle 1\) . Значит \( \displaystyle ^>=1\) .

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом \( \displaystyle a\):

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число \( \displaystyle 0\) (в качестве основания).

С одной стороны, \( \displaystyle 0\) в любой степени должен равняться \( \displaystyle 0\) – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, \( \displaystyle ^>\) , как и любое число в нулевой степени, должен равняться \( \displaystyle 1\) . Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень.

То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа \( \displaystyle 0\) к целым относятся отрицательные числа.

Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

Отсюда уже несложно выразить искомое \( \displaystyle ^>\) :

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: \( \displaystyle a\ne 0\) (т.к. на \( \displaystyle 0\) делить нельзя).

Подведем итоги:

I. Выражение \( ^>\) не определено в случае \( k\le 0\) . Если \( k>0\) , то \( ^>=0\) .

II. Любое число в нулевой степени равно единице: \( \displaystyle >=1,\ a\ne 0\) .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: \( \displaystyle >=\frac>>,\ a\ne 0\).

6 примеров для тренировки

Решения:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Степень с рациональным показателем

Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.

Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?

Ответ: все, которые можно представить в виде дроби \( \displaystyle \frac\) , где \( \displaystyle m\) и \( \displaystyle n\) – целые числа, причем \( \displaystyle n\ne 0\) .

Чтобы понять, что такое «дробная степень», рассмотрим дробь \( \displaystyle \frac\) :

Возведем обе части уравнения в степень \( \displaystyle n\) :

Теперь вспомним правило про «степень в степени»:

Какое число надо возвести в степень \( \displaystyle n\) , чтобы получить \( \displaystyle 3\) ?

Эта формулировка – определение корня \( \displaystyle n\) -ой степени.

То есть, корень \( \displaystyle n\) -ой степени – это операция, обратная возведению в \( \displaystyle n\) степень: \( \displaystyle \sqrt[n]=b\text< >\Leftrightarrow \text< >a=^>\) .

Получается, что \( \displaystyle x=^>>=\sqrt[n]\) . Очевидно, этот частный случай можно расширить: \( \displaystyle <^>>=\sqrt[n]\) .

Но может ли основание \( \displaystyle a\) быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Например, можно ли посчитать число \( \displaystyle \sqrt[4]\) ? То есть, какое число нужно возвести в \( \displaystyle 4\) степень, чтобы получить \( \displaystyle -16\) ?

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень – число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение \( \displaystyle <<\left( -1 \right)>^>>\) не имеет смысла.

Его уже вроде бы можно посчитать: это \( \displaystyle \sqrt[3]=-1\) .

Но тут возникает проблема.

Число \( \displaystyle \frac\) можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, \( \displaystyle \frac\) или \( \displaystyle \frac\) .

И получается, что \( \displaystyle <<\left( -1 \right)>^>>\) существует, но \( \displaystyle <<\left( -1 \right)>^>>\) не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз \( \displaystyle \sqrt[3]=-2\) , то можно записать \( \displaystyle <<\left( -8 \right)>^>>=-2\) . Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: \( \displaystyle <<\left( -8 \right)>^>>=<<\left( -8 \right)>^>>=\sqrt[6]<<<\left( -8 \right)>^>>=\sqrt[6]=2\) (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.

• \( a>0\);
• \( m\) – натуральное число;
• \( n\) – целое число;

Примеры:

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

\( \displaystyle \frac\cdot \sqrt[18]><\sqrt[6]>=\frac<<^>>\cdot <^>>><<^>>>=<^+\frac-\frac>>=<^>>=<^>=1\)5 примеров для тренировки

Решения:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Степень с иррациональным показателем

Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением \( >>=\sqrt[m]>>\)

Ведь по определению иррациональные числа – это числа, которые невозможно представить в виде дроби \( \frac\) , где \( m\) и \( n\) – целые числа (то есть, иррациональные числа – это все действительные числа, кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя \( 0\) раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число \( 1\) ; степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

3 примера для тренировки

Решения

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Продвинутый уровень предназначен для тех, кто уже хорошо знает степень и хотел бы быстро повторить.

Если вы такой (или такая), начинайте читать статью прямо отсюда.

Но если вам трудно или что-то не понятно возвращайтесь к начальному уровню.

Определение степени

Степень с натуральным показателем

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя \( n\) раз:

Степень с целым показателем

Если показателем степени является целое положительное число:

Возведение в нулевую степень:

Если показателем степени является целое отрицательное число:

Еще раз о нулях: выражение \( ^>\) не определено в случае \( k\le 0\). Если \( k>0\) , то \( ^>=0\) .

Примеры:

Степень с рациональным показателем

• \( a>0\);
• \( m\) – натуральное число;
• \( n\) – целое число;

Примеры:

Свойства степеней

Произведение степеней	\( >\cdot >=>\) \( >\cdot ^>=<<\left( a\cdot b \right)>^>\)
Деление степеней	\( \frac<>><>>=>\) \( \frac<>><^>>=<<\left( \frac \right)>^>\)
Возведение степени в степень	\( <<\left( > \right)>^>=>\)

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Доказательства свойств степени

Сколько здесь множителей всего? Очень просто: к \( \displaystyle n\) множителям мы дописали \( \displaystyle m\) множителей, итого получилось \( \displaystyle n+m\) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Пример: Упростите выражение \( \displaystyle ^>\cdot ^>\cdot ^>\) .

Пример: Упростите выражение \( \displaystyle ^>\cdot ^>\cdot <^>\) .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием \( \displaystyle 3\) мы объединяем, а \( \displaystyle ^>\) остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что \( \displaystyle ^>+^>=^>\) .

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение \( \displaystyle a\cdot b\) умножается само на себя \( \displaystyle n\) раз, то есть, согласно определению, это и есть \( \displaystyle n\) -я степень числа \( \displaystyle a\cdot b\) :

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: \( \displaystyle ^>+^>\ne <<\left( 2+3 \right)>^>\) !

И снова используем определение степени:

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что \( \displaystyle n>m\) (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда \( \displaystyle m\) множителей числителя сокращаются со всеми \( \displaystyle m\) множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве \( \displaystyle n-m\) штук:

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

6 примеров для тренировки

Вычисли значения выражений:

Решения:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Добавить комментарий Отменить ответ

8 комментариев

Валерия Валерьевна :

Спасибо, Алексей, за доступное, бодрое изложение.
Вот бы Вы написали нам новые учебники.
Учить и учиться было бы намного веселей и продуктивней.

Александр Кель :
Спасибо, Валерия Валерьевна. Очень приятно слышать.
Алексей Шевчук :

Спасибо вам за отзыв! Думаю, можете давать ученикам ссылку на наш учебник, может быть и им понравится:)

пример номер 6
из «6 примеров для тренировки» ошибка в знаменателе дроби
в задании сумма корней (SQRT(6)+SQRT(7))^2
в решении в _разность_ (SQRT(6)-SQRT(7))^2

имеется ввиду задание в последнем разделе «продвинутый уровень «
Андрей :

Цитата: «Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.
Итак, если:
a>0;
n – натуральное число;
m – целое число;
Тогда: a в степени n/m = …» У Вас как минимум в двух местах механическая опечатка. В том виде, как записана формула, допускается деление на целое число — ноль.
Надо исправить; здесь m — натуральное число, а n — целое число. Очень хорошие уроки. Огромное спасибо за Ваш труд!

Александр Кель :

Спасибо большое, Андрей и за отзыв и за то, что заметили ошибку (за ошибку в особенности). Удачи на всех экзаменах!

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье: Денис
28 февраля 2018
Большое спасибо за разъяснения, все бы так учили давно бы космос покорили. Александр (админ)
28 февраля 2018
Спасибо, Денис. Будем покорять ) Маша
15 апреля 2019
Не понимаю, куда дели (-1)^35 в 4м примере продвинутого раздела. Это должно быть -1. Куда дальше делся минус? Алексей Шевчук
11 мая 2019
Маша, минус дальше пишем перед всем выражением. Денис
24 июня 2019
Спасибо за этот сайт Александр (админ)
24 июня 2019
Пожалуйста, Денис! Приятно слышать. Александр
18 сентября 2019
Очень классно объясняете. Буду отправлять на ваш сайт младшую сестру:) У меня есть задачка по степеням из программирования. Нужно выяснить что больше: a в степени b или b в степени a. Есть ли какие-то свойства для степеней, которые могли бы помочь решить данную задачу без возведения в степени? Алексей Шевчук
18 сентября 2019
Спасибо, Александр! Можно, например, прологарифмировать оба выражения по основанию a (или b, это не важно) и посмотреть, что больше: b или a*log_a(b). Скорость вычисления логарифма сравнима с возведением в маленькую степень (до 10), но для больших чисел выигрыш во времени существенный. Сергей
13 октября 2019
Спасибо огромное, разъяснено добротно только хочется видеть в столбик все свойства степеней Александр (админ)
14 октября 2019
Сергей, спасибо за совет. Как раз собираюсь обновить учебник. Сделать его еще более читабельным. Иоанн
04 февраля 2020
Спасибо! Сдаю академ. задолженность за 8 класс, за день учу всё, что не учил целый год! Всё описано ясно и чётко, по человечески! Александр (админ)
04 февраля 2020
Очень приятно слышать! Желаю вам сдать все на отлично! Все в ваших руках.

Действия со степенями и корнями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

Пример 1. Найти значение выражения

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 3. Найти значение выражения

Пример 4. Найти значение выражения

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.