Как вычислить приближенное значение функции

Вычислить приближенно с помощью дифференциала. 1)∛310 2)⁴√158 3)√х² +3х+5 ,х=1,14

Приближенное значение при помощи дифференциала вычисляется по формуле f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f`(x₀) * Δx, где (x₀ + Δx) — это значение числа с его приращением, Δx — приращение.

Вычисление значения при помощи дифференциала

Для того, чтобы высчитать приближенное значение, нужно придерживаться следующего алгоритма:

1. Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такого, из которого функция хорошо высчитывается);
2. найти производную функции;
3. найти производную от дифференцируемого значения;
4. подставить все данные в формулу и посчитать значение.

Найдем приращение функции

Из 310 корень третьей степени не высчитывается, а из 343 можно высчитать корень третьей степени (это 7). Возьмем за х₀ число 343.

Δx = 310 — 343 = — 33 (приращение равно -33)

Найдем производную функции.

f`(x) = 1/3 * (х) 1/3 — 1 = 1/3 * х -2/3 = 1/(3х 2/3 ) = 1/(3∛x 2 )

Найдем производную от 343.

Подставляем все в формулу и считаем.

f(x₀ + Δx) = f(343 — 33) = ∛343 + 1/147 * (- 33) = 7 — 33/147 =7 — 11/49 = 6 38/49

Корень 4 степени высчитывается из 81 (это 3). Возьмем за х₀ число 81.

Δx = 158 — 81 = 77

f`(x) = 1/4 * x 1/4 — 1 = 1/4 * x -3/4 = 1/(4 ⁴√x 3 )

f`(81) = 1/(4 ⁴√81 3 ) = 1/(4 * 27) = 1/108

⁴√158 = ⁴√81 + 1/108 * 77 = 3 + 77/108 = 3 77/108

3) √(х² + 3х + 5) при х = 1,14

Если будем подставлять 1,14, вычисления усложняются и квадратный корень потом не вычисляется. Возьмем за х₀ число 1.

Δx = 1,14 — 1 = 0,14

f(x) = √(х² + 3х + 5) = (х² + 3х + 5) 1/2

f`(x) = 1/2 * (х² + 3х + 5) 1-1/2 * (х² + 3х + 5)`= (2x + 3)/2 * (х² + 3х + 5) -1/2 = (2x + 3)/(2(х² + 3х + 5) 1/2 ) = 1/(2√(х² + 3х + 5))

f`(1) = (2 + 3)/(2 * √(1 + 3 + 5)) = 5/(2 * √ 9) = 5/6

f(1,14) = √(1² + 3 * 1 + 5) + 5/6 * 0,14 = √9 + 70/600 = 3 + 7/60 = 3 7/60

Никитина 6 лет назад

1) Воспользуемся формулой f(x) = f(x0) + (f(x0))’ * Δx.

310 = 343 — 33 = 7^3 + 33.

(310)^1/3 = 7 — 1/3 * (7)^(-2/3) * 33 = 7 — 11/49 ≈ 6,8.

(158)^1/4 = 2^(3/2) + 1/4 * 2^ (9/8) * 30 ≈ 3,5.

3) x = 1,14 = 1 + 0,14.

(√(x^2 + 3x + 5))’ = 1/2 * (x^2 + 3x + 5)^(1/2) * (2x + 3).

√((1,14)^2 + 3 * 1,14 + 5) = √9 + 1/2 * √9 * (2 * 0,14 + 3) = 3 + 1/6 * 3,28 ≈ 4.

Как вычислить приближенное значение функции

с помощью дифференциала

Пример 1 . Вычислить приближенное значение .

Решение. Требуется вычислить значение функции при х=3,96. Подберем достаточно близкое к подкоренному числу число , для которого значение квадратного корня легко вычисляется. В нашем примере это число 4: , т.е. , .

Тогда по формуле (2.1): .

Используя формулу (2.1), легко получить другие формулы для приближенных вычислений при

Пример 2. . Вычислить приближенное значение .

Решение.

Вычисление приближенно с помощью дифференциала

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x₀), а dy=f’(x₀)(x-x₀), получим

f(x) ≈ f(x₀) + f’(x₀)(x–x₀) , (1)

где x-x₀ = ∆x.
Пример№1 . Вычислить .
Решение. Взяв функцию , имеем: . Полагая x₀=16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим:

Пример №2 . Вычислить значение функции f(x) = e x в точке x=0.1.
Решение. В качестве x₀ возьмем число 0, то есть x₀=0, тогда ∆x=x-x₀ =0.1 и e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e 0.1 ≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t. Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t 2 , то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx.

Пример №3
Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции при x=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x=3600. Формула (1) при a=3600, h=54 дает . Здесь все знаки верны.

Пример №4 . Найти 10 2,1 .
Решение. Полагаем f(x)=10 x , так что . Формула (1) при a=2, h=0,1 дат:
.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой значащей цифры 10 2,1 =125,9).
Если таким же образом вычислить 10 2,01 (теперь h=0,01), получим 102,3. Здесь все знаки верны.

Пример №5 . Найти без таблиц tg 46 о .
Решение. Полагаем f(x)=tg x, a=45 о , h=1 о =0,0175 радиана; тогда имеем: . Значит, tg 45 о =1+2·0,0175=1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем tg 46 o =1, 0355.

Полезно заметить следующие приближенные формулы ( a -малая величина):
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
, ; (5)
, ; (6)
Формулы (2)-(6) являются частными случаями формулы (1+a) n ≈1+na; последняя получается из (1), если положить f(x)=x n , a=1,h=a.
ln(1+a)≈a, ln(1-a)≈-a; (7)
e a ≈1+a, ; (8)
sin a≈a, , tg a≈a; (9)

15. Приближенные вычисления значений функций с помощью дифференциалов.

Ответ. Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной. В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Пример. Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Решение: формула: . На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение . Число 67 необходимо представить в виде . Алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе: . В качестве подбираем значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: . Если , то приращение аргумента: . Итак, число 67 представлено в виде суммы . Далее работаем с правой частью формулы . Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее: . Дифференциал в точке находится по формуле: . Из формулы следует, что нужно взять первую производную: . И найти её значение в точке : . Таким образом: . Согласно формуле : . Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле: . Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. Относительная погрешность вычислений находится по формуле: . Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных. Пример. Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность. Рабочая формула: . Число 3,04 представим в виде — , . Число 3,95 представим в виде — , . Вычислим значение функции в точке : . Дифференциал функции в точке найдём по формуле: . Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке . Вычислим частные производные первого порядка в точке : Полный дифференциал в точке : . Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке М: . Вычислим точное значение функции в точке М: . Вот это значение является абсолютно точным. Погрешности рассчитываются по стандартным формулам.