Определение измеримой функции
Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:
[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]
[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]
Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.
| Определение: |
| [math] a \in \mathbb R [/math] , [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math] . |
| Определение: |
| [math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат сигма-алгебре). |
Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \iff [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:
Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]
Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .
[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]
Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.
Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.
Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .
Пусть [math]F \subset \mathbb
Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .
Проверим, что оно замкнуто.
Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .
Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .
По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .
Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.
Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.
Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math] . Тогда
1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима
4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо
1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .
При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.
1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.
3) Доказывается чуть сложнее
[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]
Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]
Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_
Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.
ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ
— 1) В первоначальном понимании И. ф.- функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножество Е а точек х, для к-рых f(x)измеримое множество (по Лебегу). И. ф. на отрезке [ х 1, х 2]может быть сделана непрерывной на [x1, x2]путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры; это — так наз. С-свойство И. ф. (Н. Н. Лузин, 1913).
2) И. ф. на пространстве Xопределяется относительно выбранной системы измеримых множеств Ав X. Если A есть s-кольцо, то действительная функция f, заданная на пространстве X, наз. измеримой функцией, если
для любого действительного а, где
Это определение равносильно следующему: действительная j функция f измерима, если 
для любого борелевского В. В случае, когда Аесть s-алгебра, функция f является измеримой, если измеримы множества Е а (или 
). Класс И. ф. замкнут относительно арифметических и структурных операций, т. е., если fn, n=1, 2, . измеримы, то f1+f2, f1f1. max(f1, f2), min(f1, f2), af, где адействительно, измеримы; 
тоже измеримы. Комплексная функция измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части. Обобщением понятия И. ф. является понятие измеримого отображения одного измеримого пространства в другое.
Лит.:[1] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ.,М. 1953; [2] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
В. В. Сазонов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .
- ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ,
- ИЗМЕРИМОЕ МНОЖЕСТВО
Измеримая функция
ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ, заданная на измеримом по Лебегу (смотри Мера множества) множестве Е действительных чисел функция f(х), принимающая действительные значения, такая, что для каждого действительного t измеримо по Лебегу множество Et точек х из Е, для которых f(х) ≤ t. Измеримыми являются сумма, разность, произведение и частное измеримой функции, а также предел последовательности измеримой функции.
Измеримость характеризует теорема Лузина (1913) о С-свойстве: измеримыми являются те и только те функции, которые могут быть сделаны непрерывными после изменения их значений на множестве сколь угодно малой меры.
Измеримые функции на пространствах Х более общей природы определяются относительно выбранной системы А измеримых подмножеств множества Х. При естественных условиях на систему А (когда А есть σ-алгебра) функция f называется измеримой, если множества вида Et измеримы при всех t. В вероятностей теории случайными величинами называются измеримые функции, отображающие измеримые пространства на действительную прямую, когда измеримые множества А представляют собой область определения некоторого распределения вероятностей.
Измеримые функции
функции f (x), обладающие тем свойством, что для любого t множество Et точек х, для которых f (x) ≤ t, измеримо по Лебегу (см. Мера множества). Это определение И. ф. принадлежит французскому математику А. Лебегу. Сумма, разность, произведение и частное двух И. ф., а также предел последовательности И. ф. снова являются И. ф. Таким образом, основные операции алгебры и анализа не выводят за пределы совокупности И. ф. Русские и советские математики внесли большой вклад в изучение И. ф. (Д. Ф. Егоров, Н. Н. Лузин и их ученики). Лузин доказал, что функция измерима в том и только том случае, если она может быть сделана непрерывной после изменения её значений на множестве сколь угодно малой меры. Это так называемое С-свойство И. ф.
В абстрактной теории меры функция f (x) называется И. ф. по отношению к какой-либо мере μ, если множество Et входит в область определения меры μ. В современной теории вероятностей И. ф. выступают под названием случайных величин (см. Вероятностей теория).
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .
- Измеримые множества
- Измеритель видимости
Смотреть что такое «Измеримые функции» в других словарях:
- Разрывные функции — функции, имеющие разрыв в некоторых точках (см. Разрыва точка). Обычно у функций, встречающихся в математике, точки разрыва изолированы, но существуют функции, для которых все точки являются точками разрыва, например функция Дирихле: f… … Большая советская энциклопедия
- Измеримая функция — Измеримые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
- БОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ — В функция, функция, для к рой все подмножества вида ) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. ф.: функции, измеримые по Борелю, В измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в … Математическая энциклопедия
- Интеграл — (от лат. integer целый) одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости… … Большая советская энциклопедия
- Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
- КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ — уравнения и системы дифференциальных уравнений вида: где оператор Lхарактерен тем, что в каждой точке существует проходящий через нее вектор z такой, что для произвольного непараллельного к z, вектора hхарактеристическое уравнение относительно… … Математическая энциклопедия
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ — раздел математич. теории управления (см. Автоматического управления теория), в к ром изучается управление в конфликтных ситуациях. Теория Д. и. примыкает также к общей игр теории. Первые работы по теории Д. и. появились в сер. 50 х гг. 20 в.… … Математическая энциклопедия
- Функций теория — раздел математики, в котором изучаются общие свойства функций (См. Функции). Ф. т. распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного. В «классическом» математическом… … Большая советская энциклопедия
- Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… … Большая советская энциклопедия
- Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия