Что такое линейная комбинация
Линейной комбинацией векторов e 1, e 2, . e k линейного пространства L называется выражение С1· e 1+С2 ·e 2+ . +Сk · e k . Числа С1, С2 , . Сk — коэффициенты линейной комбинации
Если все коэффициенты линейной комбинации С1· e 1+С2 ·e 2+ . +Сk · e k равны нулю, то она называется тривиальной линейной комбинацией.
Система e 1, e 2, . e k линейно независима , если равенство С1· e 1+С2 ·e 2+ . +Сk · e k = 0 возможно только для тривиальной линейной комбинации.
Система e 1, e 2, . e k линейно зависима , если существует нетривиальная линейная комбинация, для которой справедливо равенство С1· e 1+С2 ·e 2+ . +Сk · e k = 0 .
Линейная комбинация
Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.
Определение
Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L , на котором введены операции
- сложения, то есть каждой паре элементов множества + \mathbf \in L» width=»» height=»» /> и
- умножения на скаляр (то есть элемент поля P ), то есть любому элементу и любому элементу , обозначаемый , для любых (коммутативность сложения);
- , для любых (ассоциативность сложения);
- существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
- для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
- (ассоциативность умножения на скаляр);
- (существование нейтрального элемента относительно умножения).
- (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
- (дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами.
Простейшие свойства
- Нейтральный элемент является единственным.
- для любого .
- Для любого противоположный элемент является единственным.
- для любого .
- для любых и .
Связанные определения и свойства
- Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр.
- Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
- Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
- Элементы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.
Примеры
- Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
- Пространство всех функций образует векторное пространство размерности равной мощностиX .
- полевещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
Дополнительные структуры
- Нормированное векторное пространство
- Топологическое линейное пространство
- Евклидово пространство
- Гильбертово пространство
См. также
- Линейный оператор
- Сопряжённое пространство
- Модуль над кольцом
- Выпуклый функционал
- Линейная независимость
- Линейная оболочка
Линейная комбинация
Линейная комбинация векторов — это сложение векторов, умноженных на действительное число (скалярное умножение). Это создает новый вектор.
$\vec
Коллинеарные вектора
Два вектора с параллельными направлениями называют коллинеарными. Один вектор может быть представлен как линейная комбинация другого.
Компланарные векторы
Векторы, которые могут быть изображены в одной плоскости, являются компланарными. В этом случае, каждый вектор может быть изображен как линейная комбинация другого вектора.
Линейная комбинация
Лине́йная комбина́ция, выражение, равное сумме произведений элементов множества ( векторов , функций и т. д.) на числа.
Пусть R \mathbb R – поле вещественных чисел, V V V – векторное пространство . Линейной комбинацией векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n ∈ V \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n\in V v
n ∈ V с коэффициентами α 1 , α 2 , … , α n ∈ R \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\mathbb α 1 , α 2 , … , α n ∈ R называется вектор v = α 1 v ⃗ 1 + α 2 v ⃗ 2 + … + α n v ⃗ n . v=\alpha_1\vec v_1 + \alpha_2\vec v_2 +\ldots + \alpha_n\vec v_n. v = α 1 v
n . Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. В этом случае v v v есть нулевой вектор 0 0 0 . Если хотя бы один из коэффициентов α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α n не равен нулю, то линейная комбинация нетривиальная. Для некоторых систем векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v
n любая нетривиальная линейная комбинация не равна нулевому вектору, для других систем векторов некоторые нетривиальные линейные комбинации равны нулевому вектору.
Зафиксируем векторы v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v
n : α 1 , α 2 , … , α n ∈ R > называется линейной оболочкой L L L векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v
n . Линейная оболочка является подпространством в V V V . Линейная оболочка L L L является наименьшим подпространством, содержащим векторы v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v
Опубликовано 30 января 2023 г. в 20:51 (GMT+3). Последнее обновление 30 января 2023 г. в 20:51 (GMT+3). Обратная связь