Как сравнивать логарифмы

Свойства монотонности логарифма. Сравнение логарифмов

1. Свойства монотонности логарифма. Сравнение логарифмов.

Алгебра 11 класс.
Свойства монотонности
логарифма.
Сравнение логарифмов.
Выполнила учитель математики:
Кинзябулатова Лилия Анасовна
г. Ноябрьск, 2014г.

2. y= logax, где a>0; a≠1.

y= logax, где a>0; a≠1.
• а) Если a>1, то y= logax – возрастающая
• б) Если 0

3. Способы сравнения логарифмов.

① Свойство монотонности
•Сравнить logab logac основания равны a
1)Если a>1, то y= logat – возрастающая, тогда
из b>с => logab > logac;
2)Если 0 из b>с => logab < logac;
•Примеры: log37 < log38;
log 1/37 > log1/38;

4. Способы сравнения логарифмов.

② Графический способ
•Сравнить logab logсb основания разные,
числа равные b
1) Если a>1; с>1, то y=logat, y=logсt – возраст.
а) Если a>с, b>1,
то logab < logсb
б) Если a то logab > logсb

5. Способы сравнения логарифмов.

② Графический способ
•Сравнить logab logсb основания разные,
числа равные b
2) Если 0 а) Если a>с, b>1,
то logab > logсb
б) Если a то logab < logсb

6. Способы сравнения логарифмов.

② Графический способ
•Сравнить logab logсb основания разные,
числа равные b
•Примеры
log23 > log43
21
Log0,53 > log0,253
0,5>0,25; 3>1
Log31/4 < log51/4
0 Log0,30,6 < log0,20,6
0 0,2

7. Способы сравнения логарифмов.

③ Функции разной монотонности
a>1 y=logax – возрастает
0 а) Если x>1, то logac > logbd
б) Если 0 •Примеры:
log0,57 < log53 (7;3 >1)
Log0,51/3 > log51/2

8. Способы сравнения логарифмов.

9. Способы сравнения логарифмов.

⑦ Сравнение с серединой отрезка
log23 > log58
1 < log23 < 2 1 < log58 < 2
середина отрезка [1;2] – 3/2
log23 > 3/2
log58 < 3/2
2*log23 > 2* 3/2 2*log58 < 2* 3/2
log29 > 2
log564 < 3
log29 > log28 log564 < log5125

10. Способы сравнения логарифмов.

⑧ Введение
вспомогательного
числа
log56/5 < log23/2
log23/2 > log53/2
log53/2 > log26/5
3/2=15/10 > 6/5=12/15
⑨ Вычитание
единицы
log56 < log23
log56 –1 < log23 –1
log56/5 < log23/2

Приемы и методы сравнения логарифмов

Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0ab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0ab < 0 [4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как функция y = log₇t возрастает на R₊, 10 > 7, то log₇10 > log₇7, то есть log₇10 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log₇10 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, log_sin3log₇10 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R₊, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

5. Сравните числа log₂6 и 2.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 6 > 4. Значит, log₂6 > log₂4 и log₂5 > 2.

Второй способ (составление разности).

6. Сравните числа и -1.

7. Сравните числа и 3log₈26.

Умножим обе части неравенства на 3:

Функция y = log ₅t возрастает на R₊ , 27 > 25. Значит,

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log₄26 и log₆17.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log₄t и y = log₆t возрастающие на R₊:

Учитывая, что функции убывающие на R₊, имеем:

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log₂3 и log₃5.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log₇8 и log₆7.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = log_ax.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log₂₄72 и log₁₂18.

14. Сравните числа log₂₀80 и log₈₀640.

Пусть log₂5 = x . Заметим, что x > 0.

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x 2 < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 4 4 – 2 ·2 4+1 – 3 < 0 . Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (– ∞; log₂3) ; число √2 является решением данного неравенства.)

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение, 1986.

Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.

Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.

Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.

Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.

Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.

Как сравнивать степени

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

Если основание степени меньше единицы (0

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

№1. Сравнить значения выражений:

Сравниваем показатели степеней: 1,5

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

$\[{\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}} > {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.\]» width=»139″ height=»46″ /> Сравниваем показатели степеней: Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется: №2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство: <img decoding=$

$\[a = \sqrt 5 > 1,\]» width=»93″ height=»21″ /> функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m Сравнение степеней с одинаковыми показателями . 1) Для возрастающих функций ( x>0): <img decoding=$

0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x < a_2^x\]" width="197" height="43" />

$\[\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ — x}\]» width=»218″ height=»43″ /> Для положительных значений аргумента Для отрицательных значений аргумента <img decoding=$

${3^{ - 4}} < {2^{ - 4}} < {(1,5)^{ - 4}}.$

2) Для убывающих функций:

$\[\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x > a_2^x\]» width=»231″ height=»43″ /> <img decoding=$

a_2^{ — x}\]» width=»252″ height=»43″ />

Для положительных значений аргумента

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x},$

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^5}.$

Для отрицательных значений аргумента:

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - x}},$

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}}.$

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

$\[\left. \begin{array}{l} a > 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} > 1,\]» width=»147″ height=»43″ /> при отрицательных — меньшие 1: <img decoding=$

1\\ — x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} < 1.\]" width="171" height="43" />

Если основание меньше единицы — соответственно,

$\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} < 1,$

$\[\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} > 1.\]» width=»189″ height=»43″ /> <img decoding=$

1 \end{array} \right\} \Rightarrow {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < {(1,2)^{\sqrt 3 }}.\]" width="280" height="54" />

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

Сравнение логарифмов

Если вычесть из чисел по 1, по окажется, что нужно сравнить $%\log_4$% и $%\log_8$%. Меняем местами основание логарифма и число под знаком логарифма. Величины при этом заменяются на обратные, и знак неравенства меняется.

Сравнение $%\log_420$% и $%\log_880$% осуществляем по той же схеме. Вычитаем по 1, и остаётся $%\log_45$% против $%\log_810$%. Основания являются степенями двойки, и можно перейти к основанию 2. Здесь нужно знать простое правило: $%\log_b=\frac1m\log_ab$%. Значит, сравниваем мы $%\frac12\log_25=$% и $%\frac13\log_210$%. Умножая то и другое на 6, сравниваем $%3\log_25=\log_2125$% и $%2\log_210=\log_2100$%. Первое число больше.

Поскольку в процессе у нас менялся знак, $%\log_80 < \log_640$%. Можно отметить, что эти числа довольно близки друг к другу. Их разность чуть больше одной сотой.

отвечен 10 Фев ’16 18:11

falcao
300k ● 9 ● 38 ● 53