Какие из заданных отображений являются линейными операторами

Примеры решений. Линейные операторы

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач, касающиеся линейных операторов (преобразований, отображений): нахождение матрицы оператора в разных базисах, проверка его свойств, нахождение собственных (характеристических) значений и векторов.

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Решения задач: линейные операторы

Задача 1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования $A$, заданного уравнениями $x’=5x+4y, y’=8x+9y$.

Задача 2. Найти в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ матрицу линейного оператора $f: E^3 \rightarrow E^3$, переводящего любой вектор $x$ в вектор $y=f(x)$, $f(x)=(a,x)a$, если $a=i-j+2k$.

Задача 3. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее $x_1», x_2», x_3»$ через $x_1, x_2, x_3$.

Задача 4. Установить, являются ли заданные отображения $A: R^4 \to R^4$ линейными. В случае линейности отображения записать матрицу оператора $A$ в каноническом базисе

$$ e_1=(1,0,0,0); e_2=(0,1,0,0); e_3=(0,0,1,0); e_4=(0,0,0,1). $$ $$ Ax=(x_1-2x_4; x_2+x_3; -x_1; x_1+3x_2);\quad Ax=(x_1-2x_4; x_2\cdot x_3; -x_1; x_1+3x_2). $$

Задача 5. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей $А$.

$$A= \begin -2 & -2 & -4\\ -2 & 1 & -2\\ 5 & 2 & 7\\ \end $$

Задача 6. Линейный оператор $A: R^3 \to R^3$ в базисе $e_1, e_2, e_3$ представлен данной матрицей. Найти матрицу этого линейного оператора в базисе $f_1, f_2, f_3$ .

$$A= \begin -2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & -4\\ -1 & 2 & 1\\ \end, \quad \left\ < \beginf_1&=e_1-e_2+3e_3,\\ f_2&=4e_1+e_2-e_3,\\ f_3&=2e_1-3e_2.\\ \end \right. $$

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису (Семинары по линейной алгебре)

Файл «Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису» внутри архива находится в папке «Семинары по линейной алгебре». Документ из архива «Семинары по линейной алгебре», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «лекции и семинары», в предмете «линейная алгебра и фнп» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису»

Текст из документа «Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису»

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами. Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в линейном пространстве L называется всякое отображение пространства L в себя, обладающее свойствами А(λх) = λАх и А(х + у) = Ах + Ау. Пусть А − линейный оператор в конечномерном пространстве L_n и B = (e₁, . , е_n) некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Ае_k, k = 1, . n по базису B: Ае_k = а_1kе₁ + . + а_nkе_n, k = 1, . п. Тогда матрица A называется матрицей линейного оператора A в базисе B. Пусть А и А’ − матрицы оператора А в базисах B и B’, a − матрица перехода от базиса B к базису B’. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид . Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве L, вводятся следующие операции: а) сложение операторов: (А + В)х = Ах + Вх; при этом [A + B] = A + B; б) умножение операторов на числа: (λА)х = λ(Ах); при этом [λA] = λA; в) умножение операторов: (AB)x = A(Bx); при этом [AB] = AB. Обратным к оператору A называется оператор А −1 такой, что А А −1 = А −1 A = E, где Е − единичный оператор, реализующий тождественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным) в том и только том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [А −1 ] = А −1 . Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.83 – 4.99 (неч.), 4.103, 4.106 (б), 4.107, 4.110, 4.113 В задачах 4.83−4.89 установить, какие из заданных отображений пространства V₃ в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе 4.83. Ах = λх, λ − фиксированное число. 4.85. Ах = (x, е)е, где е − заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения. 4.87. Ах = (а, х)х, а − фиксированный вектор. 4.89. Если x = xi + yj + zk, то Ax = (y + z)i + (2x + z)j + (3x − y + z)k. В задачах 4.90−4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R 3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе. 4.91. Ах = (х₁, х₂ + 1, x₃ + 2). 4.93. Ах = (х₁ + 2х₂ + 2х₃, −3х₂ + х₃, 2х₁ + 3х₃). 4.95. Ах = (3x₁ + 5х₃, x₁ + x₃ + 1, 3х₂ − 6х₃). В пространстве R 3 заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [С] линейного оператора С = АВ − ВA и его явный вид в каноническом базисе R 3 : 4.97. Аx = (7x₁ + 4x₃, 4x₂ − 9x₃, 3x₁ + x₂), x = (x₂ − 6x₃, 3x₁ + 7x₃, x₁ + x₂ − x₃). 4.99. Аx = (3x₁ + x₂ − 2x₃, 3x₁ − 2x₂ + 4x₃, − 3x₁ + 5x₂ − x₃), Bx = (2x₁ + x₂, x₁ + x₂ + 2x₃, − x₁ + 2x₂ + x₃). 4.106. В L₄ задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе B = (e₁, e₂, e₃, е₄) равна Найти матрицу этого оператора в базисе B’ = (e₁, e₁ + e₂, e₁ + e₂+ e₃, e₁ + e₂+ e₃ + е₄) 4.107. В L₃ заданы два базиса: B’: , , , B»: , , . Найти матрицу оператора А в базисе B», если его матрица в базисе B’ имеет вид 4.110. В пространстве P₃ задан линейный оператор дифференцирования . Найти матрицу этого оператора в базисе: a) 1, t, . t n − 1 ; 4.113. В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования и оператор A = e λt умножения на функцию e λt . Проверить равенство DA − AD = λA. Домашнее задание: 4.84, 4.86, 4.90 – 4.100 (четн.), 4.108, 4.110(б) 4.84. Ах = λх + а, λ и а фиксированы. 4.86. Aх = [a, х], а − фиксированный вектор. 4.90. Ах = (х₂ + х₃, 2x₁ + x₃, 3x₁ − х₂ + x₃). 4.92. Ах = (0, х₂ − х₃, 0). 4.94. Ах = (3x₁ + x₂, x₁ − 2x₂ − x₃, 3x₂ + 2x₃). 4.98. Аx = (2x₁ − x₂ + 5x₃, x₁ + 4x₂ − x₃, 3x₁ − 5x₂ + 2x₃), Bx = (x₁ + 4x₂ + 3x₃, 2x₁ + x₃, 3x₂ − x₃). 4.100. Аx = (3x₁ + x₂ + x₃, 2x₁ + x₂ + 2x₃, x₁ + 2x₂ + 3x₃), Bx = (x₁ − x₂ − x₃, 2x₁ − x₂ + x₃, x₁ + x₂). 4.108. В пространстве L₂ оператор А в базисе B’: , , имеет матрицу . Оператор В в базисе B»: , , имеет матрицу . Найти матрицу оператора A + B в базисе B». 4.110. б) _. Ответы:

Какие из заданных отображений являются линейными операторами

\[ \!i\hbar\frac<\partial><\partial t>\psi=-\frac<\hbar^2>\nabla^2\psi+V\psi \] Пусть \( \mathit\) — векторное пространство. Функция \(A: \mathit \rightarrow \mathit\) называется оператором, действующим в векторном пространстве \(\mathit\).

Оператор \(A\) называется линейным, если для любых \(u_1,u_2 \in \mathit\) и любых чисел \(c_1,c_2\) выполняется: \(A(c_1u_1+c_2u_2)=c_1A(u_1)+c_2A(u_2)\).

Результат действия линейного оператора \(A\) на вектор \(u\) обозначают \(Au\), опуская скобки.

1. \(Au=0\) — оператор, который любому вектору ставит в соответствие нулевой вектор.

2. \(Au=u\) — тождественный оператор.

3. \(Au=\lambda \cdot u\) — оператор, который каждый вектор растягивает в \(\lambda\) раз.

4. Пусть в векторном пространстве фиксирован базис \(e_1,e_2. e_n\), так что любой вектор \(u\) представим в виде линейной комбинации \[ u=\sum _^n\zeta _ke_k. \]

Возьмем \(B\), произвольную квадратную матрицу порядка \(n\). С ее помощью можно построить линейный оператор следующим образом. Положим \[ \xi _m=\sum _^nB_\zeta _k, \] и положим \(v=\sum _^n\xi _me_m\). Таким образом, мы вектору \(u\) поставили в соответствие вектор \(v\), т.е. задали оператор, действующий на векторном пространстве. Можно проверить, что этот оператор является линейным. Отметим при этом, что если выбирать разные базисы, то при заданной матрице \(B\) мы получим разные линейные операторы.

Для линейных операторов можно ввести естественные операции.

1. Пусть даны два линейных оператора \(A\) и \(B\). Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow Au+Bu\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(A+B\).

2. Пусть \(A\) — линейный оператор, \(\lambda\) — некоторое число. Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow \lambda \cdot Au\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(\lambda A\).

Итак, на множестве всех линейных операторов, действующих в векторном пространстве \( \mathit\), мы ввели две операции — сложение линейных операторов и умножение линейного оператора на число. Нулевой линейный оператор — оператор, ставящий в соответствие любому вектору нулевой вектор. Можно проверить, что при этом множество всех линейных операторов само становится векторным пространством.

Линейные операторы

Пусть заданы два множества X и Y и указан закон, ставящий в соответствие всякому элементу единственный элемент . Этот закон называется отображением множества X в множество Y. Отображение обозначается или , где А  символ отображения.

Оператор, функция, преобразование – синонимы термина “отображение”. В силу сложившихся традиций каждый из терминов оказался связанным с определенным разделом математики. В частности, в линейной алгебре отображения обычно называют операторами. Например, , где L и  линейные пространства.

Результат действия оператора А на элемент х называется образом элемента х и обозначается

Элемент х принято называть прообразом элемента y.

Оператор А называется линейным оператором, если выполнены следующие условия:

При из условия (2.25.2) следует, что линейный оператор переводит нулевой вектор пространства L в нулевой вектор пространства .

Кроме того, с помощью (2.25.1), (2.25.2) нетрудно видеть, что результат действия линейного оператора на линейную комбинацию произвольных векторов есть линейная комбинация образов этих векторов с теми же коэффициентами т.е.

Заметим, что в случае, когда определение линейного оператора соответствует понятию числовой функции одной переменной вида Следовательно, введение понятия оператора позволяет обобщить идею простейшей функциональной зависимости на самые различные множества элементов (например, на линейные пространства).

1. Операция умножения вектора на заданное число есть линейный оператор из L в L , так как

1. Оператор дифференцирования есть линейный оператор из пространства в пространство , так как

Задание для самостоятельного решения

Установить, какие из заданных отображений пространства в себя являются линейными операторами:

а) где  заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения;

б) и  фиксированы);

в) фиксированный вектор).

2.26. Матрица линейного оператора в заданном базисе

Рассмотрим линейный 5 оператор .

Пусть и  базис в . Будем считать, что в этом базисе причём

Запишем разложения векторов х и у в выбранном базисе

и найдем связь между координатами вектора-образа и координатами вектора-прообраза.

Из (2.26.1), (2.26.2) имеем

Поскольку то и эти векторы можно разложить в базисе

Тогда из (2.26.3) (2.26.4) получаем

В матричной форме система (2.26.5) равносильна уравнению

Таким образом, при наличии базиса результат действия линейного оператора А однозначно определяется матрицей А, которая называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Столбцами ее служат координаты образов базисных векторов.

Из формулы (2.26.3) ясно, что для задания оператора А достаточно задать лишь образы базисных векторов Тогда образ у любого вектора х будет известен. То же следует из (2.26.6) – (2.26.7).

Рассмотрим теперь оператор

Выберем в пространстве базис и в этом базисе найдем представления координат вектора-образа через координаты вектора . Считая, что и учитывая (2.26.1), нетрудно получить искомые представления

с помощью которых установить, что в заданном базисе квадратная матрица вида

всецело определяет “индивидуальность” линейного оператора Столбцами её, как и в предыдущем случае, служат координаты образов базисных векторов.

Квадратная матрица А п — ного порядка, столбцами которой служат координаты образов базисных векторов, является матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Если а то введя в и соответственно базисы и , можно получить формулу вида (2.26.6) и для этого случая. При этом А будет матрицей, а X и Y  матрицами-столбцами, состоящими из п и т элементов соответственно.

Задание для самостоятельного решения

1. Выписать матрицы следующих операторов в ортонормированном базисе пространства :

б) заданный единичный вектор;

2. Выписать матрицы операторов, действующих в трёхмерном пространстве с ортонормированным базисом:

2.27. НУЛЕВОЙ, ТОЖДЕСТВЕННЫЙ, ПРОЕКТИВНЫЙ

И ГОМОТЕТИЧНЫЙ ОПЕРАТОРЫ

Рассмотрим линейный оператор , где L – линейное п — мерное пространство.

Оператор, переводящий любой элемент линейного пространства в нулевой элемент, называется нулевым оператором:

Равенство (2.27.1) выполняется лишь в том случае, если в любом базисе координаты векторов будут нулями (это утверждение докажите самостоятельно). Поэтому матрица О оператора О будет нулевой

1. Тождественный оператор (Е)

Оператор, переводящий любой элемент линейного пространства в себя, называется тождественным оператором:

Равенство (27.2) будет иметь место только тогда, когда в результате применения оператора система базисных векторов преобразуется в себя, т.е. когда (это утверждение докажите самостоятельно). Очевидно, матрица Е оператора Е в любом базисе будет единичной, т.е.