Разница между аксиомой и теоремой
Ключевое отличие: Аксиома и теорема — это утверждения, которые чаще всего используются в математике или физике. Аксиома — это утверждение, которое принимается за истину. Это не нужно доказывать. Теорема, с другой стороны, является утверждением, которое было доказано.
Аксиома и теорема — это утверждения, которые чаще всего используются в математике или физике. Аксиома — это утверждение, которое принимается за истину. Это не нужно доказывать. Теорема, с другой стороны, является утверждением, которое было доказано.
Согласно Dictionary.com, аксиома определяется как:
- Самоочевидная истина, не требующая доказательств.
- Общепризнанный принцип или правило.
- Логика, Математика. Утверждение, которое предполагается без доказательства ради изучения последствий, вытекающих из него.
По сути, аксиомы — это предположения, которые не нужно доказывать. Они обычно принимаются как истинные, либо потому, что в них нет противоречий, либо потому, что мы, очевидно, знаем, что это правда. Аксиома слова происходит от греческого слова, которое означает «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что оценивается как очевидное». Аксиома может иногда использоваться взаимозаменяемо с постулатом или предположением.
Теорема, с другой стороны, нуждается в доказательстве. Dictionary.com определяет теорему как:
- Математика. Теоретическое суждение, утверждение или формула, воплощающие что-то, что нужно доказать из других суждений или формул.
- Правило или закон, особенно тот, который выражается уравнением или формулой.
- Логика. Предложение, которое может быть выведено из предпосылок или предположений системы.
- Идея, убеждение, метод или утверждение обычно принимаются как истинные или стоящие без доказательств.
Теорема — это утверждение, которое было доказано путем тестирования или расчета. Это может быть доказано на основе теорем, которые были ранее доказаны или на основе аксиом. Теоремы состоят из двух частей: гипотезы и выводы.
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B .
Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B , она совпадет с прямой a .
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Важно!
Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве
не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным .
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Нам остается, только принять их на веру без доказательств . Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
Запомните!
Аксиома — утверждение , которое не требует доказательств.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
- через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
- через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
- если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
- любая фигура равна самой себе.
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Запомните!
Теорема — утверждение , которое требует доказательства.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
- сумма углов треугольника равна 180 градусов;
- площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
- теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Важно!
Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
без искажений .
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Запомните!
Лемма — это вспомогательная теорема , с помощью которой доказываются другие теоремы.
- если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Что такое следствие в геометрии
Запомните!
Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать .
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
- если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
- если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
- аксиомы — фундамент дома;
- теоремы — основные кирпичи дома;
- леммы и следствия — вспомогательные кирпичи для упрочнения конструкции.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
26 ноября 2019 в 15:25
Sergey Semenov Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Sergey Semenov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Помогите решить пожалуйста буду благодарен, очень срочно нужно
28 ноября 2019 в 11:53
Ответ для Sergey Semenov
Владимир Константинович Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Владимир Константинович
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
2. треугольник АDE= тр.CEF (CE=DE, углы равны). Следовательно пл.АBF= пл.АBCD = AB*AD
17 октября 2016 в 17:33
Евгений Омелин Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Омелин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Объясните почему так получается
Нужно найти объёмV= ширана*длина*высотадлина — 3дм
ширина-2дм
высота -10см
Вот тут и начинается самое интересное
v=3*2*1=6дм=60см
или
v=30*20*10=6000cмПочему получаются разные ответы, если по сути это одно и тоже?
20 октября 2016 в 9:01
Ответ для Евгений Омелин
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Что такое аксиома и теорема в математике
Математика играет важную роль в жизни каждого человека, даже если он не собирается заниматься ею всерьез. Это один из ключевых и базовых предметов в школе. Именно поэтому курсы по математике так востребованы и актуальны. Люди всеми способами стремятся повысить уровень собственных знаний и открыть для себя новые возможности. Такой путь оптимален и отличается высокой эффективностью.
Для того чтобы быстро решать различные задачи по алгебре и геометрии, необходимо прежде научиться рассуждать логически, выучить и понять теорию. Только после этого можно перейти к работе с задачами и доказательствами.
Что собой представляет аксиома
Аксиомой принято называть некоторое правило, которое априори верно и не нуждается в доказательствах. Это принятое положение, с которым нет никакого смысла спорить. В качестве синонима к слову «аксиома» выступает слово «гипотеза».
Гипотез и аксиом множество. Каждая из них несет важную мысль, которую нужно не просто прочитать, а понять и осознать. К примеру, через любые две точки может проходить лишь единственная прямая. Это очевидно.
Что собой представляет теорема
Теоремой принято считать логическое следствие аксиом. Говоря проще, речь идет о некотором утверждении, которое базируется на той или иной гипотезе, либо общепринятом и общеизвестном утверждении. В математике существуют теоремы, которые не применяются для поиска решения задач, а используются для составления доказательной базы других теорем.
Теоремы вспомогательного характера принято называть леммами. Давайте рассмотрим пример. Показательной может послужить следующая теорема: если одна из двух прямых, лежащих параллельно по отношению друг к другу пересекает некоторую плоскость, то другая прямая также пересекает таковую.
Следствием принято называть некоторое утверждение, которое формируется на базе теоремы и аксиомы. Оно также нуждается в доказательной базе. Пример: если две из параллельных прямых параллельны третьей, они также параллельны друг к другу.
Есть также доказательные теоремы. Речь идет о некотором процессе обоснования справедливости озвученного утверждения. Каждая теорема, которая уже доказана, выступает базой для доказательства другой теоремы, следующей. Именно ввиду этого изучать геометрию необходимо последовательно. В таком случае перескакивать с темы на тему нерационально.
Кроме того, теоремы могут быть прямыми или обратными, а также противоположными. Таковые дополняют одна другую и подтверждают истинность утверждения. Противоположными теоремами принято называть такое утверждение, в котором отрицание заключения формируется исходя из отрицания условия.
Чтобы обеспечить себе качественные знания, желательно записаться на специальные курсы и активно работать с опытными педагогами. Математика – сложная наука, поэтому без помощи извне зачастую не обойтись. Опытные педагоги объяснят формулы и теоремы на жизненных примерах, а также максимально доступно донесут информацию до абитуриентов.
Понятие Теорема и Аксиома Лемма, Следствия с тестами кратко
Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про теорема, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое теорема, аксиома, лемма, следствия, аксиоматизация теории , настоятельно рекомендую прочитать все из категории введение в математику. основы. Кликните на вариант (или варианты ответов), если он правильный — то будет подсвечен зеленым цветом и вам будет зачислено пару монеток, а если неверный — то красным и будет снята монетка. Удачи в прохождении онлайн теста! В математических дисциплинах широко используются четкие понятия такие как определения, теоремы, леммы, аксиомы, расссмотрим что это такое? теорема (др.-греч. θεώρημα — «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиома ми называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. В математических текстах теоремами обычно называют только те доказанные утверждения, которые находят широкое применение в решении математических задач. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределенные утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют лемма ми,предложениями, следствия ми, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называютгипотезами. Наиболее знаменитыми являются теоремы Ферма, Пифагора и Птолемея. Лемма (греч. λημμα — предположение) — доказанное утверждение, полезное не само по себе, а для доказательства других утверждений. Примеры известных лемм —лемма Евклида, лемма Жордана, лемма Гаусса, лемма Накаямы, лемма Гриндлингера, Лемма Лоренца, Лемма Лебедева. Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое в основе доказательства других ее положений. Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами. В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причем вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории. Аксиоматизация теории — явное указание конечного или счетного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчета» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гедель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдется хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы). Примеры аксиом
- Аксиома выбора
- Аксиома параллельности Евклида
- Аксиома Архимеда
- Аксиома объемности
- Аксиома регулярности
- Аксиома полной индукции
- Аксиома Колмогорова
- Аксиома булеана
- Аксиоматика
- Аксиоматика теории множеств
- Аксиоматика вещественных чисел
- Аксиоматика Евклида
- Аксиоматика Гильберта
Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
- если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
- если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
История
Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешел в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времен Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.
Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».
Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. Лишь подтверждение теории является одновременно и подтверждением набора ее аксиом.
Подведем итог и сделам сравнения и выявим сходства и различия
- Аксиома: фундаментальное логическое утверждение , что вы предположить , чтобы быть правдой, чтобы построить теорию. Ничто не вырастает из ничего: даже для построения логики или математики вам нужно исходить из некоторых предположений, которые вы просто принимаете как разумные.
- Определение: нельзя заниматься математикой, используя только логические символы: это слишком громоздко. Часто вводятся упрощения, обозначения, названия, чтобы говорить о часто возникающих вещах. Это соглашение о том, чтобы что-то называть определенным образом.
- Лемма: истинное утверждение, которое может быть доказано (исходя из других истинных утверждений или из аксиом) и которое немедленно (или почти сразу) используется для доказательства чего-то более важного (теоремы / предложения).
- Теорема: важное и / или трудное для доказательства математическое утверждение.
- Предложение: истинное математическое утверждение, которое не так важно / сложно, как теорема. Скажем, обычное истинное математическое утверждение.
- Следствие: истинное математическое утверждение, которое следует прямо как следствие теоремы или предложения (например, как частный случай).
- Закон: не очень часто используется в чистой математике, чаще, например, в физике, относится к истинному факту о природе.
Тесты для самопроверки
1. Правило, которое принимается без доказательств.
- * аксиома
- теорема
- доказательство
- условное определение
2. Утверждение доказано с помощью аксиом, постулатов или других теорем, которые заведомо верны это
- *понятие теоремы
- понятие угола
- понятие Трансверсаль — множества
- понятие Евклидовой геометрии
3.Математическое утверждение, требующее доказательства, — это
- * теорема
- аксиома
- определение
- предположение
- гипотеза
4.Математическое утверждение, которое НЕ требует доказательства, является
- теорема
- * аксиома
- догадка
- определение
- гипотеза
- догма
5.Если AB = 10, какое определение объясняет, почему AM = 5?
- Определение равенства
- * Определение средней точки
- Определение отрезка
6. доказанное утверждение испольуемое для доказательства других утверждений
- свойство
- теорема
- * лемма
- аксиома
- правило
- закон
См. также
- Догма
- Концепция
- Логика
- Гипотеза
- Формализм ( математика )
- Теоремы Геделя о неполноте
- Система отсчета
- Факт
- Теорема
- Теория множеств
- Теория категорий
- Другие тесты
Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про теорема Надеюсь, что теперь ты понял что такое теорема, аксиома, лемма, следствия, аксиоматизация теории и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории введение в математику. основы
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про теорема