Что такое ких фильтр

Построение квадратично-экспоненциальных КИХ-фильтров с расширенной средней областью частотного отклика Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Фурсов Владимир Алексеевич

Статья посвящена проблеме синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой ( КИХ-фильтров ) для коррекции радиально-симметричных искажений типа дефокусировки. Предлагается новая модель радиально-симметричного частотного отклика, являющаяся обобщением модели частотного отклика , который описывается аналитически в виде композиции отрезков квадратичной и экспоненциальной функций. Обобщение состоит в том, что вводится дополнительный участок постоянного частотного отклика , который расширяет область средних частот. В работе исследуется зависимость качества восстановления от параметра, характеризующего диапазон средних частот, в котором спектральная характеристика фильтра постоянна. Приводятся примеры реализации и результаты сравнения с оптимальным фильтром Винера.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Constructing a quadratic-exponential FIR-filter with an extended frequency response midrangе

This article is concerned with synthesizing filter with finite impulse response (FIR-filters) employed to correct radially symmetric distortions such as defocusing. We propose a new parametric class of finite impulse response filters (FIR-filters) based on a model of the one-dimensional radially symmetric frequency response . In the proposed method, the one-dimensional frequency response is composed of quadratic and exponential functions. The two-dimensional impulse response of the filter is constructed by sampling one-dimensional impulse responses for all directions. The development consists in introducing an extended mid-frequency region of the frequency response , thus increasing the contribution of the frequencies to image correction. Examples are given in order to illustrate the possibility of the high-quality distortion correction. In particular, it is shown that the proposed method provides the restoration quality higher than that obtained when using an optimal Wiener filter (taken from OpenCV).

Текст научной работы на тему «Построение квадратично-экспоненциальных КИХ-фильтров с расширенной средней областью частотного отклика»

ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНО-ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ С РАСШИРЕННОЙ СРЕДНЕЙ ОБЛАСТЬЮ ЧАСТОТНОГО ОТКЛИКА

1 Институт систем обработки изображений РАН — филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия

Статья посвящена проблеме синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) для коррекции радиально-симметричных искажений типа дефокусировки. Предлагается новая модель радиально-симметричного частотного отклика, являющаяся обобщением модели частотного отклика, который описывается аналитически в виде композиции отрезков квадратичной и экспоненциальной функций. Обобщение состоит в том, что вводится дополнительный участок постоянного частотного отклика, который расширяет область средних частот. В работе исследуется зависимость качества восстановления от параметра, характеризующего диапазон средних частот, в котором спектральная характеристика фильтра постоянна. Приводятся примеры реализации и результаты сравнения с оптимальным фильтром Винера.

Ключевые слова: КИХ-фильтр, импульсный отклик, частотный отклик, обработка изображений.

Цитирование: Фурсов, В.А. Построение квадратично-экспоненциальных КИХ-фильтров с расширенной средней областью частотного отклика / В.А. Фурсов // Компьютерная оптика. — 2018. — Т. 42, № 2. — С. 297-305. — Б01: 10.18287/2412-6179-2018-42-2-297-305.

Восстановление размытых изображений — одна из популярных тем исследований в области обработки изображений. Несмотря на большую историю [1-5] интерес к этой теме не ослабевает. Частично это связано с тем, что в последние годы наблюдается бурное развитие мобильных устройств с функциями регистрации изображений. Важное достоинство этих устройств -возможность оперативной регистрации большого количества изображений при сравнительно небольших затратах. Однако изображения мобильных устройств могут иметь искажения типа дефокусировки, связанные с малой глубиной резкости, которая имеет место при использовании больших регистрирующих элементов в компактной камере [6]. Даже в случае высокого качества оптики мобильных приборов качество изображений может быть низким, поскольку съемка выполняется «с рук», а также при движении регистрируемого объекта с большой скоростью.

Модели искажений, связанных с дефокусировкой и относительным движением камеры и объекта, существенно различны. Поэтому часто осуществляют предварительное определение источника искажений. В [7] эта задача решается с использованием спектрального и пространственного подходов. В [8] оценку функции размытия точки (ФРТ) при априорной неопределенности модели искажений рассматривают как проблему минимизации энергии.

Трудности построения фильтров в условиях априорной неопределенности типа модели искажений инициируют исследования, направленные на разработку методов принятия решений на размытых изображениях. В частности, в [9] предлагается технология распознавания, обладающая инвариантными свойствами признаков к расфокусировке. В [10] предложена технология распознавания лиц, в которой опе-

рации устранения размытия изображений и распознавания совмещены. Более того, в ряде работ предлагается само размытие эффективно использовать для решения задач распознавания. Например, в [11] предложен метод оценки глубины подводных сцен на основе анализа степени размытия. В [12] представлен алгоритм сегментации для разделения областей переднего плана и фона. Тем не менее, в подавляющем большинстве случаев требуется предварительное устранение размытия изображений.

Наиболее простой метод восстановления изображений — инверсная фильтрация [1], [4]. Однако для построения инверсного фильтра должна быть известна модель искажающей системы. Но даже если модель искажений известна, построение достаточно точной инверсной модели в классе фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (ПЯ-Ниеге) наталкивается на серьезную проблему существования обратной передаточной функции [13]. Поэтому задачу восстановления изображений обычно решают в классе КИХ-фильтров.

Некоторые проблемы синтеза КИХ-фильтров рассмотрены в [14], [15]. Основные преимущества КИХ-фильтров — простота реализации и отсутствие проблем с устойчивостью [16]. Наиболее популярные схемы реализации КИХ-фильтров — с использованием функций окна и фильтр Винера [17]. Эти методы имеют прочную теоретическую основу, однако на практике возникают серьезные трудности определения оптимальных параметров фильтров в условиях априорной неопределенности моделей искажений и помех.

Этот недостаток в значительной степени может быть преодолен в рамках подхода, основанного на идентификации параметров фильтра с использованием искаженного и образцового (обучающего) изображений [18]. Поскольку искаженное изображение содержит реальный шум, оценки параметров фильтра полу-

чаются оптимальными в смысле заданного критерия близости с учётом реальных моделей искажений и шумов. Методы и алгоритмы параметрической идентификации моделей искажения изображения были исследованы автором в предыдущих работах [19-21].

Предлагаемый в настоящей работе фильтр является обобщением квадратично-экспоненциального ^Е-фильтра), рассмотренного в работе [21].

Работа организована следующим образом. В первом параграфе вводится необходимый для дальнейшего формализм. Второй параграф посвящен построению модели, описывающей непрерывную функцию, аппроксимирующую импульсный отклик для заданной функции частотного отклика. В третьем параграфе строится технология реализации дискретного КИХ-фильтра с использованием полученной непрерывной аппроксимации. В заключительном, четвертом, параграфе приводятся результаты экспериментов, подтверждающие возможность достижения высокого качества восстановления изображений при крайне малых затратах времени на определение параметров фильтра.

1. Постановка задачи

Как и в работе [21], будем строить КИХ-фильтр с радиально симметричным вещественным частотным откликом [1, 4]. Поэтому зададим опорную область Б в виде ^х^-квадрата с центром в точке к1 = 0, кг = 0 так, что N — нечётно и N1 = N = N

Отсчёты восстановленного изображения y (n1, n2) соответствующего КИХ-фильтра определяются как [3]

y (n1, n2) = Z Z h (k1, k2) x (n1 — k1, n2 — k2),

где х (т, «2)еБ и к (кь к2) — отсчёты на искаженном изображении и двумерная импульсная характеристика соответственно.

Поскольку при радиальной симметрии искажений отсчеты, находящиеся на одинаковых расстояниях от центра опорной области, имеют одинаковые искажения, соотношение (2) для вычисления отсчёта у (п1, п2) в предположении, что центральный отсчёт импульсного отклика к (0, 0) опорной области Б находится в точке п1, п2, можно представить в виде:

y(nvn2) = Z Z hLr(kl,k2)Jx

где г(к1,к2) = ^к12 + к22 ,

а к [г (к1, к2)] — отсчёты одномерной импульсной характеристики, определённые на множестве окружностей с радиусами г (к1, к2), кг, к2&Б (далее для сокращения записей вместо г (кь к2) мы будем употреблять обозначение г).

Таким образом, в рамках модели (3) задача оценивания двумерной передаточной функции фильтра

сводится к задаче формирования модели импульсного отклика в классе одномерных функций, являющихся аппроксимацией заданного частотного отклика фильтра в радиальном направлении.

В работе [21] введена функция одномерного частотного отклика для 0 < ш < ® в виде отрезков параболы при ш < ш* и экспоненты - при ш >ш*:

График указанной функции приведён на рис. 1.

Рис. 1. Типичный график спектра SE-фильтра

Идея состоит в том, чтобы частотная характеристика обеспечивала «подъём» низких частот и подавление высоких частот в области действия шума. Для этого фильтра для краткости мы ввели название SE-фильтр (Square-Exponential) [20]. Эксперименты в [21] подтвердили эти свойства частотного отклика. Вместе с тем характер сопряжения параболы и экспоненты в точке ю* ограничивает возможности управления диапазоном усиливаемых средних частот. Кроме того, при настройке параметров фильтра оценки оказываются весьма чувствительными к малым изменениям параметра ю*.

В настоящей работе предлагается и исследуется свободный от указанного недостатка фильтр, являющийся обобщением приведённой модели. В частности, строится технология формирования фильтра с расширенной областью средних частот.

2.1. Аппроксимация одномерного частотного отклика

Введём в рассмотрение функцию одномерного частотного отклика для всех значений 0 < ю < ® в виде трёх последовательных отрезков: параболы, константы и экспоненты:

A = const = аю2, при ю1 < ю < ю2, е~са, при ю>ю2,

Фильтр, соответствующий описанному частотному отклику, далее будем называть обобщенным квад-

ратично экспоненциальным фильтром (Generalized Square-Exponential) или кратко GSE-фильтром. График указанной функции приведён на рис. 2. Я(ю)1

Рис. 2. Типичный график спектра ОЗЕ-фильтра

В силу свойства радиальной симметрии соответствующий этой спектральной характеристике импульсный отклик как функция пространственного параметра г может быть получен обратным преобразованием Фурье:

Н (г ) = ^Яе ? З (ю) е>юг ёю = П 0

= -Яе11 аю2е>№| Ае>юг(8)

Вещественные части определенных интегралов, соответствующих трем слагаемым (обозначим их 11,12,13 соответственно) подынтегрального выражения получаем в виде:

2cos (rn1r) 2sin (ю1г)

I2 = —- [sin (o2r)- sin (ra1r)],

Мы можем исключить один параметр, например, а, выполнив с учётом равенства (7) замену:

Подставляя полученные интегралы (9), (10), (11) в (8) с учётом (12), получаем:

, , ч e~c° ísin(o1r) 2cos(ш1г)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2sin (o1r) sin (ш2 r)-sin (o1r)

c cos (ш2 r)- r sin (ш2 r)

Для характеристики ширины области средних частот введем коэффициент а, связывающий параметры границ этой области:

С учётом (14) окончательно запишем

2sin (o1r) sin (ao1r)-sin (o1r)

c cos (ao1r)- r sin (ao1r)

Из (15) видно, что аппроксимация импульсного отклика h (r) сводится к настройке параметров: Ш1, c, a. В параграфе 3, основываясь на результатах экспериментальных исследований, мы покажем, что всякий раз проводя несложные предварительные испытания на конкретном изображении, можно свести задачу к настройке одного наиболее существенного параметра Ш1.

Отдельного обсуждения заслуживает случай r = 0. Нетрудно заметить, что правая часть в (15) содержит слагаемые, в которых аргумент r находится в знаменателе либо имеет место неопределенность типа ноль на ноль. Для получения соотношения для вычисления начального отсчета h (0) осуществим в (15) предельный переход при r ^ 0:

h (0) = lim h (r )=^ (3a-2) + 3 e^o

Нетрудно заметить, что при а = 1, когда модель частотного отклика (6), (7) совпадает с моделью (4), (5) 8Е-фильтра, формула (16), как и следовало ожидать, совпадает с соотношением (13) в работе [22].

2.2. Построение дискретного двумерного импульсного отклика

Отсчеты двумерного импульсного отклика так же, как в [22], определяются путем дискретизации непрерывной функции (15) для всех направлений, соответствующих всем отсчетам опорной области. При этом для каждого отсчета (для каждой точки к1, кг) опорной области аргумент г = г (к1, к2) тот же, что и в (3), т.е. равен радиусу окружности, на которой находится этот отсчет.

Отдельного обсуждения заслуживает вопрос определения центрального отсчета опорной области при г=0. Выше мы получили формулу (16) для вычисления Н (0). В экспериментальной части мы рассмотрим также другой вариант формирования центрального отсчета. Он состоит в двухэтапной процуре. Вначале вычисляется значение центрального отсчета как сумма всех отсчетов за исключением центрального:

Затем осуществляется нормировка всех отсчетов в опорной области так, чтобы выполнялось требование сохранения среднего уровня яркости обработанного изображения:

X к (кр к2 )= 1. (18)

Нормировка (18) является неизбежным этапом формирования двумерного дискретного импульсного отклика при любом способе формирования центрального отсчета, поскольку сумма в (17) зависит не только от вида непрерывных функций (15), но и от размеров опорной области, в которой осуществляется дискретизация.

3. Технология настройки фильтра

Мы ограничимся рассмотрением технологии настройки параметров фильтра по эталонному изображению. Такая технология может быть востребована в случае создания цифрового фильтра с постоянными параметрами для компенсации стационарных искажений, вносимых оптикой. В качестве эталона может использоваться изображение того же сюжета, полученное с использованием оптики высокого разрешения.

Алгоритм настройки фильтра по эталону строится как типичная процедура многошаговой оптимизации.

Шаг 1. Задание тестовых изображений и начальных значений оценок со1, с, а параметров ш1, с, а.

Шаг 2. Вычисление отсчетов импульсного оклика для всех точек опорной области Б (п1,п2) по соотношениям (15), (16) или (17) и нормировка всех отсчетов, удовлетворяющая (18).

Шаг 3. Обработка искаженного изображения и вычисление критерия качества (¿к ((в1, с, а), характеризующего близость обработанного и эталонного изображений на к-й итерации.

Шаг 4. Если (¿к ((в1, с, а) > Qk_ ((й1, с, а), оценки (й1,С, а сохраняются, иначе по некоторому правилу формируется новый вариант оценок и осуществляется переход к шагу 2. Если все оценки из области допустимых значений «просмотрены» — выход.

Мы не останавливаемся на обосновании критерия и процедуре задания оценок на каждой итерации. Выбор метода оптимизации зависит от вкусов пользователя и имеющихся в его распоряжении вычислительных ресурсов. В настоящей работе в качестве критерия близости восстановленного изображения к эталону мы будем использовать наиболее популярный критерий:

где МАХ — максимальное значение, принимаемое пикселем изображения, а МБЕ — среднеквадратиче-ская ошибка (СКО) восстановления.

4. Экспериментальные исследования

Настройка параметров ш, с фильтра и проверка качества восстановления осуществлялись с использованием тестового изображения «Мира», приведенного на рис. 3а. Искажения вносились путем моделирования фильтра Гаусса нижних частот для степени размытия с параметром о = 3 и окном п = 13. На рис. 3б

приведено то же изображение «Мира» после внесения искажений с указанными параметрами размытия. В качестве критерия качества восстановления использовался показатель РЗЖ.

Рис. 3. Исходные изображения «Мира»: а) неискаженное; б) искаженное (о =3, п=11)

В первом эксперименте мы ставили задачу выяснить, какова степень влияния на качество восстановления параметра с и способа формирования центрального отсчета. Это необходимо для выработки рекомендаций по методике построения фильтров этого класса, а также для обоснования схемы следующих экспериментов.

Мы провели эксперимент на изображении «Мира» с размытием о = 3 при следующих значениях параметров SE-фильтра: а = 1; с = 1; 2,5; 5; 7,5; 10, размер опорной области N = 5. Параметр ш изменялся в интервале [0, 4] с шагом 0,2. На рис. 4а, 4Ь приведены зависимости PSNR, полученные при формировании центрального отсчёта по формулам (16) и (17) соответственно.

Из сравнения графиков видно, что при вычислении центрального отсчета по соотношению (16) именно в окрестности максимальных значений PSNR наблюдаются резкие скачки этого показателя. Это может привести к большим ошибкам восстановления. Поэтому далее мы всюду используем второй вариант формирования центрального отсчета в соответствии с соотношением (17), при котором изменения максимальных значений PSNR носят более предсказуемый характер.

На рис. 4а, 4б также нетрудно заметить, что величины PSNR в большей части интервала изменения параметра й>1 практически не зависят от величины параметра с. В интервале изменения ш где PSNR принимают максимальные значения, можно указать предпочтительное фиксированное значение параметра с. В частности, из графика на рис. 4б видно, что таким приемлемым значением является с = 5, которое мы и будем использовать в дальнейших экспериментах.

В следующей серии экспериментов мы исследовали влияние на качество восстановления изображений параметра а, характеризующего соотношение параметров ш1, ш2 модели (6), (7). Эксперименты проводились на том же тестовом изображении «Мира». В эксперименте мы задавали первые четыре величины из того же набора значений параметра с: 1; 2,5; 5; 7,5. Параметр ш1 для нахождения максимального значения PSNR изменялся в интервале [0, 1] с шагом 0,05. Для параметра а мы задавали последовательность 20 значений в интервале от единицы до двух с шагом 0,05.

Рис. 4. Зависимость РБИЯ от ю на изображении «Мира» при с=1 — А; с=2,5 — х; с=5 — *; с=7,5 — +; с = 10 — о при использовании а) формулы (16); Ь) (18)

На рис. 5 приведены полученные зависимости максимально достижимых значений Р8КЯ от параметра а для указанных выше значений параметра с при размере опорной области: N = 5. Из графиков видно, что возможно достижение более высоких значений Р8КЯ при а > 1. Эти результаты доказывают целесообразность использования предложенной обобщенной модели частотного отклика 8Е-фильтра. 28,5

1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10

Рис. 5. Зависимость максимально достижимых значений PSNR от а на изображении «Мира» при различных с

Из графиков видно, что максимальные значения PSNR (более 28) достигаются при а = 1,065 для двух вариантов задания параметра с: 5 и 7,5. С учетом этого мы провели более детальную настройку параметров фильтра при указанном значении а и изменении параметра с в интервале [5; 7, 5] с шагом 0,1. Для более точной настройки шаг изменения параметра ш1 задавался равным 0,005. В результате были получены следующие уточненные параметры: с = 6,7; o>i = 0,89. При этих параметрах PSNR = 28,17.

Для более широкой проверки эффективности метода мы провели также эксперименты на четырех тестовых изображениях: «Barbara», «boat», «peppers» и «Lena», подвергшихся предварительному размытию с параметром о = 2 и размером опорной области N = 17. В табл. 1 приведены полученные в эксперименте значения параметров и критерия близости как для SE-фильтра (при а = 1), так и для GSE-фильтра, в котором параметр а настраивался наряду с параметрами (В* и с. В табл. 2 приведены аналогичные результаты, полученные на тех же изображениях с шумом 40 дб.

Табл. 1. Параметры фильтров и достигнутые значения PSNR при отсутствии шума

Изображения SE-фильтр GSE-фильтр

с 00 PSNR a с 00 PSNR

Barbara 2,51 0,70 25,36 1,01 1,51 0,55 25,47

boat 2,50 0,70 27,78 1,10 1,50 0,60 27,81

peppers 4,00 0,80 29,08 1,20 3,50 0,75 29,28

Lena 2,50 0,70 29,23 1,05 1,50 0,55 29,32

Табл. 2. Оценки параметров фильтров и достигнутые значения PSNR для зашумленных изображений (SNR = 40)

Изображение SE-фильтр GSE-фильтр PSNR (W-фильтр) W-фильтр, удалены края

с 00 PSNR a с 00 PSNR

Barbara 2,51 0,70 25,22 1,20 1,51 0,55 25,36 24,07 24,08

boat 2,50 0,70 27,50 1,10 1,50 0,60 27,56 27,39 27,39

peppers 4,00 0,80 28,96 1,20 3,50 0,75 29,10 26,13 26,13

Lena 2,50 0,70 29,00 1,05 1,50 0,55 29,16 27,77 27,78

Из данных, приведенных в таблицах следует, что применение модели (6), (7) всегда приводит к незначи-

тельному улучшению качества восстановления. Это означает, что использование этой модели, по крайней

мере никогда не ухудшает результат. Это всегда гарантируется, если настройка фильтра начинается с задания параметра а = 1. На рис. 6а — г приведены примеры размытых (о = 2) и зашумленных (SNR = 40) изображений: «Barbara» (6а); «boat» (66); «pepper» (6в); «Lena» (6г), а на рис. 6д — и те же изображения после восстановления GSE-фильтром.

В последних столбцах табл. 1 и 2 для сравнения приведены значения Р8КЯ, достигнутые на тех же изображениях при их обработке оптимальным фильтром Винера. Параметры фильтра Винера (^-фильтр) задавались точно такими, какие использовались при моделировании размытия и за-шумления.

Рис. 6. Примеры размытых (а = 2, N = 17) и зашумлённых (SNR = 40) изображений: а) «Barbara»; б) «boat»; в) «pepper»; г) «Lena» и результаты их восстановления GSE-фильтром: д) «Barbara»; е) «boat»; ж) «pepper»; и) «Lena»

Нетрудно заметить, что наши результаты значительно лучше. Связано это с тем, что у изображений, получаемых с помощью фильтра Винера, остаются заметные искажения на краях изображения. Некоторое увеличение значений показателя качества для изображений, восстановленных фильтром Винера, достигается путем «обрезки» краев этих изображений. Значения Р8КЯ при восстановлении фильтром Винера, вычисленные после удаления с каждой стороны по 20 столбцов и строк приведены в последнем столбце табл. 2. Нетрудно заметить, что даже для центральной части изображения результаты восстановления фильтром Винера хуже наших.

Предложенная модель 08Е-фильтра является удобным и эффективным инструментом для формирования КИХ-фильтров. Важное достоинство основанной на этой модели технологии построения КИХ-фильтров состоит в возможности достижения высокого качества восстановления путем настройки небольшого числа параметров непрерывной функции, аппроксимирующей импульсный отклик, с использованием обучающего изображения.

Важной особенностью предложенного метода является точное аналитическое решение задачи определения радиального импульсного отклика. Это дает возможность точного задания дискретных отсчетов

импульсного отклика в каждой точке опорной области, что, в конечном итоге, обеспечивает высокое качество восстановления.

08Е-фильтр всегда обеспечивает достижение более высокого качества восстановления по сравнению с ранее построенным 8Е-фильтром. При этом качество восстановления выше, чем для оптимального фильтра Винера при одинаковых параметрах моделей искажений и помех. В данном случае параметры фильтра Винера совпадали с теми, которые использовались при моделировании искажений. В действительности модель искажений обычно неизвестна, а подбор параметров фильтра Винера в случае неизвестных моделей искажений и помех является трудной задачей.

В данном случае знание моделей искажающей системы и шумов не требуется, используются лишь тестовые образцы изображений. При этом оцениванию подлежат только два параметра. Поэтому даже при очень малых размерах обучающих изображений не возникает проблема плохой обусловленности, характерная для задач идентификации импульсного отклика КИХ-фильтра.

Таким образом, предложенная обобщенная модель 08Е-фильтра так же, как и предшествующая ей модель 8Е-фильтра, остается достаточно простой и эффективной. Это открывает широкие возможности для построения компактных приложений для обработки изображений, регистрируемых мобильными приборами, имеющими малую глубину резкости.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 2.7891) и РФФИ (проекты № 16-29-09528, 17-29-03112) и Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26).

1. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт.

— Кн.2. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 480 с.

2. Lagendijk, R. Basic methods for image restoration and identification / R. Lagendijk, J. Biemond. — London: Academic Press, 2000.

3. Computer image processing, Part II: Methods and algorithms / A.V. Chernov PhD, V.M. Chernov, M.A. Chicheva, V.A. Fursov, M.V. Gashnikov, N.I. Glumov, N.Yu. Ilyasova, A.G. Khramov, A.O. Korepanov, A.V. Kupriyanov, E.V. Myasnikov, V.V. Myasnikov, S.B. Popov, V.V. Sergeyev, V.A. Soifer; ed. by V.A. Soifer.

— VDM Verlag Dr. Müller, 2010. — 584 p. — ISBN: 978-36391-7545-5.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Motion deblurring: Algorithms and systems / ed. by N. Rajagopalan, R. Chellappa. — Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2014. — 306 p. — ISBN: 978-1-107-04436-4.

5. Wang, R. Recent progress in image deblurring [Electronical Resource] / R. Wang, D. Tao. — URL: http://arxiv.org/abs/1409.6838 (date request 03.04.2014).

6. D’Andr’es, L. Non-parametric blur map regression for depth of field extension / L. D’Andr’es, J. Salvador, A. Kochale, S. Susstrunk // IEEE Transactions on Image Processing. — 2016. — Vol. 25, Issue 4. — P. 1660-1673. -DOI: 10.1109/TIP.2016.2526907.

7. Tang, Ch. A spectral and spatial approach of coarse-to-fine blurred image region detection / Ch. Tang, J. Wu, Y. Hou, P. Wang, W. Li // IEEE Signal Processing Letters. — 2016. -Vol. 23, Issue 11. — P. 1652-1656. — DOI: 10.1109/LSP.2016.2611608.

8. Couzinie-Devy, F. Learning to estimate and remove nonuniform image blur / F. Couzinie-Devy, J. Sun, K. Alahari, J. Ponce // Proceedings of the 2013 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). — 2013.

— P. 1075-1082. — DOI: 10.1109/CVPR.2013.143.

9. Saad, E. Defocus blur-invariant scale-space feature extractions / E. Saad, K. Hirakawa // IEEE Transactions on Image Processing. — 2016. — Vol. 25, Issue 7. — P. 3141-3156. -DOI: 10.1109/TIP.2016.2555702.

10. Tian, D. Coupled learning for facial deblur / D. Tian, D. Tao // IEEE Transactions on Image Processing. — 2016. — Vol. 25, Issue 2. — P. 961-972. — DOI: 10.1109/TIP.2015.2509418.

11. Peng, Y.-T. Underwater image restoration based on image blurriness and light absorption / Y.-T. Peng, P.C. Cosman // IEEE Transactions on Image Processing. — 2017. — Vol. 26, Issue 4. — P. 1579-1594. — DOI: 10.1109/TIP.2017.2663846.

12. Zhu, X. Estimating spatially varying defocus blur from a single image / X. Zhu, S. Cohen, S. Schiller, P. Milanfar // IEEE Transactions on Image Processing. — 2013. — Vol. 22, Issue 12. — P. 4879-4891. — DOI: 10.1109/TIP.2013.2279316.

13. Liang, H. Comparison-based image quality assessment for selecting image restoration parameters / H. Liang,

D.S. Weller // IEEE Transactions on Image Processing. -2016. — Vol. 25, Issue 11. — P. 5118-5130. — DOI: 10.1109/TIP.2016.2601783.

14. Moreno, C. Constructing FIR digital filters with valarry [Electronical Resource] / C. Moreno. — URL: https://www.mochima.com/articles/FIR/FIR.html (request date 04.04.2018).

15. Ye, W. Greedy algorithm for the design of linear-phase FIR filters with sparse coefficients / W Ye, Y.J. Yu // Circuits, Systems, and Signal Processing. — 2016. — Vol. 35, Issue 4. — P. 1427-1436. — DOI: 10.1007/s00034-015-0122-5.

16. Arar, S. FIR filter design by windowing: Concepts and the rectangular window [Electronical Resource] / S. Arar. -URL: https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/fi-nite-impulse-response-filter-design-by-windowing-part-i-concepts-and-rect/ (request date 04.04.2018).

17. Petrou, M. Image processing: Fundamentals / M. Petrou, C. Petrou. — 2nd ed. — Singapore: John Wiley& Sons Ltd,

2010. — 818 p. — ISBN: 978-0-470-74586-1.

18. Баврина, А.Ю. Метод параметрического оценивания оптико-электронного тракта системы дистанционного формирования оптического изображения / А.Ю. Баврина, В.В. Мясников, В.В. Сергеев // Компьютерная оптика. — 2011. — Т. 35, № 4. — С. 500-507.

19. Fursov, V.A. Correction of distortions in color images based on parametric identification / V.A. Fursov, A.V. Nikonorov, S.A. Bibikov, P.Yu. Yakimov,

E.Yu. Minaev // Pattern recognition and Image Analysis. —

2011. — Vol. 21, Issue 2. — P. 125-128. — DOI: 10.1134/S1054661811020349.

20. Fursov, V.A. Identification of square-exponential FIR-filter parameters in the absence of a test image / V.A. Fursov // Procedia Engineering. — 2017. — Vol. 201. — P. 206-212. -DOI: 10.1016/j.proeng.2017.09.611.

21. Фурсов, В.А. Построение КИХ-фильтров в заданном параметрическом классе частотных характеристик для коррекции дефокусировки / В.А. Фурсов // Компьютерная оптика. — 2016. — Т. 40, № 6. — С. 878886. — DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-6-878-886.

Сведения об авторе

Фурсов Владимир Алексеевич, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой суперкомпьютеров и общей информатики в Самарском университете. Область научных интересов: теория и методы оценивания по малому числу измерений, методы обработки и распознавания изображений, в т. ч. с использованием многопроцессорных вычислительных систем. E-mail: fursov@ssau.ru .

Поступила в редакцию 19 февраля 2018 г. Окончательный вариант — 5 апреля 2018 г.

CONSTRUCTING A QUADRATIC-EXPONENTIAL FIR-FILTER WITH AN EXTENDED FREQUENCY RESPONSE MIDRANGE

1 Image Processing Systems Institute of RAS — Branch of the FSRC «Crystallography and Photonics» RAS, Samara, Russia

2 Samara National Research University, Samara, Russia

This article is concerned with synthesizing filter with finite impulse response (FIR-filters) employed to correct radially symmetric distortions such as defocusing. We propose a new parametric class of finite impulse response filters (FIR-filters) based on a model of the one-dimensional radially symmetric frequency response. In the proposed method, the one-dimensional frequency response is composed of quadratic and exponential functions. The two-dimensional impulse response of the filter is constructed by sampling one-dimensional impulse responses for all directions. The development consists in introducing an extended mid-frequency region of the frequency response, thus increasing the contribution of the frequencies to image correction. Examples are given in order to illustrate the possibility of the high-quality distortion correction. In particular, it is shown that the proposed method provides the restoration quality higher than that obtained when using an optimal Wiener filter (taken from OpenCV).

Keywords: FIR-Filter, impulse response, frequency response, image processing.

Citation: Fursov VA. Constructing a quadratic-exponential FIR-filter with an extended frequency response midrange. Computer Optics 2018; 42(2): 297-305. — DOI: 10.18287/2412-61792018-42-2-297-305.

Acknowledgements: The work was funded by the Russian Federation Ministry of Education and Science (project # 2.7891), the Russian Foundation for Basic Research (RFBR projects ## 1629-09528 and 17-29-03112) and by the Federal Agency of Scientific Organizations (agreement No. 007-GZ/C3363/26).

[1] Pratt, W.K. Digital image processing. 4th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc; 2007. ISBN: 978-0-47176777-0.

[2] Lagendijk R. and Biemond J. Basic methods for image restoration and identification. London: Academic Press, 2000.

[3] Soifer VA. Computer image processing, Part II: Methods and algorithms. VDM Verlag Dr Muller; 2010. ISBN: 978-3-6391-7545-5.

[4] Rajagopalan N, Chellappa R, eds. Motion deblurring: Algorithms and systems. Cambridge, UK: Cambridge Univ Press; 2014. ISBN: 978-1-107-04436-4.

[5] Wang R, Tao D. Recent progress in image deblurring. Source: (http://arxiv.org/abs/1409.6838).

[6] D’Andr’es L, Salvador J, Kochale A, Susstrunk S. Non-parametric blur map regression for depth of field extension. IEEE Trans Image Process 2016; 25(4): 1660-1673. DOI: 10.1109/TIP.2016.2526907.

[7] Tang C, Wu J, Hou Y, Wang P, Li W. A spectral and spatial approach of coarse-to-fine blurred image region detection. IEEE Signal Processing Letters 2016; 23(11): 16521656. DOI: 10.1109/LSP.2016.2611608.

[8] Couzinié-Devy F, Sun J, Alahari K, Ponce J. Learning to estimate and remove non-uniform image blur. Proc CVPR 2013: 1075-1082. DOI: 10.1109/CVPR.2013.143.

[9] Saad E, Hirakawa K. Defocus blur-invariant scale-space feature extractions. IEEE Trans Image Process 2016; 25(7): 3141-3156. DOI: 10.1109/TIP.2016.2555702.

[10] Tian D, Tao D. Coupled learning for facial deblur. IEEE Trans Image Process 2016; 25(2): 961-972. DOI: 10.1109/TIP.2015.2509418.

[11] Peng Y-T, Cosman PC. Underwater image restoration based on image blurriness and light absorption. IEEE Trans Image Process 2017; 26(4): 1579-1594. DOI: 10.1109/TIP.2017.2663846.

[12] Zhu X, Cohen S, Schiller S, Milanfar P. Estimating spatially varying defocus blur from a single image. IEEE Trans Image Process 2013; 22(12): 4879-4891. DOI: 10.1109/TIP.2013.2279316.

[13] Liang H, Weller DS. Comparison-based image quality assessment for selecting image restoration parameters. IEEE Trans Image Process 2016; 25(11): 5118-5130. DOI: 10.1109/TIP.2016.2601783.

[14] Moreno C. Constructing FIR digital filters with valarry. Source: (https://www.mochima.com/articles/FIR/FIR.html).

[15] Ye W, Yu YJ. Greedy algorithm for the design of linearphase FIR filters with sparse coefficients / Circuits Syst Signal Process 2016; 35(4): 1427-1436. DOI: 10.1007/s00034-015-0122-5.

[16] Arar S. FIR filter design by windowing: Concepts and the rectangular window. Source: (https://www.allaboutcir-cuits.com/technical-articles/finite-impulse-response-filter-design-by-windowing-part-i-concepts-and-rect/).

[17] Petrou M, Petrou C. Image processing: Fundamentals / Maria Petrou, Costos Petrou. 2nd ed. Singapore: John Wiley & Sons Ltd; 2010. ISBN 978-0-470-74586-1.

[18] Bavrina AYu, Myasnikov VV, Sergeev AV. Method of parametric estimation of optoelectronic tract of remote sensed optical image formation [In Russian]. Computer Optics 2011; 35(4): 500-507.

[19] Fursov VA, Nikonorov AV, Bibikov SA, Yakimov PYu, Minaev EYu. Correction of distortions in color images based on parametric identification. Pattern Recognition and Image Analysis 2011; 21(2): 125-128. DOI: 10.1134/S1054661811020349.

[20] Fursov VA. Identification of square-exponential FIR-filter parameters in the absence of a test image. Procedia Engineering 2017; 201: 206-212. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.09.611.

[21] Fursov VA. Constructing FIR-filters for a given paramet-rical class of frequency response for defocus correction

[In Russian]. Computer Optics 2016; 40(6): 878-886. DOI: 10.18287/2412-6179- 2016-40-6-878-886.

Vladimir Alekseevich Fursov is Doctor of Engineering Science, Professor, head of Computer Science subdepartment of Samara University, leading researcher. Research interests are development of the theory of estimation on small number of observations, development of methods of image processing and training to pattern recognition, development of hight-performance parallel methods both algorithms of image processing and pattern recognition oriented on application of multiprocessor computing systems. E-mail: fursov@ssau.ru .

Received February 19, 2018. The final version — April 5, 2018.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой

Пример нереализуемого устройства (повторение). Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой. Уравнение, связывающее передаточную функцию и импульсную характеристику. Достоинства и недостатки КИХ фильтров. КИХ фильтры с линейной фазовой характеристикой. Условия на импульсную характеристику КИХ фильтра с линейной фазовой характеристикой. Фазовая задержка и групповая задержка. Полосовой фильтр.

Лекторы

кандидат технических наук, доцент

Доцент кафедры радиоэлектроники и прикладной информатики, кандидат технических наук, заведующий лаборатории цифровых систем.

1.2. Характеристика ких-фильтров

Определим характерные черты КИХ-фильтров [5]. 1.Структурная устойчивость. Знаменатель передаточной функции КИХ-фильтра (1.2) тождественно равен единице, т.е. не имеет корней, следовательно, КИХ-фильтры при любых значениях коэффициентов устойчивы. 2.Отсутствие накапливаемой ошибки. Если на вход КИХ-фильтра подать одиночный прямоугольный импульс, то можно увидеть, что импульсная характеристика системы будет конечной, что и определило название этого типа фильтров. Если , то в соответствии с формулой (1.1): ; ; ; … ; . В разностное уравнение КИХ-фильтра (1.1) не входят значения выходной переменной на предыдущих отсчетах, а только значения входной переменной. Нерекурсивные КИХ-фильтры имеют конечную «память», т. е. после снятия входного сигнала переходный процесс завершится за конечное число периодов дискретизации, и, следовательно, по истечении времени реакции, соответствующего N-1 отсчетам, все последствия неправильного задания начальных условий исчезнут. 3. Наличие прототипа в области непрерывных сигналов. КИХ-фильтры имеют свой прототип в области непрерывных сигналов (линии задержки), что существенно при решении задач с переходом из цифровой области в непрерывную и обратно. 4.Простота выбора коэффициентов и лёгкость проектирования. 5. Доступность средств автоматизированного проектирования (САПР), такие как Matlab, LabView и др. Процедура проектирования КИХ-фильтров строго алгоритмизирована, что и определило возможность ее автоматизации. 6.КИХ-фильтры принципиально вносят запаздывание . 7.Линейная ФЧХ. Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИХ-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИХ-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенно линейную ФЧХ). Это обеспечивает отсутствие искажения от задержки и только фиксированную задержку. 8.Высокоэффективные КИХ-фильтры строятся с использованием большого числа операций умножения с накоплением и поэтому их реализация требует значительных вычислительных затрат, т.е. использования быстрых и эффективных сигнальных процессоров, реализующих цифровую обработку сигналов. 9.При одной и той же АЧХ БИХ-фильтры имеют меньший порядок, чем КИХ-фильтры, т.е. обеспечивают более высокое быстродействие, меньшее запаздывание и более простую реализацию.

1.3.Общий порядок синтеза ких-фильтра.

Проектирование КИХ-фильтров базируется на том, что частотная характеристика фильтра определяется импульсной характеристикой. Таким образом, процесс проектирования КИХ-фильтра состоит в определении его импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике с последующим квантованием импульсной характеристики в ходе генерации коэффициентов фильтра [2]. Метод проектирования, основанный на использовании окон для усечения импульсной характеристики и получения желаемой частотной характеристики, исторически был первым методом проектирования КИХ-фильтров. Он является наиболее популярным и простым методом синтеза КИХ-фильтра. Процесс проектирования КИХ-фильтра состоит из нескольких этапов (рис. 1.5): 1.Задаться АЧХ КИХ-фильтра. 2.Вычислить импульсную характеристику. 3.Задаться периодом дискретизации. 4.Провести дискретизацию импульсной характеристики. 5.Выбрать длину КИХ-фильтра N. 6.Применить оконную функцию к импульсной характеристике. Рассмотрим каждый из этапов подробнее. 1.На рис. 1.6 представлены АЧХ основных типов фильтров. Если предположить, что ФЧХ , то передаточная функция идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) описывается выражением: . (1.4) Рис. 1.5. Этапы оконного проектирования КИХ-фильтров 2.Вычисление идеальной импульсной характеристики производится с использованием обратного преобразования Фурье по следующей формуле: . (1.5) Соответствующая импульсная характеристика ФНЧ во временной области представлена на рис. 1.5б. 3.Период дискретизации выбирается в соответствии с теоремой Котельникова, которая состоит в следующем: любая непрерывная функция , спектр которой ограничен сверху , может быть восстановлена без погрешности по своим отсчетным значениям , взятым с интервалом: . (1.6) Функция выражается через с помощью ряда: . Рис. 1.6. АЧХ основных типов фильтров Устройством, в котором реализуется это вычисление, может служить идеальный ФНЧ с частотой среза . Следовательно, надо выбрать таким образом, чтобы циклическая частота дискретизации была заведомо выше в 2 раза, чем самая высокая частота входного сигнала (смесь полезного сигнала и помехи) и передаточной функции системы, что обеспечит отсутствие помех. Изображения по Фурье сигналов или передаточные функции систем, дискретизированных по времени с периодом , являются периодическими функциями циклической частоты с периодом : . (1.7) 4.Выполним дискретизацию импульсной характеристики: . (1.8) 5. Выбрать длину КИХ-фильтра N. Импульсная характеристика на рис. 1.5б начинается слева от нуля, что невозможно реализовать, т.к. невозможно реагировать на то, что еще не произошло. Для преодоления этой трудности необходимо внести запаздывание, т.е. сдвинуть импульсную характеристику вправо, но она бесконечна во времени в обоих направлениях, значит необходимо усечь импульсную характеристику до разумного числа точек N, как показано на рис. 1.5в. Ограничение импульсной характеристики эквивалентно ее умножению на одиночный прямоугольный импульс шириной , что соответствует свертке исходной передаточной функции и изображения одиночного прямоугольного импульса. АЧХ фильтра, изображённая на рис. 1.5г, отражает влияние волн Гиббса и боковых лепестков. Значение N определяется следующими соображениями:

если выбрать N очень большим, то реализация КИХ-фильтра будет требовать значительных объемов памяти и вычислительных ресурсов, будет вноситься значительное запаздывание, равное , в его функционирование;
если выбрать его маленьким, то АЧХ фильтра будет иметь слишком большое влияние боковых лепестков.

6.Следующий шаг в процессе проектирования состоит в применении к усеченной импульсной характеристики соответствующей весовой (кадрирующей, оконной) функции, как показано на рис. 1.5д.

Окно – весовая функция, которая используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках (растеканием спектра). Конечную последовательность отсчетов можно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Умножение на непрямоугольное окно способствует уменьшению волн Гиббса и влияния боковых лепестков АЧХ. Окном может быть четная неотрицательная колоколообразная (прямоугольная или треугольная) функция, определенная на интервале , равная нулю за пределами этого интервала и обладающая следующим свойством:

Примеры весовых функций приведены в таблице 1.1 (N – нечетное число). Весовая функция приписывает больший вес сглаживаемому наблюдению, находящемуся в центре окна и меньшие веса значениям по мере удаления от центра.

Выбранная весовая функция определяет спад и характеристики боковых лепестков фильтра. Коэффициенты КИХ-фильтра вычисляются по формуле:

АЧХ фильтра с усеченной импульсной характеристикой, умноженной на оконную функцию (рис. 1.5е), представлена на рис. 1.5ж.

Весовые функции и их характеристики

Рекурсивная реализация КИХ-фильтра, согласованного со сложным сигналом

Гамма НПФ сентябрь 23 контраткное производство F1

Рассматривается вывод алгоритма для сложного вещественного сигнала в виде последовательности прямоугольных видеоимпульсов, комплексной огибающей сложного фазоманипулированного сигнала, представляющей собой последовательность прямоугольных видеоимпульсов в реальной и мнимой частях. Также предложен математический вывод быстрого алгоритма для вещественного и аналитического сложного фазоманипулированного радиосигнала. Все выводы представлены для оцифрованных сигналов.

В современных системах связи различного назначения все чаще применяются сложные фазоманипулированные сигналы, называемые сигналами с прямым расширением спектра. Трудность приема данных сигналов с помощью согласованных фильтров вызвана высокой вычислительной сложностью, связанной с большим количеством элементов (посылок) различной полярности (фазы), из которых состоит сигнал. В статье представлены аналитические выводы быстрых алгоритмов согласованной фильтрации для сложных бинарных фазо-манипулированных сигналов.

В общем виде для оцифрованного сигнала, импульсная характеристика (ИХ) фильтра, согласованного с сигналом x(n), представляет собой зеркальное отображение сигнала x(n) относительно оси абсцисс и сдвинутого вправо на его длительность [1]. Для случая, когда сигнал представляет собой вещественную последовательность биполярных импульсов, импульсная характеристика h(n) является зеркальным отображением последовательности относительно центра сигнала, соответственно, согласованный фильтр — это фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ).

Составим структурную схему согласованного фильтра на последовательность [–1, 1, 1], количество отсчетов на каждой посылке возьмем равным 4. Тогда сигнал x(n) представляет собой последовательность отсчетов [–1 –1 –1 –1 1 1 1 1 1 1 1 1],
а ИХ h(n) = [1 1 1 1 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1]. На рис. 1 отображена структурная схема фильтра, согласованного с данным цифровым сигналом.

Структурная схема нерекурсивного согласованного фильтра

Рис. 1. Структурная схема нерекурсивного согласованного фильтра

Передаточная функция фильтра (рис. 1) выглядит как

где b_n — коэффициенты передаточной функции, имеющие значения 1 или –1.

Согласованный фильтр можно представить в виде двух однородных фильтров. Однородным фильтром называется КИХ-фильтр, у которого все коэффициенты одинаковы, то есть b_n = b. Тогда передаточная функция фильтра (1) представляет собой (2).

Как известно, однородный фильтр имеет две формы реализации [2]: нерекурсивную и рекурсивную. Рекурсивная форма получается как сумма членов конечной геометрической прогрессии с числом членов N [3]:

Преобразуем выражение (2) с учетом (3). Тогда передаточная функция согласованного фильтра (2) примет вид:

Приведем выражение (4) к общему знаменателю:

Тогда, по аналогии с однородным фильтром, выражение (5) описывает рекурсивную реализацию КИХ-фильтра (2). Соответствующая структурная схема изображена на рис. 2.

Структурная схема рекурсивной реализации согласованного фильтра для биполярного импульсного сигнала

Рис. 2. Структурная схема рекурсивной реализации согласованного фильтра для биполярного импульсного сигнала

Согласованный фильтр, построенный по рекурсивной структурной схеме (рис. 2), дает выигрыш в вычислительной сложности по сравнению с нерекурсивной реализацией. Следует отметить, что умножение на –1 выполняется изменением знакового разряда и, следовательно, не является операцией умножения. Операция умножения на 2 для целочисленной арифметики осуществляется с помощью операции побитового сдвига и также не является операцией умножения. Количество операций сложения и побитового сдвига при использовании рекурсивного алгоритма согласованной фильтрации для биполярных импульсных последовательностей зависит от структуры последовательности, записанной в качестве импульсной характеристики фильтра, а точнее — от количества в ней переходов с 1 на –1 и обратно и не зависит от длительности (количества отсчетов) самой последовательности. Программная реализация, выполненная в среде Mathlab, работы рекурсивного и нерекурсивного алгоритмов согласованной фильтрации для биполярного импульсного сигнала представлена в листинге 1.

clc; clear; x = [–1 –1 –1 –1 1 1 1 1 1 1 1 1]; % входной цифровой сигнал nol = zeros (1, 10); % нули x = [nol x nol nol]; % вставка нулей % нерекурсивная реализация h_1 =[1 1 1 1 1 1 1 1 –1 –1 –1 –1]; % ИХ согласованного фильтра y_1 = filter(h_1, 1, x); % согласованная фильтрация figure; % отображение сигнала на выходе согласованного фильтра plot(y_1); grid on; title('Результат работы нерекурсивного алгоритма'); % Рекурсивная реализация b = [1 0 0 0 0 0 0 0 –2 0 0 0 1]; % коэффициенты числителя передаточной функции a = [1 –1]; % коэффициенты знаменателя передаточной функции y_2 = filter(b, a, x); % согласованная фильтрация figure; % отображение сигнала на выходе согласованного фильтра plot(y_2, 'r'); grid on; title('Результат работы рекурсивного алгоритма');

Комплексная огибающая сложного фазоманипулированного сигнала — это последовательность биполярных прямоугольных импульсов в реальной и мнимой части аналитического сигнала. Следовательно, согласованную фильтрацию необходимо производить отдельно в реальной и мнимой части, с использованием в каждой части согласованного фильтра для вещественного сигнала.

Согласованную фильтрацию со сложным бинарным фазоманипулированным (ФМн‑2) радиосигналом (вещественным или аналитическим) можно выполнить двумя способами: с переносом радиосигнала на нулевую частоту или непосредственно на радиочастоте.

Для переноса радиосигнала на нулевую частоту необходимо умножить его на комплексную экспоненту e – j (2 p f 0/ f s ) n , где f₀ — частота радиосигнала, f_s — частота дискретизации, n — нормированное время, то есть получить комплексный сигнал [4], и провести фильтрацию согласованным фильтром для биполярного импульсного сигнала отдельно реальной и мнимой части сигнала. Для вещественного радиосигнала его зеркальная копия в области отрицательных частот при переносе сигнала на нулевую частоту будет сдвинута на частоту –2f₀ и при фильтрации фильтром, согласованным со сложным бинарным сигналом, будет подавлена. Степень подавления зависит от отношения f₀/B, где B = 1/T₀, T₀ — длительность посылки сложного сигнала.

При выполнении согласованной фильтрации на радиочастоте для аналитического сигнала применяются комплексные фильтры. Следовательно, согласованным фильтром к аналитическому сигналу будет комплексный согласованный фильтр. Комплексный согласованный фильтр можно применить и для вещественного сигнала, в этом случае фильтр согласован с одной из копий сигнала — в положительной или отрицательной области частот. При фильтрации комплексным согласованным фильтром аналитического сигнала сложность алгоритма возрастает, так как в данном случае каждый умножитель производит операцию умножения двух комплексных чисел.

Для уменьшения вычислительной сложности применяют быстрые алгоритмы. Так, для радиоимпульса прямоугольной формы (действительного или аналитического) комплексный согласованный фильтр может быть выполнен на основе рекурсивного однородного фильтра.

По определению, передаточную функцию комплексного согласованного фильтра для прямоугольного радиоимпульса с частотой f₀ можно записать следующим образом:

где N — число отсчетов на длительности импульса. Следовательно, импульсная характеристика (коэффициенты нерекурсивного фильтра) равна:

Передаточная функция (6) соответствует нерекурсивной форме КИХ-фильтра. Проведем некоторые преобразования, воспользовавшись свойством сходящейся конечной геометрической прогрессии (3), и перейдем к рекурсивной форме фильтра:

Таким образом, передаточная функция (7) равнозначна передаточной функции (6). Несмотря на то, что фильтр с передаточной функцией (7) имеет рекурсивную структуру, он является КИХ-фильтром, поскольку его ИХ конечна. Разностное уравнение имеет вид:

Структурная схема фильтра для вещественного и аналитического входного радиосигнала показана на рис. 3 и 4.

Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для вещественного радиосигнала

Рис. 3. Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для вещественного радиосигнала

Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для аналитического радиосигнала

Рис. 4. Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для аналитического радиосигнала

Сложные фазоманипулированные сигналы могут быть сформированы умножением бинарного импульсного сигнала на гармоническое колебание. Тогда передаточную функцию комплексного согласованного фильтра для таких сигналов можно записать следующим образом:

где b_k — отсчеты импульсной характеристики согласованного фильтра видеосигнала, принимающие значения 1 или –1, N — порядок фильтра.

Произведем преобразования передаточной функции для получения рекурсивного фильтра подобно тому, как это сделано для видеосигнала. Рассмотрим тот же пример сложного сигнала (формирующая бинарная последовательность отсчетов [–1 –1 –1 –1 1 1 1 1 1 1 1 1]) и получим:

Структурные схемы фильтров согласно выражению (8) для аналитического и вещественного входных сигналов представлены на рис. 5 и 6 соответственно.

Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для аналитического входного радиосигнала

Рис. 5. Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для аналитического входного радиосигнала

Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для вещественного входного радиосигнала

Рис. 6. Структурная схема рекурсивного согласованного фильтра для вещественного входного радиосигнала

Отметим, что количество отводов от линии задержки зависит от структуры сигнала или от количества скачков фазы на π рад, так же как и у СФ для видеосигнала. Места отводов определяются структурой используемого сигнала. В любом случае, первый коэффициент нерекурсивной части фильтра равен 1, последний коэффициент нерекурсивной части фильтра равен e i (2 p f 0/ f s ) N , где N — количество отсчетов импульсной характеристики. Знак последнего коэффициента нерекурсивной части фильтра будет зависеть от числа отводов: «+» — при нечетном числе отводов, «–» — при четном числе. Значения остальных коэффициентов числителя передаточной функции будут принимать значение 2e i (2 p f 0/ f s ) N k , где N_k — количество элементов задержки до отвода, знак коэффициента зависит от его порядкового номера: четный номер имеет знак «–», нечетный — «+». Коэффициент рекурсивной части фильтра всегда равен e i (2 p f 0/ f s ) .

Согласованные фильтры относятся к классу специальных фильтров, следовательно, к ним не предъявляются требования в частотной области. Однако к ним предъявляются требования по устойчивости. КИХ-фильтры являются абсолютно устойчивыми. Рассмотренные выше фильтры представляют собой КИХ-фильтры, но имеют рекурсивную реализацию. Финитность ИХ рекурсивной реализации согласованных фильтров гарантирована строгим совпадением полюса с одним из нулей и нахождением их строго на единичной окружности. Однако в силу конечной разрядности представления чисел абсолютное значение полюса (и нуля) может быть больше единицы. В этом случае фильтр будет неустойчив. Для получения карты нулей и полюсов можно воспользоваться пакетом fvtool. Для предотвращения данного явления при практической реализации следует искусственно уменьшить значения полюса (абсолютное значение комплексного коэффициента в рекурсивной части).

Программная реализация рассмотренных выше алгоритмов для сложных фазоманипулированных сигналов, сформированных на основе 4‑элементной последовательности Баркера, представлена в листинге 2.

clc; clear; % *** ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЖНОГО СОСТАВНОГО % ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННОГО РАДИОСИГНАЛА *** Fs = 8000; % частота дискретизации b = [1 1 1 –1]; % передаваемая последовательность (Баркера) T = 100; % длительность одного импульса в отсчетах % формирование цифрового сигнала из последовательности u = rectpulse(b, T); n = 0:1:length(u)–1; % нормированное время f0 = 1000; % частота сигнала u0 = sin(2*pi*f0*n/Fs); % гармоническое колебание на частоте f0 s = u.*u0; % сформированный радиосигнал s = [s zeros(1, 420)]; % добавляем нули figure; stem(u); grid on; hold on; plot(s, 'r', 'LineWidth', 2); title('Сложный фазоманипулированный сигнал'); % ************************************************ % s = hilbert(s); % преобразование Гильберта % ************************************************ % *** Алгоритм с рекурсивным комплексным согласованным фильтром (СФ) *** nol = 1:1:T-1; % организация нулевых коэффициентов nol = nol*0; b_1 = [1 nol –2*exp(i*2*pi*T*f0/Fs) [nol 0 nol 0 nol]. exp(i*2*pi*T*4*f0/Fs)]; % числитель передаточной функции a_1 = [1 -exp(i*2*pi*f0/Fs)]; % знаменатель передаточной функции g = filter(b_1, a_1, s);% согласованная фильтрация g = abs(g); % вычисление модуля % ********************************************* % ***** Алгоритм с переносом на нулевую частоту ****** n = 0:1:length(s) – 1; % нормированное время per = cos(2*pi*n*f0/Fs) – i*sin(2*pi*n*f0/Fs); % комплексная экспонента x1 = s.*per; % перенос на нулевую частоту b_2 = [1 nol –2 [nol 0 nol 0 nol] 1]; % числитель передаточной функции a_2 = [1 –1]; % знаменатель передаточной функции y = filter(b_2, a_2, x1); % согласованная фильтрация y = abs(y); % вычисление модуля % % ******** СФ видеосигнала ************* h = fliplr(u); % коэффициенты импульсной характеристики СФ для видеосигнала u = [u zeros(1, 420)]; % добавляем нули r = abs(filter(h, 1, u)); % фильтрация СФ и вычисление модуля % **************************** figure; subplot(3, 1, 1); plot(g); grid on; title ('Алгоритм с рекурсивным комплексным СФ'); subplot(3, 1, 2); plot(y); grid on; title ('Алгоритм с переносом на нулевую частоту'); subplot(3, 1, 3); plot(r); grid on; title ('Согласованная фильтрация видеосигнала'); % **************************** % *** проверка на устойчивость % fvtool(b_1, a_1); % ****************************

Айфичер Э. С., Джервис Б. У. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. Изд. 2-е. Пер. с англ. М.: Вильямс, 2004.
Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 1978.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.
Филимонов В. А., Остроумов О. А. Теория электрической связи. Учеб. пособие. СПб, ВАС, 2015.