Что такое чевиана в треугольнике

Чевиана

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).

N

n-угольник — многоугольник с n вершинами.

А

Аффи́нное преобразование — преобразование плоскости, переводящее прямые в прямые.

Антипаралле́ль к стороне BC — отрезок B₁C₁, где точки B₁ и C₁ лежат на лучах AC и AB, при условии, что ∠AB₁C₁ = ∠ABC и ∠AC₁B₁ = ∠ACB.

Асимпто́та кривой γ, имеющей бесконечную ветвь, — прямая, такая, что расстояние от точки γ кривой до этой прямой стремится к нулю при движении ее вдоль ветви к бесконечности.

Б

Барице́нтр системы точек A_i с массами m_i — точка Z такая что $\sum_i m_i\overrightarrow<ZA_i>=0″ width=»» height=»» />.</li> </ul> <ul> <li>Барицентри́ческие координаты точки X относительно невырожденного треугольника ABC — тройка чисел (m1:m2:m3) , такая что <img decoding=$ и $m_1\overrightarrow<XA>+ m_2\overrightarrow + m_3\overrightarrow = 0″ width=»» height=»» />, то есть если разместить в вершины треугольника массы, численно равные m1,m2,m3 , то барицентр полученной системы точек совпадёт с точкой X . Барицентрические координаты называют приведёнными, если m1 + m2 + m3 = 1</li> </ul> <ul> <li>Биссектри́са треугольника, проведенная из вершины — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне.</li> </ul> <ul> <li>Биссектри́са угла — луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.</li> </ul> <h3>В</h3> <ul> <li>Вневпи́санная окружность треугольника. Окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.</li> <li>Внешний угол — см. многоугольник.</li> <li>Внутренний угол — см. многоугольник.</li> <li>Впи́санная окружность треугольника. Окружность, касающаяся трёх сторон треугольника.</li> <li>Впи́санный четырёхуго́льник. Выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.</li> <li>Высота треугольника.Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Иногда так называют длину этого перпендикуляра.</li> </ul> <h3>Г</h3> <ul> <li>Геометрическое место точек (ГМТ) — множество точек плоскости, удовлетворяющее определённому условию. Например, срединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от его концов.</li> <li>Гипербола</li> <li>Гомотетия с центром O и коэффициентом <img decoding=$ — преобразование плоскости, переводящее точку P в точку P’ , такую что $\overrightarrow <OP$ .

Д

Движение. см. изометрия.

Диаметр Брокара — диаметр окружности Брокара.

И

Изоме́трия. Преобразование, сохраняющее расстояния.

Инве́рсия — конформное преобразование, при котором окружности и прямые переходят в прямые и окружности (не обязательно соответственно).

Инце́нтр треугольника — точка пересечения биссектрис, а также центр вписанной в треугольник окружности.

Изогональное сопряжение. Пусть на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Тогда прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке Q. В этом случае точки P и Q называются изогонально сопряженными относительно треугольника ABC.

Изогонический центр треугольника. Построим на сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Тогда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Эту точку называют первым (вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Ферма.

Изодинамический центр треугольника. Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Тогда эти три окружности имеют две общие точки M и N, которые называются изодинамическими центрами. Кроме того, прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

К

$\infty$

Коллинеа́рные точки. Набор точек, находящихся на одной прямой.
Конгруэ́нтные фигуры. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует изометрия плоскости, которая переводит одну в другую.
Конкуре́нтные прямые. Набор прямых, проходящих через одну точку, или попарно параллельных.
Кривая постоянной шириныa есть замкнутая выпуклая кривая, длина проекции которой на любую прямую равна a.
Круг есть ограниченная часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круговая плоскость. Евклидова плоскость, дополненная одной идеальной точкой ().

Л

Луч — «полупрямая», имеет начальную точку, но не имеет конечной точки.

М

Медиа́на треугольника. Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Многоуго́льник. Замкнутая ломаная на плоскости.

Н

Накло́нная к прямой p ― прямая, пересекающая прямую p под углом, отличным от прямого.

О

Окру́жность с центром в точке О — геометрическое место точек, равноудалённых от точки О.

Окру́жность Аполло́ния для данных точек A и B и коэффициента $k\not=1$ — геометрическое место точек, таких, что | AX | = k | BX | .

Окружность Брокара — описанная окружность треугольника Брокара.

Окружности Лемуана. Через точку Лемуана данного треугольника проведем прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника (в общем случае таких точек 6), называется первой окружностью Лемуана. Если же через точку Лемуана провести прямые, антипараллельные сторонам треугольника, то окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника называется второй окружностью Лемуана.

Окружность Нейберга Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса $BC/2)\sqrt<<\rm ctg >^2\varphi -3>» width=»» height=»» />, которая и называется окружностью Нейберга.</li> </ul> <ul> <li>Окружность Тукера треугольника ABC — окружность, которая проходит через точки пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A1B1C1, полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана. Эти точки (в общем случае их шесть) всегда лежат на одной окружности. Центр окружности Тукера лежит между точкой Лемуана и центром описанной окружности.</li> </ul> <ul> <li>Окружности Схоуте. Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее. Данные окружности называются окружностями Схоуте треугольника ABC . ‘Отре́зок— часть прямой между двумя точками, включая концы.</li> </ul> <ul> <li>Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Многоугольник, вокруг которого описанна окружность, называется вписанным в эту окружность.</li> </ul> <h3>П</h3> <ul> <li>Параллелогра́мм — четырехугольник, противоположные стороны и противоложные углы которого равны.</li> <li>Параллельный перенос — преобразование M’=f(M) такое, что все отрезки MM’ равны и параллельны. Из этого вытекает, что x’ = x + a1, y’ = y + a2, где a1,a2 — произвольные константы. Параллельный перенос является изометрией и не имеет неподвижных точек.</li> <li>Педа́льный треугольник см. Подерный треугольник</li> <li>Площадь — некоторая аддитивная неотрицательная величина, сопоставляемая каждой элементарной фигуре.</li> <li>Поворот — изометрическое преобразование, являющееся результатом вращения всей плоскости вокруг точки на этой плоскости на заданный угол.</li> <li>Поде́рный треугольник точки Р относительно ∆ABC. Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника ABC (или их продолжения).</li> <li>Подобие — преобразование, сохраняющее отношение расстояний.</li> <li>Преобразование плоскости — взаимнооднозначное отображение плоскости на себя. Часто однако преобразванием называют отображения, которые продолжаются до преобразований расширенной плоскости, например инверсия — преобразование круговой плоскости, перспектива — преобразование проективной плоскости, и т. д.</li> <li>Проективная плоскость — евклидова плоскость, дополненная идеальной прямой (см. бесконечно удалённая прямая).</li> <li>Проективные преобразования — преобразования проективной плоскости, сохраняющие отношение параллельности.</li> <li>Прямая Эйлера</li> </ul> <h3>Р</h3> <ul> <li>Равновеликие фигуры — фигуры имеющие одинаковую площадь.</li> <li>Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Частным случаем ромба является квадрат.</li> </ul> <h3>С</h3> <ul> <li>Симедиана — отрезок, симметричный медиане треугольника относительно биссектрисы угла этого треугольника. Симедианы треугольника пересекаются в точке Лемуана.</li> </ul> <ul> <li>Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к отрезку и делящая его на две равные части.</li> </ul> <ul> <li>Серединный треугольник — треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника.</li> </ul> <ul> <li>Средняя линиятреугольника или трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основанию треугольника (или основаниям трапеции) и равна половине основания треугольника (или полусумме оснований трапеции).</li> </ul> <ul> <li>Степень точки относительно окружности — число d 2 − R 2 , где d — расстояние от точки до центра окружности, a R — радиус окружности.</li> </ul> <ul> <li>Стереографическая проекция — проекция из точки О сферы, проходящей через эту точку на плоскость, касающуюся сферы в точке, антиподальной к точке О.</li> </ul> <ul> <li>Скользящая симметрия — композиция симметрии относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой (этот вектор может быть и нулевым).</li> </ul> <h3>Т</h3> <ul> <li>Точка Жерго́на — точка пересечения чевиан, проходящих через точки касания вписанной окружности со сторонами этого треугольника.</li> </ul> <ul> <li>Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника. Эта точка изогонально сопряженнацентроиду.</li> </ul> <ul> <li>Точка На́геля — точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями.</li> </ul> <ul> <li>Точка Торричелли — точка, из которой все стороны видны под углом 120°.</li> </ul> <ul> <li>Точки Брокара — такие внутренние точки P и Q <img decoding=$ , что $\angle ABP =\angle BCP = \angle CAP$ и $\angle QAB=\angle QBC = \angle QCA$ .

Треугольник Наполеона для треугольника — равносторонний треугольник, образованный центрами равносторонних треугольников, построенных на всех сторонах данного треугольника.

Трисектри́са угла есть луч, делящий этот угол в отношении 2:1.
Трисектри́са — плоская кривая.

Тупой угол — угол, величина которого находится между 90 и 180 градусами.

Теорема Гаусса. Рассмотрим четырехугольник ABCD . Пусть u = AD 2 , v = BD 2 , w = CD 2 , U = BD 2 + CD 2 — BC 2 , V = AD 2 + CD 2 — AC 2 , W = AD 2 + BD 2 — AB 2 . Тогда uU 2 + vV 2 + wW 2 = UVW + 4uvw .

Теорема Карно. Перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на стороны BC, CA и AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B 2 + C₁A 2 + B₁C 2 = B₁A 2 + A₁C 2 + C₁B 2 .

Теорема Наполеона. Если на сторонах правильного треугольника внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник. Кроме того, разность площадей треугольников, полученных при построении правильных треугольников внешним и внутренним образом, равна площади исходного треугольника.

Теорема о группировке масс. Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме масс удаленных точек.

Теорема о дважды перспективных треугольниках. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁ таких, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Тогда прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂.

Теорема о полном четырехстороннике. Рассмотрим четыре точки A, B, C и D. Пусть P, Q и R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Тогда (QRKL)=-1, где (QRKL) — двойное отношение точек Q, R, K, L.

Теорема о трижды перспективных треугольниках. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁ таких, что прямые AA₁ , BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O , прямые AA₁ , BC₁ и CB₁ пересекаются в одной точке O₁ и прямые AC₁ , BB₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₂ . Тогда прямые AB₁ , BA₁ и CC₁ также пересекаются в одной точке O₃ .

Теорема Тебо: На стороне BC треугольника ABC взята точка D . Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I , I₁ , I₂ и r , r₁ , r₂ — центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁ , S₂ ; $\varphi=\angle ADB$ . Тогда точка I лежит на отрезке I₁I₂ , причём $I_1I\colon II_2=<\rm tg >^2\frac» width=»» height=»» />, причем <img decoding=$ (Тебо).

Теорема Шаля утверждает, что любое движение плоскости является одним из следующего списка: параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия (включая осевую). Теорема Шаля дает полную классификацию всех движений плоскости.
- — Часто также бывает удобно воспользоваться тем фактом, что любое движение плоскости есть композиция некоторого количества осевых симметрий (всегда можно обойтись не более, чем тремя).
- — Аналогичная теорема классифицирует все движения трехмерного пространства: всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением (то есть композицией поворота вокруг определенной оси с параллельным переносом вдоль той же оси, причем как угол, так и вектор могут быть и нулевыми). Движение, меняющее ориентацию, является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.

Точки изотомически сопряженные Пусть прямые AP,BP и CP пересекают прямые BC,CA и AB в точках A₁,B₁ и C₁ соответственно, а точки A₂,B₂ и C₂ выбраны на прямых BC,CA и AB так, что : \overline=\overline: \overline» width=»» height=»» /> и
- Угол Брокара. Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP называется углом Брокара этого треугольника.
- Угол между окружностями — угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
- Угол между окружностью и прямой — угол между прямой и касательной к окружности в точке пересечения прямой и окружности. Оба угла между пересекающимися окружностью и прямой равны.
Ф
- Фигура — произвольное подмножество плоскости.
Х
- Хо́рда кривой — отрезок, концы которого лежат на данной кривой.
Значение слова «чевиана»

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: не раз и не два — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Нейтральное
Положительное
Отрицательное

Понятия со словом «чевиана»

Чевиана — это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, доказавшего известную теорему о чевианах, которая носит его имя. Медианы, биссектрисы и высоты в остроугольном треугольнике являются специальными случаями чевиан.

Отправить комментарий

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Сайт оснащён мощной системой поиска с поддержкой русской морфологии.

Что такое чевиана в треугольнике

Чевиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне или ее продолжении, называется чевианой . Название происходит от теоремы Чевы , дающей условие, при котором три чевианы пересекаются в одной точке.

Теорема Стюарта

Формула, связывающая длину чевианы , проведенной к основанию треугольника (точнее, ее квадрат), с длинами отрезков, на которые она делит основание, и боковыми сторонами:

AD 2 × BC = AB 2 × DC + AC 2 ×DB – BC × DB × DC.

Теорема была сформулирована М. Стюартом (1746), но, возможно, была известна Архимеду. Иногда ее называют теоремой Аполлония . Более компактно формулу можно записать, используя отношения p = BD / BC и q = DC / BD и обозначения a,b , c для сторон треугольника и d = AD для чевианы :

d 2 = pb 2 + qc 2 – pqa 2 .

В этой форме равенство справедливо и в случае, когда точка D лежит на продолжении стороны BC, при этом p и q следует считать отношениями направленных отрезков. Из теоремы Стюарта, в частности, выводятся формулы для длины медианы и биссектрисы треугольника.

Высота, медиана, чевиана и биссектриса треугольника — замечательные отрезки треугольника

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про высота треугольника, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое высота треугольника, медиана треугольника, биссектриса треугольника, замечательные отрезки треугольника, трисектриса, чевиана , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия. Рассмотрим эти замечательные отрезки в треугольнике подробнее

высота треугольника

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону). В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.

B1D1 – высота треугольника A1B1C1, опущенная из вершины B1. B2D2 – высота треугольника A2B2C2, опущенная из вершины B2. Высота в треугольниках различного типа

Свойства высоты треугольника

Свойства ортоцентра

Высоты треугольника
- Все 3 высоты треугольника пересекаются в 1 точке, называемой ортоцентром. Доказательства ниже.
- Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
- Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
- Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
- В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.
Свойства, связанные с описанной окружностью
- Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
- Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
- Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
- Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
- Если О — центр описанной окружности ΔABC, то ,
  - , где — радиус описанной окружности; — длины сторон треугольника.
  - Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
  - Радиусы описанных окружностей трех треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
  Свойства высот равнобедренного треугольника
  - Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
  - Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
  - У равностороннего треугольника все три высоты равны.
  Свойства оснований высот треугольника
  - Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
  - Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трех отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
  - Другая формулировка последнего свойства:
    - Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
    Свойства середин высот треугольника
    - Теорема Шлемильха. В 1860 году Шлемильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан.
    - Еще одна очевидная теорема. Середина высоты треугольника всегда лежит на пересекающей ее средней линии треугольника.
    - Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой. .
    - Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
    - Середины X и Y двух высот треугольника ABC, а также середина K стороны BC, из концов которой эти две высоты выходят, а также ортоцентр H лежат на одной окружности, на которой также лежит и пятая точка D — основание третьей высоты AD .
    Другие свойства
    - Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведенная из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
    - Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.
    - В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него 2 пары треугольников с 1 общей вершиной, которые подобны.
    - В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
    Свойства минимальной из высот
    
    Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:
    - Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
    - Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
    - При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
    - Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.
    Соотношения
    - где — площадь треугольника, — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.
    - где — произведение боковых сторон, — радиус описанной окружности
    - , где — радиус вписанной окружности.
    - , где — площадь треугольника.
    - , — сторона треугольника к которой опускается высота .
    - Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:
    где — основание, — боковая сторона.
    - — высота в равностороннем треугольнике со стороной .
    Теорема о высоте прямоугольного треугольника [ править | править код ]
    
    Если высота в прямоугольном треугольнике длиной , проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:
    
    Теорема о проекциях
    
    См. с. 51, ф. (1.11-4) . Теорема о проекциях: . Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины , делит противоположную ей сторону на две части и , считая от вершины к .
    
    Мнемоническое стихотворение
    
    Высота похожа на кота,
    Который выгнул спину
    И под прямым углом
    Соединил вершину
    И сторону хвостом.
    
    История высот треугольника
    - Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда . Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привел.
    - В косвенной форме и в явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410-485) — комментатора Евклида .
    - Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой .
    - Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла (William Chapple (surveyor) (англ.) русск. ) (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год) .
    - Сам термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом (W. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . H. Besant (англ.) русск. ) в работе «Конические сечения, исследованные геометрически (1869)» ( ) [10] .
    Две составные части высоты: предвысота и поствысота
    
    Три чевианы, проходящие через общую точку
    - На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 высоты: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 высот разбивает каждую высоту на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем довысотой или предвысотой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем поствысотой.
    - Эти 2 термина введены по аналогии с операторами цикла с учетом их изображения на блок-схемах в информатике. Там есть понятия цикла соответственно с пред- и пост-условием в зависимости от того, стоит ли это условие перед или после тела цикла. У нас в роли тела цикла выступает точка O пересечения высот, а в роли условия – первый или второй конец отрезка, вводимого, как понятие для одной из двух частей высоты.
    - С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии.
    Например, в любом треугольнике (в остро-, прямо-, и в тупоугольном) 3 произведения пред- и поствысоты совпадают [13] . Для остро-и прямоугольного треугольников это утверждение легко доказываемое. Оно верно и для любого тупоугольного треугольника, что удивительно, поскольку в таком треугольнике 2 из 3 высот даже не лежат внутри самого треугольника.
    - Замечание. На этом рис. справа в треугольнике ABC чевианы не являются высотами. На следующем рис. справа в треугольнике ABC три высоты:
    Высоты в треугольнике ABC
    
    биссектриса треугольника
    
    Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.
    
    EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.
    Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч , исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от сторон этого угла
    
    Связанные определения
    - Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.
    - В любом треугольнике , кроме внутренних биссектрисы или просто биссектрис, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
    - Проведение в данном треугольнике всех трех его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно ) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трех внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами , которые касаются соответственно сторон исходного треугольника.
    - Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
    - Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника
    - Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей , является центром эллипса МандАра. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).
    Центры трех вневписанных окружностей (соответственно ) образуют — треугольник трех внешних биссектрис
    
    Построение биссектрисы
    
    Свойства биссектрис
    
    Свойства точек пересечения биссектрис
    - Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
    - Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
    - Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
    - Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Ее центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.
    Свойства, связанные с углами
    - Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
    - Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
    - Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.
    Свойства, связанные с дугами
    - Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
    - То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.
    Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
    - Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
    - Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
    - В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
    - Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
    - У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
    - У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.
    Свойства оснований биссектрис
    - Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть или .
    - Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
    - Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
    - Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
    - Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основаниявнутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
    - Через точку Фейербаха проходит окружность, проведенная через основаниябиссектрис .
    Свойства осей биссектрис
    - Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
    - Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырехсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.
    Другие свойства
    - Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведенная из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
    - Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
    - Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, причем даже при наличии трисектора.
    - Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трех разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трех внешних биссектрис исходного треугольника .
    Длина биссектрис в треугольнике
    
    Биссектриса Треугольника ABC
    
    Для выведения нижеприведенных формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.
    
    Для трех биссектрис углов , и с длинами соответственно и , справедлива формула
    - Инцентр (точка пересечения трех внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла в отношении , где , , — стороны треугольника,
    - — стороны треугольника против вершин соответственно,
    - — внутренние углы треугольника при вершинах соответственно,
    - — высота треугольника, опущенная на сторону .
    - — длина внутренней биссектрисы, проведенной к стороне ,
    - — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса делит сторону ,
    - — длина внешней биссектрисы, проведенной из вершины к продолжению стороны .
    - — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса делит сторону и ее продолжение до основания самой биссектрисы.
    - Если медиана , высота и внутренняя биссектриса выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса , тогда :p.122,#96
    Длина частей биссектрис в треугольнике
    - Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
    - Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
    - Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
    - Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла в отношении , где , , — стороны треугольника.
    Уравнения биссектрис
    - Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями и , то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций :
    Мнемоническое правило (шуточное)
    - Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
    медиана треугольника
    
    Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.
    
    RX – медиана угла SRT. SX = XT
    
    Треугольник и его медианы
    
    Связанные определения с Медианой
    
    Три медианы, проходящие через общую точку
    
    На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 медианы: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 медиан разбивает каждую медиану на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем домедианой или предмедианой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем постмедианой. С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии. Например, в любом треугольнике отношение пред- и постмедианы равно двум.
    
    Свойства Медиан
    
    Основное свойство
    
    Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
    
    Свойства медиан равнобедренного треугольника
    
    В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
    
    У равностороннего треугольника все три медианы равны.
    
    Свойства оснований медиан
    
    Окружность девяти точек
    - Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон (основания его медиан) и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
    - Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
      - Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
      Другие свойства
      - Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведенная из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
      - Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
      - Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
      - Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
      - В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
      - Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
      - Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряженный внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
      - Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
      Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида
      - Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).
      Основные соотношения Медиан
      
      Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
      
      где — медианы к сторонам треугольника соответственно.
      
      В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
      
      Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
      
      где — медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.
      
      Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:
      
      где — полусумма длин медиан.
      
      чевиана треугольника
      
      Чевиана — это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне . Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, доказавшего известную теорему о чевианах, которая носит его имя . Медианы, биссектрисы и высоты в остроугольном треугольнике являются специальными случаями чевиан.
      
      Длина чевианы
      
      Треугольник с чевианой длины d
      
      Теорема Стюарта
      
      Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задается формулой
      
      Медиана
      
      Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле
      
      Биссектриса
      
      Если чевиана является биссектрисой, ее длина удовлетворяет формуле
      
      Сторона a делится в пропорции b:c .
      
      Высота
      
      Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, ее длина удовлетворяет формулам
      
      где полупериметр s = (a+b+c) / 2.
      
      Свойства отношений
      
      Три чевианы, проходящие через общую точку
      
      Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку . Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства
      
      (Теорема Ван-Обеля о треугольнике)
      
      Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений дает тождество 1 + 1 + 1 = 3.
      
      Делители периметра
      
      Делители периметра треугольника — это чевиана, которая делит периметр пополам. Три таких делителя пересекаются в точке Нагеля треугольника.
      
      Делители площади
      
      Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.
      
      Трисектрисы
      
      Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя правильный треугольник, называемый треугольником Морли.
      
      Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами
      
      Теорема Рауса определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трех чевиан, по одной из каждой вершины.
      
      Вау!! �� Ты еще не читал? Это зря!
      - Антибиссектриса
      - Инцентр
      - Симедиана
      - Теорема Менелая
      - Теорема о биссектрисе
      - Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
      - Треугольник
      - Треугольник трех внешних биссектрис
      - Центроид
      - Ортоцентр
      - замечательные отрезки треугольника
      - Теорема Менелая
      Я что-то не договорил про высота треугольника, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое высота треугольника, медиана треугольника, биссектриса треугольника, замечательные отрезки треугольника, трисектриса, чевиана и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия